5. I principi della Fisica Quantistica

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1 5. I principi della Fisica Quantistica Variabili e stati Sulla base delle idee di Heisenberg, assumeremo che le variabili di un sistema siano gli elementi reali, detti anche hermitiani, o autoaggiunti, A = A, di un algebra (non commutativa) sui numeri complessi, con una involuzione,, cioè di una algebra sui complessi. Ricordiamo che una algebra A è uno spazio vettoriale con un prodotto associativo, distributivo rispetto alla somma e compatibile con il prodotto per numeri, con (λa)(µb) = (λµ)(ab) λ, µ IC, A, B A, (λa) = λ A, (A + B) = A + B, (AB) = B A. Assumeremo anche che A contenga una (automaticamente unica) identità, indicata con 1. La struttura algebrica di A permetterà di scrivere equazioni e relazioni per le variabili in termini dei loro polinomi e, come vederemo in seguito, anche di loro funzioni non polinomiali, in una classe anzi molto ampia. Le relazioni in A avranno la interpretazione di leggi fisiche, soddisfatte in modo del tutto generale, indipendente dalla particolare situazione fisica cui si fa riferimento, in particolare indipendentemente da qualsiasi condizione iniziale. Per la descrizione delle singole situazioni fisiche introduciamo la nozione di stato, che interpreteremo come l insieme delle informazioni che si hanno su un sistema, associate anche, nel caso di sistemi preparati in laboratorio. a una procedura di preparazione o di selezione. Indipendentemente dalla sua origine, uno stato si caratterizzerà per i risultati che darà per le diverse variabili. Assumiamo perciò che siano ben definite delle procedure di misura associate a ciascuna delle variabili e che il loro risultato sia in generale un numero reale. Da un punto di vista sperimentale, sono anzi tali procedure che definiscono le variabili ed è la teoria ad assegnare loro relazioni algebriche appropriate, da verificare a posteriori. Diversamente dalla descrizione classica, in conseguenza del principio di indeterminazione, i risultati per una variabile su un dato stato non possono essere assunti sempre come univocamente determinati e ammetteranno in generale al più una descrizione probabilistica. In particolare, ogni stato ω darà origine a una nozione di media, che assumiamo lineare, positiva e normalizzata, ω : A IC, ω(λa+µb) = λω(a)+µω(b), ω(a A) 0, ω(1) = 1. (1) 1

2 Vedremo che, in conseguenza della struttura algebrica delle variabili, ogni funzionale (lineare, positivo e normalizzato) definisce automaticamente non solo una media, ma, per ciascuna variabile hermitiana, una (unica) distribuzione di probabilità su una variabile reale. Le medie che abbiamo introdotto saranno perciò a posteriori vere distribuzioni probabilistiche, e l equazione (1) rappresenta un modo molto economico per introdurle, anche nel caso classico di un algebra commutativa. Nel caso di variabili che possano assumere valori arbitrariamente grandi, questa costruzione richiederà anche una certa ipotesi di regolarità; per evitarla, ci si potrebbe restringere ad algebre che escludano tali variabili illimitate, assumendo l esistenza di una norma su A come spazio vettoriale, con AB A B, A A = A 2. Completandola in tale norma, A definisce allora una B algebra (B per Banach, trattandosi di uno spazio di Banach che è anche un algebra). Questo schema presenta anche altri vantaggi dal punto di vista tecnico e vi ricorreremo qualche volta per precisare risultati che richiedono altrimenti ipotesi che possono sembrare speciali. La costruzione GNSW Variabili e stati appaiono a questo punto come nozioni piuttosto generali ed astratte. Vogliamo mostrare che possono invece essere identificate con strutture matematiche più familiari e controllabili, le variabili con operatori in spazi di Hilbert, nei casi più semplici con matrici in spazi vettoriali a dimensione finita, e gli stati con funzionali definiti sugli operatori da Φ(A) = (ψ, Aψ), con (, ) il prodotto scalare in uno spazio di Hilbert, in particolare in IC N. Più precisamente dimostriamo il risultato seguente: Dato uno stato ω su una algebra A, con identità, sui complessi, esistono uno spazio di Hilbert H, una rappresntazione π di A negli operatori in H, cioè un applicazione che rispetta le operazioni algebriche e trasforma l involuzione nella coniugazione hermitiana, e un vettore ψ ω H tali che ω(a) = (ψ ω, π(a) ψ ω ). (2) Il vettore ψ ω è ciclico per π(a), cioè il sottospazio π(a)ψ ω è denso in H. H, π, ψ ω sono unici a meno di una isometria invertibile U che scambia gli 2

3 spazi e i vettori ciclici, e agisce sulle rappresentazioni con π 2 (A) = U π 1 (A) U 1 (3) La costruzione di H, π e ψ ω si indica con i nomi di Gelfand, Naimark, Segal e Wightman e procede così: consideriamo A stessa come spazio vettoriale; essendo lineare e positivo, ω vi definisce il prodotto scalare (A, B) = ω(a B) ; Il sottospazio a norma nulla è anche un ideale sinistro di A, dato che (A, B) = 0 A implica (A, CB) = ω(a CB) = ω(c A) B) = 0 A, C. Quozientando tale sottospazio, il prodotto scalare è non degenere e lo spazio così ottenuto si identifica perciò con un sottospazio denso, D, di uno spazio di Hilbert H. Su D possiamo definire π(a)b AB perchè se B è un vettore nullo, anche AB lo è per la proprietà di ideale del sottospazio nullo. Evidentemente π(ac)b = ACB = π(a)π(c)b e lo stesso per A + C. Inoltre (π(a )C, B) = (A C, B) = ω((a C) B) = = ω(c AB) = (C, AB) = (C, π(a)b) = (π(a) C, B), cioè π(a ) = π(a). Sia ora ψ ω 1; allora (ψ ω, π(a)ψ ω ) = (1, A1) = ω(a) e π(a)ψ ω = A non è altro che il sottospazio D, denso in H. Se ψ H e π soddisfano l eq.(2) e lo spazio vettoriale D π (A)ψ è denso in H, allora, essendo i prodotto scalari definiti dalla stessa relazione, l operatore U : π(a)ψ ω π (A)ψ scambia π e π e mette in corrispondenza isometrica D e D, e perciò H e H. In generale, due rappresentazioni si dicono unitariamente equivalenti, o anche equivalenti se esiste una isometria invertibile tra gli spazi di Hilbert su cui sono definiti che le scambia, eq.(3). Una rappresentazioni si dice irriducibile se non esiste un sottospazio di Hilbert proprio e non nullo invariante sotto gli operatori della rappresentazione. 3

4 Poichè ammettiamo anche operatori non limitati, occorre precisare che le rappresentazioni consistono di operatori definiti su un dominio denso, invariante sotto la loro azione. Gli operatori unitari che scambiano rappresentazioni devono perciò in particolare scambiare tali domini e i sottospazi invarianti devono contenere domini densi invarianti. Tali complicazioni non nascono nel caso di una B algebra, dato che allora la costruzione GNSW dà origine a operatori limitati, definiti su tutto lo spazio di Hilbert. Sempre in grande generalità, uno stato si dice misto se può essere scritto come combinazione convessa di due stati diversi, altrimenti si dice puro. ω = λω 1 + (1 λ)ω 2, 0 < λ < 1, (4) Nel caso di B algebre, si può dimostrare che stati puri danno origine a rappresentazioni GNSW irriducibili, e viceversa: se H 1 e H 2 sono gli spazi ottenuti da ω 1 e ω 2, al funzionale ω è associato il vettore λ 1/2 ψ ω1 + (1 λ) 1/2 ψ ω2 nella somma diretta degli spazi, H = H 1 H 2, e viceversa, se la rappresentazione definita da ω è riducibile, le proiezioni di ψ ω2 su un sottospazio invariante e sul suo ortogonale (automaticamente invariante per la presenza della coniugazione ) definiscono i funzionali λω 1 e (1 λ)ω 2. Sempre per operatori limitati, una rappresentazione è riducibile se e solo se e ci sono operatori (limitati), non multipli dell identità, che commutano con tutti i suoi operatori. La costruzione dello spazio H sembra dipendere in modo essenziale da ω, che ne definisce il prodotto scalare, oltre a individuare il vettore ψ ω. È chiaro però che tutti i vettori φ C = π(c)ψ ω danno origine a stati ω C che soddisfano un equazione della forma (2); differenti stati possono perciò essere rappresentati dall eq.(2) nello stesso spazio di Hilbert. Anzi, applicando loro gli operatori π(a), i vettori φ C definiscono una rappresentazione, in un sottospazio di H, equivalente a quella ottenuta da ω C con la costruzione GNSW, data la coincidenza dei prodotti scalari, (π(b)φ C, π(a) φ C ) = ω(c B AC) = ω C (B A). Se π è irriducibile tale rappresentazione coincide necessariamente con π. Ne segue che, al variare degli stati, si ottiene in una certa generalità la stessa rappresentazione GNSW, a meno di equivalenza. Gli stati (puri) possono essere perciò pensati suddivisi in classi, ciascuna associata a una rappresentazione (irriducibile). Vedremo che nel caso di un sistema di punti materiali 4

5 c è una unica rappresentazione irriducibile, a cui sono associati tutti gli stati puri fisicamente significativi; in questi casi, si può identificare l algebra delle variabili con un algebra di operatori in uno spazio di Hilbert H e gli stati con i funzionali della forma (2), con ψ ω H. L interpretazione probabilistica Vediamo ora come si costruisce l interpretazione probabilistica di variabili e stati a cui abbiamo accennato. Fissiamo uno stato ω; per la costruzione GNSW, i valori ω(a), che ω assegna alle variabili si scrivono in termini degli operatori π(a) in uno spazio di Hilbert H, e scriveremo per semplicità A invece di π(a), intendendo sempre il corrispondente operatore in H. Gli spazi di Hilbert che appaiono nella costruzione GNSW sono separabili, cioè hanno dimensione numerabile, se l algebra delle variabili è generata da un insieme finito, o numerabile, di elementi; inoltre nelle considerazioni che seguono, fissati ω e A, ci si può anche limitare all algebra generata da A, e H è allora automaticamente separabile. Supponiamo, per cominciare, che l operatore hermitiano A abbia una base di autovettori, e i, con autovalori λ i. Allora, k IN, ω(a k ) = (ψ ω, A k ψ ω ) = n (ψ ω, e n )λ k n(e n, ψ ω ) n c n 2 λ k n. (5) Poichè, per la completezza della base e n, i coefficienti c n 2 si sommano a 1, l eq.(5) può essere interpretata come l espressione per i momenti < x k > di una variabile reale x, che assume i valori λ n con probabilità c n 2. Tale distribuzione della variabile x è anzi univocamente determinata dalla condizione che i momenti < x k >, k IN, siano dati, in questo caso da ω(a k ); infatti, nel caso che x sia una variabile limitata, la trasformata di Fourier di una misura su un intervallo è una funzione olomorfa in tutto il piano complesso, determinata dallo sviluppo in serie nell origine, dove la derivata k esima è data proprio da < x k >; per variabili illimitate, l unicità richiede una discussione, che porta alla stessa conclusione se la crescita dei i momenti è ancora compatibile con l analiticità della trasformata di Fourier, < x k > < c k!. Se ne conclude, almeno nel caso limitato, che la successione ω(a k ) si può identificare, in modo unico, con la successione dei momenti di una misura di probabilità in una variabile reale; in particolare, tale variabile assume come valori esattamente gli autovalori di A. Alla stessa conclusione si arriva se A è un operatore di moltiplicazione, per una funzione reale x(ξ), in uno spazio L 2 (dµ(ξ)); in questo caso, l eq.(5) 5

6 si scrive ω(a k ) = dµ(ξ) ψ ω )ξ) 2 x(ξ) k, che si interpreta ancora in termini della misura di probabilità dµ(ξ) ψ ω )ξ) 2, con gli stessi vincoli di unicità. Anzi, il caso di una base di autovettori si ottiene precisamente quando la misura è concentrata su un insieme numerabile di punti. I due casi appena discussi riproducono in realtà la situazione che si presenta in generale, perchè il teorema spettrale afferma che ogni operatore hermitiano e limitato in uno spazio di Hilbert separabile si scrive, a meno di una isometria invertibile, come il moltiplicatore per una funzione reale limitata in uno spazio L 2. Nel caso di operatori hermitiani illimitati, il teorema spettrale si estende, a rappresentare gli operatori come moltiplicatori per variabili illimitate, sotto una condizione di autoaggiunzione, che è appena più stringente di quella di hermiticità, richiedendo la coincidenza dei domini dell operatore e dell aggiunto; l uso di variabili illimitate richiede perciò qualche verifica aggiuntiva. In ogni caso, a ogni stato e a ogni elemento hermitiano dell algebra delle variabili (che sia rappresentato da un autoaggiunto, nel caso illimitato) è associata una unica misura di probabilità su una variabile reale. I valori λ che tale variabile assume (con probabilità non nulla) sono anche quelli per cui l operatore A λ non ha inverso limitato, cioè lo spettro di A, dato che tale inverso non è altro che il moltiplicatore per 1/(x λ); più esattamente, la condizione di invertibilità riguarda π ω (A) nella costruzione GNSW su ω e i polinomi in A; sullo spettro di A in una data rappresentazione sono concentrate tutte le misure associate agli stati definiti dai suoi vettori. Il risultato dell analisi che precede è che lo schema di variabili in una algebra e di stati come funzionali lineari positivi dà origine a una teoria della probabilità generalizzata, nel senso ogni stato definisce una distribuzione di probabilità su ogni variabile hermitiana, ma possono non essere definite le distribuzioni congiunte. Queste vengono introdotte, con lo stesso procedimento che per le singole variabili, solo nel caso di variabili commutanti (limitate), usando la rappresentazione spettrale congiunta di operatori commutanti, come moltiplicatori per diverse variabili in uno spazio L 2. Al contrario, che delle distribuzioni congiunte non possano essere definite, attraverso i loro momenti, dai funzionali ω su prodotti di variabili che non commutano è chiaro, dato che i corrispondenti momenti non distinguerebbero 6

7 l ordine dei fattori; del resto, il prodotto di variabili hermitiane non comutanti non è neppure hermitiano. Tuttavia questo non esclude, di per sé, che delle distribuzioni congiunte possano essere introdotte diversamente, in modo da riprodurre una vera teoria probabilistica. La discussione dell esistenza di una descrizione in un unico spazio di probabilità dell insieme delle distibuzioni di probabilità fornite dalle teorie quantistiche è centrale per precisare il contenuto stesso del Principio di indeterminazione di Heisenberg; esso può infatti essere inteso sia nel senso che i valori assunti da variabili non commutanti, come posizione e impulso, non sono sperimentalmente determinabili insieme, oppure nel senso, più forte, che le previsioni delle teorie quantistiche sono incompatibili con qualsiasi attribuzione di tali valori. A parte sistemi particolari e speciali limitazioni sulle variabili, i risultati sulla rappresentabilità classica delle distribuzioni di probabilità quantistiche sono negativi e fanno concludere che le teorie quantistiche danno origine a una vera generalizzazione della teoria classica della probabilità. Evoluzione temporale e trasformazioni unitarie Il quadro che abbiamo costruito rappresenta un nuovo modo di descrivere, ottenuto sostanzialmente generalizzando il concetto classico di variabile, e di conseguenza quello di stato di cose, o situazione fisica. In vista della costruzione di una meccanica si tratta ora di vedere quali siano le implicazioni della descrizione quantistica sulla identificazione di una nozione di evoluzione temporale. L idea fondamentale è che la descrizione che abbiamo introdotto non distingue nessun tempo in particolare e può essere assunta per tutti i tempi; al variare del parametro tempo avrà allora luogo una specie di cambiamento di variabili, per esempio posizioni e impulsi al tempo t dovranno sostituire poisizioni e impulsi al tempo 0, mantenendo tra loro le stesse relazioni. Inoltre le variabili al tempo t dovranno essere funzioni di quelle al tempo 0, cioè appartenere all algebra da esse generata. Il risultato è che a ogni variabile A al tempo 0 ne deve corrispondere una al tempo t, A α t (A), e tale corrispondenza deve mantenere le relazioni algebriche, α t (λa + µb) = λα t (A) + µα t (B), α t (AB) = α t (A)α t (B), α t (A ) = α t (A). (6) 7

8 Inoltre, per l indipendenza dall origine dei tempi, l evoluzione dal tempo s al tempo s + t deve essere data da α t e di conseguenza α t α s = α t+s s, t IR. (7) Un applicazione di una algebra in sé che soddisfi l eq.(6) si denota come un morfismo, un automorfismo in caso di invertibilità, che in questo caso segue dall eq.(7) per t = s; il risultato è perciò un gruppo a un parametro di automorfismi dell algebra A delle variabili. In generale, gli automorfismi α danno origine a trasformazioni degli stati, ω α (ω), definite da α (ω)(a) ω(α(a)), (8) dato che α rispetta linearità, positività e normalizzazione (α(1) = 1 per l unicità dell identità). Inoltre mandano stati puri in stati puri (e misti in misti), come si vede dalla definizione di stato puro, usando la surgettività di α. Il risultato è quindi un gruppo di trasformazioni degli stati, che mandano stati puri in stati puri. Inoltre, se π è una rappresentazione di A in uno spazio di Hilbert H, π(α(a)) definisce ancora una rappresentazione, indicata con π α, irriducibile se lo è π, dato che α agisce in modo invertibile. In generale, si possono perciò presentare due casi, a seconda che le rappresentazioni π α t siano equivalenti o meno a π: se non c è equivalenza, l evoluzione temporale resta un fatto algebrico astratto; se invece, per tutti i t, π α t è equivalente a π, l equivalenza unitaria si scrive π(α t (A)) = U(t) 1 π(a)u(t) (9) con U(t) operatori unitari nello spazio H della rappresentazione π. Questo è automaticamente il caso se le rappresentazioni irriducibili di A, o comunque quelle significative per la descrizione di una classe di situazioni fisiche, sono tutte equivalenti. Gli operatori U(t) devono soddisfare la legge di gruppo solo a meno di operatori che commutano con π(a), cioè, per rappresentazioni irriducibili, di multipli (di modulo 1) dell identità. D altra parte, gli stessi operatori sono definiti, dall eq.(9), a meno di multipli dell identità ed è stato dimostrato che in questi casi, per un gruppo a un parametro, la legge di gruppo può sempre essere solddisfatta ridefinendo ciascun operatore U(t) per un opportuno multiplo dell identità. 8

9 A questo punto, assumendo che le variabili siano indentificabili con un algebra irriducibile di operatori in uno spazio di Hilbert, l evoluzione temporale è descritta da un gruppo di operatori unitari, U(t), univocamente determinati dall eq.(9), a meno di una costanti moltiplicative che soddisfano la legge di gruppo. Considerazioni molto simili, anche se non sempre i possibili fattori che modificano la legge di gruppo sono eliminabili, si applicano a tutte le trasformazioni delle variabili in sé che rispettano le relazioni algebriche, per esempio, alle rotazioni e alle traslazioni nello spazio. Hamiltoniano, equazioni del moto I gruppi a un parametro di operatori unitari, U(t), si caratterizzano in modo molto semplice alla sola condizione che siano continui, in senso forte, cioè che tutti i vettori ψ(t) = U(t)ψ dipendano da t con continuità. In spazi complessi a dimensione finita è facile vedere che sono tutti della forma U(t) = e iat, (10) con A = A : le matrici unitarie U(t) sono infatti diagonalizzabili, lo sono tutte nella stessa base perchè commutano tra loro in conseguenza della legge di gruppo; i loro autovalori λ i (t) soddisfano la legge di gruppo, sono continui in t e sono perciò della forma λ i (t) = e iα it, e perciò vale l eq.(10), con A definita, nella stessa base, dagli α i come autovalori. In generale, lo stesso risultato vale in spazi di Hilbert, con due precisazioni: A = A vale in senso stretto cioè, nel caso (frequente e inevitabile) di operatori illimitati, il dominio di A è identico a quello di A, cioà A è autoaggiunto; inoltre, la serie di potenze che definisce l esponenziale converge solo su un sottospazio (ancora denso) del dominio di A. Inoltre, ogni operatore autoaggiunto A dà origine a un gruppo di unitari a un parametro, fortemente continuo U(t) = e iat ; la funzione esponenziale può anche essere costruita usando la rappresentazione spettrale di A: in spazi separabili, se A si identifica con la moltiplicazione per x(ξ) in L 2 (dµ(ξ)), U(t) si identifica con la moltiplicasione per e ix(ξ)t. 9

10 Convenzionalmente, si scrive A = H/ h, con h = h/2π, e l eq.(10) si scrive U(t) = e iht/ h. (11) Dalla costruzione dell esponenziale tramite il teorema spettrale si vede anche facilmente che i vettori U(t)ψ sono derivabili rispetto a t per tutti i vettori ψ nel dominio di H, che è anche invariante sotto l azione degli U(t), e d/dt U(t)ψ = ih/ h ψ. (12) Ritornando all evoluzione delle variabili, eq.(9), ne segue, assumendo per esempio la stabilità del dominio di H sotto la variabile π(a) e tralasciando di precisare la rappresentazione π, d/dt α t (A) = i/ h [H, α t (A)]. (13) Le equazioni (13), al variare di A in un algebra irriducibile di operatori (limitati), individuano H a parte l addizione di un multiplo dell identità, dato che la differenza tra due operatori H i che soddisfino l eq.(13) commuta con tutte le variabili. Le equazioni (13) hanno la stessa forma delle equazioni del moto della meccanica classica hamiltoniana, con il commutatore, moltiplicato per i/ h, che sostituisce le parentesi di Poisson. Per questo l operatore H si indica come Hamiltoniano e si interpreta come la variabile energia; l introduzione della costante di Planck nell eq.(11) è in questo senso opportuna perchè dà ad H le dimensioni di un energia, che resta perciò misurata in unità indipendenti dalla costante di Planck. La derivazione delle equazioni (13) non ha tuttavia fatto alcun riferimento né alla meccanica hamiltoniana né ad altre strutture o risultati della meccanica classica. L operatore H è determinato dalle trasformazioni α t, o dalle equazioni del moto, definite sulle variabili non commutative. Introdurre una dinamica non richiede perciò nessuna analogia classica e significa semplicemente assegnare delle equazioni del moto che definiscano un gruppo di automorfismi, o alternativamente un operatore autoaggiunto H. 10

11 6. La Meccanica dei punti materiali L algebra di Heisenberg e la rappresentazione di Schroedinger La meccanica dei punti materiali si ottiene specializzando lo schema generale al caso di sistemi descritti da variabili di posizione e impulso. Per semplicità discutiamo punti materiali, detti anche particelle, che si muovano nello spazio euclideo, anche se una costruzione simile può essere fatta per punti su una varietà. Consideriamo perciò variabili di posizione, q i e di impulso, p i, i = 1... n, con le relazioni [p i, q j ] = i h δ ij (14) Sull algebra dei polinomi nelle variabili q i e p i, che si indica come l algebra di Heisenberg, A H, consideriamo stati ω con la sola restrizione che la corrispondente costruzione GNSW dia origine a rappresentazioni in cui esistano, come limiti su un dominio denso delle corrispondenti serie di potenze, almeno le funzioni esponenziali, e iαp i, e iβq i, (15) che commutano per indici diversi e assumiamo soddisfino le relazioni, formalmente equivalenti alle eq.(14), e iαp i e iβq i = e iβq i e iαp i e i hα iβ i. (16) L algebra definita dalle relazioni (16) si indica come Algebra di Weyl. Tutti gli stati sull algebra di Heisenberg, regolari nel senso sopra indicato, risulteranno rappresentabili da vettori in una unica rappresentazione π S, detta di Schroedinger, dell algebra di Heisenberg, o in una somma diretta di tali rappresentazioni. π S è definita nello spazio di Hilbert L 2 (IR n, d n x) rappresentando le variabili q i come operatori di moltiplicazione e le p i come operatori di derivazione, in modo da soddisfare l eq.(14): π S (q i ) = x i, π S (p i ) = i h / x i. I vettori di questa rappresentazione vengono indicati come funzioni d onda, ψ(x); la interpretazione probabilistica che abbiamo costruito in generale è data per le variabili x i direttamente dalla misura ψ(x) 2 d n x; per funzioni d onda decrescenti abbastanza rapidamente, i valori medi dei polinomi in x sono infatti dati da (ψ, P (x) ψ) = P (x) ψ(x) 2 d n x. 11

12 La misura di probabilità per le variabili p i è invece data da dµ ψ (p/ h) = ψ(k) 2 d n k, con ψ la trasformata di Fourier di ψ; infatti, (ψ, P ( i / x i ) ψ) = P (k) ψ(k) 2 d n x. Le serie esponenziali delle p e delle q esistono per esempio sul dominio D = {P (x) e x2 /2 }, sul quale danno origine a serie di funzioni convergenti totalmente e maggiorate sempre da gaussiane; le relazioni (16) seguono dalla convergenza totale. Inoltre, gli operatori e iαp i moltiplicano per e iα hk i in trasformata di Fourier e agiscono perciò come traslazioni su ψ(x): e iαp i ψ(x) = ψ(x + hα). Le traslazioni spaziali, definite su A H da q q + a, p p, sono perciò implementate da tali gruppi di operatori unitari. Infine, π S è irriducibile, più precisamente, dà una rappresentazione irriducibile dell algebra di Weyl; infatti, se un operatore commuta con tutti gli operatori di moltiplicazione e iβq i, è necessariamente un operatore di moltiplicazione per una funzione di x, come si vede applicandolo per es. al sottospazio denso dei vettori della forma e i i β ix i e x2 /2 ; se commuta anche con gli operatori di traslazione, si tratta di una funzione costante, cioè un multiplo dell identità. L introduzione degli operatori unitari di Weyl, eq.(16), è abbastanza importante per la discussione della irriducibilità; infatti, le funzioni regolari a supporto in un intevallo qualsiasi danno una sottorappresentazione dell algebra di Heisenberg, che non soddisfa però la condizione di esponenziabilità. Il teorema di unicità di Von Neumann Per verificare che tutti gli stati ω su A H, che diano origine a esponenziali con le relazioni (16), si rappresentano come vettori in spazi somma diretta di rappresentazioni di Schreodinger è sufficiente verificare che qualsiasi rappresentazione dell algebra di Heisenberg, con la condizione di regolarità per gli esponenziali, contiene un sottospazio su cui coincide, a meno di equivalenza 12

13 unitaria, con π S. In questo caso infatti, per l invarianza dell ortogonale di ogni spazio invariante, lo spazio di rappresentazione ottenuto da ω via GNSW si scompone in somma ortogonale di sottospazi sede dalla rappresentazione π S. Data una rappresentazione π, per costruire un sottospazio sede di π S, è sufficiente costruire un vettore φ 0 che dia origine, applicandogli A H, a uno spazio vettoriale su cui A H abbia la stessa rappresentazione che sul dominio D di π S introdotto sopra. Per semplicità ragionaiamo in un solo grado di libertà, la generalizzazione a un numero finito richiedendo solo qualche indice e qualche somma. Ora, il vettore ψ 0 (x) e x2 /2 in π S può essere caratterizzato, a meno di una normalizzazione, da Inoltre, introducendo gli operatori che soddisfano (q + ip)ψ 0 = 0. (17) a (q + ip)/ 2, a (q ip)/ 2, (18) è facile vedere che tutti i prodotti scalari [a, a ] = 1, (19) ((a ) n ψ 0, (a ) k )ψ 0 ) = n! δ n,k seguono dalle eq.(17),(18) e determinano tutti i prodotti (P (p, q)ψ 0, Q(p.q)ψ 0 ), e perciò la rappresentazione di A H in D. È sufficiente perciò trovare nello spazio della rappresentazione π un vettore che soddisfi l eq.(17). Ma l eq.(19) implica (a a) a = a (a a 1). (20) Ne segue che, se un vettore ψ soddisfa (a a)ψ = λψ, il vettore aψ è autovettore di a a all autovalore λ 1; dato che a a è un operatore positivo, per qualche n, ψ 0 a n ψ 0 e aψ 0 = 0. Indipendentemente dall esistenza di autovalori, lo stesso vale partendo da un vettore ψ che abbia rappresentazione sullo spettro di a a a supporto limitato. La rappresentazione di A H in D, pensata astrattamente, come conseguenza delle eq.(17),(19), si chiama anche rappresentazione di Fock; come abbiamo visto, tale rappresentazione è unitariamente equivalente a quella di Schroedinger e l argomento che precede afferma che in ogni rappresentazione 13

14 (regolare nel senso dell esistenza degli esponenziali di Weyl) di A H è sempre contenuta una rappresentazione di Fock. L ipotesi di regolarità entra in realtà per la validità dell eq.(20) su un dominio contenente vettori a supporto limitato sullo spettro di a a. Alternativamente rispetto all analisi dei domini, la costruzione di ψ 0 può essere fatta direttamente come conseguenza dell esistenza degli esponenziali di Weyl, mostrando che l operatore 1/π IR 2 e i(αp+βq) e (α2 +β2 )/4 dα dβ è sempre un proiettore non nullo, e che i vettori nella sua immagine soddisfano l eq.(17). L equazione di Schroedinger L unicità della rappresentazione dell algebra di Heisenberg implica l implementabilità, eq.(9) della Sez.5, dell evoluzione temporale, come anche di ogni altro automorfismo di A H. L analisi della Sez.5 implica perciò le eq.(11),(12) della Sez.5, con H definito dalle equazioni del moto. Inoltre, la stabilità di A H, o dell algebra degli operatori di Weyl sotto evoluzione temporale non è strettamente necessaria per questi risultati; infatti, l unicità della rappresentazione permette di estendere le variabili introducendo i loro limiti, in senso forte. Anzi, poichè gli operatori di Weyl sono rappresentati in π S in modo irriducibile, i loro limiti forti sono tutti gli operatori in L 2 (IR, dx), dato che un risultato di Von Neuman identifica i limiti forti con tutti gli operatori che commutano con il comutante dell algebra e per l irriducibilità il commutante consiste dei multipli dell identità. Di conseguenza, la dinamica può essere formulata più in generale in termini degli automorfismi dell algebra degli operatori limitati in L 2 implementati da operatori unitari, in accordo con la stabilità nel tempo della rappresentazione di A H. La dinamica di una particella libera è definita dalle equazioni d/dt q i = p i /m, d/dt p i = 0, (21) che individuano l Hamiltoniano H = p 2 /2m i p 2 i. In presenza di un potenziale V (q) la seconda delle eq.(21) diventa d/dt p i = i V (q) e perciò H = p 2 /2m + V (q) (22) 14

15 Per N particelle, in interazione con potenziali V ij (q (i) q (j) ), e perciò d/dt p (k) i = s k / q (k) i V sk N H = (p (i) ) 2 /2m (i) + V i<j (q (i) q (j) ) (23) i=1 Più esplicitamente, p 2 si scrive in π S h 2 ; per esempio, l eq.(22) diventa perciò H = h 2 /2m + V (x) e l evoluzione dei vettori si scrive i h d/dt ψ t (x) = ( h 2 /2m + V (x)) ψ(x), che viene chiamata equazione di Schroedinger. Spettro discreto e spettro continuo La discussione dell evoluzione temporale ha portato all introduzione della variabile energia come il generatore del gruppo unitario U(t). Per il teorema di Stone, l associazione tra variabili e gruppi di operatori unitari, che definiscono gruppi di automorfismi dell algebra delle osservabili, o della sua chiusura nella topologia forte, è un fatto generale; come abbiamo visto, l impulso di una particella genera le traslazioni spaziali e lo stesso vale per l impulso totale, definito dalla somma degli impulsi, per un sistema di N particelle. La posizione di una particella (moltiplicata per la sua massa), o, per un sistema, la stessa espressione per il baricentro, N Q = m i q i i=1 genera invece le trasformazioni di Galilei, p i p i + v, q i q i, a parte una costante h, che non appare se si adotta la stessa convenzione che nell eq.(11) della Sez.5. La relazione che ne segue tra variabili e automorfismi (implementati da gruppi unitari) è analoga a quella della meccanica classica nello spazio delle 15

16 fasi, che associa a ogni funzione f il gruppo di trasformazioni (canoniche) α s generato da f via la struttura di Poisson, d/ds α s (g) = {f, α s (g)}. Come abbiamo visto in generale, l interpretazione della variabile energia, cioè dell operatore hamiltoniano H, è data in termini del suo spettro, che fornisce l insieme dei suoi possibili valori. Per operatori A autoaggiunti i punti dello spettro, cioè i numeri complessi λ per cui A λ non ha inverso limitato, sono reali e si classificano come spettro puntuale se si tratta di autovalori (che rendono A λ non iniettivo); come spettro continuo se l immagine di A λ è densa e (A λ) 1 è illimitato. Altri casi non si possono presentare perchè per operatori autoaggiunti il nucleo è lo spazio ortogonale all immagine; perciò per nucleo {0} l immagine è densa e l inverso (che esiste per iniettività) è illimitato perchè altrimenti si estenderebbe per continuità a tutto lo spazio e invertirebbe la chiusura di A λ, che è invece, in quanto autoaggiunto, già un operatore chiuso che non ha inverso limitato. È anche utile avere presenta che i punti dello spettro continuo non sono altro che i numeri (a priori complessi) che soddisfano l equazione per gli autovalori a meno di una correzione arbitrariamente piccola; la illimitatezza di (A λ) 1 significa infatti che è 0 l estremo inferiore di (A λ)ψ, al variare di ψ di norma 1. Ai punti dello spettro continuo sono perciò associabili successioni di vettori (non comvergenti) normalizzati, su cui A si identifica con λ a meno di ε e anzi tale condizione caratterizza lo spettro continuo. Per esempio, lo spettro di p sono tutti i numeri reali, come si vede dal fatto che p moltiplica per la variabile in trasformata di Fourier; le successioni associate sono le approssimazioni delle onde piane, esattamente nel senso dell equazione agli autovalori approssimata, per es. e εx2 e ikx, a parte una normalizzazione. Per gli operatori hamiltoniani in rappresentazione di Schroedinger, tenendo presente che gli autovettori sono funzioni a quadrato integrabile, cioè con interpretazione probabilistica localizzata, a meno di ε, in in un insieme limitato, lo spettro discreto rappresenta perciò moti limitati nello spazio, tipicamente stati legati in un potenziale attrattivo, mentre i punti dello spettro continuo corrispondono a moti illimitati, più precisamente, a stati stazionari, indipendenti dal tempo, assimilabili a orbite classiche illimitate. 16

17 Problemi solubili algebricamente L analisi del moto dei sistemi quantistici, in particolare di N particelle, consiste in generale nella discussione del gruppo di automorfismi α t, del gruppo unitario U(t) e dello spettro del corrispondente operatore hamiltoniano. In un certo numero di casi semplici, l analisi può essere fatta in termini puramente algebrici, integrando esplicitamente le equasioni del moto e derivando lo spettro dell Hamiltoniano dai suoi commutatori con le variabili. Per una particella libera, le equazioni del moto (21) definiscono il gruppo di automorfismi p(t) = p, q(t) = q + p/m t, (24) dove p e q indicano, per una particella in tre dimensioni, triple di operatori p i, q i ; l Hamiltoniano, H = p 2 /2m, moltiplica per una somma di quadrati di variabili reali e ha perciò spettro [0, ), puramene continuo. La stessa analisi si applica a N particelle libere: le eq.(24) valgono per ciascuna particella e l Hamiltoniano è la somma di quelli di singola particella, Ancora con metodi algebrici si ottiene il moto del centro di massa di un sistema di N particelle interagenti con potenziali dipendenti dalla differenza delle coordinate. È sufficiente introdurre le coordinate del centro di massa, N Q m i q i / i=1 i e l impulso totale N P p i, i=1 dove l indice si riferisce alle particelle e posizione e impulso sono triple di operatori autoaggiunti. Dalle equazioni del moto segue m i d/dt Q = P/ i m i, d/dt P = 0, che implicano l evoluzione libera, eq.(24) per le variabili del baricentro. Nel caso di due particelle, la descrizione è completata introducendo le coordinate relative e il corrispondente impulso, Q r q 2 q 1, P r µ(p 2 /m 2 p 1 /m 1 ), µ (1/m 1 + 1/m 2 ) 1, che soddisfano d/dt Q r = P r /µ, d/dt P r = / q 2 V (q 2 q 1 ). 17

18 Le variabili del baricentro e quelle relative soddisfano le relazioni di Heisenberg e commutano una coppia con l altra. Per una particella in un campo di forza costante F, le equazioni del moto sono d/dt q = p/m, d/dt p = F (25) e definiscono gli automorfismi (verificare per esercizio la proprietà di gruppo) p(t) = p + F t, q(t) = q + p/m t + 1/2 F/m t 2, (26) L Hamiltoniano individuato dalle eq.(25) è H = p 2 /2m F q ; (27) il suo spettro è omogeneo, cioè invariante per traslazioni della variabile, dato che e ipa/ h (p 2 /2m F q)e ipa/ h = p 2 /2m F q F a e lo spettro non cambia sotto trasformazioni unitarie; lo spettro è perciò tutto IR ed è puramente continuo (lo spazio di Hilbert sarebbeo altrimenti non separabile). La descrizione di una particella su una circonfeenza richiede un algebra un poco diversa da quella di Heisenberg, la posizione essendo data da un angolo; le sue funzioni possono essere identificate con le funzioni su una circonferenza e come algebra possiamo considerare quella generata da U(n), n ZZ, che si interpreteranno come e inϕ, o come e inx, x IR, e da un impulso p ϕ, con le relazioni U( n)p ϕ U(n) = p ϕ + n, (28) che seguono dalle relazioni di Heisenberg per p e x; le eq.(28) implicano che e iαpϕ implementa le rotazioni di un angolo α; l operatore di rotazione di 2π, i 2π pϕ e commuta con tutte le variabili ed é perciò un multiplo dell identità, e iθ, in ogni rappresentazione irriducibile. L evoluzione nel tempo è data da p ϕ (t) = p ϕ, U(n)(t) = e inx+pϕ/m t = U(n) e itpϕ/m e int/2m, (29) dove la prima delle equazioni per U(n) usa formalmente l evoluzione di ϕ e la seconda definisce la dinamica nell algebra generata dagli U(n) e dagli esponenziali di p ϕ, l ultimo termine derivando dal calcolo del esponenziale con le regole di Heisenberg per p e x. L Hamiltonano è individuato, in ogni rappresentazione irriducibile, dalla dinamica, H = p 2 ϕ/2m, a meno di una costante. 18

19 Lo spettro di p ϕ dipende dalla rappresentazione attraverso il parametro θ: la relazione e i 2π p ϕ = e iθ implica infatti e i 2π λ = e iθ per i punti λ dello spettro di p ϕ, che e consiste perciò di punti λ n = θ/2π +n, n ZZ e anzi coincide con questo insieme in conseguenza delle eq.(28). Lo spettro dell hamiltoniano dipende dalla rappresentazione, essendo dato da {λ 2 /2m, λ = θ/2π + n. Il parametro θ ha perciò un effetto sui livelli energetici (e il caso θ 0 si presenta per particelle su un filo circolare attraversato da un flusso di campo magnetico). Nel caso di un oscillatore armonico, le equazioni del moto sono che definiscono il gruppo di automorfismi Nelle variabili d/dt q = p/m, d/dt p = kq, (30) p(t) = p cos ωt q k/ω sin ωt, q(t) = q cos ωt + p/mω sin ωt, ω (k/m) 1/2. (31) P (mω) 1/2 p, Q (mω) 1/2 q, che soddisfano ancora le regole di commutazione di Heisenberg, l evoluzione si scrive P (t) = P cos ωt Q sin ωt, Q(t) = Q cos ωt + P sin ωt (32) e il corrispondente Hamiltoniano è H = ω/2 (P 2 + Q 2 ) = ω/2( d 2 /dq 2 + Q 2 ), l ultima espressione valendo nella rappresentazione di Schroedinger per le variabili P, Q, indicando con Q anche la variabile per cui Q moltiplica. Con lo stesso procedimento che abbiamo usato per definire la rappresentazione di Fock, si verifica che i vettori definiti da (P + iq) n ψ 0, (P iq)ψ 0 = 0 sono autovettori di H all autovalore λ n = (n + 1/2) hω. Tali vettori sono una base nello spazio di Fock, equivalentemente in quello della rappresentazione 19

20 di Schroedinger; la funzione d onda di ψ 0 è l unica soluzione, a parte una normalizzazione, dell equazione ( id/dq iq) ψ 0 (Q) = 0, ψ 0 = e Q2 /2 = e mωq2 /2 ; gli autovettori di H si ottengono moltiplicando per i polinomi di Hermite, H n (Q) ψ0 1 ( id/dq + iq) n ψ 0. Si noti che l operatore ( d 2 /dq 2 + Q 2 ) commuta con la trasformata d Fourier, e infatti i suoi autovettori sono anche autovettori dell operatore unitario che la definisce. L equazione di Schroedinger in una dimensione In una dimensione, lo spettro dell hamiltoniano di una particella di Schreodinger in un potenziale V (q) si ottiene risolvendo un equazione differenziale lineare ordinaria, Hψ = h 2 /2m d 2 /dx 2 ψ(x) + V (x) ψ(x) = E ψ(x). (33) Le soluzioni a quadrato integrabile dell eq.(33) definiscono autovettori, all autovalore E; per potenziali che hanno limite a ±, le soluzioni a quadrato non integrabile sono asintoticamente funzioni trigonometriche o esponenziali crescenti verso ± ; nel primo caso, in base al criterio sullo spettro discusso sopra, E appartiene allo spettro continuo; nel secondo, se ad E non corrispondono altre soluzioni, E non appartiene allo spettro. Per potenziali localmente limitati, l eq.(33) implica che la derivata seconda di ψ(x) è localmente in L 2, in quanto prodotto di ψ per una funzione limitata, e perciò localmente in L 1 ; ne segue che sia ψ che d/dx ψ sono funzioni continue; in particolare, se V (x) è una funzione regolare a tratti, la continuità di ψ e della sua derivata definiscono condizioni di raccordo per le soluzioni nei diversi intervalli di regolarità di V. Vediamo come esempio le soluzioni dell eq.(33) per un potenziale V (x) con V (x) = 0 x : x < L, V (x) = C x : x L. Per E C le soluzioni sono funzioni trigonometriche, anche negli intervalli x > L, ed E appartiene perciò allo spettro continuo. Per E < C le soluzioni sono esponenziali negli intervalli x > L; trascurando quelle crescenti verso 20

21 l infinito, che non aggiungono informazioni sullo spettro di H, nei punti x = ±L esse soddisfano perciò d/dx ψ(x) = (2m(C E)) 1/2 / h ψ(x), x = ±L. Negli intervalli ( L.L) sono della forma ψ(x) = a cos kx + b sin kx, k = (2mE)) 1/2 / h Dato che H commuta con l operatore di parità P, P ψ(x) = ψ( x), H lascia invariati i sottospazi delle funzioni pari e di quelle dispari e possiamo perciò studiare separatamente i due casi. Per funzioni pari, b si annulla e le condizioni di raccordo in ±L si riducono a quelle in x = L; a meno di una costante moltiplicativa per la funzione ψ, è sufficiente la condizione di raccordo per d/dx ψ/ψ, che si scrive k tan kl = (k 2 C k 2 ) 1/2, 0 < k < k C (2mC) 1/2 / h Dato che il lato sinistro dell equazione è una funzione positiva e crescente di k in ciascun intervallo nπ/l, (n + 1/2)π/L (e negativa negli altri intervalli), mentre il lato destro è positivo e decrescente, l equazione ha esattamente una soluzione in ciascun intervallo, e perciò approssimativamente (2mC) 1/2 L/π h soluzioni. Lo stesso si verifica per le soluzioni pari e perciò lo spettro di H consiste, oltre che dello spettro continuo [C, ), di N autovalori, N = 2(2mC) 1/2 L/π h = 4(2mC) 1/2 L/h. È interessante confrontare n con la stima che si ottiene direttamente dalla idea di Planck di considerare orbite discrete intervallate da un area h nello spazio delle fasi: lo spazio delle fasi disponibile per i moti limitati è la regione di area L < q < L, (2mC) 1/2 < p < (2mC) 1/2, 4(2mC) 1/2 L, identica al numero di autovettori moltiplicato per la costante di Planck; per i singoli autovalori λ n si otterrebbe dal criterio di Planck λ n = h 2 /2m(πn/2L) 2, identici a quelli dati dai valori di k agli estremi degli intevalli introdotti sopra. 21

22 Nel limite C, le condizioni agli estremi diventano semplicemente ψ(±l) = 0; lo spettro continuo sparisce, mentre autovettori e autovalori convergono a quelli della particella libera in [ L, L] con le condizioni al bordo di Dirichlet ψ(±l) = 0, gli autovalori essendo dati esattamente dal criterio di Planck. 7. Momento angolare e potenziali centrali Simmetrie e spettro L analisi dei sistemi di più particelle in tre dimensioni spaziali viene molto semplificata dalla presenza di simmetrie dell hamiltoniano. Come abbiano visto, grazie all unicità della rappresentazione, gli automorfismi dell algebra di Heisenberg definiscono operatori unitari che li implementano, α(a) = U 1 A U. (34) In particolare, operazioni con interpretazione fisica diretta come rotazioni e traslazioni spaziali definiscono gruppi di automorfismi dell algebra di Heisenberg; in generale, le relazioni di gruppo degli automorfismi si estendono agli operatori unitari che li implementano solo a meno di correzioni per multipli dell identità, dando origine a rappresentazioni a meno di fasi. Abbiamo visto che tali correzioni possono essere eliminate, con un scelta opportuna degli operatori unitari, nel caso di gruppi a un parametro. Lo stesso risultato vale, limitatamente a un intorno dell identità, nel caso dei gruppi compatti; dato che le relazioni di Lie tra i generatori di un gruppo derivano direttamente dalle relazioni di gruppo in un qualsiasi intorno dell identità, ne segue che esse valgono per gli operatori che implementano gruppi compatti di automorfismi. Inoltre, poichè nei gruppi di Lie la mappa esponenziale copre un intorno dell identità, le relazioni di Lie tra i generatori sono equivalenti alle relazioni di gruppo in un intorno dell identità, e sono perciò esattamente le relazioni di Lie tra i generatori dei sottogruppi a un parametro a caratterizzare gli operatori unitari che implementano i gruppi compatti di automorfismi. Si dice che un gruppo di automorfismi è una simmetria di un hamiltoniano H se i corrispondenti operatori unitari commutano con H, cioè se H rimane 22

23 invariato sotto l estensione dell automorfismo a tutti gli operatori definita dall eq.(34). Nel caso che H commuti con un solo operatore, U, gli autospazi di U sono automaticamente invarianti sotto H, che può perciò essere studiato separatamente in ciascuno ci essi. Lo stesso si applica agli autospazi comuni di insiemi di operatori commutanti tra loro e con H. Una situazione anche più interessante nasce se H commuta con operatori che non commutano tra loro, come succede nel caso degli operatori unitari U(g) che implementano un gruppo di simmetria non commutativo. In questo caso, se un sottospazio V è invariante sotto gli U(g), fissato comunque t IR, e iht V è evidentemente ancora un sottospazio invariante, sede di una rappresentazione unitariamente equivalente; ne segue che H lascia invariati i sottospazi su cui le rappresentazioni del gruppo di automorfismi sono somme di rappresentazioni equivalenti tra loro. Inoltre, se H lascia invariato un sottospazio sede di una rappresentazione irriducibile, per il Lemma di Schur, H è un multiplo dell identità in tale sottospazio. La riduzione in sottospazi sede ciascuno di rappresentazioni tra loro equivalenti di un gruppo di simmetria di un hamiltoniano H è perciò un fondamentale strumento di analisi dello spettro di H. Momento angolare Vediamo come l analisi sopra delinata si concretizza nel caso del gruppo delle rotazioni. Il gruppo è definito dalle trasformazioni lineari di IR 3 che lasciano invariato il prodotto scalare euclideo; i sottogruppi a un parametro R(φ) = e φt soddisfano perciò, al primo ordine in φ, ((I + φt )x, (I + φt )y) = (x, y) + φ((t x, y) + (x, T y)) = (x, y), cioè T è antisimmetrica. L algebra di Lie del gruppo ha perciò dimensione 3, ed esplicitando i generatori T i delle rotazioni intorno all asse i, si ottengono i commutatori di Lie [T i, T j ] = ε ijk T k (35) Come per tutti i gruppi compatti, le rappresentazioni (a meno di fasi) unitarie e irriducibili (in spazi di Hilbert sui complessi) hanno dimensione finita. Per la eliminabilità locale delle fasi, sono date tutte e sole dalle rappresentazioni 23

24 irriducibili, con operatori in dimensione finita, dell algebra di Lie definita dalle eq.(35). La classificazione delle rappresentazioni dell algebra di Lie segue in modo molto semplice dalle stesse equazioni: indicando con il i i rappresentativi di T i, le matrici L i sono hermitiane e soddisfano [L i, L j ] = iε ijk L k (36) Indicato con ψ l un autovettore di L 3 all autovalore massimo, indicato con l, si ottiene (L 1 + il 2 )ψ l = 0, poiché le eq.(36) implicano che si tratta di un autovettore di L 3 all autovalore l + 1. Ne segue (usando il commutatore tra L 1 e L 2 ) L 2 ψ l i L 2 i ψ l = = ((L 1 il 2 )(L 1 + il 2 ) + L 3 + L 2 3)ψ l = l(l + 1)ψ l. Per le eq.(36), L 2 commuta con gli L i ed è perciò, in una rappresentazione irriducibile, un multiplo dell identità, L 2 = l(l + 1) I. Applicando a ψ l (L 1 il 2 ) si ottengono, per le stesse equazioni, autovettori ψ m all autovalore m = l 1, l 2, ecc., che si annullano solo per 0 = (L 1 + il 2 )(L 1 il 2 )ψ m = (L 2 + L 3 L 2 3)ψ m = = (l(l + 1) m(m 1))ψ m, cioè per m = l. l può perciò assumere solo valori interi o semiinteri; i vettori ψ m, m = l, l+1,... l 1, l sono una base per una rappresentazione dell algebra di Lie; per la irriducibilità, ψ l è unico, e così gli altri ψ m ; inoltre, comunqie fissato l intero o semiintero, le relazioni sopra introdotte definiscono una rappresentazione. Nel caso di rappresentazioni con l semiintero, si ottiene una rappresentazione del gruppo delle rotazioni solo a meno di fasi, dato che per esempio le rotazioni di 2π intorno all asse k sono rappresentate da e 2πiL k = I, come segue immediatamente dallo spettro (j/2, j dispari) di L k. 24

25 Nello spazio di Schroedinger di una particella in tre dimensioni, le rotazioni sono rappresentate da U(R)ψ(x) = ψ(r 1 x), con R matrice di rotazione, dato che tali operatori evidentemente implementano gli automorfismi dell algebra di Heisenberg q i R ij q j, p i R ij p j. Derivando i corrispondenti sottogruppi a un parametro, si vede che i generatori T i sono rappresentati da il i, con L i = ε ijk q j p k. Essendo verificate le relazioni di gruppo, le rappresentazioni irriducibili contenute nello spazio di Schroedinger sono tutte a l intero; anzi, ogni l intero (non negativo) definisce uno spazio di rappresentazioni, tutte tra loro unitariamente equivalenti, date dai sottospazi di L 2 generati da f(r) Y lm (θ, φ), con r, θ, φ coordinate polari, f in L 2 (r 2 dr) e Y lm le armoniche sferiche (m intero, m l). Più in generale, si possono considerare particelle con gradi di libertà interni, su cui le rotazioni agiscano con rappresentazioni unitarie, che non sono allora vincolate ad avere l intero; nel caso di rappresentazioni irriducibili, tali particelle sono perciò caratterizzate da un parametro di momento angolare intrinseco che prende il nome di spin, il caso più semplice essendo quello di spin 1/2, corrispondente alla rappresentazione irriducibile di dimensione 2 dell algerba di Lie del gruppo delle rotazioni. L atomo di idrogeno Gli operatori L i di momento angolare di una particella permettono di esprimere l hamiltoniano libero, H 0 = p 2 /2m come la somma di un termine radiale e di uno angolare; per questo e sufficiente calcolare 1/r 2 L 2 = 1/r 2 i ε ijk q j p k ε ilm q l p m = = 1/r 2 (q j p k q j p k q j p k q k p j ) = 1/r 2 (q j q j p k p k + 2iq j p j ) + 1/r q j p j 1/r q k p k = = p 2 + 2/r / r + 2 / r 2 ; 25