- S.Barbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Cap. 7

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1 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Cap 7 Propagazione di onde elettromagnetiche piane in mezzi anisotropi: Plasmi sottoposti a campi magnetici, ferriti magnetizzate, effetto Hall, effetto magnetoottico, effetto Zeeman, ottica dei cristalli 71 - Relazioni costitutive di un plasma sottoposto ad un campo magnetostatico Quando un campo magnetostatico B é applicato ad un plasma, il plasma diventa elettricamente anisotropo per le onde elettromagnetiche; cioé la permeabilitá magnetica del plasma rimane eguale alla permeabilitá del vuoto µ, mentre la costante dielettrica del plasma é trasformata in una quantitá tensoriale ɛ Per dimostrare ció scriviamo l equazione del moto di un elettrone, sottoposto ad un campo elettromagnetico monocromatico di cui, al solito, trascuriamo il campo magnetico) e ad un campo magnetostatico uniforme B ; ossia aggiungiamo all equazione 613) il termine che rappresenta la forza di Lorentz: m e v t = q e E m e vω eff + q e v B 711) Scegliamo l asse z del nostro sistema di riferimento in modo che risulti parallelo a B e orientato nello stesso verso di esso; potremo scrivere allora B = B ẑ Dividendo la 711) per m e, dopo aver posto si ha: La grandezza ω g ω g = q eb m e 71) v t + ω eff v = q e E m e + ω g v ẑ 713) ha le dimensioni di una frequenza angolare; per l elettrone, q e é negativo e quindi ω g = q e B m e Essa prende il nome di frequenza giromagnetica dell elettrone Poiché il campo elettrico é armonico con legge E = E e iωt, la soluzione a regime come abbiamo fatto vedere nel caso di plasma senza campo magnetico) per la velocitá é pure armonica del tipo v = v e iωt 714) Sostituendo la 714) nell equazione 713) si ha: iω + ω eff ) v + ω g ẑ v = q e E m e 715) Proiettiamo, ora, la 715) su un sistema di assi x, y, z e siano E x, E y, E z e v x, v y, v z le componenti rispettivamente di E e v Poiché: ẑ v = ẑ v x x + v y ŷ + v z ẑ) = v x ŷ v y x 7-1

2 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - si ha: Converrá, ora, porre: iω + ω eff ) v x ω g v y = q ee x m e ω g v x + iω + ω eff ) v y = q ee y m e iω + ω eff ) v z = q ee z m e 716) Ω = ω + iω eff cioé iω = iω + ω eff 717) Il sistema di equazioni 716) diventa: iωv x ω g v y = q ee x m e ω g v x iωv y = q ee y m e iωv z = q ee z m e 718) le cui soluzioni sono: v x = v y = E x E y iω q e m e q e m e ω g ω g iω ω g iω iω E x ω g E y iω ω g iω ω g v z = q e m e = q e m e iωe x + ω g E y ω g Ω 719) = q e m e iωe y ω g E x ω g Ω 711) ) Ez iω 7111) Il vettore densitá di corrente J = nq e v é, allora: J x = nq e m e J y = nq e m e J z = nq e m e 1 iω E z iω ω g Ω E x + nq e m e ω g ω g Ω E x + nq e m e ω g ω g Ω E y iω ω g Ω E y 711) 7 -

3 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Dalle 711) osserviamo subito che nel caso di plasmi su cui agiscono campi magnetici esterni, J non é del tipo J = a E+iωb E; in questo caso, infatti, il vettore densitá di corrente elettronica J non é parallelo a E Il plasma si comporta come mezzo anisotropo e quindi la sua costante dielettrica complessa é di tipo tensoriale Dalla conoscenza di J possiamo trovare la costante dielettrica complessa del plasma; infatti, l equazione di Maxwell si scrive: H = J iωɛ E = iω ɛ E = iω D 7113) Dato il carattere tensoriale di ɛ, D in generale non é parallelo ad E Dalla 7113) si ha: J D = iω + ɛ E 7114) Posto, al solito, ωp = nq e, la relazione costitutiva di un plasma sottoposto a campo m e ɛ magnetico é: D x = ɛ 1 D y = iɛ ωp ω + iω eff) [ ω ω + iω eff ) ωg ωpω g [ ω ω + iω eff ) ωg ] E x iɛ ]E x + ɛ 1 [ ω ω p ω g ]E y ω + iω eff ) ωg ωp ω + iω eff ) [ ] E y ω ω + iω eff ) ωg D z = ɛ 1 ω p ω ω + iω eff ) ) E z 7115) Quindi la matrice che rappresenta la costante dielettrica complessa é: ɛ xx ɛ xy ɛ yx ɛ yy 7116) ɛ zz Si vede immediatamente che: ɛ xx = ɛ yy ; ɛ xy = ɛ yx 7117) e che inoltre, poiché ω g cambia di segno se si inverte il verso di B si ha che: ɛ xy B ) = ɛ yx B ) 7118) É conveniente, e molto utilizzato in letteratura, esprimere gli elementi della matrice 7116) in funzione delle seguenti quantitá adimensionate: X = ωp ), Y = ω ω g ω 7-3 ) ωeff ), Z = ω 7119)

4 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Si osservi che ω g, per gli elettroni é una quantitá negativa e quindi Y é positivo Si ha: ɛ xx = ɛ 1 = ɛ 1 ωp ω + iω eff ) [ ω ω + iω eff ) ωg ) X1 + iz) 1 + iz) Y ] = ɛ 1 ω p 1 + i ω eff ω ω [ 1 + i ω eff ω ɛ ωpω g ω xy = iɛ [ ] pω g = iɛ { [ ω ω + iω eff ) ωg ω ω 1 + i ω eff ω = iɛ XY 1 + iz) Y ɛ zz = ɛ 1 ω p ω ω + iω eff ) ) = ɛ 1 ω p ω 1 + i ω eff ω ) ) ω g ω ) ) ω g ω ]} = = ɛ 1 X 1 + iz ] = ) 71) 711) 71) Finora si é tenuto conto soltanto dell interazione del campo elettrico con gli elettroni liberi; é importante, in certe condizioni, considerare l interazione del campo elettrico con gli ioni positivi Lo ione positivo, essendo molto pesante rispetto all elettrone, rimane pressocché immobile se il campo elettrico dell onda é a frequenza relativamente elevata; in tal caso, infatti, esso non fa in tempo a percorrere un piccolissimo tratto che il campo elettrico cambia verso e lo costringe a ritornare nella posizione d origine Tuttavia quando la frequenza dell onda elettromagnetica che viaggia in un plasma é molto bassa, il moto degli ioni positivi deve essere incluso nell analisi Possiamo trovare la costante dielettrica, in questo caso di bassa frequenza, calcolando la corrente di convezione come somma della corrente ionica e di quella elettronica precedentemente calcolata Per procedere con il calcolo, notiamo che l equazione del moto per gli ioni é formalmente la stessa di quella per gli elettroni, si ha: im i ω v i = q i E + v i B ) m i ω i eff v i 713) Trascurando nella 713) il termine ωeff i in quanto esso é molto piú piccolo di ω eff, essendo gli ioni molto piú lenti degli elettroni, gli elementi della matrice ɛ, completi del moto degli ioni, diventano: ɛ xx = ɛ 1 ωp ω + iω eff ) [ ] ω pi ω ω + iω eff ) ωg ω ωgi = 7-4

5 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ωp 1 + i ω ) eff = ɛ 1 ω ω pi [ ] ω 1 + i ω ) = ) eff ωg ω ω ω 1 ω gi ω = ɛ [ 1 X1 + iz) 1 + iz) Y X i 1 Y i ] = ɛ yy 714) ɛ xy = iɛ ωpω g [ ω ω + iω eff ) ωg ] + ωpi ω gi ω ) ω ωgi = = iɛ ω { ω pω g ω [ 1 + i ω eff ω ) ω g ω ]} + ω ωpi ω gi [ω 1 ω gi ω )] = [ XY = iɛ 1 + iz) Y + X ] iy i 1 Y = ɛ yx 715) i ɛ zz = ɛ [1 ωp ω ω + iω eff ) ω pi ω = ɛ 1 X ) 1 + iz X i ] = ɛ 1 ω p ω 1 + i ω eff ω ) ω pi ω = 716) avendo posto ω pi = n iq i m i ɛ e ω gi = q i m i B 717) 7 - Propagazione di onde piane in un plasma sottoposto ad un campo magnetico Studieremo, ora, la propagazione e le proprietá della polarizzazione di un onda monocromatica piana che si propaga in un plasma omogeneo sottoposto ad un campo magnetico Per definizione il campo elettrico e il campo magnetico di un onda monocromatica piana hanno la forma, omettendo il termine e iωt : E r) = E e i k r H r) = H e i k r 71) dove E e H sono vettori costanti, k é il vettore d onda, e r é il vettore posizione 7-5

6 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Possiamo scrivere k come: k = n ω v 7) dove n é il vettore unitario nella direzione di propagazione e v é la velocitá di fase dell onda Il problema é quello di determinare il vettore k che descrive la propagazione dell onda, ed il vettore E che descrive la polarizzazione dell onda Consideriamo le equazioni di Maxwell scritte per campi armonici nel tempo: E = iωµ H e H = iω ɛ E 73) Sostituendo ad esse le espressioni 71), si ha: E e i k r = iωµ H H e i k r = iω ɛ E 74) Consideriamo la relazione vettoriale: ΦA ) = Φ A + Φ A 75) Posto A = E e Φ = e i k r, e tenendo conto che E é un vettore costante, le equazioni di Maxwell si scrivono: e i k r ) E = iωµ H e i k r ) H = iω ɛ E 76) D altra parte si ha che: e i k r = x x + ẑ z [ e ik xx + k y y + k z z) ] + ŷ [ e ik xx + k y y + k z z) ] + y [ e ik xx + k y y + k z z) ] = ik x xe i k r + iky ŷe i k r + ikz ẑe i k r = 77) = i k x x + k y ŷ + k z ẑ) e i k r = i ke i k r ossia l applicazione dell operatore al termine scalare e i k r equivale a moltiplicare per i k il termine stesso In definitiva si ha: k E = ωµ H k H = ω ɛ E = ω D 78) Le 78) ci forniscono l importante risultato che i vettori D e H sono entrambi ortogonali alla direzione di propagazione e fra di loro H é ortogonale a E Moltiplicando scalarmente per D entrambi i membri della prima equazione delle 78) si trova: k E D = 7-6

7 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ossia i vettori k, E e D sono complanari Poiché in un mezzo anisotropo E non é parallelo a D, segue che il vettore E non é ortogonale alla direzione di propagazione Pertanto il vettore di Poynting non ha la stessa direzione di k e giace nello stesso piano di D, E e k D E k H S fig7-1 Si puó dimostrare che il vettore di Poynting, mediato in un periodo, é parallelo alla effettiva velocitá di propagazione dell onda che é, come vedremo, la velocitá di gruppo Ricavando H dalla prima delle 78) e sostituendo nella seconda, le due equazioni di Maxwell sono equivalenti a: k k E ) = ω µ ɛ E 79) che si puó scrivere: k E ) k k E = ω µ ɛ E 71) Ponendo k = n ω, la 79) in definitiva si scrive: v E n n E ) = 1 v ɛ ɛ c E 711) dove c é la velocitá della luce nel vuoto, v é la velocitá di fase e n il versore della direzione di propagazione Senza perdere di generalitá scegliamo un sistema di riferimento cartesiano in modo tale che l asse z sia parallelo a B ed il piano yz contenga n, come illustrato in fig

8 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - z B n θ y fig7- Sia θ l angolo fra n e B Si ha, inoltre: n E = n x E x + n y E y + n z E z 71) e ɛ xx ɛ xy ɛ E = ɛ yx ɛ yy E x E y = 713) ɛ zz E z = ɛ xxe x + ɛ ) xye y x + ɛ yx E x + ɛ ) yye y ŷ + ɛ zz E z ) ẑ Proiettando l equazione 711) sugli assi, tenendo conto che: n x =, n y = sin θ, n z = cos θ, 714) otteniamo il sistema: E x = 1 v ɛ ɛ c xx E x + ɛ xy E ) y E y sin θ E y sin θ + E z cos θ) = 1 v ɛ ɛ c yx E x + ɛ yy E ) y E z cos θ E y sin θ + E z cos θ) = 1 v ɛ c ɛ zze z ) 715) 7-8

9 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Ordinando: E x 1 v ɛ ) xx v ɛ xy E c ɛ c y = ɛ E x v ɛ ) yx c + cos θ v ɛ ) yy ɛ c E y + cos θ sin θ) E z = ɛ cos θ sin θ) E y + sin θ v ɛ ) zz c E z = ɛ 716) dove E x, E y, E z sono le componenti cartesiane di E Poiché il sistema 716) é omogeneo, esso dá soluzione diversa da quella banale se: 1 v ɛ ) xx v ɛ ) xy c ɛ c ɛ v ɛ ) yx cos θ v ɛ ) yy cos θ sin θ) c ɛ c ɛ = 717) cos θ sin θ) sin θ v ɛ ) zz c ɛ Tenendo conto delle 7117), la 717) si scrive: 1 v ɛ ) xx v ɛ ) xy c ɛ c ɛ v ɛ ) xy cos c θ v ɛ ) xx ɛ c cos θ sin θ) ɛ = 718) cos θ sin θ) sin θ v ɛ ) zz c ɛ Per risolvere la 718) é conveniente definire le seguenti quantitá ɛ 1, ɛ, ɛ 3 come: ɛ 1 = ɛ xx ɛ i ɛ xy ɛ ; ɛ = ɛ xx ɛ + i ɛ xy ɛ ; ɛ 3 = ɛ zz ɛ 719) dalle quali si ricava: ɛ xx = ɛ 1 + ɛ ; ɛ ɛ xy = ɛ 1 ɛ ɛ i ; ɛ zz ɛ = ɛ 3 7) Sostituendo le 7), l equazione 718) diventa: ) ) 1 v ɛ 1 + ɛ v ɛ 1 ɛ c c i ) ) v ɛ 1 ɛ cos θ v ɛ 1 + ɛ cos θ sin θ) c i c = 71) ) cos θ sin θ) sin θ v c ɛ 3 7-9

10 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Risolvendo si ha: 1 v ɛ 1 + ɛ )cos c θ sin θ v c ɛ 3 cos θ+ v4 ɛ 1 + ɛ c 4 + v ɛ 1 ɛ c i ɛ 3 v ɛ 1 + ɛ c v ɛ 1 ɛ c i ) sin θ sin θ cos θ + sin θ v4 c 4 ɛ 3 ) ɛ 1 ɛ = i 7) v c ɛ 3 cos θ + v4 ɛ 1 + ɛ c 4 ɛ 3 v ɛ 1 + ɛ c sin θ + v4 ɛ 1 + ɛ c 4 ɛ 3 cos θ v6 c 6 ) ɛ1 + ɛ ɛ v4 c 4 ) ) ) ɛ1 + ɛ sin θ v4 ɛ1 ɛ sin θ + v6 ɛ1 ɛ ɛ c 4 c 6 3 = 73) v6 c 6 ɛ 3 4 v c ɛ 3 cos θ + v4 ɛ 1 + ɛ c 4 ɛ 1 + ɛ + ɛ 1ɛ ɛ 1 ɛ + ɛ ) v 4 sin θ 1ɛ + c 4 4 ɛ 3 v ɛ 1 + ɛ c sin θ + v4 ɛ 1 + ɛ c 4 ɛ 3 cos θ ɛ 1 + ɛ + ɛ 1ɛ ɛ 1 ɛ + ɛ ) 1ɛ = 74) v c ɛ 3 cos θ + v4 ɛ 1 + ɛ c 4 ɛ 3 v ɛ 1 + ɛ c sin θ + v4 ɛ 1 + ɛ c 4 ɛ 3 cos θ v6 c 6 ɛ 1ɛ ɛ 3 + v4 c 4 ɛ 1ɛ sin θ = 75) Mettendo in evidenza v v ed escludendo, al momento, la soluzione =, la 75) é c c un equazione di secondo grado in v ; la sua soluzione fornisce, in funzione della direzione di c propagazione dell onda, i valori della costante di propagazione per cui é possibile l esistenza dell onda nel plasma Tuttavia prima di risolverla in forma generale é piú utile, come vedremo, esprimere la 75) in una forma diversa ed anche piú elegante 1 Sostituendo 1 + tan θ al posto di cos θ, tan θ 1 + tan θ al posto di sin θ e moltiplicando ciascun termine per 1 + tan θ, la 75) diventa: ɛ 3 + v ɛ 1 + ɛ c ɛ 3 + v ɛ 1 + ɛ c ɛ 3 tan θ ɛ 1 + ɛ tan θ + v ɛ 1 + ɛ c ɛ 3 v4 c 4 ɛ 1ɛ ɛ 3 v4 c 4 ɛ 1ɛ ɛ 3 tan θ + v c ɛ 1ɛ tan θ = 76) 7-1

11 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Raggruppando: v 4 c ɛ 1ɛ 4 ɛ 3 v ɛ 1 + ɛ c ɛ 3 v c ɛ 1ɛ + ɛ ) 1 + ɛ tan θ = v4 c ɛ 1ɛ 4 ɛ 3 v c ɛ 1 + ɛ )ɛ 3 + ɛ 3 77) Da cui, dividendo ciascun termine per ɛ 1 ɛ ɛ 3, si ottiene: tan θ = v 4 c v 1 4 c v 4 c 4 v c ɛ 1 + ɛ ɛ 1 + ɛ ɛ 1 ɛ + 1 ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ v c ɛ 3 ɛ 1 + ɛ ɛ 1 ɛ ɛ 3 Il numeratore della 78) si puó scrivere: v 4 c v ɛ 1 + ɛ + 1 = v4 4 c ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ c v ) + 1 v = 4 c ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ c 1 ) v ɛ 1 c 1 ) ɛ 78) 79) 1 essendo, com é facile verificare, e 1 le radici del primo membro della 79) ɛ 1 ɛ Analogamente il denominatore della 78) si puó scrivere: v 4 c v 1 ɛ 1 + ɛ v [ ɛ 1 + ɛ = v4 4 c ɛ 1 ɛ c ɛ 3 ɛ 1 ɛ ɛ 3 c v ) ] + 1ɛ ) = 4 c ɛ 1 ɛ ɛ 3 ɛ 1 ɛ [ v = c )] v ɛ 1 ɛ c 1 ) ɛ 3 73) essendo, com é facile verificare, ) e 1 le radici del primo membro della 73) ɛ 1 ɛ ɛ 3 In definitiva si ha: v ) v ) tan θ = v c 1 ɛ )[ 1 v c 1 ɛ 1 )] 731) c 1 ɛ 3 c 1 ɛ ɛ La formula 731) é utilissima per l analisi immediata dei casi di propagazione dell onda lungo la direzione del campo magnetico e lungo la direzione ad esso ortogonale Trascuriamo i termini dipendenti dal moto degli ioni Nel caso in cui la propagazione é parallela a B cioé se θ =, l equazione 731) conduce alle due soluzioni che, in virtú delle formule 71), 711) e 71) si scrivono: ) v 1 1 c 1 = 1 ɛ 1 = ɛ xx ɛ i ɛ xy ɛ = 1 X 1 + iz) 1 + iz) Y + XY 1 + iz) Y 1 = = X iz) [1 + iz) Y ] Y 7-11 = 1 X iz) + Y 73)

12 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - ) v c = = ɛ ɛ xx + i ɛ = = xy X 1 + iz) 1 ɛ ɛ 1 + iz) Y XY 1 + iz) Y 1 1 = = X X iz) [1 + iz) + Y ] 1 Y 1 + iz) Y 733) Conseguentemente l onda elettromagnetica che attraversa il plasma sará composta di due onde con costanti di propagazione diverse; ricordando che k = n ω v si hanno: k = ω c 1 X 1 + iz + Y = ω 1 c ω p ωω + iω eff ω g ) 734) k = ω c 1 X 1 + iz Y = ω 1 c ω p ωω + iω eff + ω g ) 735) Se la propagazione avviene lungo l asse y, cioé perpendicolare a B, θ é eguale a π e in questo caso, per trovare le soluzioni, dobbiamo annullare il denominatore della 731), ottenendo: ) v c = 1 = ɛ 1 1 ɛ 3 ɛ = zz 1 X 736) 1 + iz = 1 ) v c = ) = 1 ɛ 1 ɛ 1 = 1 [ 1 X 1 + iz) + Y 1 + iz) + Y 1 + iz) + Y X X 1 + iz) Y iz) Y 1 + iz) Y X = ] = 1 + iz) Y X ixz XY iz) Y X ixz + XY 1 + iz X) Y = = 1 + iz) Y X 1 + iz) 1 + iz X) Y = = iz) 1 + iz X) Y 1 + iz X) Y = 1 + iz) 1 + iz X) Y = 1 + iz) 1 + iz X) X 1 + iz X) Y = 1 1 = X 1 X + iz) X iz) 1 + iz X) Y Y 1 + iz 1 + iz X )

13 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Le corrispondenti costanti di propagazione delle due onde componenti sono: k π k π = ω c 1 X 1 + iz = ω c = ω c 1 X Y = ω c iz 1 + iz X 1 ω p ω ω + iω eff ) ω p ω 1 + i ω eff ω ωg ω + iω eff ω ωp) 738) 739) Cerchiamo adesso di esprimere la soluzione della 75) nella sua forma generale La 75), ordinata, si scrive: v 4 c v 1 sin θ v 1 ɛ 1 + ɛ cos θ v 1 ɛ 1 + ɛ + 1 cos θ + 1 ɛ 1 + ɛ sin θ = 4 c ɛ 3 c ɛ 1 ɛ c ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ ɛ 3 74) v 4 [ c 4 v 1 c v 4 [ c v ɛ1 + ɛ 4 c ɛ 1 ɛ ɛ 1 + ɛ 1 + cos θ) + 1 ] sin θ + 1 cos θ + 1 ɛ 1 + ɛ sin θ = 741) ɛ 1 ɛ ɛ 3 ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ ɛ 3 1 ɛ 1 + ɛ 1 ) ] sin θ + 1 cos θ + 1 ɛ 1 + ɛ sin θ = 74) ɛ 1 ɛ ɛ 3 ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ ɛ 3 Risolvendo in v, si ha: c { v 1 c = + 1 ɛ 1 ɛ [ ) ɛ 1 ɛ ) 1 ɛ 3 ] sin 4 θ [ ɛ ɛ ɛ ɛ ) ] } { 1ɛ3 1 sin θ ± ) sin θ + 1 ɛ 3 1 ɛ ɛ ɛ ɛ ) + ) sin θ 743) 4 cos θ ) } 1 sin θ ɛ 1 ɛ ɛ 3 ɛ 1 ɛ Raggruppando e semplificando i termini sottolineati, si ha: { 1 c = + 1 ɛ 1 ɛ 1 v ± ) [ ɛ 1 ɛ + 1 ) [ 1 1 cos ɛ 1 ɛ θ ) ɛ 1 ɛ ) ] } 1ɛ3 sin θ ± 1 ɛ 3 ] sin 4 θ 4 ɛ 1 ɛ cos θ 744) 7-13

14 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - { 1 c = + 1 ) [ ) ] } 1ɛ3 sin θ ± ɛ 1 ɛ ɛ 1 ɛ 1 ± 1 ) [ 1 1 cos ɛ 1 ɛ θ ) 1 ] sin 4 θ ɛ 1 ɛ ɛ 3 v 745) É conveniente esprimere la 745) in funzione dei parametri caratteristici del plasma X, Y e Z Applichiamo, per questo, le formule 73), 733), 736) ed il risultato intermedio della formula 737) 1 1 ɛ ɛ ) 1ɛ3 = 1 + iz) 1 + iz X) Y 1 + iz X) Y 1 + iz 1 + iz X = = 1+iZ)1 + iz X) Y 1 + iz) + XY 1 + iz) 1 + iz X) + Y 1 + iz) ] = 1 + iz X) [1 + iz X) Y = ɛ 1 ɛ X iz + Y 1 X 1 + iz Y = = XY ] 1 + iz X) [1 + iz X) Y 746) 1 + iz + Y 1 + iz X) + Y 1 + iz Y 1 + iz X) Y = = 1 + iz) Y X 1 + iz + Y ) 1 + iz) + Y + X 1 + iz Y ) 1 + iz X) = Y XY = 1 + iz X) Y 747) = [ ] 1 + iz) 1 + iz X) Y ɛ 1 ɛ 1 + iz X) 748) Y Sostituendo le espressioni 746), 747) e 748) nella 745), si ha: v c = [ ] 1 + iz) 1 + iz X) Y XY sin θ 1 + iz X) Y [1 + iz X) Y ] 1 + iz X) ± 4X ± Y cos θ [1 + iz X) Y ] + X Y 4 sin 4 θ 1 + iz X) [1 + iz X) Y ] [ ] 1 + iz) 1 + iz X) Y v c = 1 + iz X) Y 4X ± [1 + iz X) Y ] XY T [1 + iz X) Y ] 1 + iz X) ± 7-14 [ Y L ) YT 4 ] 75) 1 + iz X)

15 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - avendo posto: Y T = Y sin θ e Y L = Y cos θ 751) Aggiungendo e sottraendo dentro le prime parentesi rotonde del numeratore del primo termine del secondo membro la quantitá X, si ottiene: v X1 + iz X) = + c 1 + iz X) Y XYT [1 + iz X) Y ] 1 + iz X) ± X Y 1 + iz X) Y L + 1 YT iz X) 75) Dividendo primo e secondo membro per due e mettendo in evidenza fra gli ultimi tre X termini del secondo membro la quantitá 1 + iz X), si ha: Y v c =1 + [ X 1 + iz X) iz X) Y Y T 1 + iz X) ± Y L Y 4 T 1 + iz X) 753) Moltiplicando e dividendo il secondo termine del secondo membro della 753) per si ottiene: v c = iz X) 1 X 1 + iz X) Y Y T 1 + iz X) Y L iz X) YT Y L 1 + iz X) 1 YT 1 + iz X) YL Poiché risulta Y T Y L = Y, semplificando si ha: Y 4 T 1 + iz X) 754) Y 4 T 1 + iz X) ] 755) v c = iz X) 1 X Y T 1 + iz X) Y L Y 4 T 1 + iz X) 756) v c = X iz iz 1 Y T 1 + iz X) Y T 1 + iz X) 7-15 YL Y L Y 4 T 1 + iz X) Y 4 T 1 + iz X) ) 757)

16 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - che, in definitiva si puó scrivere: v c = iz 1 X Y T 1 + iz X 1 4 Y 4 T 1 + iz X) + Y L 1 758) La 758) é la famosa formula di Appleton della teoria magnetoionica della ionosfera Per le costanti di propagazione si ha: k θ = ω c iz 1 X Y T 1 + iz X Y 4 T 1 + iz X) + Y L 1 759) k θ = ω c iz 1 X Y T 1 + iz X 1 4 Y 4 T 1 + iz X) + Y L 1 76) Dobbiamo, peró, osservare che il radicale nell equazione 758) cambia segno a seconda del fattore 1 X) ipotizziamo Z = ) Se in essa il radicale ha il suo valore positivo, allora il segno alternato resta cosí come é scritto solo per X < 1 Il segno alternato deve essere ribaltato quando X > 1 Si puó facilmente verificare ció nel caso di Z = e θ = 9 Per ovviare a questa ambiguitá é conveniente modificare la 758) e, quindi, le 759) e 76) moltiplicando numeratore e denominatore della frazione per la quantitá 1 + iz X) Si ha, cioé: 1 k θ = ω c 1 X1 + iz X) 1 + iz)1 + iz X) 1 1 Y T + 4 Y T 4 + Y L 1 + iz X) 761) Sir Edward Victor Appleton ): fisico inglese, insignito, nel 1947, del premio Nobel per la fisica per il suo lavoro sulle proprietá fisiche dell alta atmosfera e specialmente per la sua scoperta del cosiddetto strato di Appleton 7-16

17 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - k θ = ω c 1 X1 + iz X) 1 + iz)1 + iz X) 1 Y T 1 4 Y 4 T + Y L1 + iz X) 1 76) Abbiamo cosí trovato due onde viaggianti in direzione arbitraria θ con costanti di propagazione diverse k θ e k θ Poiché come funzione di X la costante k θ somiglia alla costante di propagazione di un onda in un plasma isotropo piú di quanto lo somigli k θ, l onda la cui costante di propagazione é k θ viene chiamata onda ordinaria e l onda la cui costante di propagazione é k θ viene chiamata onda straordinaria Si noti, infatti, che k π é identicamente eguale alla costante di propagazione di un onda in un plasma isotropo Una descrizione visiva del comportamento di una plasma magnetizzato si ottiene graficando il quadrato dell indice di rifrazione associato al plasma, definito come n = c/v, in funzione del rapporto fra la frequenza angolare ω del campo elettromagnetico viaggiante nel plasma e la frequenza angolare di plasma ω p, per Z= Ossia grafichiamo il reciproco della funzione 758, per un plasma privo di collisioni La fig7-3 rappresenta l insieme di queste curve al variare dell angolo fra la direzione di propagazione dell onda elettromagnetica e quella del vettore induzione magnetica, per due valori del rapporto fra la pulsazione giromagnetica e quella di plasma In particolare le tre figure verticali sulla sinistra si riferiscono al rapporto ω g /ω p = 5 ossia campi magnetici non relativamente alti) per θ =, 3, 9 ; le tre figure verticali sulla destra si riferiscono al rapporto ω g /ω p = ossia campi magnetici relativamente alti) per θ =, 3, 9 Chiaramente ha significato fisico solo la parte ombreggiata delle figure n > ) Le figure 7-4 e 7-5 rappresentano in modo piú dettagliato le stesse curve per propagazione longitudinale θ = ), per quattro valori del rapporto ω g /ω p 5, 1, 15, ) La figura 7-6 rappresente le curve per propagazione ortogonale al campo di induzione magnetica θ = 9 ), per due valori del rapporto ω g /ω p 5, ) 7-17

18 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici n in funzione di ω/ω p, Z = ord ord ord straord straord θ = ω g /ω p = 5 ω/ω p 1 3 n in funzione di ω/ω p, Z = ord ord straord straord straord θ = ω g /ω p = ω/ω p ord ord straord straord θ = 3 ω g /ω p = 5 ω/ω p ord ord straord straord θ = 3 ω g /ω p = ω/ω p ord straord straord θ = 9 ω g /ω p = 5 ω/ω p ord straord straord θ = 9 ω g /ω p = ω/ω p fig

19 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - n n n in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p = 5, θ = ) onda ordinaria R), onda straordinaria L) ω g ω p ω/ω p n in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p = 1, θ = ) onda ordinaria R), onda straordinaria L) ω g ω p ω/ω p fig

20 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - n n n in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p = 15, θ = ) onda ordinaria R), onda straordinaria L) ω/ω p n in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p =, θ = ) onda ordinaria R), onda straordinaria L) ω/ω p ω g ω p fig 7-5 ω g ω p 7 -

21 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - n n n in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p = 5, ω H /ω p = 1118, θ = 9 ) onda ordinaria, onda straordinaria ω H 5 1 ωp ω/ω p n in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p =, ω H /ω p = 361, θ = 9 ) onda ordinaria, onda straordinaria ω/ω p fig 7-6 ω H ωp 7-1

22 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Dai grafici 7-4, 7-5, 7-6 si osserva in modo piú preciso che l indice di rifrazione per particolari valori di ω/ω p diventa infinito Si verificano, ossia, delle risonanze Consideriamo la propagazione longitudinale ossia avente la stessa direzione del campo magnetico θ = e quindi Y T = e Y L = Y = ω ) g ω Dalla 761) e 76), ponendo Z = e, quindi, k = β, per le due onde ordinaria ordinary) e straordinaria extraordinary): β oθ= ) = ω c 1 1 X1 X) 1 X) + YL 1 X) 763) β eθ= ) = ω c 1 1 X1 X) 1 X) YL 1 X) 764) Esprimiamo la 763) e la 764) in funzione di ω, ω p e ω g ; poniamo: X = ω p ω, Y = ω g ω 765) Si ha: β oθ= ) = ω c 1 1 ω p ω ω p ω ) + 1 ω p ω g ω ω ) 1 ω p ω ) 1 766) che si puó scrivere: β oθ= ) = ω p ω c ω p 1 1 ω p ω ) ωp 1 ω p ω ω + ω g ωp ωp ω ) 1 ω p ω ) 1 767) 7 -

23 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Analogamente: β eθ= ) = ω p ω c ω p 1 1 ω p ω ) ωp 1 ω p ω ω ω g ωp ωp ω ) 1 ω p ω ) 1 768) c k θ= ) ω = 1 Si ha, per l onda straordinaria, dalla 76): c k θ= ) ω = 1 X 1 + iz) + Y X 1 + iz) Y 763) 764) Ponendo Z =, per semplificare i calcoli, ha: c k θ= ) ω = 1 X 1 + Y = 1 ω p ωω ω g ) c k θ= ) ω = 1 X 1 Y = 1 ω p ωω + ω g ) 765) 766) k θ= ) compete ad un onda circolarmente polarizzata destra e k θ= ) compete ad un onda circolarmente polarizzata sinistra Le frequenze di soglia si ottengono annullando le espressioni 765) e 766) Per l onda polarizzata circolarmente destra si ha: Dividendo ciascun termine della 767) per ωp, si ha: ω R ω R ω g ) = ω p 767) ω R ω p ω R ω p ω g ω p = 1 768) Tenendo conto che ω g é <, la 768) é piú conveniente scriverla come: ω R ω p + ω R ω p ω g ω p = 769)

24 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - la cui soluzione, scartando quella negativa, é: ω R ω p = 1 ω g ω p ω g ω p Per l onda polarizzata circolarmente sinistra si ha: Con analogo procedimento, risulta: ω L ω p = 1 ω g ω p ) ω L ω L + ω g ) = ω p 771) ω g ω p + 1 = ω g ω p + ω R 77) ω p Nella seguente tabella riportiamo alcuni valori di frequenza di soglia al variare di ω g /ω p ω g /ω p ω R /ω p ω L /ω p Consideriamo la propagazione trasversale alla direzione del campo magnetico, ossia θ = 9 e quindi Y L = e Y T = Y = ω ) g ω Si ha, per l onda ordinaria, dalla 759): c k θ=π/) ω = 1 Si ha, per l onda straordinaria, dalla 76): c k θ=π/) ω = 1 Ponendo Z =, per semplificare i calcoli, si ha: c k θ=π/) ω =1 c k θ=π/) ω =1 X 1 + iz) 773) X1 + iz X) 1 + iz)1 + iz X) Y 774) = 1 X = 1 ω p ω 775) X1 X) 1 X) Y = ) ωp ω 1 ω p ω 1 ω p ω ω g ω 7-4 = 1 ω p ω ω ω p ω ω p ω g 776)

25 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Il denominatore della 774) si annulla per: ω H = ω p + ω g 777) che é una frequenza di risonanza conosciuta come upper hybrid frequency É importante studiare il comportamento del campo elettromagnetico nei dintorni della risonanza ECR ossia nel caso di propagazione longitudinale, in assenza di collisioni É utile effettuare il diagramma ω β anzi precisamente ω/ω p in funzione di βc/ω p sia per l onda ordinaria che per quella straordinaria Questo diagramma prende il nome di diagramma di Brillouin Dalle formule precedenti, indicando con β invece di k la costante di propagazione, essendo Z =, si ha: β o = ω c 1 X 1 + Y per l onda ordinaria 778) β e = ω c 1 X 1 Y per l onda straordinaria 779) essendo: Quindi, sostituendo: X = ω p ω, Y = ω g ω 78) β o = ω 1 c ω p ω 1 ω g ω = ω p c ω 1 1 ω ω p ω p 1 ω g ω p ω p ω ) = ω p c ω 1 1 ω ω ) ω g ω p ω p ω p ω p 781) β e = ω 1 c ω p ω 1 + ω g ω = ω p c ω 1 1 ω ω p ω p 1 + ω g ω p ω p ω ) = ω p c ω 1 1 ω + ω ) ω g ω p ω p ω p ω p 78) 7-5

26 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Riportiamo il diagramma di Brillouin nel caso di ω g /ω p = Diagramma di Brillouin ω/ω p in funzione di cβ/ω p Z =, ω g /ω p =, θ = ) onda straordinaria onda ordinaria 7 ω ω p ECR cβ/ω p fig7-7 Riportiamo in tabella alcuni valori numerici relativi al grafico Curva rossa ECR: ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p Curva rossa superiore: ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p

27 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Curva blu: ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p ω/ω p cβ/ω p La velocitá di gruppo é definita: v g = dω dβ 787) Poiché la funzione βω) é monotona crescente), la derivata prima é invertibile, ossia: v g = dω dβ = 1 dβ dω 788) Si ha allora: dβ o dω/ω p ) = ω p c 1 1 ω ω p ω ω p ω g ω p ) + ω 1 ω p 1 1 ω 7-7 ω p ω ω p ω g ω p ) ω ω g ω p ω p ω ω ω g ω p ω p ω p ) 789)

28 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - che puó essere scritta come: dβ o dω/ω p ) = ω p c ω ω p ω ω p ω g ω p ) ω ω ω g 1 ωp ω p ω p ω ω ) + ω g ω p ω p ω p ω ωp ω ω p 1 ω ω p ω g ω ω p ω g ω p ω p ) 79) dβ o dω/ω p ) = ω p c ω ω p ω ω p ω g ω p ) ω ω p ω ) ω g + 1 ω ω g ω p ω p ω p ω p ω ω ) ω g ω p ω p ω p 791) Si ha, d altra parte: dβ o dω = dβ o dω/ω p ) dω/ω p ) dω = 1 ω p dβ o dω/ω p ) 79) Pertanto la velocitá di gruppo é: ω v g ) o = c 1 1 ω ω ω ) ω ) ω g p ω p ω p ω g ω ω ) ω g 1 ω ω g + ω p ω p ω p ωp ω p ω p ω p ω p 793) Analogamente per l onda straordinaria: ω v g ) e = c ω ) ω g ωp ω + ω ) ω p ω p ω g ω + ω ) ω g 1 ω ω g ω p ω p ω p ωp ω p ω p ω p ω p 794) É immediato verificare che, in assenza di campo magnetico esterno ω g = ), la velocitá di gruppo coincide con quella competente al plasma senza campo magnetico esterno 7-8

29 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - v g /c v g /c in funzione di ω/ω p Z =, ω g /ω p =, θ = ) 1 9 onda straordinaria onda ordinaria ω/ω p fig7-8 Riportiamo in tabella alcuni vari numerici relativi al grafico: ω/ω p v gstraord /c ω/ω p v gstraord /c ω/ω p v gstraord /c ω/ω p v gstraord /c L importante risultato trovato é che la velocitá di gruppo dell onda elettromagnetica diventa zero in condizioni di risonanza ECR ossia per ω = ω g Questo, del resto, si poteva vedere dal grafico di figura 77) in quanto, nella curva ECR, ω/ω p, per valori prossimi a ω g /ω p, si mantiene praticamente costante al variare di beta e quindi la velocitá di gruppo é zero Un altro risultato molto importante é che nella risonanza ECR dove la velocitá di gruppo é nulla, anche l ampiezza del campo elettrico trasversale alla direzione di propagazione si annulla Infatti la risonanza si ha quando n ossia quando v c 7-9 Per

30 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - provare questo riscriviamo le equazioni 716): E x 1 v ɛ ) xx v ɛ xy E c ɛ c y = ɛ E x v ɛ ) yx + cos θ v ɛ ) yy E c ɛ c y + cos θ sin θ) E z = ɛ cos θ sin θ) E y + sin θ v ɛ ) zz E c z = ɛ 795) Ponendo nelle 79) v =, si ottiene: c E x = cos θ ) E y + cos θ sin θ) E z = cos θ sin θ) E y + sin θ ) E z = 796) Il determinante dei coefficienti delle due ultime equazioni omogenee é certamente sempre eguale a zero, quindi é possibile una soluzione diversa da quella banale La soluzione di queste due equazioni é: E y = tan θe z 797) Per θ = risulta E y =, ossia puó esistere eventualmente solo una componente longitudinale del campo E z ) Per θ = 9 risulta E z =, ossia puó esistere anche in questo caso solo una componente longitudinale del campo E y ) 7-3

31 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Propagazione longitudinale: Rotazione di Faraday in assenza di collisioni Consideriamo nuovamente il caso speciale in cui la propagazione é parallela a B In tal caso, θ = e le equazioni 716) si riducono a: 1 v ɛ ) xx E c x v ɛ v c ɛ yx ɛ E x + 1 v c ɛ yy ɛ ɛ xy E c y = ɛ ) E y = v c ɛ zz ɛ E z = 731) Segue, immediatamente che la componente lungo l asse z del campo elettrico é nulla Nelle 731) le v c equazione 73) cioé: v sono date dalle equazioni 73) e 733) Quando v c = 1 ɛ xx ɛ la prima o la seconda delle 731) comporta: i ɛ xy ɛ c é dato dalla 73) E x E y = i 733) e quando v é dato dalla equazione 733) cioé: c v c = 1 ɛ xx ɛ + i ɛ xy ɛ 734) la prima o la seconda delle 731) comporta: E x E y = i 735) Quindi i vettori elettrici delle due onde viaggianti in direzione parallela a B possono essere scritti come: E = x iŷ) Ae ik z E = x + iŷ) Ce ik z dove A e C sono ampiezze complesse arbitrarie )

32 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Chiaramente E é un onda polarizzata circolarmente destra ed E é un onda polarizzata circolarmente sinistra La somma di queste due onde ci fornisce l onda composta: E = E + E = x Ae ik z + Ce ik z ) + ŷ iae ik z + ice ik z ) 737) Per studiare la polarizzazione di questa onda composta, consideriamo il rapporto E x E y Dalla 737), mettendo in evidenza Ae ik z, otteniamo: E 1 + C x = i A E y 1 C A exp [ik k )z] exp [ik k )z] 738) Se le onde E ed E hanno lo stesso modulo, allora le costanti A e C diventano eguali in modulo Questo significa imporre che per z =, ossia all ingresso del plasma, l onda elettromagnetica sia polarizzata linearmente; infatti dalla 737) segue: E z=) = A + C) x + i C A) ŷ 739) Affinché il campo elettrico rappresentato dalla 739) sia linearmente polarizzato deve essere: 1 + C A = ir con r numero reale ossia: 1 C A C A = 1 + ir 1 ir il che comporta: C A = 1 e, quindi C A = eiφ L equazione 738) si riduce a: exp [i k k ) z + i φ ] { exp [ i k k ) z i φ ] + exp [i k k ) E x =i E y exp [i k k ) z + i φ ] { exp [ i k k ) z i φ ] exp [i k k ) exp [i k k ) z + i φ ] + exp [ i k k ) z i φ ] [ k cos k ) = i exp [i k k ) z + i φ ] exp [ i k k ) z i φ ] = [ k sin [ k cos k ) z φ ] [ k = [ k sin k ) z φ ] = cot k z φ ] ) z + i φ ]} z + i φ z + φ k ) z + φ ]}= ] ] = 7311)

33 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - L angolo di fase φ rappresenta la direzione iniziale per z = ) del campo elettrico; senza ledere le generalitá si puó porre eguale a zero Poiché questa relazione é reale, l onda composta in ogni punto z é linearmente polarizzata; tuttavia l angolo di orientazione del suo piano di polarizzazione il piano contenente E e k) dipende da z e ruota se z aumenta o diminuisce In altre parole l onda composta é sottoposta alla rotazione di Faraday L angolo τ di cui il vettore risultante E ruota quando l onda ha percorso una distanza unitaria é dato da: τ = k k 731) La rotazione é nel senso orario se k > k Con l aiuto della 734) e 735) τ, dopo aver supposto ω eff =, si puó scrivere: τ = 1 ω c [ 1 ω p ωω ω g ) 1 ω p ωω + ω g ) ] 7313) che riproduce la dipendenza della rotazione di Faraday τ con la frequenza Osserviamo che se un onda viaggia parallelamente a B, essa é sottoposta ad una rotazione di Faraday in senso orario se k > k ); se viaggia antiparallelamente a B, essa é sottoposta ad una rotazione di Faraday in senso antiorario Questo significa che se il piano di polarizzazione di un onda viaggiante parallelamente a B é ruotato di un certo angolo, allora dopo la riflessione esso sará ruotato ulteriormente, la rotazione risulterá quindi doppia per un viaggio di andata e ritorno Per deboli campi magnetici e alte frequenze la rotazione di Faraday dipende linearmente da B Per dedurre questo fatto dall espressione 7313) che, in termini di X = ωp ) ω g e Y = puó essere scritta: ω ω τ = 1 ω c 1 X 1 + Y 1 X 1 Y ) 7314) sviluppiamo le radici quadrate e lasciamo solo i due termini in accordo col fatto che X << 1 e Y << 1 Cosí otteniamo la relazione: τ 1 ω c XY = 1 c ωp ) ωg 7315) ω che mostra che la rotazione di Faraday τ per deboli campi Y << 1) e alte frequenze X << 1) é linearmente proporzionale a ω g e quindi linearmente proporzionale a B Poiché ω g é negativa per gli elettroni, osserviamo che τ é positiva rotazione oraria) nel caso di propagazione parallela a B 74 - Rotazione di Faraday in presenza di collisioni 7-33

34 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Il campo elettrico dell onda elettromagnetica che si propaga nel plasma magnetizzato in direzione parallela a B é la composizione di due onde circolarmente polarizzate destra e sinistra: E = x iŷ) Ae ik z E = x + iŷ) Ce ik z 741) dove A e C sono ampiezze complesse arbitrarie Chiaramente E é un onda polarizzata circolarmente destra ed E é un onda polarizzata circolarmente sinistra La somma di queste due onde ci fornisce l onda composta: E = E + E = x Ae ik z + Ce ik z ) + ŷ iae ik z + ice ik z ) 74) Ponendo k = β + iα e k = β + iα si ha: E = x Ae α z e iβ z + Ce α z e iβ z) + ŷ iae α z e iβ z + ice α z e iβ z) 743) Assumendo che l onda, per z =, sia linearmente polarizzata, poniamo A = C = 1 e φ = Si ha: E = x e α z cos β z + ie α z sin β z + e α +ŷ e α z sin β z ie α z cos β z e α E = x [e α z cos β z + e α z cos β +ŷ [e α ) z sin β z e α z sin β z + i z cos β z + ie α z ) sin β z + z + ie α z ) cos β z z sin β ) z + i e α z sin β 744) z + e α z sin β z )] + e α )] z cos β z + e α z cos β z Sia δ x la fase della componente E x e δ y la fase della componente E y Si ha: tan δ x = Posto δ = δ y δ x, si ha: 745) e α z sin β z + e α z ) sin β e z α z cos β z + e α z ) 746) cos β z e α z cos β z e α z ) cos β z tan δ y = e α z sin β z e α z ) 747) sin β z tan δ = tanδ y δ x ) = tan δ y tan δ x 1 + tan δ x tan δ y 748) 7-34

35 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - tan δ y tan δ x = e α z cos β z e α z cos β z e α z sin β z e α z sin β = e α z cos β e α z sin β = e α z sin β z e =1 z sin β z + e α z sin β z e α z e α z cos β z + e α z = cos β z z + e α z cos β z e α z sin β z + e α z sin β z z e α z ) sin β z e α z cos β z + e α z ) = cos β z α e α z + e α ) z z sin β z e α z cos β z + e 1 + tan δ x tan δ y = e α z sin β z + e α e α z cos β z + e α z ) cos β z α ) z sin β e z α z cos β z e ) z cos β z ) α z cos β e z α z sin β z e α z ) sin β z Il prodotto fra i termini entro parentesi al denominatore é: e α ) z sin β z e α z sin β z e α ) z cos β z + e α z cos β z = = e α z sin β z cos β z e α z e α z cos β z sin β z+ + e α z e α z cos β z sin β z e α = e α z sin β z cos β z e α z sin β z sin β z cos β z = 749) 741) z cos β z + e α z e α z sinβ z β z) 7411) Il prodotto fra i termini entro parentesi al numeratore é: e α z sin β z + e α z ) sin β z e α z cos β z e α z ) cos β z = = e α z sin β z cos β z e α z e α z sin β z cos β z+ + e α z e α z sin β z cos β z e α = e α z sin β z cos β z e α z sin β La loro differenza é: e α ) z cos β z + e α z cos β z e α z sin β z + e α z sin β z =e α z e α z sinβ z β z) Ne segue: 1 + tan δ x tan δ y = = z sin β z cos β z = z cos β z e α z e α z sinβ z β z) 741) e α z sin β z e ) e α z cos β z e e α z e α z sinβ z β e z) α ) z cos β z + e α z cos β z e α z sin β z e 7-35 α α ) z sin β z z ) cos β z = α ) z sin β z 7413) 7414)

36 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - In definitiva: = = tan δ = tan δ y tan δ x 1 + tan δ x tan δ y = e α z + e α z e α z sin β z e α z ) sin β z e α z cos β z + e α z ) cos β z e α z e α z sinβ z β e z) α z cos β z + e α z ) cos β z e α z sin β z e α z ) sin β z e α z + e α z e α + α ) z sinβ β )z = 7415) Dalla 7415) si deduce che l onda é ellitticamente polarizzata Per valutare la rotazione di Faraday in questo caso, bisogna valutare l angolo Ψ che l asse maggiore dell ellisse forma con l asse x che é la direzione di polarizzazione per z = Tale angolo é dato dalla formula: tan Ψ = a 1b 1 a 1 cos δ 7416) b 1 essendo a 1 e b 1 le componenti lungo l asse x e l asse y del campo elettrico, ossia il modulo di E x e di E y rispettivamente Si ha: E x = e α ) z cos β z + e α z cos β z + e α z sin β z + e α z sin β z) = =e α z cos β z + e α z cos β ze α z cos β +e α z sin β z + e α z sin β ze α z sin β = e α z + e α z + e α + α ) z cos β β ) z z + e α z cos β z+ z + e α z sin β z = 7417) E y = e α ) z sin β z e α z sin β z + e α ) z cos β z + e α z cos β z = =e α z sin β z e α z sin β α ze z sin β z + e α z sin β z+ +e α z cos β z e α z cos β ze α z cos β z + e α z cos β z = = e α z + e α z e α + α ) z cos β β ) z 7418) Ne segue: E x E y = 4e α + α ) z cos β β ) z 7419) E x E y = e α z + e α z) 4e α + α ) z cos β β ) z 74) 7-36

37 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Quindi: tan Ψ = e α z + e α z) 4e α + α ) z cos β β ) z 4e α + α ) z cos δ cos β β ) z essendo: 1 cos δ = 1 + tan δ = 1 e α z + e α z ) = 1 + e α + α ) z sinβ β )z e α + α ) z sin β = β ) z 4e α + α = ) z sin β β ) z + e α z + e α z) = e α + α ) z sin β β ) z e α z + e α z) 4e α + α ) z cos β β ) z 741) 74) ossia: Quindi: tan Ψ = tan β β ) z 743) ) Ψ = β β z 744) La 744) rappresenta la legge di rotazione di Faraday nel caso di plasma magnetizzato con collisioni Essa é equivalente a quella competente ad un plasma senza collisioni ed é peró riferita all asse maggiore dell ellisse di polarizzazione Aggiungendo la dipendenza temporale si ha: E = x e α z e i ωt β z) + e α z e i ωt β z) ) + +iŷ e α z e i ωt β z) + e α z 746) e i ωt β z)) [ E = x e α z cos ωt β z) ie α z sin ωt β z) + + e α +ŷ ] z cos ωt β z) ie α z sin ωt β z) + [ e α z sin ωt β z) ie α z cos ωt β z) + + e α z sin ωt β z) + ie α z cos ωt β z) ] )

38 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - RE) = x [e α z cosωt β z) + e α z ] cosωt β z) + +ŷ [ e α z sinωt β z) + e α z ] sinωt β z) 748) IE) = x [ e α ] z sinωt β z) e α z sinωt β z) + +ŷ [ e α z cosωt β z) + e α z ] cosωt β z) 749) RE) = x [e α ] z cosωt β z) + e α z cosωt β z) + +ŷ [ e α z cosωt β z π/) + e α z ] cosωt β z π/) 743) La componente lungo l asse x si puó, allora, scrivere: [ RE x ) = e α z cosωt) cosβ z) + e α z sinωt) sinβ z) + + e α { = z cosωt) cosβ z) + e α z ] sinωt) sinβ z) = [e α z cosβ z) + e α z cosβ cosωt) + sinωt) [e α z sinβ z) + e α z sinβ z) ] z) + ]} 7431) La componente lungo l asse y si puó, allora, scrivere: [ RE y ) = e α z sinωt) cosβ z) + e α z cosωt) sinβ z) + + e α { = z sinωt) cosβ cosωt) [e α z sinβ + sinωt) z) e α z cosωt) sinβ z) ] = z) e α z sinβ ] z) + ]} [ e α z cosβ z) + e α z cosβ z) 743) Anche da queste ultime equazioni si deduce che l onda risultante é ellitticamente polarizzata Valutiamo, ora, le espressioni esplicite di α e di β nel caso di plasma magnetizzato Dalle formule di Appleton si ha che le costanti di propagazione complesse competenti all onda ordinaria k ) e all onda straordinaria k ), per propagazione longitudinale ossia lungo la direzione del campo magnetostatico θ = ) sono: k = ω c k = ω c 1 1 X 1 + iz + Y = ω c 1 X 1 + iz Y = ω 1 c 7-38 ω p ωω + iω eff ω g ) ω p ωω + iω eff + ω g ) 7433) 7434)

39 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - essendo: da cui Si ha: X = k = ω 1 c = ω c Posto k = β + iα, si ha: ωp ), Y = ω ω g ω ) [ X = ω iz + Y c [ 1 X1 + Y ) 1 + Y ) + Z + ixz 1 + Y ) + Z β α = ω c [ α β = ω c ) ωeff ), Z = ω 7435) ] X1 iz + Y ) = 1 + Y ) + Z ] 7436) [ 1 X1 + Y ) 1 + Y ) + Z XZ 1 + Y ) + Z ] ] 7437) Dividendo membro a membro, si ha: [ β 1 X1 + Y ) ] α α 1 + Y ) β = + Z [ ] 7438) XZ 1 + Y ) + Z Moltiplicando ciascun termine per β β α = β α α si ha: [ 1 X1 + Y ) 1 + Y ) + Z [ ] XZ 1 + Y ) + Z [ 1 X1 + Y ) ] 1 + Y ) + Z [ ] + XZ 1 + Y ) + Z ] β α [ 1 X1 + Y ) 1 + Y ) + Z [ XZ 1 + Y ) + Z 1 = 7439) ] ] ) Dividendo la 744) per la seconda equazione del sistema, si ha: [ ] X1 + Y ) [ ] X1 + Y ) Y ) + Z [ 1 ] 1 + Y ) + + Z [ ] XZ XZ Y ) + Z 1 + Y ) + Z α = [ ] 7441) ω c XZ 1 + Y ) + Z 7-39

40 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Dalla prima equazione del sistema si ha: [ β = α + ω 1 X1 + Y ) ] c 1 + Y ) + Z 744) Per calcolare β e α é sufficiente rifare i calcoli scambiando +Y con Y A titolo di esempio, calcoliamo i valori dei coefficienti di attenuazione se il plasma é descritto dai seguenti parametri: N e = 1 6 elettroni/cm 3, ω eff = π collisioni/s, B = 5 Gauss La pulsazione dell onda elettromagnetica é ω = rad/s I dati sono: N e = 1 6 cm 3, B = 5G = W b m, ω eff = π s 1, ω = rad/s, q e = C, m e = Kg Risulta: ωp = N eq ɛ m = 1 1 ) = ω p = X = ω g = q eb m e ωp ) = 4498 ω Y = ω g ω = 145 Z = ω eff ω = = = ) In definitiva: ) α = = m ) ) α = = m ) Riportiamo i grafici dell ellisse di polarizzazione al variare di z, per i seguenti parametri vedi Esercizi di Campi elettromagnetici del 1798): α = 533 m 1 α = m ) β = 155 rad/m β 7-4 = rad/m 7447)

41 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Polarizzazione ellittica z = 1 m 1 5 E y Polarizzazione ellittica z = 5 m 1 5 E y Polarizzazione ellittica z = 1 m E x E x E y Polarizzazione ellittica z = m 1 E y E x E x fig

42 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Programma Matlab faradaycollisionim 1 - deleteget, children )); - alphaprimo=533; 3 - alphasecondo=41516; 4 - betaprimo=155; 5 - betasecondo=13986; 6 - z=; 7 - TDANALIT=-exp-*alphaprimo*z)+exp-*alphasecondo*z))/ 8 - *exp-alphaprimo+alphasecondo)*z)* 9 - sinbetaprimo-betasecondo)*z)); 1 - PSIrad=betaprimo-betasecondo)/)*z; 11 - PSIgradi=18/pi*PSIrad; 1 - tau=:1:1; 13 - EX=exp-alphaprimo*z)*cos*pi*tau-betaprimo*z) exp-alphasecondo*z)*cos*pi*tau-betasecondo*z); 15 - EY=-exp-alphaprimo*z)*cos*pi*tau-betaprimo*z-pi/) exp-alphasecondo*z)*cos*pi*tau-betasecondo*z-pi/); 17 - EXMAX=maxEX); 18 - EYMAX=maxEY); 19 - TPSIGRAF=EYMAX/EXMAX; 18 - PSIGRAF=18/pi*atanTPSIGRAF); 19 - plotex,ey) - B=[EX;EY]; 1 - fid=fopen pippotex, w ); - fprintffid, chi=1 \n ); 3 - fprintffid, %54f %54f %54f %54f %54f %54f %54f %54f %54f %54f \n,b); 4 - fclosefid); 7-4

43 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p =, ω g /ω p = 5, θ =, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω g ω p ω/ω p β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p =, ω g /ω p =, θ =, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω/ω p fig74 ω g ω p 7-43

44 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p =, ω g /ω p = 5, θ = 9, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω g ω p ω H ωp ω/ω p β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p =, ω g /ω p =, θ = 9, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω/ω p fig ω g ω p ω H ωp

45 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p = 1, ω g /ω p = 5, θ =, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω g ω p ω/ω p β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p = 1, ω g /ω p =, θ =, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω/ω p fig744 ω g ω p 7-45

46 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p = 1, ω g /ω p = 5, θ = 9, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω/ω p ω g ω p β, β in funzione di ω/ω p ω eff /ω p = 1, ω g /ω p =, θ = 9, ω p = 1 9 rad/s) onda ordinaria, onda straordinaria β, β ω/ω p fig745 ω g ω p 7-46

47 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Velocitá degli elettroni É importante conoscere il moto degli elettroni costituenti il plasma quando in esso si propaga un onda elettromagnetica circolarmente polarizzata nella direzione del campo magnetostatico Riportiamo le espressioni 719) 7111) per le componenti della velocitá: v x = q e iωe x + ω g E y m e ωg Ω v y = q e iωe y ω g E x m e ωg Ω v z = q e m e 1 iω E z 751) Consideriamo un onda T EM polarizzata circolarmente destra; essa si scrive: E = x iŷ) Ae ik z 75) Sostituendo nelle 751) le componenti di E calcolate, senza ledere le generalitá, nel piano z =, si ha: v x = q e A iω iω g m e ωg Ω v y = q e A Ω ω g m e ωg Ω = q e A iω g + Ω) m e ω g + Ω)ω g Ω) = q e A m e i ω g Ω = q e i A m e ω g ω iω eff = q e ω g + Ω) A m e ω g + Ω)ω g Ω) = q e A 1 m e ω g Ω = q e 1 A m e ω g ω iω eff v z = 753) L ultima equazione delle 753) significa che la componente della velocitá lungo la direzione del campo conserva il suo valore iniziale Ne segue che in un generico piano z = costante si ha: v x = q e A 1 m e ω g ω) + ωeff v y = q e A 1 m e ω g ω) + ωeff 754) Riportiamo in un grafico, al variare della frequenza dell onda, la funzione: F ω) = 1 ω g ω) + ω eff )

48 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Polarizzazione circolarmente destra ω eff = rad/s ω g = rad/s F ω)/ ω/1 1 Consideriamo un onda polarizzata circolarmente sinistra; essa si scrive: E = x + iŷ) Be ik z 756) Sostituendo nelle 751) le componenti di E calcolate, senza ledere le generalitá, nel piano z =, si ha: v x = q e B iω + iω g m e ωg Ω v y = q e B +Ω ω g m e ωg Ω Ne segue: = q e iω g Ω) B m e ω g Ω)ω g + Ω) = q e B i m e ω g + Ω = q e i B m e ω g + ω + iω eff = q e ω g Ω) B m e ω g Ω)ω g + Ω) = q e B 1 m e ω g + Ω = q e B m e v x = q e m B 1 e ω g + ω) + ωeff v y = q e m B 1 e ω g + ω) + ωeff 1 ω g + ω + iω eff 757) 758) Riportiamo in un grafico, al variare della frequenza dell onda, la funzione: F ω) = 1 ω g + ω) + ω eff )

49 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici Polarizzazione circolarmente sinistra ω eff = rad/s ω g = rad/s F ω)/ ω/1 1 Dall ultimo grafico si evince che, nel caso di onda polarizzata circolarmente sinistra, si ha un fenomeno di risonanza per ω = ω g Questo comporta un forte aumento dell energia cinetica dell elettrone che, quindi, collidendo durante il suo moto con atomi neutri puó ionizzarli Questo e un classico metodo per la produzione di un plasma in laboratorio Per illustrare meglio tale fenomeno consideriamo il seguente grafico: LHCP wave) B E v e v e E e v E LHCP wave) 76 - Propagazione in direzione ortogonale a B 7-49

50 - SBarbarino - Appunti di Campi elettromagnetici - Un altro caso speciale é quello della propagazione ortogonale a B cioé, lungo l asse y, per cui θ = π e le equazioni 716) si riducono a: 1 v ɛ ) xx E c x v ɛ xy E ɛ c y = ɛ v ɛ yx c E x v ɛ yy ɛ c E y = ɛ 1 v ɛ ) zz E c z = ɛ 761) Quando in accordo con la 736) scegliamo: v c = ɛ ɛ zz allora dalle 761) segue che E x e E y sono identicamente nulli e la sola componente non nulla del vettore elettrico é E z Cosí vediamo che una delle due onde viaggianti nella direzione y é un onda polarizzata linearmente T EM il cui vettore campo elettrico é parallelo a B ed ha la forma: E = ẑae ik π y 76) dove A é una costante arbitraria Poiché la costante di propagazione k π, come dalla 738), é indipendente da B ed é uguale alla costante di propagazione di un onda in un plasma isotropo, quest onda T EM l onda ordinaria) é indipendente da B Per ottenere l onda straordinaria che si propaga perpendicolarmente a B, utilizziamo l altro valore di v c v c = ɛ xx ɛ come dalla 737), cioé: ) ɛ xx ɛ ) 763) xy + ɛ Sostituendo nelle 761) si trova che E z si annulla e che, nell ipotesi di Z, si ha: ɛ E x E y = ɛ yy ɛ yx = i 1 X Y XY 764) Quindi il vettore campo elettrico di questa onda straordinaria ha la forma: E = i x 1 X Y XY 7-5 ) ik π + ŷ Ce y 765)