La scala dell'energia

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1 La scala dell'eegia Aa Maia Aloisi IPSIA "A. Meucci", Cagliai, Pie Faco Nali Diigete co icaico di studio, iceca e cosuleza pesso la Regioe Sadega, Cagliai, pali@egioe.sadega.it LE famose Lezioi di Fisica di Feyma si apoo co l'affemazioe che l'ipotesi atomica, cioè l'idea che tutte le cose soo fomate di atomi - miuscole paticelle che si utao e si espigoo agitadosi i cotiuazioe - appeseta il cocetto più impotate, potete ed uificate di tutta la scieza. Come ci fa otae Feyma, si tatta di u'idea scietifica che si può espimee co u piccolo umeo di paole, ma comuica molte ifomazioi impotati sul modo fisico; iolte ci tasmette u'immagie ituitiva e al tempo stesso coceta e diamica del modo degli atomi, dadocee ua pospettiva dall'alto che icoda le staodiaie visioi cosmiche di Lucezio e Democito. Ma se cambiamo pospettiva e cosideiamo ciò che avviee all'iteo di u atomo, qual è l'idea più impotate che ci aiuta a capie il modo a questo livello più pofodo? È, secodo oi, l'ipotesi di Boh che u atomo può tovasi soltato i u umeo detemiato di stati pemessi che obbedisce a codizioi specifiche - e o i uo qualsiasi degli ifiiti stati possibili che ci dà la fisica classica - e compie tasizioi soltato fa questi stati disceti. Ci è stato isegato che gli stati atomici soo occupati da elettoi e che duate le tasizioi gli elettoi "saltao" da uo stato a u alto, ma pe il mometo possiamo pescidee da questo dato e palae di stati e di tasizioi pe l'atomo el suo complesso. Pe visualizzae l'idea di Boh co u'immagie ituitiva potete pesae a ua scala dove ogi gadio appeseta uo stato atomico. La chiameemo la "scala dell'eegia", peché ogi stato/gadio è cotaddistito da u valoe detemiato di questa gadezza fisica. Ciascu gadio coispode cioè ad u "livello eegetico", itededo co questo temie il valoe dell'eegia i uo degli stati pemessi. Nomalmete u atomo può imaee pe u tempo idefiito ai piedi della scala. Quado si tova i questa codizioe si dice che l'atomo è ello "stato fodametale", caatteizzato dalla miima 1

2 eegia possibile. Assobedo eegia l'atomo può saltae su u livello/gadio supeioe e i questo caso si dice che l'atomo passa i uo stato "eccitato". Da uo stato eccitato l'atomo può toae ello stato fodametale (o comuque su u livello/gadio ifeioe) cededo eegia e si pala alloa di "decadimeto" dell'atomo. Poiché il decadimeto può avveie spotaeamete, cioè seza assobimeto di eegia, si veifica più facilmete dell'eccitazioe, tae quado l'atomo si tova già ello stato fodametale, al di sotto del quale o può ulteiomete decadee. Se assobe ua quatità di eegia supeioe ad ua soglia citica, l'atomo salta di botto tutti i gadii potadosi i cima alla scala, e di lì scivola via come su ua supeficie liscia. Quest'ultimo pocesso viee chiamato "ioizzazioe" dell'atomo, peché lo tasfoma i uo ioe potadogli via u elettoe. Abbiamo così l'immagie di u atomo che saltella su e giù pe i gadii della scala dell'eegia, assobedo o cededo ua quatità di eegia pai al dislivello copeto el salto. La diffeeza di eegia ta due livelli successivi, cioè l'altezza dei gadii, dimiuisce ma mao che si sale lugo la scala, come potete vedee ella figua (1) i fodo all'aticolo. Noteete iolte che i gadii divegoo sempe più umeosi avviciadosi alla cima della scala. I effetti, ache ossevado col massimo igadimeto o poteste cotali... ce e soo u'ifiità! L'immagie della scala atomica dell'eegia ci da u'idea ituitiva dei livelli eegetici ell'atomo, che ci pemette d'itepetae i modo elemetae molti feomei o spiegabili co la sola fisica classica. È u'immagie al tempo stesso semplice, potete e pevasiva. I questo aticolo seguiemo il filo logico-coologico dei picipali avveimeti e scopete che hao potato alla luce la scala atomica dell'eegia, dalle ipotesi ottocetesche di u legame ta spetti lumiosi e stuttua atomica, ai modelli atomici "classici" el pimo Noveceto, fio alla teoia quatistica dell'atomo (1913). I paticolae vedemo come dallo studio feomeologico degli spetti atomici è stata dedotta l'esisteza di livelli eegetici disceti e come questi soo stati visti "etae i azioe" quado gli atomi pecooo la scala dell'eegia, egli espeimeti di collisioe aelastica co elettoi (1914). I - Gli spetti e la spettoscopia I fisica s'itede co il temie "spetto" la distibuzioe dell'itesità della luce, e i geeale di ua adiazioe, i fuzioe della lughezza d'oda, della fequeza o dell'eegia (o di qualche alta gadezza collegata). Si ossevao spetti d'emissioe e d'assobimeto. Gli spetti d'emissioe si ottegoo aalizzado i fequeza le adiazioi emesse da sostaze eccitate (pe iscaldameto passaggio di coete elettica, ecc). Pe otteee uo spetto d'assobimeto s'itepoe ta ua sogete - che emette uo spetto cotiuo - e u aalizzatoe (u pisma o, meglio, u eticolo di diffazioe) ua sostaza che assobe selettivamete cete fequeze (o bade di fequeza). Iolte si tova che le adiazioi assobite dalla sostaza iteposta soo esattamete le stesse che quella stessa sostaza saebbe capace di emettee quado viee eccitata. Questo feomeo viee chiamato ivesioe delle ighe spettali. Gli spetti possoo avee ua stuttua cotiua, a ighe o a bade. Gli spetti cotiui soo emessi dai solidi e dai liquidi potati ad alta tempeatua (e i cete codizioi ache dai gas), mete gli spetti a ighe soo tipici di atomi e ioi i fase gassosa a bassa pessioe; gli spetti a bade, ifie soo caatteistici di molecole e sostaze composte. Uo spetto co ua sola iga coispode ad ua adiazioe moocomatica, cioè di u'uica fequeza. La egistazioe di uo spetto su ua lasta fotogafica pede il ome di spettogamma, e l'aalisi degli spettogammi foma l'oggetto della spettoscopia.

3 figua (1): scomposizioe della luce coi pismi di Newto Le pime idagii sugli spetti ottici si fao isalie alle celebi espeieze di Newto sulla scomposizioe della luce solae coi pismi (1666), di cui vedete u'illustazioe ella figua (1), tatta dall'edizioe del 171 dell'ottica. Dopo Newto e duate tutto il Setteceto la spettoscopia o fece gadi pogessi, e soltato all'iizio dell'ottoceto veeo avviate iceche sistematiche. Dalle iiziali ossevazioi sulla luce solae si passò all'aalisi degli spetti di copi celesti, fiamme, sostaze chimiche temosesibili. Uo dei isultati più impotati otteuti i quel peiodo - co l'impiego di uove sogeti lumiose e stumeti di gade pecisioe - fu la scopeta che lo spetto ottico si estede al di là della egioe visibile (18/18). Nel coso dell'ottoceto si compese che le teciche spettoscopiche, cosetedo agli scieziati di accogliee u'eome messe d'ifomazioi sulla stuttua della mateia, costituivao u fomidabile metodo d'idagie i fisica, chimica e astoomia. Nel 1859 Buse aveva dimostato che l'esisteza di ua data iga i uo spetto idica sempe la peseza di u dato elemeto. Questa scopeta, uita all'ossevazioe che la adiazioe moocomatica è otteuta solo dai gas atomici aefatti - sistemi ei quali si può pesumee che le iteazioi ta atomi siao tascuabili e petato, come oggi sappiamo, i livelli eegetici o soo petubati e le ighe spettali soo be isolte - affozò l'idea, suggeita da Stokes alcui ai pima (185), che le ighe degli spetti d'emissioe fosseo dovute a vibazioi atomiche di atua meccaica, della stessa fequeza della luce emessa, mete l'assobimeto geeava vibazioi atomiche della stessa fequeza della luce assobita, i accodo co il feomeo meccaico della isoaza 1. figua (): spettoscopio di Kichhoff e Buse Come coollaio di quest'idea, u gas di atomi che possoo vibae i più modi dà oigie a uo spetto a ighe - co tate ighe quati soo i modi vibatoi possibili - ciascua d'itesità popozioale alla popolazioe atomica che viba alla fequeza coispodete. Vicevesa, ua adiazioe di ua data fequeza eccita u atomo a vibae el modo coispodete, co la compasa di ua iga d'assobimeto pe ogi fequeza i gado di eccitae u modo di vibazioe pesete ella popolazioe atomica. La ecipocità fa spetti d'emissioe e d'assobimeto, che ea stata ipotizzata da Ågstöm el 1853, fu cofemata el 186 dall'ossevazioe da pate di Kichhoff e Buse del feomeo dell'ivesioe delle ighe spettali. 1 secodo le divese itepetazioi a vibae ea l'itea stuttua atomica oppue le pati mobili all'iteo dell'atomo. 3

4 II Lo spetto dell'idogeo atomico Se gli spetti potao ifomazioi sulla stuttua atomica, dovemo icavae molte ifomazioi dagli spetti più complessi. Ma ache il più semplice, quello dell'idogeo allo stato atomico, quasi ua "stele di Rosetta" della fisica atomica, pemette di icavae ifomazioi fodametali. Lo spetto d'emissioe del gas d'idogeo, coteuto i u tubo di Plücke attavesato da ua coete elettica, è uo spetto a molte ighe, caatteizzate da bassa lumiosità, elevata desità spettale e stuttua complessa. Aumetado la coete el tubo compae pe cotasto u secodo spetto co caatteistiche complemetai (itesità elevata, bassa desità spettale e stuttua semplice). L'itesità di questo secodo spetto è popozioale alla coete, mete l'itesità dello spetto di fodo a molte ighe aumeta solo letamete quado viee aumetata la coete el tubo. Il fodo a molte ighe è associato alla adiazioe emessa da molecole d'idogeo (H ), mete lo spetto i cotasto è dovuto ad atomi d'idogeo (H) podotti pe dissociazioe di molecole idotta dalla coete. α β γ δ figua (3): spetto dell'idogeo atomico Le pime te ighe della egioe visibile dello spetto dell'idogeo atomico, mostato ella figua (3), fuoo idividuate el 186 da Ågstöm, che e tovò poi ua quata el 1871 e detemiò le segueti lughezze d'oda (i Å =1-8 cm): 3 λ α =656.1, λ β =486.74, λ γ =434.1, λ δ =411.. Stoey otò el 1871 che la pima, secoda e quata iga di Ågstöm eao ivesamete popozioali, ispettivamete, ai umei, 7 e 3. Ne cocluse che eao la esima, 7esima e 3esima amoica di ua vibazioe fodametale, come possiamo vedee se e calcoliamo i appoti (aotodati alla teza cifa decimale): λα , λ = = β λα = = =, λ γ λα λ = = 5 = δ u tubo di Plücke (o di Geissle) è u tubo di veto a foma della lettea H, costituito da due bulbi collegati da u sottile capillae. Due elettodi collocati alle estemità del tubo povocao ua scaica elettica el gas coteuto all'iteo. La scaica el capillae può avveie a bassa pessioe e a tempeatua ambiete. I queste codizioi la iga emessa è molto etta e lumiosa. 3 le misue modee foiscoo questi valoi: λ α =656.8, λ β =4861.3, λ γ =434.5, λ δ =

5 Come si vede, la pima e l'ultima fazioe soo abbastaza semplici, mete quella itemedia è più complicata. Poviamo oa ad espimee le misue di Ågstöm come fazioi di ua lughezza fodametale λ. Avemo: λ = λ, λ = λ, λ = λ, λ = λ, α α β β γ γ δ δ ovveo β = α, γ = α, δ = α Poiché cotao solo i appoti ta le lughezze, α si può scegliee a piacee. Scegliedo pe comodità 9 α = otteiamo: β = =, γ = = =, δ = = Nella sequeza così otteuta: 9, 4, 5, 9, ai umeatoi ci soo quadati pefetti. Se facciamo i modo che i quadati ai umeatoi fomio ua pogessioe geometica la sequeza diveta:,,,, dove potete otae che i deomiatoi si ottegoo sottaedo dai umeatoi. Peciò possiamo appesetae le misue di Ågstöm mediate la seie ,,, J.J. Balme ( ) Questo semplice agioameto umeico ci guida alla fomula che fu tovata da Balme el 1885: 1 λ = λ, 3, 4,5,..., = dove λ è il limite della seie quado tede all'ifiito. Questa iga limite si può detemiae co ottima appossimazioe da ( α + β + γ + δ ) λ ( λα + λβ + λγ + λδ ) otteedo λ Å 4., All'epoca della sua scopeta la (1) ea cosideata ua staa fomula, peché ci si attedeva come pe le ode sooe ua dipedeza amoica, cioè ua fazioe semplice del tipo m/ di ua lughezza fodametale, seza temii al quadato. La fomula di Balme (1) descive co gade pecisioe le ighe dell'omoima seie, appesetate schematicamete ella figua (4). Come si vede, le ighe si addesao dalla pate 4 1 e umeo d'oda limite ν cm. Le lughezze delle ighe di Ågstöm calcolate dalla (1) co λ Å soo: λ = 656.8Å, λ = Å, λ = 4 34 Å, λ = 411.3Å, che α β si discostao di appea.1 Å dai valoi misuati. Soo state idividuate, e accuatamete misuate, ua tetia di ighe della seie Balme. Utilizzado le misue modee, la coicideza ta valoi misuati e calcolati isulta pessoché pefetta. γ δ 5

6 delle lughezze d'oda decesceti (fequeze cesceti) fio al limite della seie λ, che si tova el vicio ultavioletto (NUV). Quasi tutte le ighe Balme si tovao el NUV; fao eccezioe le pime cique (ella figua e soo idicate 4: H, H, H, H α β γ δ ), ivelate el visibile. figua (4): seie di Balme L'idividuazioe elle egioi UV (ultavioletto) e IR (ifaosso), a patie dal 194, di uove seie che o si accodavao co la (1), dimostò peò che la fomula di Balme o ea i gado di descivee l'iteo spetto dell'idogeo. 1 I effetti, ua fomula molto più geeale, espessa i fuzioe del umeo d'oda ν =, ea stata λ tovata da Rydbeg el Nel caso dell'idogeo, la fomula di Rydbeg può essee vista come ua dietta geealizzazioe della fomula di Balme (1). Se espimiamo quest'ultima i temii di umei d'oda avemo: ( ) ν 1 λ = = = λ λ λ, da cui toviamo 1 1 1, ( ) ν = R 6 J. Rydbeg ( ) dove R 4 =. La λ 1 espime la fomula di Balme come caso paticolae della legge 1 1 R. ν = La () è ua legge impotatissima che fu itodotta da Ritz pe la pima volta el 193, e pe questo motivo è ota come legge di Rydbeg-Ritz pe l'idogeo 7 ; i essa =1,, 3, 4,... idica il umeo d'odie della seie spettale, mete = + 1, +, + 3,... deota il umeo della iga, b c 5 ua fomula alteativa del tipo ν = a fu poposta ach'essa itoo al 189 da Kayse e Ruge co 4 qualche successo, ma oggi imae ua mea cuiosità stoica; la fomula di Rydbeg si dimostò quella giusta i vitù dell'itepetazioe teoica datae da Boh (1913) e fequeza coispodete ν = Hz. 4 7 la fomula oigiaia di Rydbeg ea aco più geeale della (), o essedo limitata al solo caso dell'idogeo. 6

7 appateete alla seie d'odie '. La gadezza R pede il ome di costate di Rydbeg e vale, pe l'idogeo 8 1, R H = cm. La legge di Rydbeg-Ritz () descive molto bee lo spetto dell'idogeo i tutte le egioi esploate: pe '=1 e =, 3, 4,... ipoduce la seie di Lyma (194-6) ella egioe UV; pe '= e =3, 4,... si iduce alla (1') già ota pe la seie di Balme; ifie, pe '=3 (=4, 5,...), '=4 (=5, 6,...), '=5 (=6, 7,...) ha foito la pima pevisioe teoica (Ritz, 198) delle seie IR poi scopete ispettivamete da Pasche (198), Backett (19) e Pfud (194). figua (5): seie spettali dell'idogeo Quado affemiamo che la () fu i gado di foie pevisioi teoiche di uove seie spettali ci ifeiamo al fatto che si tatta di ua legge che fu dedotta da u modello teoico geeale dell'atomo (Ritz, 198), e o semplicemete icavata dai dati speimetali, come el caso della (1) di Balme. Ache se il modello di Ritz si dimostò eato, la successiva coetta deduzioe della () da pate di Boh (1913) le cofeì defiitivamete la digità di ua vea legge fisica, e come tale atualmete va cosideata etospettivamete. La legge di Rydbeg-Ritz () si applica altettato bee agli spetti degli ioi idogeoidi, che come l'idogeo hao u solo elettoe i obita attoo al ucleo (di caica positiva Z). Si tatta di ioi positivi otteuti ioizzado Z-1 volte atomi di umeo atomico Z, come pe esempio He + (Z=), Li ++ (Z=3), Be +3 (Z=4) che hao ua caica elettica pai a Z-1 volte quella del potoe. Pe questi ioi basta semplicemete moltiplicae pe Z il coispodete umeo d'oda dell'idogeo: = Z R. ν Osseviamo oa u fatto cuioso. Se cosideiamo lo ioe He + (Z=), pe '=4 e =5, 6,... otteiamo la seie di Pickeig, 9 che ha la otevole peculiaità di coicidee 1 co la seie Balme pe pai, ma ha u umeo doppio di ighe. Cuiosamete, le ighe della seie Pickeig fuoo idividuate pe la pima volta ello spetto di ua stella (1896) ed itepetate come ighe Balme R è ua costate pe le divese seie spettali di ua stessa specie atomica, ma cambia leggemete da ua specie all'alta ν = R 4 ( ) e i geeale pe lo ioe di caica +(Z-1): ν = R 4 Z pe '=Z e ='+1,'+, o si tatta di ua coicideza pefetta peché R cambia leggemete da u elemeto all'alto. 11 Rydbeg tovò ua piccola diffeeza ta il valoe misuato della iga 4686 Å e il valoe calcolato 4688 Å ma l'attibuì ad u eoe elle ossevazioi.

8 Peciò le ighe dell'elio ioizzato fuoo attibuite iizialmete all'idogeo atomico e solo molto più tadi (Boh, 1913) veeo idetificate coettamete. III Il picipio di combiazioe II isultato fodametale delle iceche spettoscopiche dell'ottoceto è stata la scopeta di egolaità spettali acchiuse i leggi geeali, come quelle di Balme o di Rydbeg. Queste egolaità o eao limitate allo spetto dell'idogeo. Si scopì, pe esempio, che le ighe spettali degli elemeti alcalii potevao essee agguppate i sequeze (o seie spettali), descitte da leggi "diffeeziali" del tipo () di Rydbeg-Ritz. 1 Aco più i geeale, egli spetti di atomi, ioi e molecole, le ighe di ua data sequeza, pu pesetado caatteistiche diffeeti i itesità, laghezza, stuttua (fia o ipefia), compotameto i u campo elettico o magetico (effetti Stak, Zeema e Pasche-Back), ecc., hao tutte la stessa dipedeza dal umeo d'oda 13. Questa dipedeza si può espimee come la diffeeza di due temii, detti "temii spettoscopici", il pimo dei quali è ua costate pe la seie spettale data (limite della seie), mete il secodo cambia da iga a iga detemiado ua successioe i coispodeza ai umei itei a patie da u iteo fissato. La successioe di temii così fomata o va cofusa co la coispodete sequeza di ighe spettali. R I geeale i temii spettoscopici o hao la semplice foma che cotaddistigue l'idogeo. I temii spettoscopici di Rydbeg, che descivoo bee molte seie, soo defiiti Z R dall'espessioeτ =, dove α (chiamata "coezioe di Rydbeg") è ua costate α caatteistica della successioe. Come oteete immediatamete, pe α = itoviamo i 1 Si tatta delle seie segueti: - picipale - diffusa - fie. fodametale 1 1 ν = R, =,3,..., ( 1+ s) ( + p) 1 1 ν = R, = 3,4,..., ( + p) ( + d ) 1 1 ν = R, =,3,..., ( + p) ( + s) 1 1 ν = R, = 4,5,..., ( 3+ d ) ( + f ) ecc., dove le costati s, p, d, f, ecc. soo umei fazioai che defiiscoo ciascua seie. 13 quado paliamo di umeo d'oda ci ifeiamo al umeo d'oda spettoscopico ν (idicato i letteatua ache co la 1 ν lettea κ), defiito da ν = κ = =, dove λ è la lughezza d'oda misuata el vuoto. I fisica atomica si usao ache il λ c π ω π ω ω umeo d oda el vuoto κ = πκ = = e il umeo d oda κ = = =, dove è l idice di λ c λ c v ifazioe. 8

9 temii di Balme Z R come caso paticolae. I molti casi gli spetti soo aco meglio appesetati dai temii spettoscopici di Ritz Z R τ =, dove la quatità δ pede il ome di "difetto quatico" 14 ; α ache qui è la coezioe δ di Rydbeg, mete β ("coezioe di Ritz") è u'alta costate caatteistica della successioe (di egola le coezioi successive soo tascuabili). Si tova speimetalmete che α è positiva e β egativa, e che α è maggioe di β i valoe assoluto; iolte il difetto quatico δ diviee sempe più possimo ad α all'aumetae di. Ad u dato atomo coispodoo duque, pe divesi valoi di α (ed evetualmete di β) divese successioi di temii: -τ 1, τ, τ 3,..., τ i coispodeza di α(β), τ, τ, τ,..., τ i coispodeza di α'(β'), τ, τ, τ,..., τ i coispodeza di α"(β"), ecc. Di egola, il umeo d'oda di ua iga si può espimee, come abbiamo detto, come diffeeza di due temii spettoscopici appateeti a due divese successioi: ν τ τ, 4 = dove ν appeseta il umeo d'oda dell'esima iga della seie di odie '. Pe esempio il umeo d'oda delle ighe descitte dai temii di Rydbeg è dato da 1 1 ν = Z R, che si iduce alla (3) quado α=α'=. ( α ) ( α ) La (4) affema che u umeo elativamete limitato di temii spettoscopici può podue u 1 ighe. gade umeo di ighe: pecisamete, temii posso da luogo a Rydbeg aveva tovato speimetalmete che la iga limite di ua seie (pe esempio ν = τ pe la seie di odie ') può coicidee umeicamete co u temie appateete ad u'alta seie (pe esempio la seie di odie "). Quado questo avviee vi saao ighe appateeti a quest'ultima seie che hao il umeo d'oda dato da 14 β γ δ = α può sviluppae ( δ ) ( δ ) 1 δ = i seie di t si ottiee da t otteedo τ = 9 Z R ( δ ) possoo detemiae umeicamete ipotado su u gafico le misue di questo tipo è oto come espasioe di Ritz (193). defiedo t 1 ( δ ). Alloa si δ = α + βt + γ t +..., dove i coefficieti α, β, γ, si δ e t. Uo sviluppo i seie di

10 ν τ τ. 5 = Sommado la (4) e la (5) si tova l'impotatissima elazioe: ν ν ν 6 = + dove oa ν è il umeo d'oda dell'esima iga appateete alla seie di odie ", e ovviamete vale ache ν = ν ν. 6 Le (6) e (6') espimoo il "picipio di combiazioe di Ritz": i umei d'oda di ua seie spettale si possoo espimee come somme (o diffeeze) di u più limitato umeo di alti umei d'oda. Il picipio di combiazioe cosete di espimee uove ighe mediate quelle ote, combiadole pe somma o pe diffeeza. Si oti peò che o si tatta di ua egola di validità assoluta, peché o sempe (ache se molto spesso) la somma (o la diffeeza) di due umei d'oda di u atomo è uguale ad u alto umeo d'oda dello stesso atomo. Il picipio di combiazioe è il picipio guida pe la compesioe teoica degli spetti a ighe; esso costituì la base feomeologica della elazioe eegia-fequeza di Boh (15) e, i seguito, della meccaica maticiale di Heisebeg. IV Stabilità e dimesioi degli atomi Agli iizi del Noveceto la spiegazioe delle egolaità acchiuse elle leggi di Balme e di Rydbeg-Ritz costituiva uo dei picipali poblemi iisolti della fisica dell'epoca. Pe la veità, o soltato le egolaità espesse dalle leggi spettali ma l'esisteza stessa di ighe ette e defiite come quelle che veivao ossevate egli spetti dei gas imaeva eigmatica. I modelli "classici" dell'atomo, come quello di Thomso (194) o l'atomo ucleae di Ruthefod (1911) - talasciado i meo oti - eao icapaci di foie u'itepetazioe teoica dei isultati speimetali della spettoscopia. Questi pimi modelli atomici quatitativi degli iizi del Noveceto acqueo iveo alquato tadivamete. I pecedeza le leggi spettoscopiche, scopete empiicamete, o eao state sottoposte a test teoici, i macaza di u'elettodiamica i gado di collegale i modo coeete co i moti vibatoi degli atomi (o di pati di essi) che si pesumeva e fosseo all'oigie. Ua teoia di questo geee fu dispoibile soltato dopo il 1895, ao i cui Loetz fomulò ua teoia degli elettoi fodata sull'elettomagetismo maxwelliao. Fose le agioi di questo itado isiedoo ello status delle teoie maxwelliae del campo elettomagetico (1865) e della luce (1873), che solo el 1888, co l'iequivocabile cofema speimetale otteuta da Hetz, acquisioo quella solida base empiica che loo macava. Fu ifie la cofema della coetta pevisioe del appoto e/m pe l'elettoe, otteuta da Zeema (1896) studiado lo sdoppiameto delle ighe spettali ei campi magetici (effetto Zeema), a covicee i fisici che l'elettodiamica classica (o elettodiamica di Lamo-Loetz i ooe dei due scieziati che diedeo i maggioi cotibuti a questa disciplia) poteva essee applicata alla teoia atomica. Tuttavia l'elettodiamica di Lamo-Loetz, se iusciva a itepetae a gadi liee i pocessi di adiazioe i temii di movimeti di elettoi, mal si cociliava co l'evideza dei caatteistici spetti a ighe, e tato meo iusciva a descivee le popietà i modo paticolaeggiato. Ifatti le 1

11 leggi della meccaica e dell'elettodiamica classica, quado vegoo applicate ad oscillatoi caichi come quelli che si suppoevao peseti ell'atomo, potao alle segueti pevisioi: 1. la dimiuzioe dell'ampiezza di oscillazioe delle caiche, dovuta all'iaggiameto di ode elettomagetiche da pate di queste ultime;. la popozioalità dell'itesità della luce iadiata alla quata poteza della fequeza meccaica dell'oscillatoe. Se si accettao tali pevisioi l'atomo "classico", cocepito come u sistema isolato coteete u oscillatoe caico, o può essee stabile, ma deve decadee spotaeamete pe iaggiameto di ode elettomagetiche. Il calcolo peciso della duata media del pocesso d'iaggiameto, eseguito co le leggi elettodiamiche di Lamo-Loetz ell'appossimazioe di dipolo elettico atomico, pevede u tempo di decadimeto dell'odie del cetomilioesimo di secodo (1-8 s). Il lettoe iteessato potà tovae questo calcolo ell'appedice I. I questo pocesso veebbeo iadiate ode di tutte le fequeze, co u picco cetale i coispodeza della fequeza atuale dell'oscillatoe. Di cosegueza, le ighe spettali o potebbeo essee sottili e be macate come si osseva, ma sfumate (spetto cotiuo), e co u caatteistico allagameto (cuva loetziaa, figua (6)). Allagameto figua (6): cuva loetziaa Pe compedee ituitivamete il poblema potete cosideae l'atomo "classico" come ua miuscola atea dipolae. Questo vale se si immagia, come el modello di Thomso del 194, che gli elettoi siao disposti i aelli cocetici all'iteo di ua sfea uifome di eletticità positiva. Ciascu elettoe descive u'obita lugo l'aello e cotempoaeamete può oscillae attoo a ua posizioe di equilibio diamico, poducedo il segale oscillate che fa iadiae l'atea. Nell'atomo ucleae, i cui gli elettoi obitao attoo ad u piccolo e compatto ucleo positivo, il moto dell'elettoe si può descivee come ua combiazioe di due oscillazioi pepedicolai. Di uovo, l'atomo si compota come u'atea adiate. I etambi i casi la poteza iadiata è popozioale al quadato dell'acceleazioe dell'elettoe (legge di Lamo); di cosegueza l'atomo pede eegia e (se o iceve uova eegia dall'esteo) il movimeto degli elettoi cessa apidamete. I alcui casi, peò, la pedita d'eegia pe adiazioe può essee molto bassa. Se vi soo caiche tutte uguali, pe esempio elettoi, l'acceleazioe dell'elettoe ella legge di Lamo dev'essee sostituita dalla somma vettoiale delle acceleazioi di tutti gli elettoi. Poiché si tatta di ua somma vettoiale, se vi soo i media tati vettoi oietati i ua diezioe quati ella diezioe opposta, è possibile che la somma si aulli i ogi istate. Affiché ciò si veifichi è sufficiete che il mometo di dipolo elettico del sistema sia ullo. Thomso, el suo modello atomico del 194, detemiò apputo le codizioi pe ua distibuzioe di caiche co mometo dipolae elettico ullo, be sapedo che i questa situazioe la pedita d'eegia del sistema pe adiazioe saebbe stata bassissima (essua adiazioe di dipolo elettico, pochissima adiazioe di quadipolo 11

12 elettico e dipolo magetico). I calcoli iolte dimostavao che le pedite si saebbeo ulteiomete idotte all'aumetae del umeo di caiche del sistema. Ea duque sufficiete aggiugee semplicemete u umeo sempe maggioe di elettoi elle cofiguazioi a bassa emissioe pe stabilizzae u atomo. Questa o ea ua difficoltà peché all'epoca si iteeva che u atomo coteesse migliaia di elettoi. I questo modo u atomo poteva aggiugee ua vita media estemamete luga. Tovava spiegazioe ache la adioattività, attibuita all'istabilità che si maifestava quado la velocità degli elettoi obitati scedeva al di sotto di u valoe citico. U poblema di meo agevole soluzioe ea quello delle dimesioi dell'atomo. Nei modelli atomici classici si doveva ifatti itodue atificialmete u paameto delle dimesioi di ua lughezza, come il aggio della sfea positiva di Thomso o il "aggio dello ioe" di Jeas, che foiva la scala lieae delle dimesioi atomiche. I macaza di tale paameto o vi saebbe limite, secodo la fisica classica, alle dimesioi degli atomi - cosa palesemete assuda. Se le caiche elemetai (elettoi o "ioi") vegoo cosideate putifomi, come ichiede l'elettodiamica, o si può i alcu modo otteee ua lughezza patedo dalle sole gadezze pemaetemete associate agli elettoi (umeo, massa e caica). L'iseimeto ad hoc di u paameto dimesioale ei modelli atomici poteva isolvee il poblema ma e poeva alti; pe esempio, peché la sfea positiva di Thomso, come ogi alto copo caico esteso, o avebbe dovuto espadesi idefiitamete pe la ecipoca epulsioe delle pati? Ma il poblema più gave e difficile imaeva quello dell'itepetazioe teoica degli spetti: essuo iusciva a icavae, patedo dai paameti di u modello teoico dell'atomo, la fomula di Rydbeg. V L'atomo magetico La iceca di u meccaismo di spiegazioe delle egolaità spettali sembava ievitabilmete icotae difficoltà isomotabili. I pimo luogo, le equazioi del modello dell'elettoe legato elasticamete (o quasi-elasticamete) ammettoo delle soluzioi (chiamate autovaloi) i cui figua il quadato della fequeza, mete le leggi spettoscopiche pesetao ua semplice dipedeza lieae dalla fequeza. I secodo luogo, queste soluzioi o pevedoo u limite della seie, come ivece si osseva. Questa ea la situazioe, appaetemete seza via d'uscita, cui Ritz si tovava di fote quado itapese il suo tetativo di tovae ua descizioe teoica delle egolaità spettali el quado della fisica classica. Ritz ea u fisico teoico di pim'odie, capace di utilizzae al meglio gli stumeti più avazati e poteti della sua disciplia 15. Aveva comiciato cosideado u modello elastico dell'atomo, immagiato come ua membaa bidimesioale flessibile, ed otteedo pe le ν +, dove, soo due coispodeti equazioi ua seie di autovaloi del tipo umei itei. Questo isultato aveva te cosegueze i stidete cotasto co l'espeieza: W. Ritz ( ) 15 u'iteessate assega del lavoo e dei metodi di Ritz i spettoscopia teoica si tova i M. A. Elyashevich, N.G. Kembovskaya, L.M. Tomil'chik. Walte Ritz as a theoetical physicist ad his eseach o atomic specta theoy, i "Physics-Uspeckhi", 38 (4), , Sul cotibuto di Ritz alla teoia dell'elasticità segaliamo V.V. Meleshko, Selected topics i the histoy of the two-dimesioal bihamoic poblem, i "Applied Mechaics Reviews", 56 (1), 33-85, 3. 1

13 1. u aumeto ifiito della fequeza al cescee di,, mete le fomule spettoscopiche tedoo veso u limite fiito della fequeza;. ua dipedeza dal quadato della fequeza aziché dalla pima poteza; 3. ua fomula simmetica ispetto a ',, mete la fomula di Rydbeg è atisimmetica. Ritz osò alloa opeae ua modifica, pe la veità alquato atificiale, delle equazioi elastiche e iuscì a ipodue la fomula di Rydbeg pe gadi valoi di ',. Desideoso di dae ua base fisica alla sua adita costuzioe matematica, si ese coto che ciò ichiedeva ua modifica della defiizioe dell'eegia poteziale elettomagetica del sistema. Sfotuatamete e isultava l'itoduzioe di ua "foza" che o aveva u'itepetazioe fisica agioevole. A questo puto Ritz abbadoò il modello puamete elastico della membaa bidimesioale e adottò u metodo più euistico. Ossevò iazitutto che pe otteee elazioi lieai ella fequeza ν e o el quadato ν si deve patie da equazioi diffeeziali del pimo odie, aziché del secodo come ei modelli elastici. Equazioi del pimo odie ichiedoo che le foze dipedao dalla velocità, come avviee pe le foze magetiche. Sulla base di tali cosideazioi Ritz elaboò u igegoso modello misto elastico-elettomagetico, cosideado u filameto eletticamete caico che uotava itoo ad u asse geeado u campo magetico. Giuse i questo modo a icavae ua fomula che aveva la stessa foma di quella di Rydbeg. Ma Ritz o ea acoa soddisfatto: doveva tovae ua base fisica che edesse meo atificiale il uovo modello. Alla fie decise di iuciae a qualsiasi elemeto elastico e sostituì il filameto co u campo magetico atomico. Questo modello magetico dell'atomo (198), olte a foie la pima itepetazioe teoica della fomula di Rydbeg, dava ache ua isposta al poblema delle dimesioi atomiche, poiché itoduceva i modo atuale u paameto dimesioale, cioè la lughezza della calamita atomica geeatice del campo. figua (7): calamita atomica figua (8): catea di mageti elemetai Ritz cogettuò quidi che l'atomo fosse la sede di u iteso campo magetico geeato da ua micoscopica ma potete calamita (o dipolo magetico, figua (7)). Il campo magetico i u puto P lugo l'asse della calamita è dato da H = µ = µ, dove 1 è la distaza di P dal polo positivo e l è la lughezza 1 l della calamita. Esattamete lo stesso campo saà ceato dalla catea di magetii mostata ella figua (8). l Se idichiamo co d il umeo dei magetii elemetai, ciascuo di lughezza a ( = ), e se la d distaza dal puto P è = a, alloa 1 = a, dove = d+', e vi saà el puto P il campo µ 1 1 (7)H = a. 13

14 Oa, se el puto P vi è u elettoe che può compiee piccoli movimeti i ua istetta aea itoo a P el piao pepedicolae all'asse del campo, questo elettoe si toveà immeso i u campo quasi omogeeo. L'itesità dell'ipotetico campo magetico atomico, pe le fequeze ottiche, ea stimato dell'odie di 1 8 gauss, che ea 1 4 volte il campo esteo i cui veivao immesi gli atomi egli studi sull'effetto Zeema. Ritz ipotizzò che ogi iga spettale fosse il isultato di ua sepaazioe pe u effetto Zeema di tipo paticolae (cioè diveso dall'effetto Zeema omale), causato - ache i asseza di u campo magetico esteo - dall'azioe del campo atomico iteo. La sepaazioe Zeema i u campo magetico - cioè la distaza (i fequeza) dalla posizioe oigiale della iga spostata - è uguale alla fequeza di Lamo ( 8) ν L = eh 4π mc, che appeseta la fequeza del moto di pecessioe dell'elettoe i u campo magetico uifome (Lamo, 19). L'itepetazioe classica di questo spostameto è ipotata ell'appedice II. Dalla (7) e dalla (8) si ottiee µ e π mc a ( 9) ν = Se cofotiamo la (9) co la geealizzazioe () della fomula di Balme toviamo e µ l'espessioe della costate di Rydbeg R = i fuzioe dei paameti del modello, 4π mc a dove la lughezza (a) e il umeo (d) dei mageti elemetai soo paameti vaiabili; la lughezza assume caattee fodametale, essedo ua popietà pemaete dei mageti elemetai. È otevole come Ritz, itoducedo le codizioi 1 ='a e =a pe le distaze dell'elettoe dai due poli del magete atomico, abbia fatto qualcosa che somiglia molto ad ua quatizzazioe della lughezza: distaze multiple di ua lughezza fodametale dao luogo alle seie spettali ossevate. Iolte, vaiado la lughezza di uo degli elemeti estemi della catea, si poteva ipodue la coezioe di Rydbeg; ed allo stesso modo si potevao otteee i successivi temii coettivi (di Ritz, ecc.) vaiado le lughezze del secodo magetio (del tezo, ecc.). I defiitiva, dipededo dai paameti vaiabili del modello, ogi iga veiva a dipedee da u diveso stato dell'atomo. Il modello di Ritz cosetiva di dae u'itepetazioe fisica molto semplice del picipio di combiazioe: ciascuo dei due temii ella (4) poteva essee itepetato come il cotibuto di uo dei poli della calamita atomica. Secodo questa itepetazioe le diffeeti combiazioi dei temii spettali eao semplicemete la cosegueza di possibili vaiati ella posizioe ecipoca dei poli. Noostate questi successi, il modello magetico dell'atomo o ebbe molta fotua. Malgado la sua sagacia Ritz o iuscì ad idividuae u meccaismo fisico che spiegasse l'oigie del campo atomico; fu comuque il pimo a podue pevisioi teoiche di uove seie spettali. Oggi sappiamo che la spiegazioe della stuttua degli spetti o è coessa co campi magetici itei all'atomo, ma co iteazioi elettostatiche che avvegoo ell'atomo. Tuttavia l'idea di Ritz della pecessioe 14

15 magetica dell'elettoe pefigua i qualche misua il cocetto di mometo magetico obitale e di spi ella teoia quatistica dell'atomo. 16 VI II modello atomico di Boh Da buo speimetatoe qual ea, quado el 1911 itodusse il modello ucleae dell'atomo pe spiegae i dati delle famose espeieze sulla diffusioe delle paticelle alpha, Ruthefod o si peoccupò eccessivamete dei poblemi isogeti, che pe i teoici costituivao u gave difetto del modello. Pe esempio, o si poteva sfuggie al poblema della stabilità, come ea stato possibile a Thomso. Vi eao omai pove coviceti che il umeo () degli elettoi ell'atomo o poteva essee molto gade (doveva essee dell'odie della metà del peso atomico A: A ); almeo el caso dell'idogeo o ea duque evitabile la coclusioe che l'uico elettoe, feato el suo moto dalla eazioe di adiazioe, avebbe compiuto delle obite che si estigevao sempe più, fiedo pe subie u collasso sul ucleo. La taiettoia pecosa dall'elettoe, patedo da ua distaza dell'odie di 1-8 cm (aggio dell'atomo) e femadosi sul ucleo a cica 1-1 cm dal ceto (aggio del ucleo), saebbe appasa come ua spiale ad u ossevatoe esteo. A beeficio dei lettoi iteessati abbiamo ipotato ell'appedice III u calcolo del tempo di collasso dell'atomo di Ruthefod. Evidetemete la fequeza della adiazioe emessa, veedo a dipedee dal aggio vaiabile dell'obita a spiale pecosa dall'elettoe duate la caduta veso il ucleo, doveva vaiae co cotiuità, dado luogo ad uo spetto cotiuo. Gli spetti a ighe imaevao duque assolutamete ispiegabili el modello di Ruthefod. Quato al poblema dimesioale, veiva ad aggiugesi a quello dell'atomo ache il poblema delle dimesioi del ucleo. Boh, che lavoava el laboatoio di Ruthefod, ebbe la geiale ituizioe di usae la costate h di Plack (che ha le dimesioi di azioe = eegia x tempo) pe costuie ua gadezza atomica, dipedete soltato dalla massa e dalla caica dell'elettoe, avete le dimesioi di ua lughezza: ( azioe) lughezza caica x massa =. Alcui ai pima (196) Jeas aveva fatto otae che combiado la massa e la caica dell'elettoe co l'eegia cietica si può otteee il ecipoco di ua lughezza: eegia = ( lughezza ) 1, ma aveva subito scatato la gadezza così costuita - che elle sue caica N. Boh ( ) itezioi doveva detemiae i umei d'oda spettali - peché ea ua fuzioe dell'eegia, e questa può cambiae el coso del tempo mete i umei d'oda spettali ossevati o cambiao. No appea Boh vide la stuttua "diffeeziale" della fomula di Rydbeg, com'egli stesso ifeisce, tutto gli divee chiao: poteva usae la costate di Plack pe otteee ua elazioe eegia-fequeza e, attaveso questa, peveie a u'itepetazioe teoica del picipio di combiazioe, i cui ogi temie coispode ad uo stato eegetico dell'atomo. 16 il cocetto di spi dell'elettoe si può itodue ache ell'elettodiamica classica (v. M. K.-H. Kiesslig, Classical electo theoy ad cosevatio laws, Phys. Lett. A58 (1999) 197-4). 15

16 Il modello atomico di Boh (1913) è il pimo modello quatistico dall'atomo, ache se le idee quatistiche vegoo itodotte all'iteo di u impiato acoa classico. U appoccio di questo tipo viee defiito "semiclassico", poiché il sistema i esame viee cocepito come u oggetto classico (le posizioi e le velocità di tutte le paticelle del sistema soo simultaeamete detemiate istate pe istate), e quidi viee descitto dalle leggi della meccaica di Newto e dell'elettodiamica di Lamo-Loetz; el modello vegoo poi itodotti "ad hoc" due postulati quatistici che pemettoo di spiegae la stabilità dell'atomo e gli spetti atomici. Cosideiamo il caso semplice di u atomo d'idogeo (o uo ioe idogeoide) co l'uico elettoe che pecoe obite cicolai che obbediscoo alle leggi di Kepleo, come i u piccolo sistema plaetaio. Come oa sapete, ua descizioe classica iteamete coeete del moto dell'elettoe pevede il collasso dell'elettoe sul ucleo lugo ua taiettoia a spiale pe effetto della eazioe di adiazioe. Ma mettiamo mometaeamete da pate questi effetti elettodiamici e tascuiamo ache gli effetti elativistici (suppoiamo cioè che la velocità dell'elettoe sia molto più piccola di quella della luce); iolte assumiamo il ucleo putifome ed immobile. Co queste appossimazioi il moto dell'elettoe obbedisce alle semplici leggi di Newto. U semplice calcolo 17 mosta che la velocità dell'elettoe è data da Ze (1) v =, m e la sua eegia totale è ( 11) 1 Ze E =. 1 Ze La (11) affema i patica che il lavoo che si icava aestado l'elettoe (cioè ) è mioe del lavoo ecessaio pe potae l'elettoe a distaza ifiita dal ucleo vicedo la mutua attazioe Ze 1 Ze elettostatica (cioè ); i alte paole si deve compiee u lavoo pai pe ioizzae l'atomo. Affema iolte che l'atomo si tova i uo stato legato pe qualuque valoe fiito di ; peciò se i feomei atomici obbedisseo alla odiaia meccaica ewtoiaa o vi saebbe alcu limite supeioe alle dimesioi atomiche, coto ogi evideza speimetale. 17 muovedosi lugo la sua obita cicolae l'elettoe è soggetto a u'acceleazioe dietta adialmete veso il ucleo ( v e soo ispettivamete la velocità e il aggio obitale dell'elettoe). Da pate loo, l'elettoe e il ucleo Ze iteagiscoo elettostaticamete, di modo che agisce sull'elettoe ua foza dietta dall'elettoe veso il ucleo (Z è il umeo di potoi del ucleo, e è la caica elettica del potoe), e atualmete ua foza uguale e cotaia agisce sul ucleo (ma icodate che cosideiamo immobile quest'ultimo). Pe la secoda legge di Newto ( (foza cetifuga) = v Ze Ze m = (foza coulombiaa) = ) la velocità dell'elettoe è alloa data da v =, e la sua eegia totale, m 1 1 Ze Ze uguale alla somma dell'eegia cietica mv = e dell'eegia poteziale elettostatica vale di 1 Ze cosegueza E =. 16 v

17 Boh isolse questo paadosso itoducedo "ad hoc" la "egola di quatizzazioe" del mometo della quatità di moto (o mometo agolae) dell'elettoe, secodo la quale il mometo agolae h dell'elettoe è u multiplo iteo della costate uivesale π : ( 1) dove h L =, π ( 1 ) L = mv, co =1,,3,..., h = eg s. 18 Questa egola limita il umeo delle obite possibili, ta quelle peviste secodo la meccaica classica. Le obite pemesse dalla egola di quatizzazioe (chiamate "obite quatiche" o "autoobite") soo ifiite ma discete (o cotiue, distaziate l'ua dall'alta); a ciascua di esse viee associato u umeo iteo. Le obite quatiche soo stazioaie (coispodoo a stati stazioai dell'atomo), cioè l'elettoe può pemaee idefiitamete su u'obita quatica (seza pedee eegia pe adiazioe elettomagetica), co ua stabilità che o può essee spiegata dalla meccaica classica. Questo è il pimo postulato di Boh. Il secodo postulato affema, i totale cotaddizioe co l'elettodiamica classica, che l'iaggiameto può avveie soltato duate ua tasizioe - o "salto quatico " - ta due obite quatiche, e questa adiazioe ha le stesse popietà di quella che veebbe emessa secodo la teoia classica da ua caica che oscilla amoicamete co ua fequeza costate. Boh o euciò alcua ipotesi sul meccaismo della tasizioe. La egola di quatizzazioe del mometo agolae (1) isolve immediatamete il poblema delle dimesioi atomiche. Ifatti dalla (1) e dalla (1') si può espimee il mometo agolae come: 1 L = Ze m. Alloa, da quest'ultima espessioe e dalla egola di quatizzazioe (1), si tova che il aggio a dell'obita quatica associata allo stato è dato da: ( 13) a = h 4π Ze m. h 8 Pe l'idogeo (Z=l) ello stato fodametale (=1) si ottiee la quatità a1 =.59 1 cm 4π e m chiamata "aggio della pima obita di Boh dell'idogeo" o semplicemete "aggio di Boh", che costituisce ua stima delle dimesioi dell'atomo ello stato fodametale. Questo valoe umeico è dello stesso odie di gadezza di quello otteuto dai isultati di espeieze idipedeti (misue di viscosità dei gas 19 ). 18 la codizioe di quatizzazioe (1), espessa da Boh ella foma geeale pdq h = (dove p e q soo il mometo e le coodiate dell'elettoe), fu itodotta pe la pima volta da Plack el Nella foma (1) è valida pe le obite cicolai. 19 v. pe es. J.H. Hildebad, Itoduzioe alla teoia cietica molecolae, Pogesso tecico, Milao

18 Dalla (11) e dalla (13), si tova ifie che i possibili valoi dell'eegia totale soo dati dall'espessioe: 14 E 4 π Z e m =. h I valoi di E appesetao i livelli eegetici dei sistemi idogeoidi. Abbiamo così fialmete icotato, ello studio dell'atomo d'idogeo, il cocetto di livelli disceti di eegia (figua(9)). Questo cocetto si è ivelato valido pe tutti gli atomi e costituisce uo dei picipali fodametali della fisica quatistica, oché la base della osta affiguazioe della scala dell'eegia. Duate il salto quatico ta due obite, se si fa l'ipotesi che l'eegia totale vega cosevata, l'atomo emette ua ceta quatità di adiazioe elettomagetica, che Boh pe semplicità cosideò emessa i u sigolo atto, omogeea, di fequeza v e di eegia hv. Pe la cosevazioe dell'eegia, la adiazioe emessa dall'atomo ha u'eegia uguale alla diffeeza E -E ', ta i due livelli (più alto, iiziale) e ' (più basso, fiale) coivolti ella tasizioe; questa adiazioe moocomatica detemia la fomazioe di u'uica iga spettale, che obbedisce alla fodametale elazioe E E h 15 ν = ta la fequeza emessa dall'atomo e le eegie degli stati stazioai iiziale () e fiale ('); ello spetto compaià la iga esima appateete alla seie di odie ' della specie atomica cosideata. Notiamo, di passaggio, che pe descivee il pocesso d'emissioe Boh fa icoso alla cosiddetta "secoda teoia" della adiazioe di Plack. Il pocesso adiativo cosiste duque, pe Boh come pe Plack, di sigoli atti di emissioe distiti, ei quali l'eegia vaia pe quati disceti. Ua volta ilasciata ello spazio, peò, questa adiazioe si compota i modo puamete classico, descitto dalla teoia odulatoia, laddove secodo il puto di vista eisteiiao del 195 la adiazioe libea si compoeva di uità distite e idipedeti, dalla doppia atua odulatoia e copuscolae. Boh, come vedete, mateeva sulla teoia della adiazioe ua posizioe cosevatice, acoa molto legata alla fisica classica, mete l'idea di Eistei ea assolutamete ivoluzioaia. Cica veti ai dopo Boh e Eistei fuoo potagoisti di u epico dibattito sui fodameti della meccaica quatistica, ma questa volta a uoli ivetiti. Il legame ta la elazioe di Boh eegia-fequeza (15) e il picipio di combiazioe emege immediatamete se i temii spettoscopici vegoo itepetati alla luce dei livelli eegetici. Nel caso dei sistemi idogeoidi questa coelazioe viee espessa (a meo di ua costate idipedete da ci ifeiamo alla teoia della adiazioe che Plack sviluppò ta il 191 e il 191 e che è ota come "secoda teoia" di Plack. Nella "secoda teoia" plackiaa i quati itevegoo soltato duate i pocessi d'emissioe ed assobimeto, mete la adiazioe libea coseva il caattee odulatoio e cotiuo pevisto dalla teoia classica. La ivoluzioaia idea eisteiiaa del 195 dei quati di luce come costitueti idipedeti della adiazioe libea veiva ifiutata dalla stagade maggioaza dei fisici di alloa (co la sola otevole eccezioe di Stak). Acoa el 196. el suo tattato sulla adiazioe temica, Plack pescideva dai cocetti quatistici, che pue eao ati dalla sua fodametale ituizioe del quato d'eegia el 19 (v. M. Plack, La teoia della adiazioe temica, Faco Ageli, Milao 1999). Su questa iteessate poblematica segaliamo il osto pecedete aticolo La leggeda del quato ceteaio [ e l'iteveto di Joh S. Rigde sul umeo di Apile 5 di Physics Wold [ Nella fodametale memoia del 1913 Boh cosideava il lavoo di Eistei come u meo cotibuto alla teoia di Plack, e acoa el 19 espigeva l'idea dei quati di luce. 18

19 E ) el modo seguete: τ =. Alloa, dalla (4) e dalla (14), si tova subito che il umeo hc d'oda della iga emessa dall'atomo idogeoide ella tasizioe da a ' è dato da: 4 π Z e m 1 1 ν = τ τ = 3 h c. 16 Se cofotiamo la (16) co la geealizzazioe di Ritz della fomula di Balme () abbiamo la 4 π e m pova che la costate di Rydbeg R = è ua costate uivesale, come da lugo tempo 3 h c sospettavao gli spettoscopisti. U'aalisi più atteta mosta che i ealtà il valoe della costate di Rydbeg dipede dalla massa M del ucleo. 1 figua (9): livelli eegetici dell'idogeo La teoia di Boh è stata supeata dai successivi sviluppi della meccaica quatistica e della teoia dei campi. La pima, elle sue divese fomulazioi - Meccaica delle matici di Heisebeg, Bo e Joda (195) e Meccaica Odulatoia di Schödige (196) - ha foito ua defiizioe cocettualmete igoosa degli stati di u sistema atomico. La secoda - i paticolae l'elettodiamica Quatistica di Feyma, Schwige e Tomoaga (1947) - è ua affiata teoia delle iteazioi elettomagetiche egli atomi. Ciooostate, la teoia "igeua" di Boh - ella vesioe geealizzata alle obite ellittiche e icludete gli effetti della elatività istetta 1 il valoe teoico, calcolato ell'appossimazioe della massa ucleae ifiita (ossia ucleo immobile), è ( teo) R ivece R 19737cm -1. Il valoe speimetale pe l'idogeo, detemiato spettoscopicamete (Pasche, 1916), è ( speim) 19678cm -1. Pe tee coto del tasciameto del ucleo, cioè dell'effetto della sua massa fiita, si deve H applicae al valoe teoico pe la massa ucleae ifiita ua coezioe, sostituedo alla massa m dell'elettoe mm la"massa idotta" µ = del sistema elettoe-ucleo. Nel caso dell'idogeo, dove µ m, il valoe m M + µ teoico coetto R ( teo) ( teo) H = R cm -1 coicide pessoché pefettamete col valoe speimetale. M pe ua ecete assega di questi sviluppi suggeiamo la tilogia di A. Maccai, La ascita della meccaica quatistica (I, II, III), Gioale di Fisica, vol. 45, p. 19 (4); vol. 45, p. 195 (4); vol. 46, p. 81 (5). 19

20 (Sommefeld, 1916) - viee aco oggi utilizzata dagli spettoscopisti peché appeseta u buo compomesso ta semplicità e pecisioe. Il cocetto dei livelli eegetici esta del tutto valido e d'impotaza pemiete ache ella meccaica quatistica, dove il poblema fodametale imae, come ella vecchia teoia di Boh, la pedizioe/spiegazioe dei livelli eegetici dei sistemi micoscopici (molecole, atomi, ioi atomici e molecolai, uclei, paticelle, quak,...). VII Le collisioi aelastiche La pima evideza dietta della scala atomica dell'eegia isale al 1914, alloché i fisici J. Fack e G. Hetz codusseo ua iceca speimetale, che valse loo il Nobel pe la fisica el 195, ella quale iuscioo a stimae le eegie atomiche di eccitazioe studiado l'uto co elettoi di atomi ello stato fodametale. Pe uo di quegli stai casi che talvolta accadoo ella scieza, essi o eao cosapevoli di ave i tal modo veificato la teoia di Boh, che a quel tempo eppue cooscevao. 3 Pe di più, la loo itepetazioe dei isultati speimetali o ea del tutto coetta: essi cedevao che le collisioi aelastiche ta gli elettoi e gli atomi di mecuio ioizzasseo gli atomi, mete i ealtà tali collisioi povocao la tasizioe degli atomi di mecuio dallo stato fodametale al pimo stato eccitato. Le collisioi elettoe-atomo possoo essee elastiche o aelastiche. Nel pimo caso la somma delle eegie cietiche dell'elettoe e dell'atomo si coseva, mete el secodo ua pate dell'eegia cietica viee tasfeita dall'elettoe all'atomo duate la collisioe, e si tasfoma i eegia itea di eccitazioe (se cosideiamo l'elettoe putifome e pivo di stuttua itea la sua eccitazioe o deve essee pesa i cosideazioe). Poiché la massa di u atomo è almeo duemila volte la massa dell'elettoe, l'eegia cietica dell atomo o cambia appezzabilmete ella collisioe, e si può cosideae costate. J. Fack ( ) Di cosegueza, l'eegia cietica dell'elettoe e l'eegia di eccitazioe dell'atomo possoo cambiae duate la collisioe, ma o la loo somma. Se idichiamo co K i e K f le eegie cietiche dell'elettoe pima e dopo l'uto e co W l'eegia di eccitazioe dell'atomo, alloa: a) el caso elastico abbiamo K i = K f e W =, b) mete el caso aelastico K i >K f e W = K i -K f >. Idichiamo oa co E 1, E,... i livelli eegetici dell'atomo, detemiati spettoscopicamete, e suppoiamo che pima dell'uto l'atomo si tovi ello stato fodametale co eegia E 1. G. Hetz ( ) Dopo l'uto l'atomo può tovasi acoa ello stato fodametale, oppue può adae i uo degli stati eccitati co eegie E, E 3,... a secoda del valoe dell'eegia iiziale K i dell'elettoe utate. Se K i <E -E 1 l'uto è elastico e l'atomo imae ello stato fodametale, se ivece K i >E - E 1, l'uto è aelastico e l'elettoe utate imbalza via dall'atomo co eegia K f =K i +E 1 -E, 3 v. G. Holto, O the ecet past of physics, Ameica Joual of Physics, vol. 9, p. 85 (1961).

21 mete l'eegia dell'atomo aumeta di W = E -E 1. I paticolae, quado K i =E -E 1 l'eegia dell'elettoe è appea sufficiete a potae l'atomo el pimo stato eccitato (chiamato ache livello di isoaza), e l'elettoe si aesta (K f =). Questa cicostaza ede possibile ua misua dietta dell'eegia di isoaza. Fack ed Hetz, tabulado i valoi di K f coto K i, poteoo detemiae i valoi di E -E 1 (cioè di K i quado K f = ). 4 I questo modo essi utilizzaoo gli elettoi come sode pe ivestigae la stuttua dell'atomo. Secodo la teoia quatistica, u atomo che è stato eccitato pe uto elettoico el livello di isoaza decade spotaeamete ello stato fodametale emettedo u quato di luce di fequeza E E1 ν =. Il tempo di decadimeto, che è dell'odie di 1-8 s, viee detto "vita media dello stato h eccitato". Fack ed Hetz iuscioo ache a detemiae simultaeamete la fequeza v e l'eegia del livello di isoaza E. Il loo appaato speimetale ea simile a quello utilizzato da Lead egli studi sulla ioizzazioe pe uto, mostato schematicamete ella figua (1). figua(1): appaato di Fack-Hetz Del vapoe di mecuio a bassa pessioe viee itodotto i u tubo, al cui iteo u filameto iscaldato F emette degli elettoi. Gli elettoi soo acceleati veso la giglia G, che si tova a u poteziale positivo ispetto a F; quelli che supeao la giglia vegoo alletati da u piccolo poteziale itadate, di cica.5-1 Volt, ta G e la placca P (la giglia si tova a u poteziale positivo ispetto alla placca) pima di aggiugee quest'ultima. Gli elettoi, emessi pe effetto temoioico co velocità tascuabile, vegoo acceleati dalla diffeeza di poteziale (d.d.p.) F-G, dell'odie di 1- Volt. La distaza G-P, di cica 1- millimeti, è molto mioe del cammio libeo medio degli elettoi el gas coteuto el tubo, mete la distaza F-G è lievemete più gade del cammio libeo medio 5. Se idichiamo co V la d.d.p. che accelea l'elettoe, questo aggiuge la giglia co eegia ½ mv =ev. Regolado V si può fissae a piacimeto l'eegia degli elettoi che giugoo i possimità della giglia. Ammettedo che l'elettoe o peda eegia lugo il pecoso fio alla giglia, esso avà u'eegia e(v-v GP ) quado aggiuge la placca, dove il suo aivo viee egistato come ua vaiazioe di coete dal galvaometo A. 4 il lavoo oigiale vee pubblicato su Vehad. Deut. Physik Ges., vol. 16, pp (1914). 5 queste codizioi speimetali possoo vaiae a secoda dei feomei che si voglioo mettee i evideza egli espeimeti: uti elastici o aelastici, poteziali di eccitazioe o di ioizzazioe, ecc.. Iolte vi soo vai fattoi che ifluezao i isultati degli espeimeti, come il umeo e l'effettiva distibuzioe delle velocità degli elettoi emessi dal catodo, l'accumulo di caica spaziale i possimità del catodo. le distaze ta gli elettodi, la geometia del tubo, i meccaismi di eccitazioe, la fomazioe di ioi... (v. G. F. Hae, What eally happes i the Fack-Hetz expeimet with mecuy?, Ameica Joual of Physics, vol. 56. p. 696 (1988)). 1

22 Poiché i queste espeieze si lavoa co poteziali dell'odie di alcui volt, è pefeibile pe comodità espimee l'eegia degli elettoi i ev (l ev J). Come sappiamo dalla teoia quatistica, ta eegia di eccitazioe e lughezza d'oda della adiazioe emessa dall'atomo vale la elazioe E = ev = h c, da cui λ hc 17 λ V = 1395, e dove λ è espesso i Å e V i Volt. Mediate questa elazioe i poteziali atomici di eccitazioe si possoo espimee i temii di ighe d'emissioe o vicevesa. E E1 Quado il poteziale V aumeta da fio al valoe la coete egistata dal galvaometo e aumeta; i questo itevallo gli uti soo elastici e gli elettoi acceleati aggiugoo la giglia co eegia sufficiete a isalie co facilità il debole cotocampo G-P. Ma o appea V E E supea 1 gli elettoi cedoo quasi tutta l'eegia i uti aelastici co atomi i possimità e della giglia, e solo pochi elettoi iescoo a isalie il cotocampo. Il poteziale citico I E E V = 1 viee detto "poteziale di isoaza". Al di sopa di questo valoe il puto el quale e gli elettoi aggiugoo la velocità citica si sposta veso F e u umeo sempe maggioe di elettoi subisce uti aelastici; la coete egistata dal galvaometo dimiuisce alloa apidamete, fio a u valoe miimo quado V aggiuge il valoe V I +V GP. Aumetado acoa V da V I +V GP a V I la coete ipede ad aumetae, peché oa gli elettoi i media soo soggetti a uti aelastici pima di aggiugee la giglia e hao così il tempo di acceleae ua secoda volta e isalie il debole cotocampo G-P. Quado V aggiuge il valoe V I, cioè il doppio del poteziale di isoaza, la coete cala di uovo velocemete. Ifatti oa gli uti aelastici avvegoo i media a metà stada ta F e G e gli elettoi hao il tempo di iacquistae iteamete l'eegia peduta e subiscoo u secodo uto aelastico pima di aggiugee la giglia. Si aggiuge u uovo miimo della coete quado V è uguale a V I +V GP ; al di sopa di questo valoe la coete ipede ad aumetae. Lo stesso compotameto della coete si ipete pe valoi del poteziale acceleate pai a 3 V I, 4 V I, ecc. Come mostato ella figua (11) i massimi soo tutti situati alla medesima distaza, data dal poteziale di isoaza V I (4.9V pe il mecuio). Pe misuae poteziali di eccitazioe d'odie più elevato (del poteziale di isoaza) è ecessaio idue la pessioe i modo che il cammio libeo medio degli elettoi el gas sia dell'odie della distaza F-G. U esempio delle caatteistiche coete-d.d.p. che si possoo otteee è mostato ella figua (11'). Quado la pessioe del gas el tubo viee fatta dimiuie compaioo uovi picchi elle caatteistiche coete-d.d.p. (pima V I =4.9V, poi V II =6.7V, poi V III =8,8V,...). La pessioe dev'essee egolata accuatamete; da questo dipede ifatti il cammio libeo medio degli elettoi el gas e quidi la pobabilità di collisioe co gli atomi di mecuio. Adopeado u vapoe satuo (otteibile pe esempio poedo el tubo ua goccia di mecuio) la pessioe dipede soltato dalla tempeatua. Pe questo motivo duate gli espeimeti il tubo viee messo i u bago di caloe (u foo o u efigeatoe a secoda che iteessio alte o basse pessioi) a tempeatua costate,

23 cotollata mediate ua temocoppia 6 ; i tal modo la pessioe del vapoe satuo può essee completamete detemiata e cotollata. figua (11): caatteistica coete-ddp figua (11 ): caatteistica coete-ddp a bassa pessioe Alle pessioi estemamete basse il cammio libeo medio e il più elevato poteziale di eccitazioe che si può detemiae co questo metodo soo fotemete ifluezati dalla geometia del tubo. Il poteziale di ioizzazioe, cioè il lavoo (i ev) ecessaio pe sepaae u elettoe dal esto dell'atomo (ioe Hg + ), può essee misuato co la stessa appaecchiatua. A tale scopo viee stabilita ta G e P ua d.d.p. molto elevata (cica 4 volt). I queste codizioi essu elettoe può aggiugee P isaledo il cotocampo G-P. Tuttavia, se qualche atomo viee ioizzato pe uto elettoico i possimità della giglia, lo ioe Hg + esiduo viee acceleato dal poteziale G-P e il galvaometo A egista ua coete. Questo accade pe u detemiato valoe V i del poteziale acceleatoe, chiamato "poteziale di ioizzazioe" (pe il mecuio V i =1.4V). Quado il poteziale acceleatoe V supea V i, gli elettoi subiscoo u uto aelastico e imbalzao via co l'eegia K f =V- V i, che può assumee tutti i valoi possibili (spetto cotiuo). Nel esocoto dei loo espeimeti Fack ed Hetz pesetaoo vai diagammi che mostao, come ell'esempio qui a fiaco, massimi molto evideti i coispodeza dei poteziali di eccitazioe. Questo ci suggeisce, ache se le cose soo u po' più complicate, di appesetae appossimativamete l'adameto di K f coto K i co ua fuzioe a deti di sega. Di cosegueza, la pedita di eegia K i - K f i fuzioe di K i avà u pofilo a scalii, come mosta la figua (1), che appeseta visivamete la osta scala dell'eegia. Ve e edeete facilmete coto ossevado i due diagammi qui a fiaco: il pimo appeseta ua fuzioe a deti di sega y(x); il secodo, che mosta ua fuzioe a scalii, si può costuie dal pimo ipotado i valoi di x-y coto x. 6 i valoi esisteza-tempeatua pe la temocoppia soo ipotati i appositi hadbook, ma al gioo d'oggi questi dati si possoo tovae i ete [ 3