Coniche e Quadriche.

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1 CAP. V. Coniche e Quadriche. 1. Costruzione di una conioa per punti e per tangenti mediante fasci proiettivi Teoremi fondamentali. Si chiama CONICA il luogo dei punti comuni ai raggi corrispondenti in una proietlività tra due fasci complanari di raggi. Siano S, S' i 4 centri dei due fasci complanari, \ una proiettività clie trasforma i raggi uscenti da S in quelli uscenti da S% e sia 0 la conica luogo dei punti comuni ai raggi corrispondenti. Se S e S' coincidono e non esistono raggi uniti rispetto a X, allora 0 si riduce ad un punto ; il punto S= S'. Se S e S' coincidono ed esistono due elementi uniti distinti rispetto a X, ovvero S e S' sono distinti e X è una prospettività, allora il luogo 0 è formato da due rette distinte. Se, infine, S e S' coincidono ed esiste un solo elemento unito rispetto a X, allora il luogo 0 è formato da due rette coincidenti. In questi casi la conica dicesi IMPROPRIA О DEGENERE. Si ha una CONICA PROPRIA, solamente quando i centri dei due fasci sono distinti e la proìettività non è una prospettività I teoremi fondamentali, necessari per la costruzione delle coniche proprie mediante la proìettività, sono i seguenti che si corrispondono rispetto al principio di dualità nel piano sostituendo a un luogo di punti un inviluppo di rette (n 203, b).

2 205 a) Siano S, S' i centri, distinti, di due fasci complanari di raggi e X una proiettività, non prospettività, che trasforma i raggi di S in que'li di S'. Il punto P intersezione di un raggio p di S col raggio \p, descrive, col variare di p, una conica propria che: 1 passa per г centri S, S' dei due fasci; 2 ha per tangenti nei punti S, S'le congiungenti questi punti con centx. Siano s, s' i sostegni, distinii, di due fasci complanari di punti e X una proiettività, non prospettività, che trasforma г punti di s in quelli di s'. La retta p congiungente un punto P di s col punto XP, inviluppa, col variare di P, una conica propria, che : 1 tocca г sostegni s, s' dei due fasci; 2 ha per punti di contatto nelle rette s, s' le intersezioni di queste rette con assex. Dm. (Teorema a sinistra). Che il luogo dei punti p (Xj>) è una conica propria risulta dalla definizione..ceni* Se x è la retta SS', è noto che \x = S' (centx), X [S (centx) ] =,r, e quindi S e S' appartengono alla conica. Se P è un punto della conica, allora X (SP)=S'P, per definizione. Facendo tendere, sulla conica, P ad S, la retta SP tende alla tangente in S: ma contemporaneamente SP tende a \ l x e quindi (centx) S = \~ l x è la tangente in S. In modo analogo si dimostra che (centx) S' è la tangente in S'. (Teorema a destra). Applicando al teorema a sinistra il principio di dualità, risulta, essendo X il punto comune ad s e s', che la retta P(XP) inviluppa una linea tangente a 8 e s' nei punti X~*X, XX. Eesta dunque da dimostrare che tale linea è una conica propria, e anzi, tenuto conto del teorema a sinistra, che tale conica si ottiene dai fasci di centri \ l X } \X mediante una proiettività 6 avente X per Siano A, B, la posizione di centro, delle F t aventi X -l X, XX, X per posizioni e tali che X sia С: Э- Se M=A -\-xc è una *F A di s avente P per posizione, om=c-\-xb ha XP per posizione, una F 4 giacente sulla retta P (XP) è dunque data da Q = M +1 (am) =~A + snc + t (C + xb).

3 - 206 Ma - ~ = 0 solamente quando t = x e quindi l'inviluppo della boe at retta P (XP) è descritto dalla posizione di Se ora si osserva che N=A + 2xC+x 2 B. [1] AN=x(2AC + xab), BN=>BA + 2xBC si ha suhito che la proiettività 9 già considerata, è la posizione della trasformazione lineare I ' A ottenuta dalle [1] per x tendente a zero о ad infinito. Il teorema a destra è dunque dimostrato. b) Una conica propria è individuata assegnandone gli elementi punto о tangente, considerati nei casi seguenti: P cinque punti; 1 cinque tangenti; 2 quattro punti e la tan- 2 quattro tangenti e il gente in uno di essi; punto di contatto in una di esse ; 3 tre punti e le tangenti 3 tre tangenti e i punti in due di essi; di contatto in due di esse ; purché siano soddisfatte le condizioni seguenti: tre qualunque dei punti tre qualunque delle rette dati non sono collineari; date non passano per uno stesso punto; una qualunque delle tan- uno qualunque dei punti genti date contiene uno solo di contatto sta in una sola dei punti dati. delle rette date. DIM. Basta dimostrare il teorema a sinistra, deducendosi quello a destra dal principio di dualità. Siano dati rispettivamente : 1 i cinque punti A, B } C, D, E; 2 i punti A, B, C, D e la tangente a in A ; 3 i tre punti A, В, С e le tangenti a, Ь in A e B. È hen determinata la proiettività X (non prospettività in virtù delle ipotesi) che trasforma i raggi del fascio di centro A in raggi del fascio di centro B, ed è tale che, rispettivamente, 1 X (AC) = BC, X (AD) = BD, X (AE) = BE, 2 \a = BA, \(AC)=BC, \(AD) = BD, 3 %a = BA, \(AB) = b, \(AC) = BC.

4 207 In virtù del teorema a) la proiettività X individua una conica che soddisfa alle condizioni date. Occorre ora dimostrare che di tali coniche ne esiste una sola. Se P è un punto della conica, deve essere P. X (SP) = 0. Quindi se x, y sono le coordinate cartesiane di P, rispetto ad un sistema qualunque, l'equazione della conica deve esser data dall'annullarsi di una funzione di 2 grado in x e y, cioè deve essere della forma ax* + 2hxy + by 2 -f- 2cx + 2dy + e = 0. Ora, nei tre modi considerati, i sei numeri a, h, b, e, d, e soddisfano a cinque relazioni lineari, vale a dire i rapporti di cinque di essi al rimanente (non nullo) sono determinati. Dunque la conica considerata è unica Costruzione di una conica per punti о per tangenti. Risulta dal teorema b) del n 246 il modo di costruire per punti, о per tangenti, una conica della quale sono dati: p punti e t tangenti^ con p -\-1 = 5, ecc. Basta in ogni caso costruire la proiettività X considerata nella dimostrazione del teorema b). Sarà bene che il lettore faccia le figure nei sei casi Intersezione di retta con una conica«tangenti da un punto ad una conica. Ha interesse pratico la risoluzione dei due problemi seguenti : i Data una conica, in modo che possa essere costruita per punti, trovare i punti nei quali essa taglia una retta data r.

5 Data una conica, in modo che possa essore costruita per tangenti, trovare le tangenti ad essa uscenti da un dato punto R. Ecco come si risolvono i due problemi che si corrispondono per dualità. Siano S, S' i centri dei due fasci e X la proiettività mediante la quale si costruiscono i punti della conica. Sia 0 l'operatore che ad un punto P qualunque di r fa corrispondere -il punto QPz=zr\SP, vale a dire il punto che si ottiene così : si costruisce la retta p = SP, indi \p, indi si trova Tintersezione di \p con r, che è ep. Uoperatore 0 è una proiettività, i cui elementi uniti, se esistono, sono i punti d'incontro di r con la conica. Dm. Siano s, s' i sostegni delle due punteggiate e X la proiettività mediante la quale si costruiscono le tangenti alla conica. Sia 0 l'operatore che ad una retta p qualunque uscente da R fa corrispondere la retta 0p = R\sp, vale a dire la retta che si ottiene così : si costruisce il punto Pz=sp, indi XP, indi la retta che passa per R e per XP, che è 0/>. L'operatore 0 è una proiettività, i cui elementi uniti, se esistono, sono le tangenti condotte da R alla conica. Basta dimostrare la costruzione a sinistra. L'operatore в è il prodotto di tre proiettività, proiezione da *S', >., sezione con r, e quindi è una proiettività. Se P (vedi figura) sta sulla conica, allora p e \p si incontrano in P e quindi QP = P, cioè un punto della conica appartemnte ad r, è unito per 6. Se P=QP allora p e \p si incontrano in P, cioè impunto unito per 6 sta sulla conica. Dunque tutti e soli i punti uniti di в sono punti comuni alla retta r e alla conica. Il lettore individui 0, mediante tre elementi e i tre corrispondenti in ciascuno dei tre casi per ogni problema (n 247). (liova tener presente che : Se una retta r ha a comune con una conica 0 un solo punto S, allora r e tangente a 0 in s. Se da un punto R si può condurre una sola tangente s ad una conica 0, allora R è il punto di contatto di 0 con s.

6 209 - DIM. (A sinistra). Si prenda S come uno dei centri dei due fasci proiettivi mediante i quali si può ottenere G per punti e sia X la proiettività. Avendo la retta r un solo punto a comune con la conica ciò vuol dire che \r passa per S e quindi r passa per centx, cioè r tocca 0 in S Classificazione delle coniche. Si chiamerà IPER BOLE, о PARABOLA, о ELLISSE quella conica che è incontrata in due, о uno, о nessun punto dalla retta all'infinito del suo piano. In altri termini : IPERBOLE è la conica che ha due punti alvinfinito; PARABOLA quella che ne ha uno; ELLISSE quella che ha nessun punto all'infinito. Le tangenti nei punti all'infinito si chiamano ASSINTOTI. L'iperbole ha due assintoti. La parabola un solo assintoto che è la retta awinfinito (perchè la retta ha con la parabola un solo punto a comune). Venisse nessun assintoto. Si noti che la condizione la conica 0 è una parabola dà già una tangente della conica, la retta all'infinito del suo piano ; non però il punto di contatto. La condizione la conica 0 è una parabola, il cui punto awinfinito A Д/, assegna un punto (M) e la tangente in esso (la retta all'infinito) della conica. Vedremo nel n 271 che le denominazioni ellisse, iperbole, parabola corrispondono esattamente a quelle usate nei n Casi particolari. Sono notevoli le costruzioni per punti о tangenti dell'iperbole о parabola nei casi particolari seguenti. a) Costruire, per punti, l'iperbole della quale sono dati gli assintoti e un punto proprio. Sono dati tre punti, due all'infinito, e le tangenti nei due punti all'infinito. Si assumono questi due punti all'infinito come centri S, S' dèi due soliti fasci. Della proiettività X è noto il centro, che è il punto О comune agli assintoti, e i due raggi a, \a uscenti dal punto proprio A dato. Fissato b ad arbitrio, si costruisce \b che incontra b in un altro punto В dell'iperbole. Questa è la costruzione dedotta dal metodo generale. Risulta pure facilmente una costruzione, già nota, basata sul fatto che la retta AB taglia gli assintoti nei punti M, N che hanno a comune con la coppia A. В il punto medio. Invero. La proiettività 0 che sulla retta A В dà come elementi uniti i C. BURALI-FORTI, Geometria anal

7 - 210 punti d'intersezione della retta con l'iperbole, è tale che ìimq=m, limo -1 = N e quindi il punto medio tra M e N coincide col punto medio tra A e B. b) Costruire, per punti, l'iperbole della quale sono dati tre punti propri e un assintoto. Il lettore applichi la costruzione generale del caso, quattro punti e una tangente. Più rapidamente si opera così, in base alla costruzione a), Siano A, В, С i punti e r l'assintoto. Le rette AB, AC tagliano r in M e P. Si costruiscano i punti : N = A -f- В M, Q=z A -\-C P, la retta NQ è l'altro assintoto. Siano cosi riadotti al caso a). cj Costruire, per punti, l'iperbole della quale sono dati tre punti propri e le direzioni dei due assintoti. Le direzioni dei due assintoti si assumono come centri S, S' dei due fasci, perchè in tal modo centx è il punto comune agli assintoti, i quali sono subito determinati e siano ridotti al caso a). d) Costruire, per tangenti, la parabola della quale sono date due tangenti proprie (necessariamente non parallele) e i punti di contatto in esse. Siano A, В i due punti ed О il punto comune alle due tangenti. Si dividano OB ed OA in n parti eguali e ai punti di divisione si mettano gli indici 0, 1, 2,... n da О verso A e da В verso 0;. indi, in ciascuna retta, si riportino, nei due sensi, le divisioni. Le rette che congiungono i punti di egual indice sono tangenti alla parabola. Il lettore dimostri applicando la costruzione generale nel caso di tre tangenti e due punti prendendo О A e OB come rette s, s'. e) Costruire, per tangenti, l'iperbole della quale sono dati gli assintoti e una tangente. Si prendano gli assintoti come rette s, $'. La rimanente tangente incontra s e s' in A e \A e assex è la retta all'infinito del piano. Presso un punto В di s si costruisce \B e В (KB) è una nuova tangente. Se si osserva che le rette A (KB), В (KA) sono parallele, risulta la nota proprietà : le tangenti alla iperbole, diverse dagli assintoti, formano con gli assintoti triangoli di area costante.

8 Teorema di Pascal e Brianchon Poligoni. Una successione di n punti proiettivi (di un piano sempre sottinteso) A l9 A 2...A n determina, in generale, un poligono (n-agono) i cui lati sono le rette A^2J A 2 A 3,... A n -ia n, A n A i e del quale i punti A i9 A 2,...A n sono i vertici. Dualmente. Una successione di n rette proiettive a tì a 2ì...a n determina, in generale, un poligono (n-latero) i cui vertici sono i punti, a t a 2, a 2 a 3J...a n -\a n i a n a i e del quale le rette a d, a 2...a n sono i lati. In un poligono di un numero pari, 2n, di lati о vertici sipossono considerare i vertici e i lati opposti, e precisamente: A ì e A n +i, A 2 e A n +2, - - A n e Аъ п sono vertici opposti; A±A 2 e An-hi An+2,... sono lati opposti ; e dualmente per la successione di 2n rette. In un poligono di un numero dispari, 2n + 1, di lati о vertici, si può di ogni vertice о lato considerare il lato о vertice opposto; e precisamente A i e A n +ia n +2> A 2 e А п +2А п +-ь,... sono opposti;"e dualmente per la successione di 2n + l rette. In ciò che segue non avremo bisogno di successione di punti о rette in numero superiore a sei Esagoni inscritti о circoscritti ad una conica. Per un esagono inscritto о circoscritto ad una conica (propria sempre sottinteso) valgono i due seguenti teoremi.

9 212 Se un esagono è inscritto Se un esagono è circoscritto in una conica, i tre punti di ad una conica, le tre rette incontro dei lati opposti giac- che congiungono i vertici opdono in una retta. posti passano per un punto. (PASCAL). (BRIANCHON). Dm. Basta dimostrare il teorema a sinistra (di PASCAL) e questo risulterà dimostrato quando si provi che : Dati г punti proiettivi A, B, C, D, E complanari, tre qualunque dei quali non sono in linea retta, il luogo del punto X tale che г lati opposti dell'esagono A, B, C, D, E, X si incontrano in punti collineari, è la conica individuata dai cinque punti A, B, C, D, E. Siano a, b, e, d, e, x delle Fj aventi A, B, C, D, E, X per posizione. Si deve avere [1] (ah. de) (bc. ex) (ed. ax) = 0. Il luogo delle posizioni di x, passa per e e per a, poiché la [1] è verificata per ex = 0 о ax = 0 ; passa per d perchè (fare la figura) si ha identicamente (ab. de) (bc. ed) (ed. ad) = 0. Ma la [1] è di secondo grado in x e quindi il luogo delle posizioni di x è proprio la conica individuata dai punti A, B, C, D, E Per mezzo del teorema di PASCAL O BRIANCHON, si può costruire per punti, о per tangenti, una conica data mediante cinque punti о cinque tangenti senza far uso dei due fasci proiettivi. Siano A, B, C, D, E i cinque punti dati. Si faccia passare per A, ad es., una retta r arbitraria, e si chiami X l'altro punto nel quale r taglia la conica. Si può ottenere X formando con i sei punti A, B, C, A E, X una suc- '^ cessione in modo però, che A ed X siano consecutivi. Fissata, ad es., la successione ABCDEX si costruiscano i punti P = AB.DE, Q CD.r, che sono due dei punti comuni a due coppie dei lati opposti. La retta BC incontra PQ in R e la retta ER taglia r nel punto cercato X. Se con questa costruzione si trova che X coincide con A allora (n 254) la retta r è tangente in A alla conica.

10 213 Il lettore applichi il teorema di BRIANCHON al problema duale Pentagoni inscritti о circoscritti ad una conica. Se un pentagono è inscritto in una conica, i due punti comuni a due coppie di lati non consecutivi, e il punto comune al lato rimanente e alla tangente alla conica nel vertice opposto ad esso, giacciono in una retta. Se un pentagono è circoscritto ad una conica, le due rette che congiungono due coppie di vertici non consecutivi, e la congiungente il vertice rimanente col punto di contatto della conica nel lato opposto ad esso, passano per un punto. DIM. Se l'esagono ABCDEF è inscritto nella conica, il teorema di PASCAL sussiste quando В si muove comunque sulla conica (varia la retta dei tre punti); se В tende ad A, la posizione limite del lato AB è la tangente in A alla conica e quindi è vero il teorema del pentagono. Dualmente. Se varia b, rimanendo tangente alla conica, e tende ad a, il punto ab tende al punto di contatto di a con la conica Per mezzo del teorema ora dimostrato si risolvono facilmente i due problemi seguenti : Data una conica per mezzo Data una conica per mezzo di cinque punti, costruire le di cinque tangenti, costruire i tangenti alla conica in eia- punti di contatto della conica scuno dei cinque punti. in ciascuna delle cinque rette. Si può osservare che, costruita la tangente in un punto, si può trovare la tangente in un altro facendo uso di un quadrilatero inscritto (n 256); ottenute le tangenti in due punti, si può

11 214 trovare la tangente in un altro, facendo uso di un triangolo inscritto (n 259). Analogamente per il problema duale. Si osservi pure che i problemi ora risoluti permettono anche di : Costruire per tangenti о per punti, mediante fasci proiettivi, una conica che sia data mediante cinque punti о cinque tangenti 256. Quadrilateri inscritti Se un quadrilatero è inscritto in una conica, i quattro punti comuni ai lati opposti e alle tangenti nei vertici opposti, giacciono in una retta. о circoscritti ad una conica. Se un quadrilatero è circoscritto ad una conica, le quattro rette che congiungono г vertici opposti e i punti di contatto dei lati opposti, passano per un punto. fa DIM. Basta applicare il teorema di Pascal alla successione ABCDEF cendo tendere В ad A ed E a D Il teorema ora dimostrato permette di risolvere i due problemi : Data una conica per mezzo di quattro punti e della tangente in uno di essi, costruire le tangenti in ciascuno degli altri tre. Data una conica per mezzo di quattro tangenti e del punto di contatto in una di esse, costruire i punti di contatto in ciascuna delle altre tre. Se A, B, C, D sono i punti dati e a è la tangente in A, allora il quadrilatero A BCD permette di trovare la tangente с in C; indi col quadrilatero AC BD, le tangenti in В e D. Analogamente per il problema duale.

12 215 Si osservi pure che questi due problemi permettono di: costruire per tangenti о per punti, mediante fasci proiettivi, una conica data mediante 4 punti e i tangente, о 4 tangenti e 1 punto Triangoli inscritti о circoscritti ad una conica. Se un triangolo è inscritto Se un triangolo è circoscritto in una conica, i tre punti d'incontro dei lati con le tangenti congiungono i vertici con i ad una conica, le tre rette che nei vertici opposti giacciono in punti di contatto dei lati opposti, passano per un una retta. punto. DIM. Si applichi il teorema di Pascal alla successione ABCDEF tendere B, D, F ad A, C, E rispettivamente. facendo 259. Si risolvono i due problemi: Data una conica per mezzo Data una conica per mezzo di tre punti e le tangenti in di tre tangenti e i punti di due di essi, costruire la tangente nel rimanente punto. struire il punto di contatto contatto in due di esse, co nella rimanente tangente. Gome pure si può : costruire per tangenti о per punti una conica data mediante tre punii e due tangenti, о tre tangenti e due punti. Se di una iperbole sono dati gli assintoti a, b e una tangente e, il teorema a destra applicato al triangolo abc circoscritto, dice subito che il punto di contatto in с è il punto medio del segmento di с compreso tra gli assintoti, come è già noto.

13 Diametri ed assi Trasformazione di Steiner in una conica. La definizione data nel n 228 per la trasformazione di STEINER in una circonferenza 0, la intendiamo ripetuta sostituendo a 0 una conica propria qualunque. I teoremi a), b) del n 229 valgono ancora per una conica 0, perchè (vedi dimostrazione) per la successione AC'BÄCB' i punti P, Q, R sono sempre collineari, in virtù dei teoremi di PASCAL per gli esagoni, pentagoni, quadrilateri, triangoli, iscritti in una conica. Anche il teorema del n 230, che stabilisce la relazione tra le trasformazioni di STEINER in una circonferenza 0 e le proiettività in un fascio di raggi, sussiste invariato quando 0 è una conica propria qualunque, perchè la dimostrazione del teorema del n 230 rimane invariata quando al moto geometrico ц si sostituisca una proiettività. Possiamo dunque far uso, senz'altro, della trasformazione di STEINER in una conica Noi ci varremo esclusivamente delle involuzioni di STEINER in una conica che intendiamo definita come nel n 238. L'involuzione di STEINER SU di una conica propria ammette, come quella sulla circonferenza, un CENTRO, che è il punto per il quale passano le congiungenti due punti corrispondenti qualunque. Per l'involuzione degenere, о parabolica, l'asse è la tangente alla conica nel punto che corrisponde a qualsiasi altro punto della conica. Si ha una notevole applicazione della involuzione di STEINER in una conica, alla costruzione della normale nel Ш punto dato P ad una conica. Due coppie di raggi ortogonali uscenti da P taglino ulteriormente la conica in A, A r e В, B' a- e sia M il punto comune alle rette A A', BB' ; x la retta PM è la normale in P alla conica. Infatti : i raggi PA, PA',... formano una involuzione circolare ; M è il centro di una involuzione di STEINER sulla conica; alla retta PM deve corrispondere nell'involuzione dei raggi la tangente in P e quindi PM è normale alla tangente.

14 217 Il lettore può dimostrare che variando P, M descrive una conica simile a quella data Risulta, come per la circonferenza, che : un punto qualsiasi del piano di una conica propria 0 è centro di una, ed una sola, involuzione di STEINER in 0. Ma sussiste pure analogo teorema per l'asse, teorema che non abbiamo avuto bisogno di dimostrare per la circonferenza: Una retta qualsiasi del piano di una conica propria 0 è asse di una, ed una sola, involuzione di STEINER in 0. DIM. Sia r la retta data. Se r tocca 0 nel punto H, allora l'involuzione a di Steiner tale che assea = r è determinata, perchè a è parabolica e per un punto P qualunque di 0 si ha op = H. La retta r non tocchi 0. Si fissino in r (il che è sempre possibile) due punti M, N da ciascuno dei quali si possano condurre due tangenti distinte MA, MB e JVC, JV2>, alla conica 0. Le rette AB, CD si incontrano in un punto R che è centro di una involuzione di STEINER avente r per asse. Invero : in tale involuzione, ai punti A, B, C, D corrispondono i punti B y A, D, C, e poiché le rette AC e BD, CB e AB, ecc., si tagliano in r f teorema del n 256), r è Passe di tale involuzione. Ora, un punto S diverso da R non può essere centro di un'involuzione avente r per asse, perchè se ciò fosse, ad es., dal punto N si potrebbero condurre tre tangenti distinte alla conica, le rette NC, ND, ND', essendo D' il punto diverso da D comune a 0 e alla retta DS. Л teorema è dunque dimostrato. Il lettore osservi che dalla dimostrazione ora fatta risulta una costruzione di Д, dato r, mediante i punti M, N e le quattro tangenti. Vedremo presto un'altra costruzione molto più semplice Poli e polari. Le seguenti denominazioni di POLI e POLARI non sono necessarie, come risulta dalla loro definizione. Però ad usarle consiglia non solo il fatto che esse sono largamente usate, ma anche il dare esse una notevole brevità al linguaggio. Sia 0 una conica propria, e R, r un punto e una retta (proiettivi) del suo piano.

15 218 Dicesi POLARE DEL PUNTO R, Dicesi POLO DELLA RETTA r, rispetto alla conica 0, l'asse rispetto alla conica 0, il centro della involuzione di STEINER della involuzione di STEINER in 0 che ha R per centro. in 0 che ha r per asse. Dal n 262 risulta subito che : la polare di un punto, о il polo di una retta, rispetto alla conica 0, è una retta о un punto univocamente determinalo. I teoremi fondamentali sono i seguenti : Le polari dei punti di una I poli delle rette uscenti da retta passano tutte per il polo un punto giacciono tutti nella della retta. polare del punto. 'DIM. Sia В un punto e r la sua polare (o, il che equivale, r una retta e R il suo polo). Se R sta in 0, cioè r è tangente in R a 0, il teorema è evidente, poiché R è elemento unito della involuzione di Steiner in 0, che ha per centro un punto di г о per asse una retta uscente da R. II punto R non stia in 0, cioè r non sia tangente a 0. Per un punto M di r si conduca la secante AB, alla conica 0 e siano A', B r le proiezioni di A e В fatte da R su 0. Essendo R polo di r, la retta A'B' deve passare per Ж e le rette AB', A'B devono incontrarsi in un punto H di r. Segue che RH=m è la polare di M, e quindi è vero il teorema a sinistra. Presa m ad arbitrio insieme alla secante AA' per R, si proiettano A e A' da H in 0 e si ottengono i punti Б', В ; ma le rette AB, A'B' devono incontrarsi in un punto M di r che è polo di m e quindi è dimostrato il teorema a destra Si possono ora risolvere i due problemi seguenti: Costruirle la polare di un Costruire il polo di una punto R non situato in 0. retta r non tangente a 0.

16 219 Condotte da R due secanti A A', BB' alla conica, per i punti AB.A'B', AB'. В A' passa la polare r del punto R. Oppure : con- ^ dotte tre secanti AA\ BB', CC', i punti A В'. В A', ВС'. С В' stanno su r. Per determinare il polo di r si opera così. Si costruiscono nel modo precedente le polari m, n di due punti distinti, arbitrari, M, N di r ; il punto comune ad m e и è il polo della retta r. Si abbreviano le costruzioni prendendo, quando è possibile, come punto N il punto comune ad m e r, poiché in tal caso basta individuare un punto solo di n con le due secanti (come nella figura), essendo già M un altro punto di n. Giova ricordare, come risulta dalla definizione di polo e polare e dalle note proprietà degli elementi uniti di una involuzione di STEINER, che : Se R è punto esterno a 0, la polare di R taglia 0 nei due punti di contatto delle tangenti condotte da R a 0. Si può approfittare di questa proprietà per : condurre le tangenti a 0 dal punto comune a due rette r, s che si tagliano oltre г limiti del foglio del disegno. Basta costruire i poli R, S delle due rette r, s. La retta RS è la polare del punto rs e quindi taglia 0 nei due punti di contatto XY. Congiunti X e Y con rs (n 227) si hanno le due tangenti cercate. Infine si osservi che, per ragioni di simmetria, il polo di una retta r rispetto ad una circonferenza 0 sta sulla normale condotta dal centro di 0 alla retta v. Le costruzioni ora indicate si fanno facilmente quando si abbiano gli elementi sufficienti per costruire 0 per punti, al qual caso possiamo sempre ridurci comunque sia data. Il lettore, può, per esercizio, costruire il polo di una retta, la polare di un punto come congiungente i pòli di due rette uscenti dal punto, nel caso che 0 sia data in modo da poter essere co-

17 220 struita per tangenti. Tali costruzioni corrispondono per dualità a quelle ora fatte Avremo anche bisogno, in seguito, di far uso dei teoremi seguenti : a) Se R non sta sulla conica e A, A' sono due 'punti distinti qualunque di 0 allineati con Ä, allora A, Ä Separano armonicamente il punto R e il punto d'incontro di A A' con la polare di R. Viceversa la polare di R è caratterizzata da questa proprietà armonica. DIM. Si consideri la figura della dim. del teorema del n 263 e sia К il punto comune ad r e A A' e K' il punto su r e BB'. La successione BKAA? proiettata da Ж о da Я sulla retta BB dà le due successioni BK'BB', BK' B'B che, differendo per lo scambio dei due ultimi elementi ed avendo egual birapporto, danno rapp (B, K, A, A') = 1. Inoltre osservando che il coniugato armonico di В rispetto ad A e A' è univocamente determinato e deve esser K, risulta anche il teorema inverso. b) Se 6 è Voperatore che Se è l'operatore che ad ad una retta p qualunque u- un punto P qualunque della scent e dal punto R fa corri retta r fa corrispondere il spàndere la retta Qp che con- punto QP intersezione di r con giunge R col polo di p rispello la polare di P rispetto alla coatta conica 0, 0 è una into nica 0, 0 è una involuzione; luzione ; parabolica, quando R parabolica quando r è lansta in 0 ; iperbolica quando gente ad; iperbolica quando r da R si possono condurre due taglia in due punti distinti 0, tangenti a 0, tangenti che sono punti che sono appunto gli eieappunto gli elementi uniti di 0. menti uniti di 0. Questi teoremi possono enunciarsi più brevemente con le seguenti convenzioni. Se p, q sono rette uscenti da r, si dirà che q è la coniugata di p rispetto alla conica 0 quando q passa per il polo di p. Se ciò si verifica, anche p passa per il polo di q e si può dire che : p, q sono rette coniugate rispetto a 0 uscenti da R. Analogamente i punti P, Q della retta r sono coniugati rispetto a 0 quando la polare dell'uno passa per l'altro. Ciò posto, i due teoremi precedenti si enunciano così:

18 Due rette coniugate, rispetto alla conica 0, uscenti da un punto R, sì corrispondono in una involuzione che ha per elementi uniti le tangenti condotte da R a Bue punti coniugati, rispetto alla conica 0, giacenti in una retta r, si corrispondono in una involuzione che ha per elementi uniti i punti comuni ad r e a 0. DIM. Il teorema è evidente quando В è in 0, ovvero r è tangente a 0, perchè в è involuzione parabolica, cioè degenere. Il punto В non sia situato in 0 e sia r la sua polare. S'issato P in r, A in 0 e costruiti A', B, B' come nella figura, si ha QP in r comune ad AB' e BA'. Analogamente fissato Q in r si ottiene QQ con С e С Oppure, fissate le rette p, q uscenti da r, si determinano Qp e Qq. Ai punti В, С di 0 corrispondono, nell'involuzione di centro B, i punti Б', C'. In conseguenza proiettando da A su r i punti B. B', C, С e segando con r si ottengono le coppie P, QP e &Q, Q che si corrispondono in una involuzione, e. d. d. L'involuzione Э si chiama involuzione delle RETTE CONIUGATE uscenti da R, ovvero, involuzione dei PUNTI CONIUGATI sulla retta r. Risulta dalla dimostrazione dei teoremi precedenti che: Proiettando dal polo R della retta r l'involuzione dei punti coniugati in r, si ottiene l'involuzione delle rette coniugate uscenti da R. Segando con la polare r del punto R l'involuzione delle rette coniugate uscenti da R y si ottiene l'involuzione dei punti coniugati sulla retta r. Talvolta in luogo della parola CONIUGATO si fa uso della parola RECIPROCO. Noi preferiamo la prima perche usata, nell'identico significato, per i diametri di una conica.

19 Centro e diametri. Si chiama CENTRO di una conica propria il polo, rispetto ad essa, della retta alvinflnito del suo piano. Le ellissi e le iperboli sono le coniche a centro proprio) il centro di una parabola è il suo punto alvinflnito. Applicando la costruzione del n 264 a due punti distinti all'infinito, si ottiene il centro della conica ; per la parabola basta trovare la polare di un solo punto all'infinito diverso dal centro della parabola Si chiamano DIAMETRI della conica propria 0 le rette uscenti dal centro di 0. I diametri di una ellisse о iperbole sono tutti rette a punti propri. Una parabola ha infiniti diametri a punti propri, tutti paralleli fra loro (direzione comune il punto all'infinito della parabola) e uno improprio che è la tangente nel punto all'infinito. Gli assintoti di un'iperbole passano per il suo centro e sono quindi due diametri. Ogni diametro m di una conica propria 0 è la polare di un determinato punto all'infinito M che chiamasi DIREZIONE CONIU GATA AL DIAMETRO Ш. Viceversa un punto M all'infinito ha per polare un diametro di 0 che chiamasi DIAMETRO CONIUGATO ALLA DIREZIONE M. Le note costruzioni della polare di un punto, о del polo di una retta, applicate ad un punto all'infinito о a un diametro, danno il diametro coniugato ad una direzione о la direzione coniugata ad un diametro. Ma si può far uso anche delle proprietà seguenti che derivano facilmente da note proprietà dei poli e polari. Un diametro, non assintoio, taglia per metà le corde parallele alla sua direzione coniugata. Viceversa : le corde parallele ad una direzione non appartenente alla conica, sono bisecate dal diametro coniugato ad esse. In altri termini : Un diametro, non assintoto, è asse di simmetria della conica rispetto alla sua direzione coniugata. Segue che : una conica a centro proprio è la simmetrica di sé stessa rispetto al suo centro. Ciò giustifica le denominazioni centro, diametro. II diametro uscente da un punto P della conica è il diametro coniugato alla direzione della tangente in P (se P è all'infinito, il diametro considerato è un assintoto). Segue che : se nei punti P, Q della conica le tangenti sono parallele, la

20 retta PQ è il diametro Coniugato alla direzione comune delle due tangenti Involuzione dei diametri coniugati. Il diametro che passa per il polo del diametro m chiamasi DIAMETRO CON IUGATO di m. E chiaro che se n è il diametro coniugato di m, anche m è il diametro coniugato di n; il che si esprime dicendo che m e n SOnO DIAMETRI CONIUGATI. Risulta subito dal n 265 che : i diametri coniugati formano Vinvoluzione delle rette coniugate uscenti dal centro della conica. Per Y iperbole tale involuzione è iperbolica e le rette unite sono gli assintoti ; per la parabola è parabolica e la retta unita è la retta all'infinito; per Y ellisse è ellittica. Per la determinazione dell'involuzione dei diametri coniugati si applica utilmente il teorema seguente : Se un parallelogramma è circoscritto ad una conica (necessariamente a centro proprio), le sue diagonali sono due diametri coniugati. О sotto altra forma: Se un diametro taglia la conica in due punti propri, le congiungenti questi punti con un punto qualunque della conica sono parallele a due diametri coniugati. Dm. Sia AB CD il parallelogrammo circoscritto e P, Q, B, S i punti di contatto dei lati. Le tangenti in P e E sono parallele e quindi (n 267) PB, e anche SQ per la stessa ragione, è un diametro. Le rette PB, ÇS si tagliano nel centro О della conica e PC BS è un parallelogrammo inscritto nella conica. Applicando il teorema di BRIANCHON al quadrilatero inscritto PBQS risulta che le rette AC, BD passano per О e sono parallele a PQ, PS. Dalla costruzione della polare di un punto all'infinito risulta subito che AC e BD sono le polari dei punti all'infinito di BD e AC, cioè sono due diametri coniugati, e. d. d Assi. Un diametro, proprio, NORMALE alla sua direzione coniugata chiamasi ASSE. La parabola ha un solo asse. Per costruirlo basta ottenere un diametro proprio m e una corda AB normale ad m. La parallela condotta dal punto medio di AB ad m è l'asse della parabola.

21 - 224 L'ellisse e l'iperbole hanno ciascuna due assi che sono gli elementi ortogonali della involuzione dei diametri coniugati. Facendo uso del teorema dato alla fine del n 268 si possono : costruire gli assi di una conica, a centro proprio, già completamente disegnata. Su di un diametro trasverso MN si tracci una mezza circonferenza e sia P il punto nel quale incontra la conica ; gli assi sono paralleli alle rette PM, PN Estremi dei diametri. Un diametro m di una conica Э dicesi TRASVERSO о NON TRASVERSO secondochè taglia о no la conica. Ogni punto comune alla conica 0 e a un suo asse chiamasi VERTICE. ƒ diametri dell'ellisse e della parabola sono tutti trasversi; quelli dell'iperbole sono parte trasversi e parte non trasversi e i due gruppi riempiono le regioni opposte determinate dagli assintoti (quindi, di due diametri coniugati dell'iperbole, uno è trasverso e l'altro no). Sia m un diametro proprio di 0 e \ l'involuzione dei punti coniugati sulla retta m. Se 0 è ellisse о parabola, i punti uniti di X sono le intersezioni di m con 0, cioè sono gli estremi di m. Se 0 è iperbole, X è involuzione iperbolica, parabolica о ellittica, secondochè m è diametro trasverso, о assintoto, о diametro non trasverso. In quest'ultimo caso si chiamano ESTREMI DI m i due punti corrispondenti rispetto a X ed equidistanti dal centro di 0. Per l'iperbole è molto importante il teorema seguente : II parallelogramma che ha per punti medi dei suoi lati gli estremi di due diametri coniugati dell'iperbole, ha per diagonali gli assintoti dell'iperbole. DIM. Siano A. A' gli estremi del diametro trasverso e B, B' gli estremi del diametro non trasverso. Le polari di A e A' sono le parallele a, a' condotte da A e A' alla retta BB' ; le polari di В e B' sono le parallele b, h' condotte da B' e В alla retta AA'. Il parallelogrammo ab a'b' è appunto quello che ha per punti medi dei lati gli estremi dei due diametri coniugati ; le sue diagonali sono parallele ai lati del parallelogramma AB' A'B. Ma i punti ab', ha' di una diagonale sono i poli delle rette, parallele alla diagonale stessa, AB', В A' e quindi tale diagonale è un assintoto, e. d. d. Al teorema ora dimostrato si può anche dare la forma seguente : Se P è un punto proprio di una iperbole di centro 0

22 225 e M è il punto d'incontro della tangente in P con un assintoto, allora il diametro coniugato ad OP è parallelo a PM e la sua semi lunghezza è la distanza di P da M. In altri termini: 0 = 0 -f- (M P) è un estremo del diametro coniugato ad OP. Giova poi notare che : gli assi di una iperbole sono le bisettrici degli assintoti, perchè gli elementi coniugati separano armonicamente gli elementi uniti della involuzione. Dalla costruzione degli assintoti mediante due diametri coniugati e i loro estremi segue che : se una iperbole ha due diametri coniugati di egual lunghezza, allora gli assintoti sono ortogonali e due diametri coniugali qualunque sono pure di egual lunghezza. In tal caso l'iperbole dicesi EQUILATERA Equazioni cartesiane ridotte delle coniche. a) Sia 0 una conica; A un suo punto proprio; i vettori unitari 7, J siano, rispettivamente, paralleli ad diametro uscente da A, alla tangente in A (I e J sono direzioni coniugate). L'equazione cartesiana di 0 rispetto al sistema A, I, J è [1] y 2 = 2px + mx 2 ove m è numero, MINORE, MAGGIORE О EGUALE a ZERO secondochè 0 è ELLISSE, IPERBOLE О PARABOLA. DIM. L'equazione cartesiana di 0 deve, come è noto, essere di 2 grado in x, y. La retta 01 è un diametro, e quindi 0 è in simmetria rispetto ad 01 nella direzione J (coniugata ad I) e quindi alla equazione [1] devono mancare i termini in xy, у che cambiano di segno col cambiare di у in y. Dunque la forma [1] è l'unica che compete all'equazione di 0 rispetto al sistema A, I, J. La forma di l a specie Q = ZA-\-XI+YJ abbia, per /f=#=0, la stessa posizione del punto generico proprio P di 0, La (1) diviene [1'] Г 2 == 2pXZ + wl! e per Z = 0 si ottengono i punti all'infinito di 0. Ora per Z = 0 la [l^ dà Y 2 = wx 2 che per m > 0 dà, rispettivamente, 0, 2,1 soluzioni, per YjX, vale a dire 0 è ellisse, iperbole о parabola. С BURALI-FORTI, Geometria anal. 15

23 226 - Ь) Sia 0 una conica a centro proprio 0 ; I, J vettori unitari paralleli a due diametri convi/iali; a, b le lunghezze dei semidiametri giacenti sulle rette 01, OJ. L'equazione cartesiana, rispetto al sistema 0, /, J di 0, è: L41 a2 -г -\-У^ъ% i 1 о о ^- a2 ъ2 = 1 \ secondochè 0 è ellisse о iperbole (01 diametro trasverso). DIM. Essendo 0 simmetrica rispetto alle rette 01, OJ (tra loro coniugate) l'equazione di 0 deve avere la forma [2] poiché devono mancare i termini in x, y, xy. Che la forma sia effettivamente la [2] risulta esaminando quali valori assume x о у per у = О о x = 0. Giova osservare che alle [2] si può dare la forma parametrica i^x = a cosqp i oc = + a coshqp \ y = Ь senq) } у = + Ь senhcp e quindi le coniche proprie definite nel n 245 sono precisamente quelle già studiate nei w H4-i25. Da tali equazioni paramediche dell'ellisse e iperbole risultano subito queste proprietà metriche dei diametri coniugati. Per Venisse la somma e per l'iperbole la differenza dei quadrati di due diametri coniugati è costante. È costante l'area del parallelogrammo costruito con due diametri coniugati di una ellisse о iperbole. DIM. Il punto descriva l'ellisse considerata. Essendo P = О -\- a сощ! -f- Ь sencp J dp = a sen<pj-f- Ь cosqpj = a cos I -^- + ф) I-\- Ъ sen I -f- ф) J ; dcp dp i punti P, О -\- -= sono estremi di due diametri coniugati. Ora si ha (P-Of + i^ ( р - )-^-= й6 СОвф вепф Э \2 - = «* + &* * en<p \lj=abij, с. d.d. СОЭф I Analogamente per l'iperbole con le funzioni iperboliche.

24 227 Se a, b sono le lunghezze di due semi diametri coniugati formanti angolo 0 e X, Г le lunghezze dei semi diametri coniugati formanti angolo 0', si deve avere X*+Y 2 = a 2 + b\ XY^= ^8^6 sene' dalle quali si ricava X e Y. In particolare per 0' = - - si hanno Ci i semi assi. (Vedi n 272 per la costruzione grafica) Alcuni problemi pratici. a) Di una conica, data in modo da poter essere costruita per punti о per tangenti, costruirne il centro, l'involuzione dei diametri coniugati, gli assi, ecc. Comunque sia data la conica ci possiamo sempre ridurre al caso seguente : Sono dati tre punti S, S', A e le tangenti in S e S'. Sia X la proiettività tra i due fasci di centri S e S', mediante la quale si costruisce la conica 0 per punti ; il cent\ è il punto comune alle tangenti date, in S e S'. Per S' si conduca il raggio Kb parallelo ad a = rettasi e si costruisca b ; sia В comune a b e \b, SA e S'B sono due corde parallele ; la congiungente i loro punti medi è un diametro m. Mediante la retta с uscente da S e parallela a \a si costruisce, in modo analogo, un altro diametro и e il punto mn è il centro О di 0. Ai diametri OS, OS' sono coniugati i diametri condotti per Ö parallelamente alle tangenti in S e S' ; quindi è determinata l'involuzione dei diametri coniugati dalla quale risultano gli assi e gli assintoti, se esistono. Il lettore esamini i casi particolari ; О all'infinito, le tangenti in S e S' parallele, ecc., nei quali le costruzioni precedenti si semplificano. b) Costruire una ellisse, e determinarne gli assi, essendone dati due diametri coniugati con i loro estremi. Siano A, A' e В, B' gli estremi dei due diametri coniugati. La costruzione per punti si fa con la solita proiettività tra due fasci osservando che, ad es., le tangenti in A e A' sono parallele a BB' e che al raggio AB corrisponde il raggio A'B, I diametri paralleli alle due corde BA, ВA' sono coniugati. È quindi de-

25 228 terminata l'involuzione dei diametri coniugati, i cui elementi uniti (costruzione di Steiner) sono gli assi h, l\ Gli estremi dell'asse h si ottengono facilmente come elementi uniti della involuzione в dei punti coniugati in h. Si ha lime = O, essendo О il centro dell'ellisse. Si determini il punto QH corrispondente del punto H comune ad he alla retta В A 1 '; esso è il piede della perpendicolare condotta alla retta h dal punto M comune alle tangenti in В ed A', perchè M è polo della retta В A' e per il punto all'infinito di к (normale ad h) passa la polare di H. La posizione e grandezza degli assi si ottiene più facilmente con la seguente costruzione (di Chasles). Da В si tiri la normale ad OA e su di questa si prendano i punti M, N in modo che BM = BN= О A. Le bisettrici dell'angolo NOM sono le rette sulle quali stanno gli assi; i segmenti ОМ, ON sono rispettivamente la somma e la differenza dei semiassi OA i7 OB i. Dm. Se a, Ь sono le lunghezze dei semi-assi e I, il le loro direzioni, si ha ma, per costruzione, e in conseguenza fili В = О -{-a cos<pi-j- Ь sencpit, A = О -^ ; utp M=B + i(a 0), N=>B ì{a 0) M О = (a + Ь) [cosq>j + sentp il], N 0={а Ъ) [costpl senqp il] dalle quali risulta

26 mod (M О) = а + Ъ, mod (N О) = а Ь М-О, N^ = 2 cosqpi а -\- Ъ ' а 6 che dimostrano quanto abbiamo affermato. a) Costruire una iperbole, e determinare gli assintoti e gli assi, essendone dati due diametri coniugati con i loro estremi. Siano 4, A' gli estremi del diametro trasverso e В, B' del diametro ad esso coniugato. Mediante il parallelogramma che h& A, A', B, B f per punti medi dei lati si hanno gli assintoti m, n e quindi si ha una semplice costruzione per punti. Le bisettrici delle rette m, n sono gli assi /г, к. Gli estremi dell'asse trasverso (e sia li) si possono ottenere con l'involuzione 0 come si è fatto in a) per l'ellisse, ma è più semplice la costruzione seguente. La tangente in A incontri gli assintoti in M e iv; si costruisca il segmento medio proporzionale tra OM e ON e si riporti in OH su m. La perpendicolare HA i condotta da Я ad Л dà la grandezza del semi asse non trasverso (HAJ e quella del semi asse trasverso (ОЛ А ). DIM. Infatti l'area del triangolo ONM è costante. d) Costruire una parabola della quale è noto un diametro m col suo estremo proprio M e ima corda AB parallela alla direzione coniugata ad m.

27 230 Il punto medio tra A e В deve stare sulla retta m. La tangente in M è parallela ad A В e quindi della parabola si conoscono i punti A, By M, il punto all'infinito di m e le tangenti in questi due ultimi punti. Conviene prendere come centri dei due fasci proiettivi, Л e il punto all'infinito M' di m. Determinata la corda per A normale ad m si ha subito l'asse e di questo il punto proprio nella parabola. 4. Fuochi e direttrici Proprietà fondamentali. Nel piano è data una retta propria ƒ e un punto proprio F non situato in ƒ. La perpendicolare condotta da F ad ƒ taglia f nel punto D. Si pone [1] mod(f D)=m, l=*'~ D. Essendo P un punto qualunque del piano si indichi con r la distanza di P da F e con d la distanza di P dalla retta f. Il luogo dei punti P per i quali [2] -j = e = cost, non nulla è una linea che indicheremo con Ф (F, f, e), o 7 brevemente, con Ф. Si dirà che F è un FUOCO della linea Ф e che ƒ ne è la DIRETTRICE corrispondente. La retta FD chiamasi ASSE FO CALE di Ф e il numero e chiamasi ECCENTRICITÀ di Ф. Dalla [1] risulta subito che : la linea Ф è in simmetria ortogonale rispetto al suo asse focale. Sulla perpendicolare condotta da F all'asse focale esistono certo due punti M, M x di Ф che distano di?ne da F. Si pone [3] p = m'e e 2p è chiamato parametro di Ф. La linea Ф taglia l'asse focale tra F e D in un punto A che è baricentro dei punti F e D con le masse rispettive 1, e; vale" a dire si ha F+ l> Л 1+6 *

28 23i Per e =4=1 la linea Ф taglia l'asse focale anche in un altro punto Л' per il quale, evidentemente, Л F ejj 1-е Invece per e=l la linea Ф taglia l'asse focale nel punto A, medio tra F e D e nel punto all'infinito. In ogni caso A e A' sono coniugati armonici tra F e D. Se ф è l'angolo che P F fa con I y allora [5] r = T- T, L J 1 -^ COSCD 7 perchè d = m-\- г созф che combinata con le [2] e [3] dà la [5] Esaminiamo ora per la via più semplice le proprietà fondamentali della linea Ф : a) La linea Ф è una CONICA : per e < 1 ELLISSE; per e > t IPERBOLE ; per 6=1 PARABOLA. DIM. Dalla [2] si ha r 2 = e 2^2, ovvero (P Ff = a [(D P) X I] 2 che, per essere di secondo grado in P, dimostra che Ф è una conica. * Dalla [5 ] risulta che per <C 1 il numero 1 cosqp è sempre non nullo : cioè Ф non ha punti all'infinito. Per e > 1 il numero 1 e cosqp si annulla per due direzioni di P F simmetriche rispetto all'asse focale e quindi Ф ha due punti all'infinito. Per e = 1 il numero 1 e cosqp si annulla soltanto nella direzione dell'asse focale e quindi Ф ha un solo punto all'infinito.

29 - 232 ^ h) La normale alla linea Ф nel punto P (diverso da A e Ä nei quali, per la simmetria, la normale è l'asse focale) si può costruire così. Si prenda PU sulla PF nel verso da P ad F e di lunghezza d; indi UT parallela all'asse focale nel verso da D ad F e di lunghezza r. La retta PTèia normale a Ф nel punto P. Dm. La normale in P è parallela al vettore grad ~=-^- [rfgradr-rgracw] = i[(.p- U)-(T- TJ)] = -i <*-*"> che dimostra quanto abbiamo affermato. c) La tangente alla linea Ф nel punto P (diverso da A e A' nei quali è normale aitasse focale) si può costruire così. La normale condotta da F ad FP tagli la direttrice f nel punto H. La retta PH è la tangente a Ф in P. Dm. La circonferenza di diametro HP passa per F e per B, piede della distanza d in f (vedi figura). I triangoli PFB f UTP sono uguali, perchè hanno uguali gli angoli in P ed U (alterni) ed uguali i lati che li comprendono; dunque, nei due triangoli, gli angoli in В e P sono pure uguali. In conseguenza, tenuto conto della circonferenza che passa per H, P, F, B, si ha che l'angolo TP H è retto; e poiché (b) PT è la normale in P alla linea Ф, PH ne è la tangente, e. d. d. d) La direttrice f è la polare del fuoco F. Le rette reciproche (o coniugate) uscenti dal fuoco F formano una involuzione circolare. Dm. La tangente in M (с) passa per D ; dunque D è il polo di MF. Ma la polare di F (che è un punto di un asse di Ф) deve essere parallela ad f e quindi ƒ è la polare di F. Essendo f la polare di F risulta che FP, FM e FP, FH sono due coppie di rette reciproche ; ma esse sono ortogonali e quindi l'involuzione considerata è circolare. e) Se la normale alla linea Ф in P taglia l'asse focale nel punto N si ha FN'= er e la proiezione К di N su FP dista da P del semi parametro, cioè PK = p.

30 233 Dai triangoli simili PUT, PFN si ricava subito FN=er. dalla [5] si ha PK=p. Da questo e f) Per e 4= 1 esistono due fuochi F, F' di Ф sull'asse focale, simmetrici rispetto al centro 0 di Ф, e se si pone si ha AA' = 2a OF = ea, ()D =. Per e 1 si ha un solo fuoco proprio, il punto F, ed A è medio tra D ed F. DIM. Per e =4= 1 esistono certamente i due fuochi per ragioni di simmetria. Per = 1 si ha come fuoco proprio il solo punto F, poiché la parabola ha una sola simmetria ortogonale. Essendo (in ogni caso) f la polare di F si ha che, per =f= 1, i punti F, D separano armonicamente A ed A' e quindi a 2 =ÜF. Ш e in conseguenza esiste un numero li tale che OF = ha, 0D=^. Ma A è punto di Ф che dista da Fe da D rispettivamente di e si ha quindi per la [2] ± (a ha), ± (~ a\ a-ah ^ Qp ai Qp ± c d d 6=а8-_? = Ä, cioè OF = ea, ОП =, с. d. d. a a h Che per =1, A è medio tra D ed F è evidente. g) Se Ф è ellissey allora: A A' ne è Vasse maggiore; i fuochi F 9 F' disiano dagli estremi dell'asse minore di una lunghezza eguale al semi-asse maggiore: essendo Ъ la lunghezza del semi-asse minore, si ha Va 2 b 2 e =. a

31 234 DIM. Se В è un estremo dell'asse normale ad AA f allora В è un punto di Ф che dista dalla direttrice di ; e poiché per la [2] si ha BF = risulta subito BF=a ed inconseguenza anche a^b. Ma (ƒ) deve essere OF=ea= yv b* l/' a 2 2 da cui risulta = - a e anche a>& perchè =f=0. h) Se Ф è iperbole, allora: A A' ne è Г asse trasverso; i punti F, F r distano 'dal centro di quanto dista un estremo detrasse trasverso da un estremo dell'asse non trasverso; essendo b la lunghezza del semi-asse non trasverso, si ha Va* + b* DIM. Sia О il centro dell'iperbole e B } B' gli estremi dell'asse non trasverso. La polare di В (che è la retta uscente da B' в, e parallela all'asse focale), e la retta coniugata di FB x v (che è la perpendicolare condotta da F ad FB) si v i. devono incontrare in un punto Q della direttrice (perchè è la polare di F). Costruito Q, il piede della о DÌ V/7~ perpendicolare condotta da Q all'asse focale è il i / punto D. 1 / Dai due triangoli rettangoli BFQ, BB'Q si ha l " via- ovvero, per valori già noti, BF 2 + FQ*=BB' 2 -{-B'Q 2 P» + (Mf] («- ± J j = (26)" + (j-j da cui riducendo risulta 2 _ д* +Ъ* 6 ~~ a* e in conseguenza ÖF* = {mf = «2 + Ъ\ с. d. d.

32 235 ij Ogni conica propria, che non è una circonferenza, è riduttibile, e in un sol modo, ad una linea Ф. Ciò risulta immediatamente da f), g), h). La circonferenza si può ottenere dalle linee Ф come caso limite. Lasciando fìsso F si faccia allontanare f, cioè tendere m all'infinito, e contemporaneamente tendere e a zero, in modo che il limite di me=p siafinito.allora dalla [5] risulta r=p:=cost., cioè Ф è, al limite, una circonferenza di centro F e raggio p. Si può dire che : la circonferenza ha due fuochi che vengono a coincidere col centro ; la direttrice è la retta all'infinito (precisamente la polare del centro) ; ecc Alcune proprietà metriche. Nella ellisse la somma e nella iperbole la differenza delle distanze di un punto della conica dai due fuochi è costante e vale l'asse focale. DIM. Sia P il punto della conica, r e d le distanze di P dal fuoco F e dalla sua polare f, e r,, d x le distanze di P dall'altro fuoco F x e dalla sua polare /i. È evidente che d + di = 205 = 2 secondo che si considera l'ellisse о l'iperbole: ma e quindi d = d = 1 e e r + r x = 2a, e. d. d. Viceversa. Il luogo dei punti per г quali è costante la somma о la differenza delle distanze da due punti fissi, propri e distinti F, Ft, è una ellisse о una iperbole che ha i punti F, F d per fuochi. Se F = Ft si ha una circonferenza di centro F о il luogo si riduce al punto F. Dm. Se r, r x sono le distanze di P da F ed F ìf allora, per i teoremi drecedenti, esiste una ellisse о iperbole Ф (ovvero circonferenza о punto per F=F X ) per i cui punti P si ha r -\- r, = 2a, r Ì\ = + 2r/ con a costante. La linea Ф divide evidentemente il piano in due regioni: una peri cui punti P la lunghezza r-\-r t, ovvero il valore assoluto di r r lf

33 236 è maggiore di 2a, l'altra nella quale la stessa lunghezza è minore di 2a. In conseguenza Ф è l'unica linea i cui punti soddisfano alla condizione r + r t = cost., с. d. d La tangente e la normale in un punto P di una ellisse о iperbole, sono le bisettrici degli angoli formati dai raggi focali uscenti da P. La tangente e la normale in un punto P di una parabola, sono le bisettrici degli angoli formati dal raggio focale uscente da P e dalla parallela condotta da P all'asse focale. DJM. Per l'ellisse о iperbole e per la parabola si ha r+r = 2a, -j 1 e quindi la direzione della normale in P è quella del vettore grad (r ± r t ) = gradr + gradr t, grad - - = -- (gradr gradd) ; ma gradr, grad/* t, gradd sono vettori unitari e quindi il teorema è dimostrato. Viceversa. Se la tangente e la normale in qualsiasi punto P di una linea piana Ф, sono le bisettrici degli angoli formati dalle rette che vanno da P a due punti fissi F, F i del piano (F proprio e F ì proprio о all'infinito), allora: per F e F i propri, Ф è una ellisse о iperbole che ha F e F { per fuochi; per F i all'infinito, è una parabola che ha F per fuoco e FF t per asse focale. DIM. Se F x è proprio, allora, stando le notazioni precedenti, la normale in P ha la direzione del vettore : gradr + gradfj = grad (r + r t ) e quindi deve essere r Hh r t = cost., cioè Ф (n 275) è una ellisse о iperbole. 8e F x è all'infinito e d ì è la distanza di P da una retta normale ad FF t e scelta ad arbitrio, allora la direzione della normale in P è gradr + gradd, = grad (r + а л ) e quindi deve essere r + d t = d 0 = cost., cioè r = d 0 H- d x ;

34 237 ma ^ + rfj è la distanza di P da una retta fissa normale ad FF i e quindi la linea Ф è una parabola, ecc.. e. d. d La podaria di una ellisse о iperbole rispetto ad uno qualunque dei due fuochi è la circonferenza che ha per diametro l'asse maggiore о trasverso. La podaria di una parabola rispetto al suo fuoco è la tangente nel vertice. DIM. Sia P un punto dell'ellisse о iperbole e si prenda Q in FP in modo che FQ sia somma о differenza (2a) dei raggi focali. Se Ж è medio tra F i e Q, allora (n 276) PM è la tangente in P alla conica; e poiché PM è normale ad F % Q (poiché il triangolo PF^Q è isoscele) M descrive la podaria della conica rispetto ad F x. Essendo О medio tra F e F ì segue che OM=a e quindi M sta sulla circonferenza, ecc., e. d.d. Per la parabola, vedi n 124 (*) Alcuni problemi pratici. a) Una conica 0 è data in modo da poter essere costruita per punti о per tangenti ; trovarne i fuochi, le direttrici, ecc. 1 0 è parabola. Se ne determini l'asse, il vertice A e un punto f. Costruita la tangente in P (ad es., col triangolo i cui vertici sono A, P, il punto all'infinito dell'asse) si trovi il punto Q nel quale essa incontra la tangente nel vertice.- La perpendicolare condotta da Q alla tangente in P taglia l'asse sul fuoco F. Per D simmetrico di F rispetto ad A passa la direttrice, ecc. 2 0 è ellisse о iperbole. Si costruiscano gli estremi A, A', B, B r degli assi e siano A, A' gli estremi dell'asse focale; sono così note le distanze di F e F x da В (ellisse) о da О (iperbole). I punti D, U ì si ottengono ricordando che OF e OB hanno О A per media geometrica; о più semplicemente costruendo il polo della retta AB, polo che deve stare sulla direttrice. b) Costruire per punti e per tangenti una conica 0 della anale è dato un fuoco F, la direttrice corrispondente f e un punto proprio P. 1 Se P equidista da F e da f, allora 0 è una parabola e si costruisce come è stato indicato nel n 124 : (*) L'antipodaria di una circonferenza rispetto ad un suo punto interno о esterno, è una ellisse che ha quel punto per uno dei suol fuochi, per centro il centro della circonferenza e per asse maggiore о trasverso il diametro della circonferenza. L'antipodaria di una retta rispetto ad un punto posto fuori della retta è una parabola che ha quel punto per fuoco e quella retta per tangente nel vertice.

35 238 2 Le distanze r, d di P da F e /' non siano eguali ; allora 0 è un ellisse (r < d) о una iperbole (r > d). I vertici -4, A f sull'asse focale sono i baricentri delle forme di l a specie ri)-hdf che si possono ottenere, come nella figura, mediante i punti itf, N, H (DM = DN= d, FH=r). ^ Resta determinato 0, centro di 0, medio tra A - ei', indi F x e /j simmetrici di F e f rispetto ad 0. I vertici B, B' dell'asse non focale si ottengono con la costruzione inversa della a). e) Costruire per punti о per tangenti una f" conica 0, della quale è dato un fuoco F, la direttrice corrispondente fé, о il parametro 2p relativo aìvasse focale, о Veccentricità e. Se i dati sono F, f, p, allora i punti P, P A della parallela ad /condotta da F e distante p da F appartengono a 0 e siamo ridotti al problema b). Si noti che le rette DP, DP { sono le tangenti in P e P, a 0 perchè PP X è la polare di D. Se i dati sono F, f,, allora fissato, entro limiti convenienti, d e costruito r = ed si ottengono due punti di 0 e siamo ridotti al problema b). d) Costruire per punti e per tangenti una cmiica Q? della quale è dato un fuoco F, un punto proprio P non situato aìvasse focale, Г asse focale e il parametro 2p relativo all'asse focale. Su PF si prenda, da P verso F, PM = p. La normale condotta da M alla retta PF tagli l'asse focale nel punto N. La retta PN è la normale in P a 0. La tangente in P (perpendicolare a PN) e la perpendicolare condotta da F ad FP si incontrino in H ; la perpendicolare condotta da H all'asse focale è la direttrice f relativa al fuoco F. Siamo così ridotti v/> al problema b). e) Condurre da un punto M le tangenti ad f una conica 0 e trovare i punti di contatto, quando di 0 si conosca un fuoco F, Vasse focale e la podaria relativa ai fuochi. La circonferenza avente MF per diametro tagli la podaria nei punti X, Y. Le rette MX, MY sono le tangenti cercate. I punti di contatto si trovano come è stato indicato per le antipodarie (n 113).

36 Costruzione di una conica data mediante la sua equazione generale cartesiana Proprietà fondamentali. Siano 0, I, / gli elementi di riferimento di un sistema cartesiano in un piano dato. I punti P = 0 + xi + yj le cui coordinate x, y soddisfano alla equazione generale del 2 ordine [1] ƒ (a?, y) = ax 2 + 2hccy + by 2 + 2cœ + 2dy-\-e = 0 possono : о non esistere, о ridursi ad un solo punto, о essere in numero infinito ; e in quest'ultimo caso sono situati in una conica propria о impropria. Vogliamo ora vedere come dalla [1] si possa ricavare quale dei tre casi considerati si verifica e, nell'ultimo caso, vedere come si possano ricavare dalla [1] elementi grafici sufficienti per la rapida costruzione della conica ; questione talvolta interessante in pratica. Per non escludere a priori i punti all'infinito, diamo a Pia forma P = zo + xi-\-yj, che per z = 1 dà un punto e per z = 0 un vettore. La [1] assume la forma omogenea [1'] f{x, y, z) ax 2 + 2hxy -h by 2 + 2cxz + 2dyz + ez 2 = 0. Poniamo [2] Д = a h с h b d e d e cioè indichiamo con Л il determinante formato con i coefficienti delle semi-derivate parziali di p rispetto ad x, y, z,

37 jï = aa! + f, V + C * [3] l^jt^hœ + bv + dz ( 4" = + «* + «- a) Se f è decomponibile in un prodotto di due fattori lineari omogenei in x, y> z (reali о immaginari), allora Д = 0. DIM. Basta porre ƒ= (ax -f- &y -\- Y#) (a'x -\- Vy + y'z)> sviluppare e formare Д per avere subito Д =» 0. Se A=#0 e il luogo di equazione f=0 una CONICA PROPRIA che è : una ELLISSE per h % ab < 0» IPERBOLE» h 2 ab > 0» PARABOLA» h 2 ab 0. esiste, allora esso è DIM. Essendo A =4=0, il luogo f=q non può (per il teor. precedente) rappresentare un punto о due rette о una retta. La ƒ= 0 ammettendo infinite soluzioni, e cinque di queste determinando i coefficienti di f, f^= 0 è l'equazione di una conica propria. I punti all'infinito del luogo ƒ= 0 sono le posizioni dei vettori xl-\~yj, le cui coordinate soddisfano alla ƒ=<), nella quale si ponga z = 0, cioè ax 2 -\- 2hxy -J- Ъу 2 = 0 che ha 0, 2, 1 radici per secondochè Л 8 ah >.<0. In generale si dirà che : la funzione f è iellittico ( (h 2 аъ< ab<0 del tipo < iperbolico secondochè Л 2 ab > О \ parabolico П г ab=0. iperbolico secondochè )h 2 ab > 0 Il tipo di f si riconosce parabolico dalla parte di f omogenea \ h l ab=0. e di 2 grado II tipo di f si riconosce dalla parte di f omogenea e di 2 grado in œ % y. ) Se esiste una conica propria 0 la cui equazione sia b) Se esiste una conica propria 0 la cui equazione sia f=q, allora : la polare del punto Po=^0-\-oc 0 I+y 0 J

38 241 è la retta r 0 la cui equazione è».1+* + *. = - W' -of +, +,. = 0. DIM. Dalle [3] risulta che la [4] non varia scambiando x 0, y 0, z 0 con x, y, z. Ciò significa che : se P t è un punto di r 0 e r x è la retta la cui equazione rispetto a P x è formata come la [4], allora r t passa per P 0 e r t è funzione lineare di P x. Inoltre : se r 0 incontra 0 in P A, allora r x è tangente a 0 in P if perchè da ƒ=() segue '*+ * + *- - Da queste due proprietà risulta il teorema. In particolare si ha il teorema che è praticamente importante : Nelle ipotesi precedenti, il DIAMETRO CONIUGATO alla direzione ha per equazione mi -f nj *»&+*% =o > e quindi ^- = 0, ^- о, sono, rispettivamente, le equazioni dei DIAMETRI CONIUGATI ALLE DIREZIONI 1, J (ASSI DELLE X С у). c) Se ƒ non è del tipo parabolico (cioè h 2 ab =4= 0) indicheremo я? 0, y 0 (z = i) la soluzione (esistente) del sistema e porremo ^ = o i =o d# òy [6] C C=0 = O + xj+yj. x 0 I+y J. Dal secondo teorema b) ö) risulta risull che : Se ƒ 0 è l'equazione di una conica propizia, non parabola, allora С ne è il centro. d) Se ƒ non è del tipo parabolico e X, Y, Z sono le coordinate di P rispetto al sistema 7, J, C, allora [7] f(œ, y, z) = ax* + 2hXY+ by* - ~ ^ - Z\ C. BURALI-FORTI, Geometria anal. 16

39 242 DIM. Per la [6] si ha P = ZC+XI+ YJ= ZO + (X + x Q Z)I+(Y+y 0 Z) J da cui x = X + œ 0 Z, y = Y + y 0 Z, z = Z che sostituite in f{x, y, z) danno la [7]. e) La trasformazione lineare _ (hl aj, öl Л Л è una involuzione che, quando f= 0 è l'equazione di una conica propria, è l'involuzione delle direzioni dei suoi diametri coniugati. DIM. a 2 = h? ab e quindi a è involuzione. Le rette di equazioni --<> -f= ò# òy sono i diametri coniugati alle direzioni I, J; e poiché esse sono parallele ai vettori al, aj il teorema è dimostrato. f) Affinchè la conica, di equazione f=0, sia una circonferenza, è necessario che sia Uy^aU = 0 per U vettore arbitrario. Posto U== xl~\-yj e 0 essendo l'angolo di I e J, si ha Uy(oU=(h a coso) x* -f (b a) xy -+- (b cose Л)*/ 2 e quindi : affinchè la conica sia una circonferenza è necessario che a b e h = a cos9. g) Se la conica è una iperbole, gli assurtoti sono paralleli ai vettori U x = xj -f y,j, Z7 2 = х г 1 + */ 2 <7 ove x x, г/, e # 2, y 2 sono radici della equazione Ora si ha ax 2 -f- 2hxy -\- Ъу г = 0. ^ix^ = X \ X Ì + У\Уй + toy, + xtf/j cose e quindi : affinchè la conica sia una IPERBOLE EQUILATERA è necessario che : a + b 2h cose = 0.

40 I ESS 2 S E S S ogg? ^ g, 1 д î ; ± Л ï! * i î! ï : 1 i +-^î I I ï HT' - I! il î IT,! i И!i ïlu f 1 f i. t! 1^1 î Щ lî- îiîïu ï 1 < a -g + S I I I i î -a î! î: I.т^*-г- I Il Xvï ji! ftfl- -1! ^ ^ о о о о о о 5 о i II II S g II < < < < < < I "S о о о ^ Ä V Л II ' S Is- J J J S ^ Ss **s ^ ft

41 Costruzione del tipo ellittico. Nel caso [1] nessuna costruzione da fare, -poiché il luogo ƒ = О non esiste. Per i casi [2], [3] si costruiscano le rette m, n di equazioni ~ = 0, Y~ = 0 e il loro punto comune С o x by Nel caso [3] il luogo ƒ = 0 è il punto C. Nel caso [2] le rette CI, CJ sono due diametri e m, n sono i loro diametri coniugati. L'involuzione dei diametri coniugati è così determinata e si possono costruire gli assi. Per avere gli estremi, ad es., dei diametri coniugati CI, m si ricorra alla equazione (n 280, dj) a* + 2HXY+ Ь Y* - ^ ^ = О e si trovino i punti d'incontro della ellisse con le rette di equazioni Y= 0, ax-\~ Л7 0. L'ellisse si può ora costruire, perchè se ne conoscono due diametri coniugati con i loro estremi Costruzione del tipo iperbolico. Si costruiscano: le rette m, n e il punto С come nel n 281 ; le rette r, s unite nell'involuzione che alle rette CI, CJ fa corrispondere men. Nel caso [4] le rette r, s sono gii assintoti della iperbole e questa si potrà costruire quando se ne determini un punto proprio; ad es., uno di quelli sulla retta di equazione x~k), о y = (). о x-{-y=0 1 ecc., oppure si potrà ricorrere alla equazione rispetto a C, 1, J come per l'ellisse. Nel caso [5] le rette r, s formano la conica impropria di equazione f Q. APPLICAZIONE. Siano OX, OY due semi-rette, distìnte e non sulla stessa inetta, ed M un punto interno all'angolo (convesso) da esse formato. Condurre da M il segmento PQ, avente gli estremi sui lati (semi-rette) dell'angolo (e quindi M tra P e Q), di lunghezza minima. Si costruisca Viperbole Ф della quale О è un punto e che ha per assintoti le parallele condotte da M alle rette OX, OY. Si costruiscano le proiezioni ortogonali M i, M 2 di M su OX, OY, rispettivamente, e Viperbole 0 della quale О è un punto (e che, come vedremo, passa anche per M, M i, M t ) e gli assintoti sono le parallele condotte da {M i + M 2 )/2 agli assi della iperbole Ф. Le iperboli Ф, 0 si tagliano in due soli punti reali; uno è 0,

42 245 - l'altro è un punto H interno all'angolo XOY. Le parallele condotte da Я ad OY e OX tagliano OX e О Y nei punti P, Q cercati. DIM. Siano J, J vettori unitari diretti, rispettivamente, da О ad X e ad Y e poniamo M=*0~\-aI + bj risulterà, posto 0 = ang (I, J), P=0 + xi, Q=0 + yj: H=0 + xi+ijj M x = O -f (a -f Ъ cose) J, M 2 = О 4- (ft + «cose) -/. Affinchè P, ф siano i punti cercati si deve avere MPQ = 0, (P Ö) 2 = minimo, che, introdotte x e у con le formule precedenti, danno [1] xy bx ay = 0, [2] x % -\- y* 2xy cos0 = minimo. La [1] è appunto Vequazione di Ф (*). Per una nota regola di calcolo, dalle [1], [2] si ha subito da cui si trae у b x у cose x a у x cose ' x* y* {a 4- Ь cose) x-{-(b -\-a cose) у = 0 che è appunto l'equazione di 0 (la quale dice anche che 0 passa per M, M x,m t ). Se in luogo del caso particolare delle due rette OX, О Г si considerano due linee complanari qualunque, si ha il teorema generale seguente (di NEWTON): Siano a, ß, T linee complanari ed M il punto generico di y- Tra il punto generico P di a e il punto generico Q di ß si stabilisca una corrispondenza tale che la retta PQ tocchi sempre j in M. Se la distanza di P da Q è massima о mi- (*) I punti P, Q si corrispondono in una prospettività ài centro M; quindi le rette PJ, QI si corrispondono in una omografia e poiché si tagliano in H, îf descrive una conica. E facile vedere che essa è appunto l'iperbole Ф senza ricorrere alla equazione [1].

43 246 nima, allora le normali in P e Q ad a e ß e la normale in M alla retta PQ passano per un punto. DIM. Valgono le due condizioni, per M funzione di t, [a] MPQ = 0, M'PQ = 0, (P Qf = max. о min. In virtù della corrispondenza tra P e Q, questi punti possono considerarsi come funzioni della variabile numerica t. Derivando la l a e 3 a delle [a] si ha [b] ж(р '-<гр') = о, (P_Ç)X(P, -Ç') = O. Le rette PQ r, QP', uscenti da P e Q parallelamente alle tangenti a 0 ed a in Q e P, si incontrino in un punto H. La prima delle [ò] esprime che PQ' QP' è una F 2 giacente nella retta MH] la seconda esprime che la retta MH è normale & PQ: ma le tre altezze del triangolo HPQ passano per un punto e quindi il teorema è dimostrato Costruzione del tipo parabolico. Nel caso [6]: a, b non possono essere entrambi nulli perchè sarebbe pure h = Q e A = 0 ; a r b devono avere egual segno, perchè altrimenti sarebbe h* negativo. Possiamo supporre a, b positivi. Si costruiscano i diametri coniugati a due direzioni distinte mi + nj (se è possibile e utile per m = 1, n = 0, e m = 0, n = i) mediante le loro equazioni m -% + n-r- = (ma -f- nh) x -4- (mh -j-nb)y -\- me -\-nd = 0; si costruiscano le rette di equazioni 2cœ + 2dy + e- 7" 'î-=0 (m у а -(- w Vb y le quali incontrano i due diametri corrispondenti nei punti propri comuni ad essi e alla parabola, come facilmente si verifica osservando che, per essere h % = ab. [ (ma + nh) x -\-{mh + nb) yf = = (w /a + n /b f (aœ 2 + 2hxy + ty 2 ). Si conoscono così della parabola due punti propri con le relative tangenti (parallele alle direzioni ml + nj) e il punto all'infinito (quello dei diametri) e la parabola può essere costruita.

44 247 Nei casi [7], [9] basta costruire la retta di equazione - = 0. Nel caso [8] : si costruiscano (supposto a Ф 0) le rette r, s di equazioni ~- = 0 ~.= 0 e queste incontrino la retta OJ nei punti R, S; per i punti uniti della involuzione che ha R per centro e ad S fa corrispondere О passano le parallele ad r (o ad s) che formano la conica degenere di equazione f=^ 0. Il lettore dimostri per esercizio. I rimanenti oasi [10], [11], [12] non hanno bisogno di schiarimenti Equazioni degli assurtoti e degli assi. a) L'equazione complessiva degli assintoti di una iperbole (caso [4]) о delle due rette proprie, alle quali si riduce la conica (caso [5]), è, come si è già veduto : a (x œ o y + 2П(х œ 0 ) (y y 0 ) + b (y y,f = 0 essendo x 0i y 0 le coordinate cartesiane del centro. h) Per l'ellisse e per l'iperbole l'equazione complessiva degli assi è, essendo 0 l'angolo degli assi, {h a cose) (x x 0 f 4- (b a) (x x 0 ) {y y Q ) + + (ôcos0 à) (у у о У = 0. DIM. Se U = xi -f- yj è vettore parallelo ad un asse, deve essere (no 280 e)) UXoU={h a cos9) ж 2 -f- (Ъ a) xy -f (b cose h)y 2 = 0; ma gli assi passano per il punto di coordinate x 0, y 0 e quindi l'equazione complessiva degli assi è quella indicata. DIM. cj Per la parabola l'equazione dell'asse è (a Л COS0) -^ + (Л b cos ) -^- = 0. ox oy Perchè essendo [ (a h cose) I + (h Ь cose) J ] X <*J) = 0, il vettore (a h cos9) 7 -f- (7* Ь cose)-7 è normale all'asse e la polare della sua posizione è l'asse della parabola.

45 Quadriche Equazione generale del secondo ordine nello spazio. Una equazione generale del 2 ordine* tra le coordinate cartesiane x, y, z di un punto P dello spazio (sistema di riferimento 0, I, /, K) f {pò, y, z) = 0 rappresenta, in generale, una superficie, che è tagliata da un piano secondo una conica propria о impropria. Se f {œ, y, z) non è il prodotto di due fattori lineari, allora il luogo f = 0, о non esiste, о è un cono о cilindro, о è una QUA DRIGA PROPRIA {ellissoide, iperboloide ad una falda, iperboloide a due falde, paraboloide ellittico, paraboloide iperbolico). Il piano tangente in un punto P del luogo ƒ = 0, о contiene una sola retta, о due rette, о un solo punto del luogo; P dicesi, rispettivamente,punto parabolico, iperbolico, ellittico.l conisi cilindri quadrici sono a punti tutti parabolici, il vertice eccettuato. L'iperboloide ad una falda e il paraboloide iperbolico hanno tutti i punti iperbolici, e sono quindi svperfici doppiamente rigate. Vellissoide, Viperboloide a due falde e il paraboloide ellittico hanno tutti i punti ellittici Posto P =. uo -\-œl-\- yj + zk l'equazione generale assume la forma (con а Г 8 = а 8Г ) f(x, y, z, u) = a n x 2 -f- «,#* + a 33 z 2 + 2a 23 yz -f- 2a zx zx + 2a i9 xy + -j- 2a n xu -f- 2оъьуи -f- 2a u zu -j- a u u 2 = 0. Se al.punto P 0 = u 0 O -f- ooj-^y^j + z 0 K si fa corrispondere il piano di equazione '-%г + *Ъ- + ''-%-+"о-$г = questo piano si chiama piano polare del punto P 0. In particolare il punto proiettivo posizione del vettore U=mI + nj + pk

46 ha per piano polare il piano di equazione ж òf Ъх n by 1 " bz che dicesi piano diametrale coniugato ad U. In generale i piani diametrali passano tutti per un punto proiettivo che chiamasi centro della quadrica. Il vettore Ü è direzione principale per la quadrica quando il suo piano diametrale coniugato è normale ad esso. La ricerca effettiva delle direzioni principali è assai complicata anche se il sistema I,J, К è ortogonale. In pratica basta sapere che di tali direzioni ne esistono almeno tre, due a due ortogonali. Le forme più semplici delle equazioni delle quadriche si hanno per un sistema di direzioni coniugate; ma la riduzione effettiva della f generica a tali forme è complicatissima e di uso pratico quasi nullo. Basta sapere che tale riduzione è possibile, e conoscere le forme finali, che noi esamineremo nel n seguente, per le quadriche proprie Generazione delle quadriche proprie. Sia О un punto ed /, ƒ, К vettori unitari non complanari. Il sistema Ö, I, J, К si assumerà come sistema cartesiano di riferimento e P == 0 -J- ool -f- yj 4- zk sarà l'espressione di un punto generico dello spazio. Faremo uso dei punti A = 04-aƒ, В ^O + bj, С =0 + ск А' О al, В'=0 М, С' = 0 ск sulle rette OL OJ, OK alle distanze (con segno) a, ô, с dal punto О. a) ELLISSOIDE. - Si considerino le due ellissi che hanno, rispettivamente, per semi-diametri coniugati OA, OC e OB, OC. Il piano condotto per un punto H tra С e C' parallelamente al piano OAB, tagli le due ellissi in M e xv. Col variare di H l'ellisse di semi-diametri coniugati HM, HN, descrive un ellissoide, la cui equazione, rispetto al sistema cartesiano 0,1, J, K, è.. ul ~Z à 1 ft* ^ é '

47 250 DIM. Si ha M= О -\-acos<pi-f-сsenq>k, N = O -f- Ь cosyij -f- с semper ; e poiché deve essere с senqp = с senty sarà ф = ц/. Dunque, per il punto generico P della ellisse di semi-diametri coniugati HM, RN, si ha da cui P = O -f- (a cosqp) cos9/-f- (&cosqp) sene»/-!- с вепфлг x = aсовфcose, у =Ь соэфsen0, ed eliminando ф e 0 si ha l'equazione indicata. г = c эепф &,) IPERBOLOIDE AD UNA FALDA. Si considerino le due iperboli che hanno rispettivamente О A, OC e OB, OC, per semi-diametri coniugati, essendo О A e OC trasversi. Il piano condotto da un punto qualunque Я di OK parallelamente ad О AB, tagli le due iperboli in M e N. Gol variare di H l'ellisse di semi-diametri coniugati HM, HN descrive un iperbo- \ Ioide ad una falda, la cui equazione è DIM. Essendo OC comune alle due iperboli si ha da cui M= О -(- a coslnpj+ с seniupüf, N= О -\-Ь совьф«/-}- с senlupüt P = О -j- [а совьф) COS0J-)- (Ъ соэпф) sene«/ -f- с senlupüf, eliminando ф e 8, ecc. J^ I J 2 & J a2 'T b2 c 2 "~ x = a соэпф cos6, у = b соэпф seno, z = с senhçp ; cj IPERBOLOIDE A DUE FALDE. Si considerino le due iperboli che hanno rispettivamente О A, OC e OB, OC per semi-diametri coniugati, essendo О A, OB non trasversi. Il piano condotto per un punto H di OK esterno al segmento CC' e parallelamente al piano О AB, tagli le due iperboli in M e N. Gol variare di H l'ellisse di semi-diametri

48 251 coniugati HM, HN descrive \m'iperboloide a due falde, la cui equazione è x*_ y 2. z 2 _ DIM. Come in b) si ha : M = O -f- a senhqpj -(- с coshcpk, iv= O -f- 6 senhqpj" -[~ c coshqpüt, P = 0 + (a senhqp) cosej-f - (ò веппф) seng^-f- с coshyk, x = a senhfp cose, у = Ъ senh<p seng, z = с совпф. rf^ PARABOLOIDE ELLITTICO. Si considerino due parabole sui piani OAC, OBC aventi: il punto О a comune; la retta OC come diametro comune e С interno ad entrambe ; О A e OB come tangenti in 0; 2a2 26 a come parametri relativi al dia- с 7 с metro comune OC. Il piano condotto per un punto qualunque H della semi-retta OC, parallelamente al piano OAB, tagli le due parabole in M e N Gol variare di H l'ellisse di semi-diametri coniugati HM, HN descrive un paraboloide ellittico, la cui equazione è x 2 y 2 2z ^ ^^ ^^^л DIM. Le equazioni delle due parabole sono. 2a s, 26* e quindi se Н 0-\-z 0 K si ha М=0 + У ZoI+ZvK, N=>0 + y^go J + z 0 K, p J> = о O + +1/ у z^0 a cose/ J + y у Y y%o «o senej J 4- '+* г 0^> 0 д; t/2^ l/^" - a # = у z 0 cose, у = у z 0 seno, z = z 0. Eliminando 0 e z 0 si ha l'equazione.

49 252 e J PARABOLOIDE IPERBOLICO. Nei piani OAB y О ВС siano date due parabole aventi : il punto О a comune ; la retta OC come diametro comune e С interno alla prima, esterno alla se- 2a 2 2ò 2 conda ; О A e OB come tangenti in О ; come para- metri relativi al diametro comune OC. Se la parabola del piano О ВС si muove in modo che il punto О percorra la parabola del piano О AC mantenendo il piano e il diametro OC paralleli alle posizioni iniziali, essa descrive un paraboloide iperbolico la cui equazione è x 2 y % Ъ* 2z_ с DIM. Le equazioni delle due parabole nei piani ОAC, OB С sono, rispettivamente,», 'iff v e с " с Se M = О + XQI + ZQK è la nuova posizione di О nella parabola del piano О AC, si ha ж=о + Жо/+2^-Л*; il punto generico P della parabola del piano OBC nella nuova posizione è P = M + 9вТ- 4s y\k= 0+X.I+ y " - "!г)*> le cui coordinate sono с ƒi х x 2 о Q У y 2 o о \ X XQ, \. У=Уо> *=ж 1 Л«Л2 П eliminando x 0 e y 0 si ha l'equazione indicata.

50 Intersezioni delle quadriche proprie col piano all'infinito. Se poniamo p р uo г*0 + xl #/ + yj,+ У*. + zk s# le equazioni precedenti divengono : a? x 2 «yу 22,. Z* 2 _ g 2 x 2. y* % z 2 t ar V й. Z' 9 aф 2 bо ' eс x% i_ 2/ 2 2#w "òt ~*~ "Ж ~~ с ж 8 «г «/ 2 2#м 2^w aа b& 22 с Osservando che per w = 0, P è un vettore, si ha : L'ellissoide non ha punti all'infinito; L'iperboloide ad una о due falde ha una conica propria all'infinito e le equazioni cartesiane dei due coni assintotici sono _4_ ^_4- ^ j?* А ""- «2 "&* b 2 4- e* с* и * J7 paraboloide ellittico ha un solo punto all'infinito f la direzione K). Il paraboloide iperbolico ha punti all'infinito situati su due rette distinte Quadriehe proprie rigate. a) Una retta che si appoggia a tre rette due a due sghembe descrive una quadrica propria rigata. Viceversa una quadrica propria rigata è sempre descritta in tal modo. DIM. Se u, v, w sono F 2 aventi per posizioni le tre rette a, b, с date, allora una forma di prima specie P appartiene al luogo considerato solo quando e quindi il luogo è del 2 ordine. (Pu) (Pv) w = 0

51 254 Viceversa sia Z una quadrica propria e a, b, с tre rette di essa, due a due sghembe. Una retta che si appoggi ad a, b, e, giace tutta in Z perchè ha tre punti, e quindi infiniti, in Z. b) Per ogni punto di una quadrica rigata propria E passano due reite giacenti in 2J. Nella quadrica E vi sono due sistemi di rette (generatrici); due qualunque di quelle di un sistema sono sghembe ; una retta qualunque di un sistema taglia tutte le rette dell'altro sistema. DIM. Siano a f b, с tre rette di Z due a due sghembe ; tre rette, distinte, r, s, t che si appoggiano ad a, b, с ; anche queste sono due a due sghembe. Le rette che si appoggiano ad a, Ъ, с formano un sistema, quelle che si appoggiano ad r, s, t formano l'altro sistema ; per i due sistemi valgono le proprietà indicate. Se le rette a, b, с sono parallele ad un piano, allora E taglia il piano all'infinito secondo una linea del 2 ordine che deve spezzarsi in due rette ; una contiene i punti all'infinito delle rette che si appoggiano ad a, b, e, l'altra i punti all'infinito delle rette che si appoggiano ad r, s, t. La superficie S è un paraboloide iperbolico e le rette dei due sistemi sono parallele a due piani che diconsi piani direttori. e) Le generatrici di un sistema tagliano due generatrici qualunque dell'altro sistema in punti che si corrispondono in una proietlività. Viceversa le rette che congiungono i punti corrispondenti in una proietlività \ ira due rette sghembe formano una quadrica propria rigata che è un IPERBOLOIDE AD UNA FALDA, O UU PARABOLOIDE IPERBOLICO, SeCOndOChè Hm\ è punto proprio о all'infinito. DIM. Una retta che si appoggia ad a, b, с tagli b e с in БеС; dato В si ottiene С proiettando Б da a e segando con e, quindi С corrisponde a В in una proiettività. Viceversa. La proiettività X trasformi i punti di & in quelli di e. Si costruiscano tre rette M(\M), che saranno sghembe, e queste si taglino con una retta a. La terna a, b, с determina una rigata Z che è quella determinata da b, e, X, perchè essa determina una proiettività che coincide con X. Se limx è all'infinito allora X (limx) è pure all'infinito sulla retta с e quindi si ha una generatrice del sistema che si appoggia su ft e с e sta all'infinito : cioè la quadrica è un paraboloide iperbolico. Se limx è punto proprio la quadrica non può avere delle rette sul piano all'infinito e quindi è un iperboloide ad una falda. d) Le rette comuni ai piani corrispondenti, rispetto ad

52 255 una proiellività invertibile fra due fasci di piani ad assi sghembi, formano un sistema completo di rette di una quadrica propria rigata della quale gli assi dei due fasci sono due rette dell* altro sistema. Б lettore dimostri per esercizio. Dati i due fasci e la proiettività, basta costruire tre rette della quadrica per ottenere le altre mediante il teorema e) Quadriche rigate relative alle generatrici di una rigata gobba. Le normali ad una rigata gobba E nei punti di una sua generatrice g, non singolare, stanno in un paraboloide iperbolico, del quale un piano direttore è normale a g, Valtro è parallelo al piano centrale di g. In conseguenza le normali a nei punti di g sono tagliate da un qualsiasi piano parallelo al piano centrale di g in punti collineari. DIM. Abbiano P, U, Q il significato indicato nel n 162 e si ponga I=\{UP>), J=\{UU'). I vettori I, J sono normali ad U e quindi anche il bivettore IJ è normale ad U. Inoltre i vettori I, J non sono paralleli (perchè Z essendo gobba UU'P'=$=0), il bivettore UJ è parallelo al piano centrale di g (n 175) perchè UU' è parallelo al piano assintotico di g. Б piano tangente a Z in Q è parallelo al bivettore UP' -\- xuu' e quindi la normale a I in Q è parallela al vettore \(UP'-\- xuu') = I-\-xJ. Dunque una F, generica avente posizione nella normale a Z in Q è data da В = zq + у (1+ xj) = zp-\-xzu + yi+ xyj. Da questa si trae subito: BPIJ = xz UPIJ, BPJU = ylpju, RPUI=xyJPUI, BUIJ = zpuij, ed eliminando x, y, z si ha [1] BPIJ. BPJÜ+ BPUI.BUIJ= 0. La [1] è di secondo grado in Jìe quindi il luogo dei punti posit В è una quadrica. Inoltre per В vettore parallelo ad IJ о ad UJ cioè per BIJ = 0 ovvero BUJ=0 la [1] è identicamente verificata (ma non per BUI==0) cioè il luogo dei

53 256 punti positi? è un paraboloide iperbolico di cui un piano direttore è normale age V altro è parallelo al piano centrale di g. Avendo Ъед il precedente significalo, si ha : le tangenti a E nei punti di g che sono normali a g, formano un paraboloide iperbolico di cui un piano direttore è normale age Valtro è parallelo al piano assiniotico di g. In conseguenza le tangenti a S nei punti di g che sono normali a g^ sono tagliate da un qualsiasi piano parallelo al piano assiniotico di g in punti collineari. DIM. Facendo ruotare di un angolo retto intorno a g il paraboloide del teorema precedente si ottiene il paraboloide ora considerato. Il paraboloide delle tangenti a E nei punti di g (e anche quello delle normali a E nei punti di g), tocca la rigata E lungo la generatrice g e viene utilmente applicato in Geometria descrittiva per costruire piani tangenti о punti di contatto in g Forme analitiche delle quadriche rigate proprie. Individuiamo la quadrica rigata come luogo delle rette che congiungono i punti di due rette sghembe s, s' che si corrispondono in una proietti vita X. Siano A, В punti propri distinti di s ai quali corrispondono punti propri distinti A', B' in s'. La proiettività \ sarà la posizione di una trasformazione lineare a della forma IA', тъг\ a== U. s.) ove m è numero reale. Al punto di s che è posizione di A-\-uB corrisponde il punto di s' che è posizione di A' -\-mub' e per il punto generico positp, essendo P una F della quadrica nella retta che passa per A -f- ub e A' + mub', si ha [1] P = A + ub + v (A' + mub r )..11 punto positp risulta funzione delle due variabili indipendenti u, v e : per и = cost, si hanno le rette della quadrica che si appoggiano ad s e s'. Alla [1] si può anche dare la forma [2] P=A+ ra' + и(в + mvb')

54 257 la quale prova che : per v = cost, si hanno le reite della quadrica che si appoggiano alle rette A A', BB' e congiungono i punti corrispondenti rispetto alla proiettività posizione di В, mb'\ A, A')' Il punto posizione di A' + mub' è all' infinito solamente quando 1 ±mu=0 e in tal caso lim\ è la posizione di A В e quindi : per m = 1, e soltanto in tal caso, la quadrica è un PARABOLOIDE IPERBOLICO i cui piani direttori sono paralleli ai bivettori (A A') (B B') e (A B) (A' B'). Dalle forme assolute [1], [2] si può passare alle forme cartesiane molto complicate. Se si pone si ha В = A + al, B' = A' + Ы у A' = A-\-cK P==(l-^-u-\-v-\- muv) A -f- aul -f- bmuvj -(- cv (1 + H К e dette x, y, 'z le coordinate di positp rispetto al sistema A, I. J, К si ha au bmuv 1 -f-m + v-f-muv - f 1 -\-u-\-v-\-muv ' cv (1 4" яг«) 1 -\- и -f- v - - WW» С. Вив ALI-FORTI, Geometria anal. 17