S.Barbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici. Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno 1996

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1 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno ) Esercizio n 1 del 4//1996 Si abbia una particella carica in moto rettilineo uniforme Si valuti il vettore di Poynting dimostrando esplicitamente che la potenza totale irradiata é zero Per una particella carica in moto rettilineo uniforme si ha: E q r 1 β ) 4πɛ 0 r 3 [ 1 β sin ψ ] 3/ B 1 c v E Il vettore di Poynting è: ) ciò ricordando che: a b c S E H 1 E c v µ ) E 1 ) E β E 0 Z 0 1 { βe Z )} E E β 0 ) b c a) c a b P S ê r da 1 Z 0 βe cos ψ da 1 Z 0 βe cos ψ da 0 ESCAM96-1

2 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-) Esercizio n del 4//1996 Un onda elettromagnetica piana viaggia in una regione di spazio vuoto, confinata fra due specchi piani paralleli sui quali la radiazione incide normalmente Se il coefficiente di riflessione di ciascuno specchio é R 0999 e se la distanza fra gli specchi é L 10 m, calcolare dopo quanto tempo la densitá di potenza si é ridotta a metá di quella iniziale cioé di quella che all istante t 0 lascia il primo specchio 1 Ogni volta che la potenza arriva sullo specchio viene riflessa con un coefficiente R 0999 per ogni passaggio La potenza che incide sullo specchio 1 di ritorno dopo N passaggi è per N pari) R N 1 P 0 essendo P 0 la potenza che inizialmente lascia lo specchio 1 Pertanto si deve avere 0999 N 1 1 ln 05 N 1 ln Se si vuole la potenza che incide sullo specchio, N è dispari Nel nostro caso N 6938 quindi dopo avere lasciato lo specchio 1 t 694 L c µs ESCAM96 -

3 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-3) Esercizio n 3 del 4//1996 Il campo elettrico complesso, associato ad un onda elettromagnetica piana armonica nel tempo che viaggia nel vuoto, é dato da: E ŷ + 3ẑ) e i6y 8z) Determinare: a) l angolo che la direzione di propagazione dell onda forma con l asse z; b) la frequenza dell onda; c) il campo magnetico associato Si ha: k r 6y 8z kx x + k y y + k z z 6y 8z k x 0, k y 6, k z 8 Del resto k k z k cos θ cos θ k z k 08 θ 1430, 13 y z θ k 36 0, 87 Inoltre k π λ π ck ν ν c π π Il campo magnetico associato è: MHz H k ˆk k E E 1 [k xˆx + k y ŷ + k z ẑ) E xˆx + E y ŷ + E z ẑ)] ωµ 0 ωµ 0 ωµ 0 1 ωµ 0 [6ŷ 8ẑ) 4ŷ + 3ẑ)] e i6y 8z) ESCAM96-3

4 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Dove Pertanto ˆx ŷ ẑ ˆx18 + 3) 50ˆx H π 477, π 10 7 ˆxei6y 8z) i6y 8z) ˆxe ESCAM96-4

5 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-4) Esercizio n 4 del 4//1996 Un onda elettromagnetica piana di frequenza ν 10 GHz incide normalmente su una lamina piana di spessore λ /4 dove λ é la lunghezza d onda all interno della lamina La lamina é immersa fra l aria a sinistra) e un mezzo di costante dielettrica ɛ r3 4 a destra) Determinare la costante dielettrica della lamina ɛ r affinché il coefficiente di riflessione si annulli Utilizzando il metodo dei raggi calcolare il coefficiente di riflessione dovuto al contributo di tre riflessioni multiple Perchè si abbia riflessione nulla occorre che n n 1 n ɛ r Applicando la formula dello sviluppo in serie e fermandosi alla terza riflessione cioè n si ha che il campo totale riflesso alla terza riflessione è: E 0 r1 + t 1 t 1 r 3 e iβ d + t 1 t 1 r 3 r 1e i4β d ) Per d λ 4 β d π λ λ 4 π, quindi sostituendo nella precedente si ha: E 0 r1 t 1 t 1 r 3 + t 1 t 1 r3 r ) 1 Ma t 1 t 1 1 r 1 e r 1 r 1 quindi il campo riflesso è: [ E 0 r1 1 r1) r3 + 1 r1 ) ] r 3 r 1 Nel nostro caso si ha: ɛr1 ɛ r r 1 ɛr1 + 1 ɛ r Segue che: r 3 ɛr ɛ r3 ɛr + ɛ r3 + 1 ) 1 + ) r 1 E rifl E 0 [r 1 1 r 1)r 1 1 r 1)r 3 1] E 0 [r 1 r 1 + r 3 1 r3 1 + r5 1 ] r5 1 E E 0 In definitiva R 3 a rifl ESCAM96-5

6 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-5) Esercizio n 1 del 9/6/1996 Una sorgente isotropa si trova all interno di un mezzo dielettrico, di indice di rifrazione n 35, a contatto da un lato con l aria, come nel caso di un diodo LED il cui semiconduttore é GaAsP La luce utile é quella che raggiunge l interfaccia dielettrico - aria all interno dell angolo solido di apertura θ L, essendo θ L l angolo limite Il rapporto F fra la potenza che arriva sulla superficie dell interfaccia intercettata dall angolo solido suddetto nell ipotesi di poterla identificare con la superficie sferica intercettata dallo stesso angolo solido) e la potenza totale emessa dalla sorgente é un indice dell efficienza del diodo Valutare θ L e dimostrare che, per n elevato dell ordine di quello indicato), risulta F 1 4n, calcolandone il valore per n 35 n 35 θ L θ L Sia P la densità di potenza emessa dalla sorgente La potenza totale emessa dalla sorgente è quella che attraverserebbe una sfera di raggio r cioè P t P4πr Quella che arriva sulla superficie dell interfaccia intercettata dall angolo solido di apertura θ L è P θl P Ωr Calcoliamo Ω: Ω Pertanto L angolo limite si calcola: dω F P θ L P t θl 0 π sin θ dθ π1 cos θ L ) Ω 4π 1 1 cos θ L) n 1 sin θ L n ESCAM96-6

7 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Nel nostro caso n 1 35 e n 1 quindi sin θ L 1 35 θ L 16 0, 60 Del resto cos θ L 1 sin θ L 1 1 n Segue: ) F 1 1 cos θ L) n 1 1 ) n 1 n n n 1 n n n 1 ) n + n 1 ) n n + n 1 ) n / n / + 1 n + n n 1 Quindi Per n ) n 1 n n F 1 4n Per n 35 F 00 % Solo il due per cento di luce emessa attraversa la superficie ESCAM96-7

8 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-6) Esercizio n del 9/6/1996 Con riferimento al problema precedente, graficare le curve dei coefficienti di trasmissione T, T e T 1 T + T ), identificando l angolo di Brewster Calcolare analiticamente tale angolo Tenendo conto che la luce emessa non é polarizzata, da considerazioni sui grafici, calcolare approssimativamente il rapporto fra la potenza trasmessa e la potenza totale emessa dalla sorgente I coefficienti di trasmissione sono per ɛ r1 n e ɛ r 1 T 4n 1 n sin θ 0 cos θ 0 n cos θ n sin ; T 4n 1 n sin θ 0 cos θ 0 θ 0 cos θ 0 + n 1 n sin θ 0 θ 0 T T T T + T θ L ESCAM96-8

9 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 1 Coefficienti di trasmissione T e T per n 1 35 n T T T +T T T T T +T T L angolo di Brewster è tan θ B angolo di incidenza ɛr ɛr1 1 n 085 θ B 15 0, 945 Poichè, dai grafici, si può ritenere costante, su tutto il range di θ, il coefficiente di trasmissione T, si ha che la potenza totale trasmessa è Ne segue che P trasmessa T P θl T F P tot P trasmessa P totale T F e poichè T si può ritenere eguale circa a 068 si ha: T F % Solo l 136% di luce emessa raggiunge l aria ESCAM96-9

10 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-7) Esercizio n 3 del 9/6/1996 Un veicolo spaziale, al suo rientro nell atmosfera terrestre, genera un plasma di spessore s 1 m che lo riveste completamente Tale plasma é caratterizzato da una frequenza di collisioni ω eff 10 9 collisioni/s e da una densitá elettronica n elettroni/cm 3 Determinare la frequenza di soglia necessaria per la trasmissione, nonché la perdita percentuale di potenza, attraverso lo strato di plasma, dell onda trasmessa dalla navicella alle frequenze f 9 GHz e f 18 GHz 11 elettroni n 5 10 cm 3 17 elettroni 5 10, ω m 3 eff 10 9, ωp nq mɛ 0 m Kg ɛ q C ) ω p ɛ ɛ 0 1 ω + ωeff ) La frequenza di soglia è data dalla relazione ωc + ωeff ωp ωc ωp ωeff f c 634 GHz Calcoliamo a parte il rapporto ω p ω + ω eff che figura in σ ɛ 0ω eff ω p ω + ω eff e nella ) Per f 9 GHz ω p ω + ω eff 0496 Per f 18 GHz ω p ω + ω eff 014 ESCAM96-10

11 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ed anche σ 9 GHz) S/m ɛ 9 GHz) Ancora: σ 18 GHz) S/m ɛ 18 GHz) σ ) σ ) ɛω f9 GHz ɛω f18 GHz Entrambe 1, quindi α σ µ ɛ 1 ɛ 0 ω eff ω p ω + ω eff 1 ω eff ωp 1 c ω + ωeff ωp 1 ω + ωeff µ0 1 ɛ 0 ωp 1 ω + ωeff Ne segue α 9 GHz) Np/m α 18 GHz) Np/m Si ha: P P 0 e αz dove P 0 è la potenza trasmessa dal satellite Si ha, anche: P 0 P P 0 1 P P 0 1 e α z 1 m) Per f 9 GHz P P % Per f 18 GHz P P % ESCAM96-11

12 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-8) Esercizio n 4 del 9/6/1996 Un antenna irradia, in aria, una potenza totale di 100 W att Nella direzione di massima radiazione, il modulo del campo elettrico far field), ad una distanza di 10 Km, risulta E 1 mv/m Calcolare la direttivitá di tale antenna Si ha: < S > 1 Re { E H } Nel caso di far-field si ha vedi Appunti di Campi elettromagnetici): ) E Z H êr o H 1 ê r E Z ) Segue < S > 1 { Z Re E ê r E ) } 1 { ) Z Re E E ê } r E êr E 1 Z E ê r in quanto E ê r 0 La direttività è: D 4πr < S r > Max P t 4πr E ZP t 4 essendo: P t 100 W att r m Z 377 Ω E 1 mv/m ESCAM96-1

13 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-9) Esercizio n 1 del 4/7/1996 Un onda elettromagnetica piana di frequenza ν 10 GHz incide normalmente su una lastra di fibra di vetro, immersa in aria, di parametri costitutivi σ 0, µ r 1 e ɛ r 49 Calcolare lo spessore della lastra affinché la riflessione sia nulla Se la frequenza dell onda incidente diventa ν 101 GHz, trovare la percentuale della densitá di potenza incidente che viene trasmessa dalla lastra Si ha: n d λ 0 d λ 0 1 n c m Per mezzi dielettrici con µ r 1 si ha: Z 1 ɛr ɛr1 Z 3 1 n dove n 1 n 3 1 e n 49 1 Ed anche che nel nostro caso si scrive: r 1 1 n 1 + n e r 3 n 1 n + 1 r 1 [ ] 1 4e ik k 3 )d E Z 1 )1 + Z 3 ) 1 + r 1 r 3 e ik d ) E 0 E n) n ) [ 1 4e ik k 3 )d ) 0 ) 1 n e d]e ik 1 + n Calcoliamo il modulo quadro di E 3 moltiplicando la ) per la complessa coniugata E 3 n 16 [ 1 + n) 4 ) 1 n 1 cos k d n ) 4 ] E 0 1 n 1 + n La densità di potenza trasmessa nel terzo mezzo è: P t 1 Z 0 E 3 n 16 [ 1 + n) 4 ) 1 n 1 cos k d n ESCAM96-13 ) 4 ]P i ) 1 n 1 + n

14 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Notiamo che: allora per k d ω c n d π λ 0 n d π P t P i n d λ ) 0 cioè l onda viene tutta trasmessa; calcoliamo la ) per ν GHz In tal caso k d ω 1 c n d π n d π λ 0 λ 1 λ 1 con segue λ 0 c ν 1 λ 1 ν c k d π 101 cos k d P t P i [ ] ESCAM96-14

15 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-10) Esercizio n del 4/7/1996 L indice di rifrazione di un materiale, nella regione del visibile, varia secondo la legge: n λ dove λ é la lunghezza d onda relativa al vuoto Calcolare la velocitá di gruppo della luce alla lunghezza d onda λ 500 nm e confrontarla con la velocitá di fase Si ha: v g dω dβ 1 ) dβ dω ) 1 dβ v f c dω n Calcoliamo n per λ 500 nm: n λ dβ dω dβ dλ dλ dω Poichè λ c ν si ha: Calcoliamo dβ dλ λ c ν πc ω dλ dω πc 1 ω πc 1 4π c λ λ πc β ω c n π λ n dβ dλ π λ n + π λ dn dλ Quindi: dβ dω n c λ dn c dλ dn dλ b λ 3 con b ESCAM96-15

16 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Ne segue: dω dβ cλ aλ + 3b dβ dω n c + b cλ nλ + b cλ aλ + 3b cλ m/s v f c m/s Lo stesso risultato si può ottenere trasformando la funzione nλ) in nω) dβ dω d dω [ ] ωnω) 1 c c [ nω) + ω d nω) ] dω essendo n a + b ) a + ω b πc 4π c πν dβ dω 1 [ nω) + ω b c 4π c dnω) dω ωb 4π c ] 1 c a + b λ + b ) λ che restituisce 1 c a + 3b ) λ dω dβ cλ aλ + 3b ESCAM96-16

17 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-11) Esercizio n 3 del 4/7/1996 Sia data una spira circolare di raggio a, a << λ), percorsa da una corrente uniforme spazialmente e armonica nel tempo Calcolare il raggio a affinché la resistenza di radiazione della spira sia eguale a quella di un dipolo hertziano di lunghezza l Si ponga l λ 1 cm Si ha: R aspira) 30π 6 a λ ) 4 Inoltre sappiamo vedi Appunti Campi elettromagnetici) che: R adipolo hertz) Zkl) 6π Eguagliando: Per l λ 1 cm 30π 6 a π l λ4 6π λ a l λ a cm ESCAM96-17

18 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-1) Esercizio n 4 del 4/7/1996 Un onda elettromagnetica piana, viaggiante nel libero spazio, incide normalmente sulla superficie di un mezzo dielettrico di indice di rifrazione n Se P é la densitá di potenza associata all onda incidente, calcolare la pressione di radiazione mediata in un periodo) esercitata dall onda sulla superficie del dielettrico Se l onda elettromagnetica subisce una riflessione, al tensore di Maxwell bisogna aggiungere il tensore competente all onda riflessa, cioè: < t > 1 ɛ 0E 0ẑ + 1 ɛ 0RE 0ẑ dove R θ0 ) n 1) n + 1) < t > 1 ɛ 0E R)ẑ 1 ɛ 0E 0ẑ n n/ + n + 1 n/ n + 1) 1 ɛ 0E 0ẑ 1 + n ) n + 1) 1 + n ) P 1 + n) c ESCAM96-18

19 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-13) Esercizio n 1 del 14/9/1996 Un onda elettromagnetica piana monocromatica, linearmente polarizzata, il cui vettore campo elettrico forma un angolo di 45 0 con il piano di incidenza, incide in direzione della normale sulla faccia laterale di un prisma retto avente per base un triangolo rettangolo isoscele Il prisma é immerso in aria e presenta un indice di rifrazione n 15 In seguito all incidenza sulla faccia laterale obliqua, l onda subisce riflessione totale interna Calcolare l angolo limite e verificare la condizione per la riflessione totale Trascurando le riflessioni multiple, si valuti la frazione della densitá di potenza incidente che emerge dal prisma Calcolare, inoltre: a) la differenza di fase fra le componenti del campo dell onda emergente; b) il rapporto fra il semiasse minore e quello maggiore dell ellisse di polarizzazione dell onda emergente; c) il valore, se esiste, dell ipotetico indice di rifrazione del prisma affinché l onda emergente sia circolarmente polarizzata θ L arcsin ) 1 n , 81 θ Trascuriamo le riflessioni multiple Indicando con T 1 il coefficiente di trasmissione dell onda entrante nella prima faccia e con α l azimut di polarizzazione, si ha: T 1 T 1 cos α + T 1 sin α Per incidenza normale T 1 T 1 quindi T 1 T 1 T 1 4n 1 + n) Sulla superficie obliqua le due componenti vengono riflesse totalmente subendo soltanto uno sfasamento Infine sulla superficie uscente il coefficiente di trasmissione è sempre T 1 4n 1 + n) Quindi P e P i T 1 16n 1 + n) 4 ESCAM96-19

20 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici risulta: dove Per n 15 P e 0916 P i L unico sfasamento δ fra le componenti del campo si ha dopo la riflessione totale; Per θ si ha: 1 1 tan δ 1 tan δ cos θ 0 ) 1 15 sin θ 0 sin θ 0 ) 1 n ) δ 180, 43 δ 36 0, 86 L onda è polarizzata ellitticamente Il rapporto b a ellitticità) è: b a tan χ sin χ a 1b 1 a 1 + sin δ sin δ b 1 essendo a 1 b 1, per cui χ δ χ δ, segue: cioè: tan χ b a tan δ 03 3 Perchè l onda emergente sia circolarmente polarizzata occorre che ) 1 tan δ cos θ 0 sin θ 0 n sin 1 θ 0 Per θ si ha: ) 1 n 1 1 n ) n 1 n Non può esistere nessun valore di n perchè l onda sia circolarmente polarizzata ESCAM96-0

21 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-14) Esercizio n del 14/9/1996 Due dipoli a mezz onda, identicamente ed indipendentemente alimentati, sono allineati sull asse z di un sistema di riferimento Se la distanza fra i centri dei dipoli é d ed il centro di uno di essi é l origine delle coordinate, si determini il fattore di forma spaziale di tale sistema di antenne Graficare il diagramma di radiazione per d λ e per d λ, calcolandone analiticamente gli zeri Valutare, graficamente, la larghezza a metá potenza dei lobi principali e confrontarla con quella competente ad una singola antenna a mezz onda Si verifichi, analiticamente, l equivalenza fra il primo sistema d λ ) e una singola antenna rettilinea lunga l λ Per un sistema di antenne a mezz onda allineate sull asse z, il fattore di forma risulta Appunti formula 14104)): π ) cos Uθ) cos θ n 1 A p e ikz p cos θ sin θ Poichè le antenne sono identicamente alimentate, possiamo porre A p 1 e quindi per n si ha esplicitamente: π ) cos Uθ) cos θ 1 + e ikz 1 cos θ ) sin θ essendo z 0 0 π ) cos Uθ) cos θ sin θ p0 [ 1 + cos kd cos θ)] ) + sin kd cos θ π ) cos cos θ ) sin θ + cos kd cos θ Per d λ kd π π ) λ λ π Uθ) cos kdπ cos θ sin θ + cos Per d λ kd π π ) λ λ π Uθ) cos kdπ cos θ sin θ + cos ESCAM96-1 ) π cos θ ) π cos θ

22 cioè cos θ ± 1, ossia: θ 60 0, 300 0, 10 0, 40 0 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici π ) cos Poichè il fattore cos θ si annulla soltanto per θ 0 e θ π, gli altri zeri si sin θ devono cercare nel fattore sotto radice ) ) Per kd π 1 + cos π cos θ 0 cos π cos θ 1 π cos θ ±π θ 0, π; quindi per d λ il diagramma di radiazione presenta solo due zeri o0 e π) lungo la direzione delle antenne ) ) Per kd π 1 + cos π cos θ 0 cos π cos θ 1 π cos θ ±π oltre naturalmente a θ 0 0 θ π ESCAM96 -

23 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Due antenne a mezz onda allineate: kd π, d λ/ θ Uθ) θ Uθ) θ Uθ) θ Uθ) θ ESCAM96-3

24 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Due antenne a mezz onda allineate: kd π, d λ θ Uθ) θ Uθ) θ Uθ) θ Uθ) θ ESCAM96-4

25 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Per dimostrare che analiticamente i fattori di forma richiesti sono eguali procediamo come segue: ) π ) 1 + cos π cos θ cos cos θ Pertanto Uθ) kdπ si può scrivere come: π ) cos Uθ) kdπ cos θ ) sin θ + cos π cos θ ) 1 + cos π cos θ sin θ che è uguale, appunto, al fattore di forma competente ad un antenna rettilinea lunga l λ kl π) ESCAM96-5

26 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-15) Esercizio n 3 del 14/9/1996 In un mezzo dielettrico perfetto si abbia il seguente campo elettromagnetico, descritto, a meno del fattore e iωt, da: H φ Ae iβz, E ρ ZH φ, E z E φ H ρ H z 0 Si πρ dimostri che esso soddisfa alle equazioni di Maxwell e alle condizioni al contorno sulla superficie di un cilindro perfettamente conduttore coassiale con l asse z e di raggio ρ Si valutino il vettore densitá di corrente, nonché la densitá di carica σ, indotte su tale superficie Verificare esplicitamente la validitá dell equazione di continuitá In un mezzo dielettrico perfetto, le equazioni di Maxwell si scrivono: E B t H D t D 0 B 0 Tenendo conto della forma delle componenti del campo scriviamo le equazioni di Maxwell in coordinate cilindriche: E 1 E z ρ φ E ) φ Eρ ê ρ + z z E ) z ê φ + 1 [ ) ρe φ E ] ρ ê z B ρ ρ ρ φ t H 1 H z ρ φ H ) φ Hρ ê ρ + z z D 1 ρ B 1 ρ H ) z ê φ + 1 [ ) ρh φ H ] ρ ê z + D ρ ρ ρ φ t ) ρd ρ + 1 D φ ρ ρ φ + D z z 0 3) ) ρb ρ + 1 B φ ρ ρ φ + B z z 0 4) Poichè E ρ 0, E z E φ 0 nonchè H φ 0 e H ρ H z 0 e i campi non dipendono da φ le equazioni 1 4 diventano: E ρ z êφ µ H φ t êφ 1 ) H φ z êρ + 1 [ ) ] ρh φ ê z D ρ ρ ρ t êρ ) ESCAM96-6 1) )

27 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Come si vede la 4) è automaticamente soddisfatta 1 ) ρd ρ 0 3 ) ρ ρ ) Sostituendo ad H φ l espressione A e iβz πρ eiωt e ad E ρ l espressione ha per la 1 ) µ ɛ Ae iβz πρ eiωt, si µ i ɛ βh φ iωµh φ 1 ) Poichè µ µ ɛ β ɛ ω ɛµ la 1 ) è identicamente soddisfatta Analogamente per la ) iβh φ ê ρ + 1 [ ρ ρ A e iβz eiωt )] } π {{ } 0 µ ê z iωɛ ɛ H φê ρ ) Poichè β ω ɛµ ω ɛ ɛ µ la ) è identicamente soddisfatta Infine per la 3 ) 1 ρ µ A ρ ɛ e iβz eiωt π ) 0 La condizione al contorno per il campo elettrico è automaticamente soddisfatta in quanto esso ha solo la componente normale alla superficie laterale del cilindro Analogamente poichè dovrà essere H z ρ 0, essendo H z 0, anche la condizione sul campo magnetico è automaticamente soddisfatta Le condizioni al contorno che ci forniscono la densità di corrente e la densità di carica sono: ˆn H H ) 1 J s ˆn D D ) 1 σ Sia il mezzo il conduttore perfetto, quindi H 0 e D 0 Poichè ˆn ê ρ in quanto ˆn è rivolto verso il mezzo si ha: ESCAM96-7

28 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ê ρ ê ρ H 1 J s quindi ed anche Poichè ê ρ ê φ ẑ si ha D 1ρ σ ê ρ Ae iβz πρ eiωt ê φ J s σ ɛz Ae iβz πρ J s ẑ Ae iβz πρ eiωt eiωt ɛµ Ae iβz πρ eiωt Verifichiamo la validità dell equazione di continuità: J s + ρ t 0 J s z J s iβ Ae iβz πρ eiωt Pertanto: ρ t iω ɛµ Ae iβz πρ J s + ρ t 0 eiωt iβ Ae iβz πρ eiωt cvd ESCAM96-8

29 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-16) Esercizio n 4 del 14/9/1996 Un antenna trasmittente é situata sulla cima di una montagna alta 1500 m ed irradia verso il mare Una nave naviga verso l antenna Assumendo che essa possa ricevere soltanto il segnale diretto, calcolare la massima distanza alla quale la nave possa ricevere il segnale irradiato dall antenna R h x R Sia R 6371 Km il raggio medio terrestre Si ha: R + h) R + x 1) / / R + h + Rh R + x ) e, ancora x h + Rh 1500) ) m 3) x Km 7466 miglia marine 4) in quanto 1 miglio marino é eguale a circa m Poiché, usualmente, h << R, si puó trascurare il termine h rispetto a Rh Quindi l equazione 3) si puó scrivere: x Rh R h 357 h Km) h in metri) 5) che si puó anche scrivere: x 193 h miglia marine) h in metri) 6) La 5) e la 6) esprimono, in pratica, la distanza dell orizzonte da un punto di elevazione h situato sulla Terra ESCAM96-9

30 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-17) Esercizio n 1 del 5/10/1996 Una guida d onda rettangolare, con pareti perfettamente conduttrici, é riempita di polistirene i cui parametri costitutivi alla frequenza f 6 GHz sono: ɛ r 56, µ r 1 e σ S/m Le dimensioni della guida, eccitata nel modo T E 10, sono: a 86 cm e b 1016 cm Determinare le formule esplicite per la costante di propagazione β ed il coefficiente di attenuazione α nel dielettrico Calcolarne i valori e confrontare il coefficiente di attenuazione trovato con quello competente alla propagazione libera nel dielettrico considerato Nel caso di guida all interno della quale vi è un dielettrico non perfetto, l equazione di dispersione è: k ω ɛ µ h dove ɛ è la costante dielettrica complessa: Posto k β + iα si ha: ɛ ɛ + i σ ω β α ω ɛµ h αβ µσω Procedendo come nel caso di onda piana in un mezzo conduttore, si ha: ) β α α β ω ɛµ h ) µσω Moltiplicando per β α si ha: da cui: Moltiplicando per αβ: β α ω ɛµ h ) β µσω α 1 0 β α ω ɛµ h µσω + ω ɛµ h ) µσω) + 1 ) β ω ɛµ h + ω ɛµ h ) 4 + µ σ ω 4 ESCAM96-30

31 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici da cui: β ω ɛµ h Dividendo la ) per la ) si ottiene: α ω ɛµ h ) µσω + ω ɛµ h ) 4 + µ σ ω 4 µσω 4ω + ɛµ h ) µσω) + 4 da cui: ω ɛµ h ) 4ω ɛµ h ) + 4µ σ ω 4 α ω ɛµ h ) 4 + µ σ ω 4 ω ɛµ h che in analogia con le onde libere si possono scrivere: [ ] β ω ɛµ h 1 + µ σ ω ω ɛµ h ) + 1 α ω ɛµ h [ ] 1 + µ σ ω ω ɛµ h ) 1 Osserviamo che in assenza di perdite nel dielettrico α 0 e β ω ɛµ h, e dai dati si ha: h π a ω ɛµ 4π f ɛ 0 ɛ r µ ω ɛµ h µ σ ω β diel senza perdite rad m 4π π ) [ ] β rad m [ ] α m 1 ESCAM96-31

32 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Se la propagazione fosse stata libera, poichè σ ɛω 1 si ha: α Z 0 σ µr ɛ r m 1 ESCAM96-3

33 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-18) Esercizio n del 5/10/1996 Un onda elettromagnetica piana circolarmente polarizzata, viaggiante in aria, incide con un angolo di incidenza pari all angolo di Brewster, su una superficie piana che limita un mezzo avente i seguenti parametri costitutivi: σ 0, µ r 1 e ɛ r 5 Valutare lo stato di polarizzazione dell onda riflessa e trasmessa calcolando, in particolare, l orientazione dell ellisse di polarizzazione dell onda trasmessa, nonché il rapporto fra il semiasse minore e quello maggiore di essa Calcoliamo l angolo di Brewster ɛ r 5) tan θ B ɛr ɛr θ B 65 0, 9 Poichè l onda elettromagnetica incidente è polarizzata circolarmente, il campo elettrico ad essa associato è la sovrapposizione di due campi parallelo e perpendicolare al piano d incidenza rispettivamente, di eguale ampiezza e sfasati di π/ Poichè l angolo di incidenza è uguale all angolo di Brewster, la componente del campo elettrico parallela al piano di incidenza non viene riflessa, pertanto l onda riflessa è polarizzata linearmente in direzione ortogonale al piano di incidenza Nella trasmissione la differenza di fase viene mantenuta inalterata, ma le ampiezze dei campi trasmessi parallelo e perpendicolare) sono diverse, pertanto l onda trasmessa è ellitticamente polarizzata Si ha: tan ψ a 1b 1 a 1 cos δ b 1 Poichè δ π si ha ψ 0 quindi l asse maggiore dell ellisse giace sul piano d incidenza ed è normale alla direzione di propagazione Calcoliamo le ampiezze delle componenti del campo trasmesso: E ɛ r1 cos θ 0 E 0 1) ɛr1 cos θ 0 + ɛ r ɛ r1 sin θ 0 H ɛ r cos θ 0 ɛ r cos θ 0 + ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 H 0 ) La ) ci fornisce l ampiezza della componente parallela del campo elettrico trasmesso: ˆn E ɛ r cos θ 0 ɛ r cos θ 0 + ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin θ 0 ɛr1 ɛr ˆn 0 E 0 ESCAM96-33

34 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Dalla 1), ) e 3) si vede che i campi trasmessi sono sempre in fase con i campi incidenti I coefficienti di Fresnel si possono calcolare con i dati numerici: θ 0 θ B 65 0, 9 ɛ r1 1 ɛ r 5 ɛ r1 cos θ 0 ɛr1 cos θ 0 + ɛ r ɛ r1 sin θ 0 ɛ r cos θ 0 ɛ r cos θ 0 + ɛ r1 ɛ r ɛ r1 sin ɛr1 θ 0 ɛr Ne segue che i moduli dei campi trasmessi sono: E 0333 E 0 E E Poichè l ellisse di polarizzazione è in forma normale, il rapporto b a è: Il risultato può essere verificato dalla: Poichè δ π/ si ha: b a E E sin χ a 1b 1 a 1 + sin δ b 1 sin χ E E E + E 0333) ) χ x tan x ESCAM96-34

35 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-19) Esercizio n 3 del 5/10/1996 Si consideri un gas uniformemente ionizzato e privo di collisioni; sia N il numero di elettroni per unitá di volume In esso si propaga un onda elettromagnetica che é la sovrapposizione di due onde piane armoniche di frequenze molto prossime f 1 e f rispettivamente Se le due onde hanno la medesima polarizzazione lineare e la stessa ampiezza, esplicitare l espressione dell onda risultante e valutarne la velocitá di gruppo Si considerino i seguenti dati: f 1 53 MHz, f 54 MHz e N elettroni/m 3 Siano: E 1 E 0ˆx cosβ 1 z ω 1 t) E E 0ˆx cosβ z ω t) E E 1 + E [ ] E 0ˆx cosβ 1 z ω 1 t) + cosβ z ω t) Poichè si ha: cosα + β) + cosα β) cos α cos β posto β 1 z ω 1 t α + β β z ω t α β E E 0ˆxcos [ β1 β α β 1 + β z ω ] 1 ω t cos β β 1 β [ β1 + β z ω 1 + ω t z ω 1 ω t z ω 1 + ω t Questa è la nota espressione del fenomeno dei battimenti Il campo oscilla con una pulsazione ω 1 + ω, mentre la sua ampiezza effettiva [ δβ A E 0 cos z δω ] t varia lentamente fra la somma delle ampiezze delle onde componenti e lo zero La distribuzione del campo nel tempo e nello spazio consiste in una serie di battimenti o gruppi che si ripetono periodicamente Ora, le superfici sulle quali l ampiezza dei gruppi A è costante sono definiti dall equazione: zδβ tδω costante ESCAM96-35 ]

36 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici da cui segue che i gruppi stessi si propagano con la velocità: u δω δβ Segue Quindi β 1 ω 1 c 1 ω p ω 1 δβ β 1 β 1 c β ω c 1 ω p ω ] [ω1 ω p ω ω p u δω δβ cω 1 ω ) ω 1 ωp ω ω p ) ωp Ne mɛ ω1 ω p ω ω p In definitiva u πcf 1 f ) m/s ESCAM96-36

37 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-0) Esercizio n 1 del 3/11/1996 Si consideri un onda elettromagnetica piana che si propaga in un mezzo conduttore Tenendo conto della dispersione della conducibilitá del mezzo, si determinino le formule esplicite della costante di propagazione β e del coefficiente di attenuazione α Nel caso dei conduttori metallici, le suddette formule possono approssimarsi agevolmente Si consideri, per esempio, il rame e si determini per esso la funzione approssimata αω), dimostrando esplicitamente che essa ha un massimo Si valuti la frequenza competente a tale massimo ed il valore di esso e si grafichi la funzione αω) Il numero di elettroni liberi per unitá di volume nel rame é: N m 3 La conducibilitá statica del rame é: σ statica S/m Si consideri: ɛ r µ r 1 Sappiamo che σ Ne /m ω eff iω ; poichè k µɛω + iσ µω e poichè in un metallo è ɛ ɛ 0 e µ µ 0 si ha: k β + iα) ω c β + iαβ α ω c 1 + i 1 + i σ N e ωɛ 0 ) m ω eff + iω) ω eff + ω )ωɛ 0 Ne segue che: β α ω c 1 N e m ɛ 0 ωeff + ω ) 1) e N βα ω m ω eff c ɛ 0 ω ωeff + ) ω Dividendo membro a membro dopo avere diviso la seconda per ) si ha β α α β avendo posto ω p Ne /m ɛ 0 1 Ne /m ɛ 0 ω eff + ω ) Ne /m ɛ 0 ω ω eff ω eff + ω ω p 1 ωeff + ω ω 1 ω eff ω p ωeff + ω ESCAM96-37

38 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Moltiplicando per β α si ha: β α ω ω p 1 ωeff + ω 1 ω eff ω p 1ωeff + ω β α 1 0 ω p β 1 ω p α ω ωeff + ω ωp ωeff + ω + 1 ωeff + ω ωp ω eff ωeff + ω ω eff Moltiplicando per βα dato dalla ), si ottiene: ω + 1 3) β ω 1 c ) ωp ωeff + + ω ω 4 4c 4 1 ω p ω eff + ω ) + ω 4c 4 ω 4 p ω eff ω eff + ω ) 4) Sostituendo la 4) nella 1), si ha: α ω 1 c ) ωp ωeff + + ω ω 4 4c 4 1 ω p ω eff + ω ) + ω 4c 4 ω 4 pω eff ω eff + ω ) 5) Calcoliamo, nel caso del rame, ω p Si ha: ω p Ne mɛ 0 ω eff si ottiene dalla σ ponendo ω 0: 87 ) ω eff ɛ 0ω p σ st da cui: ω eff Grafichiamo il coefficiente α in funzione della frequenza: ESCAM96-38

39 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici α [m 1 ] uv f [Hz] Il valore massimo di α si ha per f Hz Riportiamo nella seguente tabella alcuni valori, riportati nel grafico, del coefficiente α in funzione della frequenza: f α Per ω ω p risulta α m 1 Dal grafico e dalla tabella si deduce che il coefficiente di attenuazione del metallo diventa relativamente piccolo alle frequenze dell ultravioletto In tal modo, cioé, anche se lo spessore del metallo é di circa 1 mm la radiazione ultravioletta riesce ad essere trasmessa ESCAM96-39

40 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-1) Esercizio n del 3/11/1996 Un metodo per misurare lo spessore di una lamina sottile di dielettrico consiste nell inviare un onda elettromagnetica piana monocromatica su di essa, in modo che la direzione di propagazione formi un angolo θ 0 con la normale alla lamina stessa Il primo mezzo sia l aria e sia n l indice di rifrazione del dielettrico in esame Misurando la riflettivitá al variare della lunghezza d onda della radiazione incidente si rivelano due valori consecutivi di λ, λ 1 e λ, per cui essa si annulla Esprimere lo spessore della lastra in funzione dei parametri assegnati, supponendo che essa sia non dispersiva Si calcoli l errore percentuale che si commette nella misura dello spessore se l indeterminazione nel valore dell angolo di incidenza é ±1 0 a) Se il terzo mezzo è l aria, per incidenza normale, la riflettività è nulla per Per incidenza qualunque: Nel nostro caso si ha: n d m λ 0 4 n d cos θ m λ 0 4 n d cos θ m λ 1 4 con m pari m pari ne segue: n d cos θ m + ) λ 4 m λ 1 4 mλ 4 + λ da cui: ma da cui mλ 1 λ ) λ m λ λ 1 λ d λ 1 λ λ 1 λ ) n cos θ λ 1 λ λ 1 λ )n cos θ n 1 sin θ 0 n sin θ sin θ 1 n sin θ 0 n 1 1) cos θ 1 1 n sin θ 1 n n sin θ 0 ESCAM96-40

41 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici d λ 1 λ n λ 1 > λ ) ) λ 1 λ ) θ 0 b) Se il terzo mezzo è un dielettrico n 3 > n ), per incidenza normale, la riflettività è nulla per Per incidenza qualunque: Nel nostro caso si ha: n d m λ 0 4 n d cos θ m λ 0 4 con m dispari n d cos θ m λ 1 4 m dispari n d cos θ m + ) λ 4 che ci conduce al caso precedente Consideriamo, quindi, la formula ): d d θ 0 λ 1 λ λ 1 > λ ) λ 1 λ ) n sin θ 0 λ 1 λ λ 1 λ ) 1 n sin θ 0 [ sin θ 0 cos θ 0 ] n sin θ 0 λ 1 λ sin θ 0 cos θ 0 λ 1 λ ) ) 3/ n sin θ 0 Per calcolare l errore percentuale che si commette nella misura dello spessore d della lamina, osserviamo che certamente l indeterminazione nel valore dell angolo di incidenza di θ ±1 0 non influenzerá moltissimo tale misura; pertanto possiamo arrestare al primo ordine lo sviluppo della funzione dθ 0 + θ) in serie di Taylor, ossia: L errore percentuale si esprime, quindi: [ ] dθ0 + θ) dθ 0 ) ɛ dθ 0 ) dθ 0 + θ) dθ 0 ) + θ d θ 0 θ d θ 0 dθ 0 ) 100 θ sin θ 0 cos θ 0 n sin θ 0 ) [%] ESCAM96-41

42 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Per θ ±1 0 ± π, si ha: 180 ɛ ±17453 sin θ 0 cos θ 0 n sin ) [%] θ 0 Per n 15 si ha: θ 0 ɛ %) θ 0 ɛ %) ɛ %) θ 0 ESCAM96-4

43 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-) Esercizio n 3 del 3/11/1996 In un gas ionizzato immerso in un campo magnetico esterno B 0 05 G, la frequenza critica per il raggio ordinario é 0 M Hz Calcolare la frequenza critica per il raggio straordinario e la frequenza di plasma, nell ipotesi che la propagazione avvenga nella stessa direzione del campo magnetico applicato La frequenza critica per il raggio ordinario è data dall essere: k 0 ω c c 1 Segue dalla precedente che: ω p ω c ω c ω g ) 0 ω c π rad/s ω c ω c ω g ) ω p Calcoliamo ω g : ω g e m B rad/s Per cui π π ) ω p Per il raggio straordinario si ha: ω p rad/s ω c ω c + ω g ) ω p ω c + ω cω g ω p 0 ω g ± ω ωc st g + 4ωp si scarta Quindi f cstraord π Hz f ESCAM96-43

44 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 96-3) Esercizio n 4 del 3/11/1996 Un antenna rettilinea é lunga 004 lunghezze d onda Il valore massimo della corrente nel punto centrale di alimentazione é 10 A Calcolare la potenza totale irradiata e la resistenza di radiazione l 004λ kl π l λ 004π µ0 I { 0 P C + ln kl C i kl + ɛ 0 4π + cos kl ) } C + ln kl + C i 4kl C i kl C S i kl S i π 004) S i 0513) S i 4kl S i 4π 004) S i 05064) C i kl C i π 004) C i 0513) C i 4kl C i 4π 004) C i 05064) Dalle tavole di pag 38 Abramowitz, si ha: sin kl ) Si4kl S i kl + x 05 x 1 S i x) S i 05) x 050 x 1 S i x) S i 050) x 05 x [ ] C i x) ln x C da cui :C i 05) ln 05 C cioe C i 05) ] x 050 x [C i x) ln x C da cui :C i 050) ln 050 C cioe C i 050) ESCAM96-44

45 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici dove P { 4π ln ln ln sin cos ) } { ) )} { } { } W R a P r I Ω Con il Matlab Toolbox Symbolic) P Utilizziamo, ora, la formula del dipolo hertziano: P r 4 3 πz [ Ikl 4π ] [ ] W 4 R a 031 Ω Utilizziamo, ora, la formula approssimata: µ0 I ) 0 1 S r ɛ 0 8π r k l sin θ kl 1) π 0 µ0 I 0 1 P ɛ 0 8π 4 k4 l 4 sin 3 θ dθ dφ µ0 I0 1 ɛ 0 4π 3 k4 l W sin 3 θ dθ 4 3 R a Ω ) µ0 I 0 1 π ɛ 0 4π 4 k4 l 4 sin 3 θ dθ 0 Con l altra formula approssimata si ha: µ0 I [ 0 S r J ɛ 0 8π r 0 004π) cos004π)] sin θ ESCAM96-45

46 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ossia: P µ0 I [ 0 ɛ 0 8π µ0 I0 ɛ 0 4π µ0 I0 ɛ 0 3π ] J 0 004π) cos004π) sin 3 θ dθ dφ [ ] 4 J 0 004π) cos004π) 3 4 µ ) W R a Ω ɛ 0 I 0 4π ) Fine Esercizi Campi ESCAM96-46