Simulazione ed analisi dei fenomeni di trasporto per moto intorno ad un disco

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1 Simulazione ed analisi dei fenomeni di trasporto per moto intorno ad un disco Autori: Ubaldo Fierro Fabio Fulchini Mirko Granese Alessandro Visconti

2 Indice Indice delle figure... I Indice tabelle... II Introduzione... 1 Teoria del moto intorno ad oggetti Generalità sul moto dei fluidi Moto intorno ad oggetti Case study: moto intorno ad un disco... 6 Uso di FlexPDE per la risoluzione del moto attorno ad un disco Introduzione FlexPDE Costruzione dominio del problema Il sistema di coordinate Il dominio Individuazione variabili del problema Definizione principali parametri del problema Introduzione equazioni che descrivono i fenomeni di trasporto Scelta delle condizioni al contorno Visualizzazione dei risultati ottenuti Analisi fluidodinamica Introduzione Analisi del profilo di velocità: caso standard Analisi del profilo di velocità: componente v z Analisi del profilo di v z su diverse sezioni Analisi relativa a vr Analisi della pressione Introduzione allo studio delle tensioni e del fattore di attrito Caratterizzazione del coefficiente di attrito per variazione di Re Caratterizzazione del coefficiente di attrito per variazione del raggio e velocità Caratterizzazione del coefficiente di attrito per variazione del solo raggio a parità di velocità v Trasporto energia Introduzione... 39

3 4.2. Analisi del profilo di temperatura Analisi del flusso di calore: q z Analisi del flusso di calore: q r Analisi del flusso di calore Effetti della variazione del numero di Reynolds Effetti della variazione del raggio del disco Conclusioni Bibliografia... 51

4 Indice delle figure Figura 1 Diagramma Cd-Re Figura 2 Correlazione J H -Re per una lastra investita Figura 3 Moto intorno ad un disco... 6 Figura 4 Tipi di mesh: strutturata-strutturata a blocchi- non strutturata Figura 5 Sezioni FlexPDE Figura 6 Disco come sodido di rotazione Figura 7 Sezione COORDINATES Figura 8 Dominio del problema Figura 9 Mesh disco investito Figura 10 Sezione VARIABLES Figura 11 Sezione DEFINITIONS Figura 12 Feature Figura 13 Sezione EQUATIONS Figura 14 Sezione BOUNDARIES Figura 15 Grafico tipo VECTOR Figura 16 Grafico tipo CONTOUR di v z Figura 17 Effetto geometria sulla scia a valle del disco Figura 18 ELEVATION a monte del disco Figura 19 ELEVATION in corrispondenza del disco Figura 20 ELEVATION a valle del disco Figura 21 ELEVATION lungo la coordinata assiale Figura 22 CONTOUR v r Figura 23 CONTOUR pressione Figura 24 Coefficiente d attrito-re Figura 25 Coefficiente d attrito-re: Analisi di letteratura comparata ai risultati ottenuti con FlexPDE Figura 26 Coefficiente d attrito-re per raggi differenti Figura 27 h e Nu nella sezione DEFINITIONS Figura 28 Flussi termici nella sezione DEFINITIONS Figura 29 Equazione dell energia nella sezione EQUATIONS Figura 30 Grafico CONTOUR temperatura Figura 31 ELEVATION temperatura sezione ingresso dominio Figura 32 ELEVATION T lungo la coordinata assiale Figura 33 ELEVATION T lungo l asse z Figura 34 CONTOUR q z Figura 35 CONTOUR q r Figura 36 Grafico VECTOR del flusso di calore Figura 37 Q-Re Figura 38 Effetto Re sul profilo di T Figura 39 Correlazione disco investito Figura 40 h-raggio I

5 Indice tabelle Tabella 1 Moto intorno ad un disco: caso standard Tabella 2 Misure del coefficiente d attrito e forza al variare di Re Tabella 3 Misure con raggio = 1.5 volte raggio standard Tabella 4 Misure con raggio = 2 volte raggio standard Tabella 5 Coefficiente d attrito al variare del raggio a parità di velocità v Tabella 6 Studi al variare del numero di Reynolds Tabella 7 Effetto raggio del disco II

6 Introduzione Numerosi fenomeni fisici, chimici e biologici, sono caratterizzati dal trasporto di specifiche grandezze. La disciplina dei fenomeni di trasporto ha identificato i meccanismi di trasporto di quantità fisiche quali: Quantità di moto Calore Materia cercando di unificare l approccio fisico e matematico dei tre trasporti. Le leggi di bilancio per queste grandezze conducono ad equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE), che risultano spesso non risolvibili analiticamente. Con lo sviluppo tecnologico degli ultimi decenni, sono nate nuove discipline che sfruttano software per la risoluzione delle PDE, vedasi in ambito del trasporto di quantità di moto la fluidodinamica computazionale. Uno dei programmi utilizzati a questi scopi è FlexPDE, sviluppato e venduto dalla PDE solution Inc., che consente la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali di ordine superiore al primo, sfruttando il metodo numerico alle differenze finite. Il moto attorno ad oggetti sommersi è un processo di studio ingegneristico, che data la natura delle equazioni che lo descrivono può essere ottimizzato con l uso di software. Di particolare interesse è la valutazione di: Coefficiente d attrito (f) Numero di Nusselt (Nu) Lo studio di questi due parametri, al variare del numero di Reynolds e della geometria del corpo, consente di caratterizzare il sistema in termini fluidodinamici e termici. Infatti entrambi i parametri sono legati alla valutazione del profilo di velocità e temperatura, nonché ai flussi di quantità di moto ed energia. Lo scopo di questo progetto è lo studio di un disco investito da un fluido, a partire da una analisi teorica del sistema in esame, caratterizzando il sistema nell ambiente di calcolo del programma FlexPDE. 1

7 Capitolo 1 Teoria del moto intorno ad oggetti 1.1. Generalità sul moto dei fluidi Lo studio del moto dei fluidi è uno dei problemi più frequenti e rilevanti che si possono incontrare nell analisi dei fenomeni di trasporto. Possibili esempi sono: il moto di un fluido attorno a tubi nei quali scorre un altro fluido per ottenere un certo scambio termico; il flusso di una miscela reagente attraverso un letto fisso o fluidizzato di particelle quando si ha a che fare con reazioni chimiche eterogenee; il moto di un fluido in torri di assorbimento riempite con opportuno materiale di riempimento, come gli anelli o i corpi a sella. In tutte queste situazioni vi sono importanti quantità da valutare per via sperimentale, sia in sede di progetto che di conduzione dell unità di interesse. In particolare, in sede di progetto è fondamentale avere dati sperimentali in quanto una progettazione fatta puramente su una base teorica non potrà mai realizzare un unità operativa funzionante e funzionale. Tra le quantità di maggior interesse nei casi di moto intorno ad oggetti sommersi vi sono la forza di trascinamento, il calore e la materia scambiata. Queste quantità possono essere valutate solo tramite la conoscenza dei coefficienti di scambio rispettivi, cioè il coefficiente d attrito (f), il coefficiente di scambio termico (h) e quello di scambio di materia (Kc). Un importante annotazione riguarda il fatto che f e h non sono coefficienti di scambio in senso stretto perché lo sono più propriamente le quantità e h/. Infatti, moltiplicando questi coefficienti (che racchiudono in loro tutta l ignoranza sul meccanismo di trasporto) per le rispettive forza motrici si ottengono le quantità macroscopiche desiderate. I coefficienti di scambio possono essere valutati con correlazioni empiriche o semi-empiriche in cui compaiono dei numeri adimensionali, che contengono alcune grandezze caratteristiche del sistema, e proprietà fisiche, come la densità, la viscosità, il calore specifico, la conducibilità termica e la diffusività di materia (per condizioni di laminarità si possono anche usare equazioni derivate per via teorica). Per il coefficiente di attrito è necessario conoscere il numero di Reynolds (Re); il coefficiente di scambio termico viene valutato attraverso il numero di Nusselt (Nu), per il quale bisogna conoscere sia il numero di Reynolds che quello di Prandtl (Pr), oltre alla conducibilità termica e una lunghezza caratteristica; il coefficiente di scambio di materia si trova tramite il numero di Sherwood (Nu AB ) e per questo necessita del numero di Reynolds e di quello di Schmidt (Sc), oltre alla diffusività di materia e una lunghezza caratteristica. Le correlazioni suddette valgono sia per moto intorno ad oggetti che per quello intubato, con l unica differenza, però, che in quest ultimo, in regime laminare, si deve tener conto nella correlazione anche della geometria (rapporto diametro/lunghezza). Gran parte delle correlazioni viene presentata in forma grafica, dal momento che una sola correlazione difficilmente riesce a descrivere la relazione coefficiente di scambio-numeri adimensionali per tutto il campo di interesse. I numeri adimensionali sono definiti come segue: 2

8 Dove μ, k, D AB, Cp,, v c, L, sono, rispettivamente, la viscosità, la densità, la conducibilità termica, la diffusività di materia, il calore specifico del fluido, lo sforzo alla parete, la velocità e la lunghezza caratteristica dello specifico sistema. Tutti questi numeri adimensionali hanno un preciso significato fisico di cui, per brevità, non discorreremo. In letteratura vi sono molte correlazioni per diversi numeri di Reynolds, cioè per diversi regimi di moto. I fenomeni di trasporto della quantità di moto, energia e materia sono fondati su meccanismi fisici molto analoghi, soprattutto gli ultimi due e questo comporta che le correlazioni per ciascun fenomeno sono molto simili. Inoltre sono state trovate delle analogie tra i numeri adimensionali caratteristici dei tre fenomeni che mettono in relazione i coefficienti di scambio tra loro. A volte si può aver la necessità di dover conoscere anche i profili delle variabili principali, come la velocità, lo sforzo, la pressione, la temperatura; addirittura, per scopi di ottimizzazione si può anche aver bisogno di conoscere i coefficienti di scambio puntualmente, e non solo quelli medi. L unico modo per avere un controllo completo di tutte le variabili e per calcolare le quantità di interesse, sia globalmente che localmente, è di usare un calcolatore impostando in modo corretto le equazioni di bilancio, che sono equazioni differenziali alle derivate parziali non lineari di grado superiore al primo. Purtroppo, non sempre il calcolatore riesce a trovare una soluzione delle equazioni, anche se il problema è ben posto. Questa eventualità ha una probabilità di accadimento che aumenta all aumentare del numero di Re, cioè all aumentare della turbolenza. Infatti il regime turbolento completamente sviluppato non può essere spiegato in modo esaustivo, nemmeno per via semi-empirica. Di seguito riportiamo le suddette equazioni nella loro forma generale (è stata omessa l equazione per la materia): Equazione di continuità (scalare) Equazione del moto (vettoriale) Equazione dell energia (scalare) 3

9 dove a primo membro di tutte le equazioni è presente l operatore di derivata sostanziale, il quale racchiude il termine di accumulo e quelli di trasporto convettivo della variabile di interesse mentre a secondo membro ci sono i termini di trasporto molecolare e le forze motrici. Purtroppo, anche nel caso in cui esista una soluzione esatta, gli output di un calcolatore che risolve tali equazioni complesse hanno comunque un certo margine di errore Moto intorno ad oggetti Tra i vari sistemi fluidodinamici esistenti, una particolare importanza assumono quelli in cui si ha moto intorno ad oggetti. Questo tipo di moto è molto difficile da studiare a causa della forma non rettilinea delle linee di flusso e, quindi, non si riesce a descrivere analiticamente gli andamenti delle velocità e della pressioni. Nonostante queste difficoltà, per valori del numero di Reynolds minori di 0.1 si è riusciti a trovare espressioni analitiche per le velocità, la pressione e gli sforzi per il moto intorno ad una sfera: il problema di Stokes. A parte questo esempio, comunque, per studiare i profili delle variabili fluidodinamiche principali attorno ad un oggetto investito bisogna ricorrere ad esperimenti. Il corpo che viene investito subisce una forza, detta di trascinamento o anche resistenza del mezzo, che è dovuta sia all impatto del fluido contro di esso, sia a causa di un gradiente di pressione tra monte e valle dello stesso. La resistenza del mezzo interviene in molte applicazioni dell ingegneria chimica; vi sono strumenti di regolazione che possono rendere massima o minima la resistenza del mezzo, secondo le necessità; altri esempi di resistenza del mezzo sono la caduta di una particella solida in un fluido e le sollecitazioni impresse alle strutture per l azione del vento o dell acqua corrente. Parametro importante per valutare la forza di trascinamento è il coefficiente di attrito, la cui espressione è: dove A è la superficie d impatto, è la densità del fluido, è la velocità di libero flusso, detta anche di avvicinamento, ed F è la forza di trascinamento. Il numero di Reynolds, invece, ha la seguente espressione dove D è la lunghezza caratteristica dell oggetto, data da volume/superficie, e è la viscosità del fluido. Come già detto f è funzione di Reynolds. La sua correlazione empirica viene presentata graficamente con un diagramma logaritmico mostrato in figura 1 (specifico per sfera, disco e cilindro) [1]. Come si può ben vedere dalla figura, per valori di Re minori di circa 0.1 gli sforzi viscosi predominano e si hanno andamenti lineari (in un diagramma logaritmico); in questo intervallo il coefficiente di attrito ha espressione: 4

10 Dove C è una costante diversa a seconda dell oggetto. Per valori di Reynolds tra 0.1 e 10 5 si ha una zona di transizione in cui l andamento di f non è lineare. Per valori di Reynolds superiori a circa 10 5 si ha la prevalenza degli sforzi inerziali e una zona dove f è più o meno costante; ad un certo punto però, si ha un brusco abbassamento della curva e di nuovo un andamento all incirca costante. Quest ultimo fenomeno è spiegato dal fatto che ad un certo punto lo strato limite, causato dall attrito del fluido sull oggetto, diminuisce bruscamente a causa del distacco di una sua parte, facendo così diminuire l ingombro dovuto all oggetto. Il distacco dello strato limite avviene ad un determinato Reynolds per una determinata geometria; per il disco il Reynolds critico è all incirca Figura 1 Diagramma Cd-Re. Per quanto riguarda il trasporto del calore parametro importante, come già detto, è il coefficiente di scambio termico h, valutabile tramite il numero di Nusselt; la lunghezza caratteristica da assumere per valutare questo numero è la stessa usata per il coefficiente di attrito. Anche per il coefficiente di scambio h vi sono in letteratura molte correlazioni, soprattutto per il moto intorno a sfere e cilindri, ciascuna valida in un range di valori di Reynolds definito. In genere queste correlazioni vengono presentate in forma grafica, tramite la funzionalità tra il numero di Nusselt e quelli di Reynolds e di Prandtl o tra il fattore di Colburn J H e il numero di Reynolds. La definizione di J H è la seguente: 5

11 La figura 2 [2] mostra una correlazione per il caso della lastra piana investita. In questo diagramma, effettivamente, viene rappresentato l andamento del fattore di Colburn contro Reynolds. Figura 2 Correlazione J H -Re per una lastra investita Case study: moto intorno ad un disco Nel nostro studio, cioè il moto attorno ad un disco (fig. 3), abbiamo studiato gli effetti relativi ai fenomeni di trasporto della quantità di moto e dell energia. Più dettagliatamente il sistema studiato è costituito da un disco che viene impattato assialmente da una corrente d aria. Abbiamo assunto che il nostro fluido abbia proprietà costanti (, μ e ) e che il sistema sia in condizioni di stazionarietà. Figura 3 Moto intorno ad un disco Le equazioni utilizzate sono state l equazione di continuità, del moto e dell energia in forma differenziale in coordinate cilindriche: 6

12 Equazione di continuità L equazione di continuità è l espressione matematica del bilancio microscopico di materia; è costituita dal termine di accumulo, e dai termini che esprimono la velocità di ingresso e di uscita della massa. Il termine di generazione è nullo, in accordo alla legge di Lavoisier. Equazione del moto, componente r Equazione del moto, componente z L equazione del moto si origina dal bilancio microscopico della quantità di moto ed ha natura vettoriale. La componente dell equazione non è stata riportata perché trascurabile nel nostro sistema. In queste equazioni abbiamo al primo membro l accumulo e i termini legati al trasporto convettivo di quantità di moto; a secondo membro si ha la generazione della quantità di moto per gradiente di pressione e per gravità e il suo trasporto molecolare (termine moltiplicante la μ). Equazione dell energia L equazione dell energia ha la stessa struttura dell equazione del moto; al primo membro accumulo e trasporto convettivo, mentre, al secondo, generazione per dissipazione viscosa (termine vicino a μ) e trasporto molecolare (termine vicino a k). Questa struttura simile delle equazioni testimonia l analogia dei fenomeni, la quale, comunque, viene a mancare un po a causa dei diversi tipi di generazione. Queste equazioni, tuttavia, sono state opportunamente semplificate per il caso di studio in questione. La prima semplificazione riguarda la stazionarietà del processo che ha permesso di eliminare i termini di accumulo:,, e. Inoltre, considerando la direzione assiale del moto 7

13 possiamo trascurare la componente della velocità e anche la dipendenza di tutte le altre variabili da questa coordinata; i termini eliminati sono: e dall equazione di continuità;, dall equazione del moto lungo r; e dall equazione del moto lungo z; e dall equazione dell energia. In quest ultima è stata anche trascurata la generazione per dissipazione viscosa. Equazione di continuità semplificata Equazione del moto lungo z semplificata (assiale) Equazione del moto lungo r semplificata (radiale) Equazione dell energia semplificata Come detto la risoluzione al calcolatore di queste complesse equazioni può fornire i profili della pressione (P), delle componenti della velocità lungo r e z (v r e v z ) e della T; a partire da questi è poi possibile ottenere anche i profili degli sforzi e dei flussi di energia. In coordinate cilindriche, con le nostre condizioni, le espressioni degli sforzi viscosi e dei flussi termici (leggi generalizzate di Newton della viscosità e di Fourier della conducibilità) sono: Tramite l integrazione sulla superficie del disco dei profili degli sforzi e dei flussi di energia è possibile arrivare alla forza di trascinamento e alla portata termica. In particolare la forza di trascinamento totale è data dalla somma di 3 termini che sono: integrale dello sforzo sulle due superfici circolari, l integrale dello sforzo sulla superficie laterale e l integrale della pressione sulle due superfici circolari. La portata termica totale, invece, è data dalla somma dei seguenti 2 termini: integrale di sulle due superfici circolari e l integrale di sulla superficie laterale. 8

14 Infine, una volta ottenuta la forza di trascinamento e la portata di calore complessive, possiamo calcolare sia il fattore di attrito f che il coefficiente di scambio termico h con le equazioni: dove è la differenza tra la temperatura del disco e quella ambiente e è l area totale del disco. Trovato h è immediato il calcolo del numero di Nusselt. 9

15 Capitolo 2 Uso di FlexPDE per la risoluzione del moto attorno ad un disco 2.1. Introduzione I fenomeni di trasporto sono descritti da equazioni differenziali alle derivare parziali. La funzione è cosi rappresentata indirettamente attraverso una relazione fra se stessa e le sue derivate parziali. Non esistono metodi generali analitici per risolvere tali equazioni, tuttavia, sono adottate delle semplificazioni per specifici casi (campo velocità irrotazionale, strato limite, creeping flow, problema del Graetz, etc.). L evoluzione informatica ha permesso lo sviluppo di software per lo studio dei problemi dei fenomeni di trasporto, potendo cosi andare oltre al solo studio di problemi in flusso laminare e di semplici geometrie. L approccio tipico di tali software è di discretizzare il sistema da analizzare in celle elementari, per ottenere una griglia di calcolo, detta mesh. In questo modo il dominio iniziale è suddiviso in sottodomini più piccoli e di geometria più semplice (esaedri e tetraedri in 3D, quadrilateri e triangoli in 2D ecc.), così da risolvere le equazioni all interno di ciascun sottodominio e di raccordare le soluzioni ai bordi in maniera tale da rispettare le condizioni iniziali fissate sul bordo del dominio originale. La mesh (fig. 4) può presentarsi in forma: Strutturata: costituito da elementi finiti di tipo uguale, lo svantaggio principale sta nella scarsa adattabilità della griglia a geometrie complesse ma tale mesh consente la possibilità di sviluppare algoritmi più efficienti Strutturata a blocchi: costituito da elementi finiti misti (uguali e differenti), consente di superare i limiti geometrici della mesh strutturata. Gli svantaggi sono legati ad una difficile gestione dei sottodomini e nelle loro interconnessioni Non strutturata: costituito da elementi finiti differenti, presenta un elevata flessibilità geometrica Figura 4 Tipi di mesh: strutturata-strutturata a blocchi- non strutturata. 10

16 Esistono 3 tecniche di discretizzazione: Metodo ai volumi finiti: le equazioni vengono risolte in un volume di controllo discreto e sono integrate definendo le condizioni al contorno sui confini del dominio Metodo agli elementi finiti: Si tratta di una tecnica numerica che ha lo scopo di cercare soluzioni approssimate attraverso la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali le quali vengono ridotte ad un sistema di semplici equazioni algebriche Metodo alle differenze finite: tale metodo si basa sull approssimazione diretta delle equazioni differenziali alle derivate parziali ottenute sostituendo alle derivate parziali delle differenze definite sul dominio del problema Per ogni singolo metodo, la procedura di analisi risulta simile: 1. Viene definita la geometria del problema da analizzare 2. Il sistema in esame viene discretizzato 3. Viene definito il modello fisico-matematico (equazioni del moto, equazione dell'energia) e quindi quello numerico (metodo di discretizzazione delle equazioni, algoritmi per la risoluzione delle equazioni) 4. Vengono definite le condizioni al contorno e quelle iniziali 5. Vengono risolte le equazioni in maniera iterativa. Il calcolo viene interrotto una volta che sia stato raggiunto il grado di accuratezza desiderato FlexPDE Per lo sviluppo di questo progetto, è stato utilizzato il software FlexPDE 6.20, sviluppato e venduto dalla PDE solution Inc. Il programma esegue le operazioni necessarie alla risoluzione delle PDE con il metodo agli elementi finiti, presentando risultati grafici e numerici [3]. Uno script di descrizione del problema è un file di testo leggibile, nel quale l utilizzatore specifica l equazione differenziale alle derivate parziali da risolvere, la geometria del problema, le condizioni al contorno e la visualizzazione degli output. Il programma legge tale file, costruisce la mesh e risolve l equazione, presentando gli output che sono stati specificati dall utente. FlexPDE agisce come una scatola nera (black box), infatti l utente non deve fare i conti con i dettagli degli algoritmi del programma. I contenuti del file sono costituiti da un numero di sezioni, ciascuna identificata da un nome. Le sezioni fondamentali sono (fig.5): TITLE: nome file COORDINATES: sistema di coordinate adottato SELECT: selezionare accuratezza nei calcoli VARIABLES: variabili del problema DEFINITIONS: parametri del problema (densità, viscosità, diffusività, etc.) EQUATIONS: equazioni che descrivono il sistema in esame BOUNDARIES: dominio problema MONITORS e PLOTS: risultati grafici END 11

17 Figura 5 Sezioni FlexPDE. Lo scopo del progetto è stato di analizzare il moto attorno ad un disco di piccolo spessore, in termini fluidodinamici e termici. Le operazioni compiute sono state cronologicamente: 1. Costruzione dominio del problema 2. Individuazione variabili del problema 3. Definizione principali parametri del problema 4. Introduzione equazioni che descrivono i fenomeni di trasporto 5. Scelta delle condizioni al contorno 6. Visualizzazione dei risultati ottenuti 12

18 2.3. Costruzione dominio del problema Il sistema di coordinate La prima operazione compiuta è stata la scelta del sistema di coordinate. Poiché l oggetto investito da un fluido è un disco, è stato utilizzato un sistema di coordinate cilindriche. Il disco è stato ottenuto dalla rotazione di un rettangolo attorno ad un asse, detto asse di rotazione (l asse z, ad esempio, rappresenta l asse di rotazione della regione piana tratteggiata mostrata in figura 6). Figura 6 Disco come sodido di rotazione. Tale funzione è stata impostata nel programma attraverso il comando XCylinder ('z','r') nella sezione COORDINATES (fig. 7), che consente di definire l asse delle ascisse (individuato dal programma con X) come asse di rotazione ed è stato scelto di attribuire a tale asse la lettera z e all asse ortogonale la lettera r. Figura 7 Sezione COORDINATES Il dominio Il dominio del problema è stato definito nella sezione BOUNDARIES. Il progetto ha previsto la descrizione di un disco investito da un fluido in un ambiente aperto; però nessun software è in grado di simulare un tale sistema (moto attorno ad oggetti). Data l impossibilità di descrivere un dominio aperto con il programma, è stata definita una regione esterna, come se il disco fosse contenuto in un condotto esterno di dimensioni tali da simulare un sistema aperto. Tale dominio esterno è stato caratterizzato dai parametri introdotti nella sezione DEFINITIONS: raggio_condotto: rappresenta il raggio dell ipotetico dominio esterno di forma cilindrica; è stato fissato con una dimensione di 0.5 m, pari a 10 volte il raggio del disco così da simulare un sistema aperto. L: rappresenta la lunghezza del dominio esterno; è stata fissata a 0.75 m tale che il flusso di velocità potesse completamente svilupparsi dopo l impatto con il disco. 13

19 Il disco è stato caratterizzato dai parametri geometrici: raggio: individua il raggio del disco, è stato fissato a 0.05 m Lz: il suo doppio rappresenta lo spessore del disco; consente di individuare la posizione rispetto all origine degli assi pari a (0.20-Lz) m Il disco è stato tracciato nel dominio del problema, seguendo il seguente percorso (come si vede in figura): (0,0) (z-lz, 0) (z-lz, raggio) (z+lz, raggio) (z+lz, 0) (L, 0) Figura 8 Dominio del problema. Come è possibile notare FlexPDE lavora con una mesh di tipo non strutturato. Il programma focalizza la mesh nelle regioni dove sono presenti elevati gradienti, consentendo così un uso efficace della griglia. 14

20 Figura 9 Mesh disco investito Individuazione variabili del problema Le variabili del sistema studiato sono il vettore velocità, costituito dalla componente radiale v r e da quella parallela al flusso v z, la pressione p e la temperatura T. Lo studio del processo è stato condotto allo stato stazionario; in questo modo, il tempo non è stato inserito nelle variabili e soprattutto non è stato necessario inserire condizioni iniziali per la risoluzione delle equazioni. Figura 10 Sezione VARIABLES. 15

21 2.5. Definizione principali parametri del problema I principali parametri del sistema sono stati introdotti nella sezione DEFINITIONS come mostrato dalla figura seguente. Figura 11 Sezione DEFINITIONS. Nel sistema come fluido-test è stata impiegata aria; nella sezione DEFINITIONS ne sono state introdotte le principali proprietà fisiche (densità, viscosità, conducibilità termica, calore specifico). Tali parametri sono stati valutati alla temperatura di film del sistema, ed è stato fatto uso di unità di misura del SI (sistema internazionale). 16

22 I parametri fisici dell aria sono stati definiti con la seguente nomenclatura: densità viscosità calore specifico conducibilità In particolare il prodotto tra la densità (dens) ed il calore specifico (Cp) è stato individuato col parametro rcp, per così facilitare la scrittura dell equazione dell energia. Le grandezze fluidodinamiche introdotte in questa sezione sono state: La velocità di libero flusso (v 0 ) Gli sforzi viscosi ( ) La forza di drag (Fz) Il coefficiente d attrito (f) La velocità di libero flusso o velocità di avvicinamento (free stream velocity, v 0 ) è stata impostata a partire dalla definizione del numero di Reynolds. È stato necessario lavorare con un Re molto basso e pari a A questo valore il sistema è rimasto in regime laminare, così da consentire al programma una corretta risoluzione delle equazioni. Con Re che rappresenta il numero di Reynolds ed il doppio del raggio che individua la lunghezza caratteristica del caso di studio (il diametro del disco). Sulla variabile velocità (v) è stata definita la divergenza (div_v), così da poter essere utilizzata nell equazione del moto nella sezione EQUATIONS: Per poter ottenere output grafici specifici, ad esempio per visualizzare il campo vettoriale della velocità), è stato impiegato il comando vector. Con questo comando, la variabile v stata identificata come un vettore costituito da componenti v z e v r. ; anche il modulo del vettore v è stato introdotto (speed): Per la valutazione della forza agente sul disco in direzione parallela alla corrente di fluido (Fz, forza di drag), è stato necessario definire gli sforzi viscosi impiegando l equazione di Newton della viscosità, opportunamente semplificata per il caso in questione: 17

23 ; ; ; Con il comando surf_integral (si veda la figura 12) è stato possibile calcolare l integrale degli sforzi viscosi e della pressione sulle superfici su cui agiscono. Tale comando consente di valutare l integrale superficiale su di una superficie specificata e descritta nella sezione BOUNDARIES con il comando Feature (figura sottostante). Figura 12 Feature. Si riporta la nomenclatura impiegata per la valutazione di F z : con: e:, forza dovuta allo sforzo agente sulla superficie S1, forza dovuta allo sforzo agente sulla superficie S2 18

24 , forza dovuta alla pressione agente sulla superficie S1, forza dovuta alla pressione agente sulla superficie S2, forza dovuta allo sforzo agente sulla superficie S3 La forza Fz è stata utilizzata nella definizione del coefficiente d attrito f: con:, superficie ottenuta proiettando il disco su un piano perpendicolare alla velocità di avvicinamento del fluido. Le grandezze legate allo scambio termico introdotte nello script sono state: Temperatura disco e ambiente Portate termiche Coefficiente di scambio termico (h) Numero di Nusselt (Nu) La temperatura del disco (T disco ) e dell ambiente circostante (T 0 ) sono state fissate rispettivamente a 400 e 300. Utilizzando il comando surf_integral sono state valutate le portate termiche attraverso le superfici S1, S2, S3. Tali grandezze sono state impiegate per il calcolo del coefficiente di scambio h e del numero di Nusselt (Nu): dove: ; 19

25 , portata termica attraverso S1 dovuta a, portata termica attraverso S2 dovuta a, portata termica attraverso S3 dovuta a 2.6. Introduzione equazioni che descrivono i fenomeni di trasporto Il software consente di inserire le equazioni che descrivono i fenomeni di trasporto, digitando ogni termine come in un file di testo come si nota dalla figura sottostante. Figura 13 Sezione EQUATIONS. Il problema è descritto da 4 equazioni in 4 incognite (v r, v z,, T): I termini di trasporto convettivo nelle equazioni ( e ) rendono l equazione di Navier- Stokes e dell energia equazioni non lineari. Dato che le incognite eguagliano le equazioni il problema è matematicamente ben posto, ma FlexPDE non è in grado di risolvere le equazioni differenziali del primo ordine come è l equazione di continuità. Tale limite è superato effettuando la divergenza dell equazione di Navier-Stokes; combinando questa con l equazione di continuità si arriva all equazione di Poisson della pressione [4]: A questa equazione è sottratto il termine per la stabilità numerica. Tale termine aggiunge una pressione addizionale tale da ridurre la divergenza della quantità di moto e così soddisfare la legge di conservazione della materia. Otteniamo così: Con c che deve essere un numero sufficientemente grande tale da far rispettare l equazione di conservazione della materia ed L che rappresenta una grandezza caratteristica del sistema. 20

26 Sperimentalmente è stato deciso di operare con un c pari a 10^-6, tale valore infatti ha consentito di ottenere risultati attendibili Scelta delle condizioni al contorno Nella sezione BOUNDARIES (fig. 14), la definizione del dominio del problema è stata accompagnata dalla scelta delle condizioni al contorno per le quattro variabili del sistema (v z, v r, p, T). FlexPde consente di utilizzare due comandi: Value: definisce il valore che la variabile assume sul limite del domino Natural: definisce il flusso sul limite del dominio I limiti su cui sono state fissate le condizioni al contorno sono stati: Ingresso dominio: sono stati fissati il valore di velocità di libero flusso (v 0, con v z unica velocità non nulla) e la temperatura dell ambiente (T 0 ) Uscita del dominio: per ottenere un flusso completamente sviluppato si è adoperato il comando Natural fissato a zero per tutte le variabili Parete superiore dominio: la simulazione di un dominio aperto ha richiesto di fissare la velocità v z al valore di libero flusso Asse di simmetria: uso del comando Natural fissato a zero per la simmetria del sistema Bordi disco: per soddisfare la condizione di no slip alle pareti del disco la velocità è stata fissato a zero. 21

27 Figura 14 Sezione BOUNDARIES. 22

28 2.8. Visualizzazione dei risultati ottenuti FlexPDE consente di visualizzare i grafici relativi alla risoluzione delle equazioni differenziali implementate sia durante i calcoli che a fine processo (una volta raggiunto il grado di accuratezza desiderato) [3]: Monitors: soluzione in tempo reale (output intermedi) Plots: soluzione finale (output finale) I grafici utilizzati nel progetto sono stati: Contour: contour variabile/parametro indicato Vector: campo vettoriale variabile specificata, che deve essere specificata come vettore col comando vector nelle DEFINITIONS Elevation: andamento parametro/variabile indicato lungo una linea specificata Particolarmente utile è stata la sezione aggiuntiva SUMMARY; ha consentito di estrapolare degli output numerici mediante il comando report, così da poter inserire tali valori in un foglio di calcolo e valutare gli andamenti delle variabili del sistema al variare di specifici parametri. 23

29 Capitolo 3 Analisi fluidodinamica 3.1. Introduzione In questa sezione è stata analizzata la fluidodinamica del sistema, e sono stati discussi i risultati ottenuti facendo rifermento a casi di studio presenti in letteratura. In particolare sono stati valutati: Il profilo di velocità: è stata effettuata l analisi delle componenti di velocità e. Gli studi di letteratura indicano la necessità di lavorare a basso numero di Reynolds, che è stato imposto <<1 ( moto di scorrimento ) così da evitare tutte le problematiche relative all instabilità risolutiva apportata da sistemi di tipo turbolento. Forze agenti sul disco: a partire dall integrazione degli sforzi sulle superfici di azione è stato possibile calcolare il valore della forza di trascinamento sul disco Il coefficiente d attrito Tali valutazioni sono state condotte oltre che per il caso standard (caratteristiche riassunte in tabella), anche al variare del numero di Reynolds e del raggio del disco. Re Raggio disco, m Spessore disco,m v 0,m/s Tabella 1 Moto intorno ad un disco: caso standard Analisi del profilo di velocità: caso standard Il modo più intuitivo di visualizzare il profilo di velocità con FlexPDE è quello di sfruttare il grafico vector, come mostrato in figura: 24

30 Figura 15 Grafico tipo VECTOR. Questo tipo di rappresentazione consente di visualizzare in una maniera molto chiara la direzione del fluido, ed il suo comportamento in prossimità del disco. Il vettore velocità è, infatti, rappresentato come una freccia la cui punta ne specifica il verso. Come è possibile notare dalla legenda associata alla figura, la velocità è compresa in uno specifico range dipendente quasi esclusivamente dalla velocità lungo l asse del disco, essendo v z e v r di ordini di grandezza ben differenti: 0 < v < 2.15, scala m/s Analisi del profilo di velocità: componente v z La componente rappresenta il contributo della velocità nella direzione parallela al movimento del fluido. Tale componente è quella più importante per lo studio del moto attorno al disco, essendo di due ordini di grandezza superiore rispetto alla componente radiale (come sarà illustrato nei prossimi paragrafi). Il profilo di velocità è stato studiato utilizzando come grafici: 25

31 Contour Elevation Dall immagine tipo contour sottostante è possibile constatare che il fluido in corrispondenza dell ostacolo rallenta, subendo un cambiamento di velocità progressivo (sulla destra dell immagine sono presenti i risultati numerici della simulazione e questi sono associati alla gradazione di colori), ed essa diventa nulla sulle superfici del disco per la condizione di non scivolamento. Superato l oggetto, il fluido ritorna allo stesso valore della velocità di avvicinamento ma più gradualmente essendo il fluido reale. Infatti un fluido a viscosità nulla avrebbe aggirato l ostacolo restituendo esattamente lo stesso profilo anche dopo il superamento dell oggetto. La condizione di fluido reale è anche la causa del riscontro di velocità negative a valle del disco; tali valori mostrano, dunque, un ricircolo del fluido. Figura 16 Grafico tipo CONTOUR di v z. Dal grafico è possibile notare un aumento di velocità soprattutto nella zona superiore al disco. Tale zona è individuata dal programma con una x, ed è dovuta al sommarsi del contributo di velocità imposto alla parete superiore del dominio esterno tracciato, ed al profilo di velocità caratteristico per la presenza del disco. È possibile costatare che lo sviluppo del profilo di velocità è dipendente dalle caratteristiche geometriche del disco, come mostrato dal confronto dei tre grafici seguenti a raggio del disco differente (rispettivamente 0.05, e 0.1 m). 26

32 Figura 17 Effetto geometria sulla scia a valle del disco Analisi del profilo di v z su diverse sezioni Il profilo delle v z del fluido può essere analizzato in diverse sezioni del dominio, sia trasversali al suo movimento, che parallele. Sono state così monitorate le zone che possono destare maggiore interesse. Si è voluto evidenziare nei grafici seguenti, come i valori di v z tendono a raggiungere in maniera diversa il valore v 0 imposto alla parete superiore del dominio esterno, a seconda della posizione lungo sull asse z. In particolare sono stati tracciati dei grafici di tipo elevation che mostrano l andamento di v z al variare della coordinata radiale. Sono stati monitorati lungo z: Elevation pre-disco Elevation con z in prossimità del disco Elevation dopo il disco Prima del disco è possibile notare che in prossimità dell asse la velocità è vicina ai 3*10^-10 m/s, e quindi raggiunge un massimo intorno a R=0,2m per poi portarsi al valore di velocita. 27

33 Figura 18 ELEVATION a monte del disco. In corrispondenza della coordinata assiale dove è presente il disco, per effetto della restrizione della sezione di passaggio vi è un forte aumento della velocità. Il valore è 0 alla parete e raggiunge velocemente il valore massimo in corrispondenza di un terzo dell altezza di passaggio per poi ritornare a quello di avvicinamento. Figura 19 ELEVATION in corrispondenza del disco. 28

34 Superato il disco, ad una certa distanza dall ostacolo il fluido risente ancora della sua presenza. Il valore di massimo è più marcato rispetto alla sezione iniziale ed è ad un R di circa 0.35m. Figura 20 ELEVATION a valle del disco. Infine, in direzione parallela al fluido può essere osservato un comportamento della componente z della velocità ad ali di gabbiano. Il valore di plateau è praticamente lo stesso. A contatto con l oggetto raggiunge il valore nullo che è stato imposto. 29

35 Figura 21 ELEVATION lungo la coordinata assiale Analisi relativa a vr La componente radiale di velocità presenta due ordini di grandezza inferiori rispetto alla componente assiale: < v r < 3.77, scala m/s Tale componente è massima in prossimità delle estremità del disco, come mostrato in figura 22; come ci si aspetta a sinistra è positiva (verso l alto) e a destra è negativa (verso il basso). I valori minori di zero sono giustificati dalla scelta del sistema di riferimento. Superato l ostacolo il valore ritorna gradualmente nullo. 30

36 Figura 22 CONTOUR v r Analisi della pressione La pressione, attenendosi alla legge di conservazione dell energia meccanica, subisce un innalzamento in corrispondenza dei punti in cui la velocità diminuisce. Questo accade in prossimità del disco, dove è massima; poi, man mano che ci si allontana da questo si porta fino a valore nullo. La pressione risulta essere quasi simmetrica rispetto al disco (in valore assoluto) e non precisamente simmetrica, essendo il fluido reale (fig. 23). 31

37 Figura 23 CONTOUR pressione Introduzione allo studio delle tensioni e del fattore di attrito Il quadro completo degli sforzi presenti all interno di un fluido è definito dal tensore degli sforzi. Nel caso di un sistema in coordinate cilindriche le componenti diagonali, rappresentano gli sforzi normali, nel senso che ciascuna di esse fornisce la componente ortogonale della forza che agisce sulla superficie piana elementare normale ad ogni asse coordinato. Le sei componenti non diagonali,, sono invece gli sforzi di taglio tangenti alle superfici elementari, e si manifestano quando strati paralleli adiacenti di materia scorrono uno rispetto all'altro. Tenendo poi in considerazione che gli elementi relativi agli sforzi tangenziali al di fuori della diagonale sono uguali per simmetria, per completare la perfetta descrizione del tensore sono necessari 6 componenti complessive. Le componenti τ vengono sfruttate per il calcolo delle componenti della forza ricevuta dal disco per effetto del suo movimento. Le componenti della forza si ottengono dall integrazione degli sforzi sulla superficie di azione. Il tensore degli sforzi in questo caso ha la seguente struttura: T= 32

38 Ma diverse componenti sono nulle, per cui non hanno effetto sulla forza di trascinamento. e sono entrambe nulle per simmetria. Anche le componenti e, e danno effetto nullo sul disco. Il tensore finale, quindi risulta: T= La forza lungo la direzione del moto agente sul disco è data dalla somma delle forze di pressione, più quelle dovute alle τ. Per il moto intorno ad oggetti sommersi, tale forza è proporzionale ad A, che è l area che deriva dalla proiezione del solido in un piano perpendicolare alla velocità del fluido in avvicinamento. Per un disco è l area del cerchio A=. Nel nostro caso sono noti (calcolata integrando gli sforzi e le pressioni sulle superfici su cui agiscono) e (parametro fissato), quindi è possibile ricavare il fattore di attrito. Il problema è stato oggetto di studio già in alcuni testi [5]. Lo studio della forza di trascinamento agente sul disco e del coefficiente d attrito è stato effettuato variando i seguenti parametri: Numero di Reynolds Raggio disco Attraverso tali variazioni è stato potuto generalizzare il caso di studio Caratterizzazione del coefficiente di attrito per variazione di Re Un primo studio del coefficiente d attrito ha riguardato la sua variazione con Re. Fissati i parametri geometrici del sistema (caso standard), è stato fatto variare il numero di Reynolds, che per come è stato definito lo script ha implicato anche una variazione della velocità di libero flusso v 0. I dati ottenuti dalla simulazione di f (tabella 2), presi nella schermata finale del programma nella SUMMARY, sono stati diagrammati in un grafico log-log contro il numero di Reynolds, si può notare un andamento praticamente lineare (fig. 24). I dati sono sovrapponibili al diagramma estrapolato dal Perry s Chemical Engineers Handbook (fig. 25). Di buono c è comunque la possibilità di esplorare il comportamento nel moto di Stokes con una precisione elevatissima. Sebbene questo tipo di simulazioni siano teoricamente attendibili soltanto nel regime di Stokes, limitato a Re<0.1, è stato possibile estendere i risultati ottenuti anche a parte della regione intermedia. Il coefficiente di attrito fino a Re 10 mostra ancora proporzionalità inversa; invece, per valori superiori a tale soglia FlexPDE non riesce a portare a convergenza i calcoli essendo quel regime di flusso non simulabile. 33

39 Re Forza [N] Superficie di Impatto [m 2 ] Coefficiente di Attrito f *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ Tabella 2 Misure del coefficiente d attrito e forza al variare di Re. f vs Re f Re Figura 24 Coefficiente d attrito-re. 34

40 Figura 25 Coefficiente d attrito-re: Analisi di letteratura comparata ai risultati ottenuti con FlexPDE Caratterizzazione del coefficiente di attrito per variazione del raggio e velocità La versatilità del codice può essere mostrata andando a modificare anche gli altri parametri che caratterizzano il sistema in esame. Un diverso tipo di indagine può essere effettuato fissando la velocità di avvicinamento del fluido e facendo variare, invece, il raggio del disco. In tale modo il numero di Reynolds risulta univocamente determinato. Sono state effettuate simulazioni con il raggio del disco incrementato rispetto al caso standard di: Raggio disco = 1.5 volte raggio standard (tabella 3) Raggio disco = 2 volte raggio standard (tabella 4) È possibile notare che anche in questo caso il coefficiente d attrito che si ottiene cade sulla retta. I diversi risultati sono ancora correlabili al grafico dei coefficienti di attrito e sono evidenziati con colori diversi (fig. 26). 35

41 v 0 [m/s] Re Forza [N] Superficie di Impatto [m 2 ] Coefficiente di Attrito f 2.06*10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ Tabella 3 Misure con raggio = 1.5 volte raggio standard. v 0 [m/s] Re Forza [N] Superficie di Impatto [m 2 ] Coefficiente di Attrito f 1*10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ Tabella 4 Misure con raggio = 2 volte raggio standard. 36

42 Figura 26 Coefficiente d attrito-re per raggi differenti Caratterizzazione del coefficiente di attrito per variazione del solo raggio a parità di velocità v0 Un possibile confronto può essere fatto utilizzando lo stesso valore di velocità (quella standard), facendo variare poi soltanto il valore del raggio del disco. Raggio [m] Disco v 0 [m/s] Re Forza [N] S impatto [m 2 ] f *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ *10^ Tabella 5 Coefficiente d attrito al variare del raggio a parità di velocità v 0. Dai risultati ottenuti è possibile notare che la forza di trascinamento totale aumenta all incrementare del raggio, ma la superficie di impatto cresce più velocemente di quanto aumenti la forza. Ne consegue che il denominatore nell espressione di f prevale e quindi esso si riduce progressivamente. 37

43 Possono essere effettuate delle modifiche allo script, così da consentire di incrementare i rapporti dimensionali del disco rispetto all ambiente. Tuttavia lo script non ha validità universale; infatti ampliando le dimensioni del raggio eccessivamente il flusso non riesce a svilupparsi nel dominio descritto (per esempio quando il raggio è 3 volte quello originale) e quindi la velocità di avvicinamento non viene più raggiunta. 38

44 Capitolo 4 Trasporto energia 4.1. Introduzione L analisi relativa al trasporto di energia termica ha permesso di studiare la capacità del sistema in esame di scambiare calore; a questo proposito si è valutato il coefficiente di scambio termico h (rappresentante l attitudine di un conduttore termico ad essere percorso da corrente termica) ed il numero di Nusselt Nu ( il quale esprime il rapporto tra il flusso di calore scambiato per convezione e il flusso di calore scambiato per conduzione). Ovviamente si tratta di valori relativi al fluido, nel nostro caso aria. Rispettivamente h e Nu sono definiti come: in FlexPDE: Figura 27 h e Nu nella sezione DEFINITIONS Come già visto nel paragrafo 2.5, FlexPDE ha permesso di definire il flusso di calore q come un vettore di componenti q z e q r, restituendo in output i relativi diagrammi attraverso i comandi contour e vector. Figura 28 Flussi termici nella sezione DEFINITIONS. Uno degli scopi di questo progetto è risalire al profilo di temperatura del fluido, la cui temperatura di bulk è diversa (in particolare inferiore di 100 C) da quella del disco. La temperatura del disco è un dato del problema ed è fissata a 400 C. Per come è definito il problema, unicamente nel fluido (caso ideale) si instaurerà un profilo di temperatura legato all equazione dell energia (la cui variabile incognita è appunto la temperatura). L aria subirà infatti un rilevante riscaldamento nei pressi del disco. 39

45 Figura 29 Equazione dell energia nella sezione EQUATIONS. Nei prossimi paragrafi sono riportati i risultati ottenuti Analisi del profilo di temperatura Figura 30 Grafico CONTOUR temperatura. Il profilo di temperatura è influenzato dall andamento della velocità del flusso d aria, ciò è evidente dalla scia a valle del disco; infatti, ci sono porzioni di spazio più grandi dove la temperatura è omogenea. È da specificare che nel caso di fluido in quiete il profilo di temperatura risulterebbe perfettamente simmetrico con il raggio. Dal grafico successivo (fig. 31) si può notare come la temperatura del fluido nella sezione d ingresso al sistema sia costante e valga 300 C (condizione al contorno); questi tipi di grafici sono stati ottenuti tramite il comando elevation. 40

46 Figura 31 ELEVATION temperatura sezione ingresso dominio. Figura 32 ELEVATION T lungo la coordinata assiale. In prossimità del disco la temperatura ha un picco: essa sale molto rapidamente da 300 C fino a circa 400 C per poi scendere in maniera più graduale una volta che il flusso ha oltrepassato il disco (fig. 32). 41

47 Il grafico seguente (fig. 33) mostra che l effetto riscaldante del disco è rilevante anche a distanza raggio_condotto/2 dal centro del disco. Figura 33 ELEVATION T lungo l asse z. 42

48 4.3. Analisi del flusso di calore: q z Figura 34 CONTOUR q z. Tramite il comando contour è stato possibile conoscere il valore della componente parallela all asse z del flusso di calore. Come si può evincere dal grafico la superficie laterale del disco, ovviamente, non da contributi; il fatto che il flusso a monte del disco assuma valori minori di zero è giustificato dalla scelta del sistema di riferimento. 43

49 4.4. Analisi del flusso di calore: q r Figura 35 CONTOUR q r. Con lo stesso criterio si è giunti alla visualizzazione dei valori che assume la componente radiale del flusso di calore; ovviamente le superfici frontale e posteriore non danno alcun contributo. 44

50 4.5. Analisi del flusso di calore Figura 36 Grafico VECTOR del flusso di calore. Tramite il comando vector si è giunti al grafico che mostra l andamento del flusso di calore q in qualità di vettore di componenti q z e q r. È intuitivo affermare che il flusso è uscente dal disco e massimo alla parete Effetti della variazione del numero di Reynolds Per generalizzare i risultati ottenuti, si è proceduto facendo variare il numero di Reynolds (tabella 6) dal quale è stata ricavata la velocità di bulk del fluido. Re Nu Nu_ corr h [=] W/m 2 h_corr Nu_corr/Nu Pr Re^0.5*Pr^(1/3) Tabella 6 Studi al variare del numero di Reynolds. 45

51 Come si può evincere dalla tabella, al variare del numero di Reynolds il numero di Nu aumenta leggermente ma resta sempre dell ordine di 2.2; allo stesso tempo aumenta il coefficiente di scambio h, ma in maniera non molto rilevante. Ciò è in accordo con la fisica del sistema. Dal grafico successivo si può notare che la portata di calore dipende linearmente da Re. Q [=] W Q= Re R² = Q Lineare (Q) Figura 37 Q-Re. All aumentare del numero di Reynolds il profilo di temperatura è sempre più influenzato dalla fluidodinamica del sistema. Infatti, si sviluppano scie che impediscono al fluido di riacquisire la temperatura di bulk. Sono di seguito riportati i profili di temperatura rispettivamente a Re uguale a , 0.01 e 1. Re Re Figura 38 Effetto Re sul profilo di T. 46