BILANCIA DI TORSIONE (DI CAVENDISH)

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1 Gruppo 9: Schiavo Poglio Potenza-Zotti Laboratorio II RELAZIONE BILANCIA DI TORSIONE (DI CAVENDISH) Schiavo Dario Matr. 6681

2 Indice: 1. Scopo dell esperienza pag. 3. Descrizione dell apparecchio pag Breve introduzione: teoria dell esperienza pag Esecuzione dell esperienza pag Raccolta dati: prima fase pag Analisi dati pag Bilancia in movimento pag Raccolta dati pag Analisi dati pag Calcolo di G mediante il metodo dell accelerazione pag Determinazione di G mediante il metodo dell'oscillazione pag Raccolta dati pag Analisi dati pag Posizione di equilibrio pag Grafico dei massimi, dei minimi e dell oscillazione completa pag Calcolo del periodo di oscillazione pag Determinazione della posizione di equilibrio pag Determinazione della costante di Gravitazione pag Determinazione della costante elastica del filo pag Smorzamento pag Conclusioni pag Appendice pag. 19

3 3 Scopo dell esperienza La bilancia di Cavendish è un adattamento del 1798 della bilancia di torsione ideata da Coulomb; il dispositivo permette di dimostrare l'attrazione fra le masse di due corpi e di determinare la costante di gravitazione universale G - la costante di proporzionalità che appare nella legge di gravitazione universale di Newton mediante il metodo dell accelerazione iniziale e dell escursione finale. Il risultato atteso di G è Descrizione dell apparecchio G = 6,6759 ±,85 La bilancia è costituita da un dinamometro di torsione, i cui movimenti si osservano mediante un indice luminoso, che proietta un raggio su di una scala graduata (errore di sensibilità:,1 cm). La fonte luminosa è stabile ed è posta a distanza fissa dalla bilancia. Il sistema di torsione è costituito da una piattina che sorregge l'equipaggio mobile (corpo di torsione con piccole sfere di piombo e specchietto per l indice luminoso); l'equipaggio è racchiuso in una custodia, montata su un'asta di sostegno con supporto girevole per due grandi sfere di piombo che agiscono sul sistema di torsione. Le due masse sferiche molto maggiori, a bilancia è scarica, sono poste ortogonalmente e vengono avvicinate alle masse piccole in modo da formare una coppia di forze: avvicinate le sfere grandi, si libera l'equipaggio mobile che compie oscillazioni di torsione. La bilancia, dunque, ruota fino a raggiungere una posizione di equilibrio dove, cioè, il momento gravitazionale eguaglia il momento di torsione. Questo consente di valutare la forza gravitazionale agente tra le sfere grandi e quelle piccole. La figura 1 mostra uno schema della bilancia. Per la misura del tempo viene usato un cronometro digitale (errore di sensibilità:,1 s) azionato da un operatore. figura 1 Schema della bilancia di Cavendish Per il corretto svolgimento dei calcoli, vengono forniti i seguenti dati: Massa delle sfere di piombo grandi: M = (1.53 ±.1) kg; Massa delle sfere di piombo piccole: m = (15. ±.1)x1 3 kg; Distanza dell asse di rotazione (filo di torsione ) dai centri delle sfere piccole: d = (5. ±.1)x1 m; Distanza tra i centri di una coppia sfera piccola sfera grande più vicina, in posizione di equilibrio r = (4.5 ±.1)x1 - m; Distanza della scala graduata dallo specchietto della bilancia: L=(547.5 ±.1)x1 - m;

4 4 Breve introduzione: teoria dell esperienza Per la determinazione di G si possono utilizzare due metodi: il metodo dell accelerazione e il metodo dell oscillazione. Il metodo dell accelerazione è il meno accurato, a causa delle numerose approssimazioni introdotte. Non si tiene conto, ad esempio, dell attrito con l aria, che è proporzionale alla velocità. Sia θ l angolo di incidenza del raggio luminoso all istante iniziale t = e θ l angolo di incidenza al generico istante t, in cui l asta ha ruotato di un angolo φ rispetto alla posizione di partenza, a causa dell attrazione gravitazionale fra la massa m e la massa M. Sia β l angolo di cui è ruotato il raggio riflesso incidendo sull asta graduata ad una distanza S rispetto alla posizione iniziale S. Sia s lo spazio percorso, all istante t, dalla massa m sotto l effetto dell attrazione gravitazionale, mentre L è la distanza fra l asta graduata e la sbarretta mobile e d la distanza fra il fulcro e la massa m. Allora, per angoli piccoli, possiamo dire che mentre Dunque si avrà che da cui Lβ = S φd = s θ θ = φ e β = θ (θ φ) = φ S d s = L figura Spostamento della bilancia Quindi la misura di S nel tempo permette di ricavare anche s in funzione del tempo, ed in particolare l accelerazione (vedi figura ) si otterrà come s t d s L t Poiché si ipotizza in un primo momento il moto delle sferette come un moto uniformemente accelerato del tipo

5 5 1 S = at si può ricavare il valore dell accelerazione s.t s t d = a L e quindi Quando le masse grandi M vengono spostate, il sistema si mette in moto. moto. Possiamo descrivere questo andamento attraverso la seconda equazione del moto τ = I α considerando per il momento solo le forze che producono il moto uniformemente accelerato. Quando il sistema è fermo, o quasi, la forza attrattiva della massa M è equilibrata dalla reazione del filo. Spostando le masse M, invece, la reazione non è più equilibrata ed anzi si somma all azione attrattiva delle masse M sistemate, ora, dal lato opposto delle masse m; l equazione del moto si può scrivere come: Fd ϕ kϕ = I (1) t + ma poiché il momento torcente dovuto alla forza gravitazionale è equilibrato dal momento torcente del filo, possiamo scrivere dgmm τ = Fd = = kϕ a e quindi la (1) diventa a 4Fd = I L con a =accelerazione ricavata dal fit sperimentale I =momento di inerzia passante per il filo GmM = a F Ed conoscendo tutti i termini è possibile calcolare G come a a d = 4LM G Il secondo metodo che verrà applicato è il metodo dell oscillazione, più accurato. In questo caso si ha ϕ j = - kj - b( ) t t I + che è una equazione differenziale che ha al secondo membro kj (il momento di richiamo elastico), b(dj/dt ) (il momento associato alla forza di attrito viscoso) e Fd (il momento relativo all interazione gravitazionale). La soluzione è dunque j(t) = Ae -st Cos (w t + y) + Fd Fd k

6 6 con s = (w ) e w b I = = w k I s w è la pulsazione del moto armonico y è la fase del moto armonico La costante elastica del filo k si può determinare attraverso i dati; considerando il moto armonico, infatti, la pulsazione w è data da w = k I ed il periodo da T = p I k. T si determina come media dei primi periodi e permette di calcolare k. Ricordando che e che S eq è j eq è pari a S eq /L Sm -S Seq = dove S è la posizione iniziale dello spot luminoso e S m è la media di alcuni valori massimi e minimi raggiunti dalla funzione; per sostituzione si ottiene che permette di calcolare il valore di G. pdseq r G = LMT Esecuzione dell esperienza: raccolta dati La prima fase dell esperienza prevede l osservazione delle oscillazioni della bilancia, tenuta a riposo da 4 ore, per 1 minuti, prendendo nota delle oscillazioni ogni minuto. Questa prima rilevazione è necessaria al fine di misurare la posizione di equilibrio iniziale. Sono riportate di seguito le misurazioni

7 7 T(s) Posizione (cm) Tabella 1 Misurazione della posizione di equilibrio Analisi Dati In realtà, la vera posizione di riposo dello strumento si avrebbe con le masse M a 9 rispetto alle masse m, tuttavia l'esperienza viene svolta con le masse M ad una distanza nota dalle masse m. Con i dati ottenuti si calcola la posizione di equilibrio iniziale S come valor medio; la deviazione standard fornisce l'incertezza sulla posizione di equilibrio. 4 s i= 1 S = = (5.56 ± 4.1) cm Bilancia in movimento: raccolta dati La seconda fase ha inizio con la messa in moto della bilancia: le masse più grandi vengono spostate e poste vicino alle masse più piccole. A questo punto si prende ogni 5 secondi, per 1 secondi, della posizione del raggio sulla scala graduata. Nella tabella sono riportati i dati di questa seconda rilevazione. T(s) Posiz.(cm) T(s) Posiz.(cm) Tabella Misurazione della posizione ogni 5 secondi per 1 secondi Analisi Dati Questi dati iniziali sono necessari per calcolare la costante di gravitazione G tramite il metodo dell'accelerazione il valore della costante G. E' bene specificare che questo non e' un metodo preciso. Questo metodo, infatti, tiene conto del fatto che, inizialmente, il moto delle masse piccole può essere considerato come un moto uniformemente accelerato. Tuttavia, i dati acquisiti presentano delle imperfezioni, in quanto per i primi secondi la bilancia ruota in un senso e poi cambia direzione, procedendo solo dopo il 5 secondo le aspettative; questo fa pensare che probabilmente i calcoli su questi primi 1 secondi verranno falsati proprio da questa imprecisione. In ogni caso, si procede all'elaborazione di questi primi 1 secondi; ciò che si ricerca è un andamento di tipo parabolico, basato su di un best fit. Il grafico 1 mostra il risultato dell'elaborazione.

8 8 cm Grafico 1 Best Fit parabolico dei primi 1 secondi t@secondi D Il moto delle masse piccole,cioè il moto di rotazione del manubrio può essere considerato come un moto uniformemente accelerato,trascurando però la tensione del filo e l'attrito con l'aria. Come si evince dal grafico,però,l'andamento non è propriamente parabolico,si direbbe perlopiù rettilineo,e questo è probabilmente dovuto al fatto che si sono dovute scartare molte rilevazioni,in quanto giudicate non attendibili. Il test del χ ha avuto esito positivo, il suo valore è al di sotto della soglia critica,tuttavia non è stato possibile fare molto affidamento sulle rilevazioni di questi primi 1 secondi. Dopo alcune ore, e' stata ripetuta questa rilevazione; il risultato si e' dimostrato molto più attendibile, come e' possibile vedere nel grafico S@cm D t@secondi D Grafico Best Fit parabolico dei primi 1 secondi Misura ripetuta Questa seconda rilevazione ha dato pienamente l'esito atteso: infatti, l'andamento e' dello stesso tipo 1 delll'espressione che lega lo spazio con il tempo nel moto con accelerazione costante S(t) = at. Dai dati del Best Fit si estrapolano a (posizione iniziale ideale della bilancia all istante t=) = cm b (velocità iniziale delle due masse ) = cm/s c (semiaccelerazione) = cm/s L accelerazione del manubrio è dunque a= m/s

9 9 Il relativo errore su a è.1138 x 1-9. Calcolo di G mediante il metodo dell accelerazione Si calcola infine G con la formula Quindi a* D* r G = 4* L* M G = 5.1x1-11 Nm/kg L'errore su G è stato calcolato con la somma in quadratura di ogni errore con la formula a r L M d G = * G =.3x1-11 Nm/kg a r L M d Determinazione di G mediante il metodo dell'oscillazione Raccolta Dati Si passa dunque (senza fermare né la bilancia né il cronometro) al rilevamento delle posizioni ogni secondi, finché non si sono raccolti dati per 6-7 periodi di oscillazione. Nella tabella 3 sono riportati i dati delle rilevazioni Tabella 3 Dati delle misurazioni effettuati ogni secondi 34-9.

10 1 Analisi Dati Con i dati ottenuti si procede alla determinazione di G con il metodo dell'oscillazione Questo metodo e' maggiormente accurato rispetto a quello dell'accelerazione; con questo metodo, infatti,si considera non solo la forza agente sulle masse (che quindi risulterebbe costante) ma anche la forza di richiamo del filo che si oppone alla torsione Il grafico 3 mostra l'andamento delle oscillazioni S@cm D T@secondi D Grafico 3 Posizione in funzione del tempo rapportata allo stato di equilibrio stimato Si può notare che il moto segue un andamento sinusoidale smorzato esponenzialmente nel tempo. Per il calcolo di G, questa volta si dovrà utilizzare la formula G = π ds LMT eq r dove T e' il periodo dell'oscillazione e S eq la posizione di equilibrio finale raggiunta dal sistema delle masse m ed M; queste due grandezze sono determinabili analizzando i risultati ottenuti. Innanzitutto bisogna trovare con buona precisione il valore dei massimi e dei minimi dell'oscillazione per le prime sei oscillazioni. Perciò sono stati esaminati i massimi e i minimi del grafico, interpolando i dati, nell'intorno di tali punti, con una parabola. Ecco tutti i punti di massimo o di minimo ottenuti con l'interpolazione.

11 11 Primo Massimo Secondo Massimo Terzo Massimo

12 1 Quarto Massimo Quinto Massimo Sesto Massimo

13 13 Primo Minimo Secondo Minimo Terzo Minimo

14 14 Quarto Minimo Quinto Minimo Sesto Minimo

15 15 La tabella 4 elenca i vertici delle parabole, e quindi di massimo e minimo T(s) ±.1 s Posizione del Max (cm) ±.1 cm T(s) ±.1 s Posizione del Min (cm) ±.1 cm Tabella 4 Posizione dei vertici delle parabole Posizione di equilibrio La posizione di equilibrio e' data dunque dalla relazione S = [(1/6)*(M1+M+M3+M4+M5+M6)+1/6*(m1+m+m3+m4+m5+m6)]*(1/) = (-1,395±5,71)cm Grafico dei massimi, dei minimi e dell oscillazione completa Identificati i massimi e i minimi dell'oscillazione si tenta un fit parabolico dei massimi e dei minimi aspettandosi che la nostra onda segua un andamento sinusoidale smorzato, compresa dalle parabole formate dall'unione di tutti i punti di massimo (grafico 4) e minimo (grafico 5) S@cm D t@secondi D S@cm D Grafico 4 Fit dei punti di massimo Grafico 5 Fit dei punti di minimo t@secondi D Il fit lineare ha corrisposto le aspettative, quindi non resta che verificare graficamente che l'oscillazione segua effettivamente un andamento sinusoidale smorzato e che sia compreso tra le due parabole (grafico 6)

16 16 D t@secondi D Grafico 6 Oscillazione smorzata - Calcolo del periodo di oscillazione Il periodo dell'oscillazione corrisponde al valore medio dei periodi trovati calcolando la "distanza" (che nel caso in esame sarà espressa in secondi) tra tutti i massimi/minimi. L'incertezza relativa e' pari alla deviazione standard calcolata. Periodi calcolati tra i massimi: (5, 5, 54, 48, 54) s Periodi calcolati tra i minimi: (5, 54, 5, 5, 5) s La media risulta dunque essere T=516± s Determinazione della posizione di equilibrio Il valore del periodo e i valori dei massimi e minimi ci consentono di calcolare la posizione di equilibrio grazie alla relazione ed essendo (come già detto in precedenza 4 S eq S = s i= 1 S = = (5.56 ±.1) cm 4 S = [(1/6)*(M1+M+M3+M4+M5+M6)+1/6*(m1+m+m3+m4+m5+m6)]*(1/) = (-1,395±5,71)cm il valore di S eq con relativa incertezza calcolata facendo la somma in quadratura delle incertezze è S eq =.73 ± 1.3 cm S

17 17 Determinazione della costante di Gravitazione Ricavati tutti i dati, si può determinare la costante di gravitazione G tramite la formula già citata in precedenza G = π d Seq r L M T Ecco il valore da noi trovato con relativa incertezza: G = (6.87 ±.4) x 1-11 Nm/Kg L'incertezza si calcola applicando il metodo della somma in quadratura degli errori relativi: G T T d d M M L L r r S S G eq eq * = Determinazione della costante elastica del filo La costante K del filo si determina applicando la relazione: 8 T md K π = E andando a sostituire i valori trovati K = (1.4 ±.3) x 1-8 L'errore sulla costante elastica del filo si può calcolare con la somma in quadratura delle incertezze relative: K T T d d S S K m m * + + = Smorzamento Si cerca ora di determinare se lo smorzamento del moto armonico sia esponenziale; vengono dunque riportati i punti corrispondenti ai vari minimi su una scala. Le unità saranno lineare per le ascisse e logaritmica per le ordinate. Riportati i dati, attraverso un fit lineare, si interpolano i punti dei massimi con le relative barre d'errore (grafico 7).

18 Grafico 7 Fit Lineare del Logaritmo dei minimi Svolgendo i calcoli, il valore del c si e' dimostrato accettabile considerando due vincoli e 3 gradi di libertà: Possiamo quindi supporre che l'ipotesi sia corretta. Conclusioni c =.14 L'osservazione più consistente e' la differenza nel calcolo della costate di gravitazione: infatti il primo metodo non teneva conto di imprecisioni e quindi non consentiva di calcolare G con una sufficiente approssimazione. Possano aver influito in modo determinante anche le attrazioni gravitazionali di oggetti presenti sul luogo dell'esperimento e dotati di una certa massa. Tuttavia ci si può solo limitare ad indicare questa influenza, in quanto non e' possibile quantificarla esattamente. Una possibile fonte di errore sistematico può essere l'aver trascurato, nella misura del momento di inerzia I, il momento di inerzia del manubrio stesso: M = I d = F( braccio I αg ) Quindi trascurare un dato nel calcolo di I ha portato ad una sottostima dello stesso e conseguentemente ad una stima minore del valore di G. Un altro elemento da analizzare è la distanza r tra masse m e M, considerata in prima approssimazione costante: si può infatti verificare che essa varia nel corso della torsione. Dall'analisi dei dati emerge che, durante il primo minuto di misure, il manubrio compie oscillazioni che determinano una variazione della posizione del raggio luminoso riflesso S, cui corrisponde una diversa rotazione Ф del manubrio. Di conseguenza, a questa variazione Ф corrisponde una variazione del momento torcente proporzionale all angolo di rotazione.