S.Barbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici. Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno λ 2

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1 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Esercizi svolti di Campi elettromagnetici - Anno ) Esercizio n 1 del 3/4/1994 Un fascio di luce bianca incide su una larga lastra di vetro secondo una direzione formante un angolo di 65 0 con la normale alla superficie La dipendenza della costante dielettrica del vetro dalla lunghezza d onda della luce incidente è espressa dalla equazione di Cauchy: ǫ r = ( + ) Calcolare l angolo di trasmissione competente alla radiazione di colore rosso (f = Hz) e a quella di colore violetto (f = Hz) Calcolare, altresì, il coefficiente di riflessione in potenza per luce incidente monocromatica di colore violetto, nell ipotesi che i fasci di luce abbiano la stessa intensità e siano polarizzati linearmente con il vettore campo elettrico normale al piano d incidenza λ Si ha: λ = c f = { λrosso = 0699µ λ violetto = 04µ (ǫ r ) rosso = ( ) (0699) 10 1 = = n rosso = (ǫ r ) violetto = ( + ) (04) 10 1 = = n violetto = 015 Legge di Snell sinθ = ǫr1 ǫr sinθ 0 (ǫ r1 = 1) Quindi: Rosso sin θ = Violetto sinθ = sin65 0 = 0453 = θ = sin65 0 = = θ = ESCAM94-1

2 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Infine per i coefficienti di riflessione si ha: R = sin (θ θ 0 ) sin (θ + θ 0 ) R rosso = = 3814% R violetto = 0383 = 3834% ESCAM94 -

3 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-) Esercizio n del 3/4/1994 Un onda elettromagnetica piana uniforme si propaga in un mezzo buon conduttore (µ r = 1) Se la sua velocità di fase è: v f = c e la sua lunghezza d onda nel mezzo è λ = 05mm, calcolare la conducibilità del mezzo e la frequenza dell onda Calcolare, altresì, la percentuale della densità di potenza incidente che viene dissipata in calore dopo un percorso pari alla profondità di penetrazione Sappiamo che: v f = ω β = ωλ π = fλ = f = v f λ = , = 3GHz Per un mezzo buon conduttore si ha: v f = ω µσ da cui cioè: σ = ω µv f = v f = ω µσ 4πf 4π = P(δ) = P 0 e f = S m La densità di potenza dissipata in calore è: P 0 P 0 e = P 0 ( 1 1 e ) = 08647P 0 = 8647% di P 0 ESCAM94-3

4 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-3) Esercizio n 3 del 3/4/1994 Un onda piana polarizzata ellitticamente, in aria, ha le seguenti componenti del campo elettrico: E x = 10cos(ωt βz) ( E y = 15cos ωt βz + π ) 6 E z = 0 Determinare il vettore campo magnetico e la densità di potenza mediata in un periodo; determinare l equazione dell ellisse di polarizzazione per il campo elettrico e calcolare i valori dei semiassi maggiore e minore; graficare l ellisse per punti, individuando il verso di rotazione del vettore E V m Per il campo magnetico si ha: H = β ẑ E ωµ = β ( ) ẑ E xˆx + E y ŷ 0 ωµ 0 Essendo: Ne segue: Quindi: ˆx ŷ ẑ ẑ ˆx = = ŷ ẑ ŷ = ˆx ŷ ẑ = ˆx H = β ωµ 0 E x ŷ β ωµ 0 E yˆx H x = β ( 15cos ωt βz + π ) ǫ0 = ωµ 0 6 µ 0 15cos H y = β ǫ0 10cos(ωt βz) = 10cos(ωt βz) ωµ 0 µ 0 ( ωt βz + π ) 6 Ancora: ( H x = 00398cos ωt βz + π ) ( ) A 6 m ( ) A H y = 0065cos(ωt βz) m H z = 0 ESCAM94-4

5 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici P = 1 τ La densità di potenza mediata in un periodo è data da: τ 0 ( ) E H ẑ dt = 1 τ τ 0 (E x H y E y H x ) dt = 1 τ τ 0 [ ( )] 065cos ωt βz dt+ + 1 τ τ 0 [ ( 0597cos ωt βz + π )] dt = 1 [ ] = 0431 W 6 m L equazione dell ellisse di polarizzazione è: Ex E y 5 E xe y cos π = π sin 6 E x E y E xe y = 1 4 Grafico di E nel pianoz = 0 ( E x = 10cos π t ) T ( E y = 15cos π t T + π ) 6 t/t E x E y t/t E x E y ESCAM94-5

6 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Ellisse di polarizzazione E y polarizzazione destrogira E t = b ,85 E x a Infine per il calcolo dei semiassi, dalle formule si ha: Quindi: a + b = a 1 + b 1 ab = a 1 b 1 sinδ a 1 = ampiezza di E x b 1 = ampiezza di E y a + b + ab = a 1 + b 1 + a 1 b 1 sin π 6 = 475 a + b ab = a 1 + b 1 a 1 b 1 sin π 6 = 175 Ancora: a + b = 475 a b = 175 = a = b = = 1751 = 48 ESCAM94-6

7 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-4) Esercizio n 4 del 3/4/1994 Sia dato un sistema binomiale di cinque antenne rettilinee a mezz onda equidistanti d = λ Determinare l angolo di fase γ perchè, nel piano θ = π, si abbia un massimo di radiazione nella direzione individuata dall angolo φ = 45 0 Graficare, altresì, il relativo diagramma di radiazione Si ha: K(ψ) = cosn 1 [ kdcos ψ + γ ] per θ = π si ha: K(φ) = cosn 1 [ kdcos φ + γ ] Il massimo a 45 0 è dato da: kdcos γ = 0 per d = λ = kd = π π cos γ = 0 = γ = π Per tale valore di γ il diagramma di radiazione è: ESCAM94-7

8 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-5) Esercizio n 1 del 30/6/1994 Il mezzo interstellare può essere considerato un plasma di densità elettronica n = 003 elettroni cm, sede di un campo di induzione magnetica il cui modulo medio è B 3 0 = 10 G Un onda elettromagnetica piana, linearmente polarizzata, di frequenza ν = 1 GHz, si propaga in tale mezzo lungo la direzione del campo Calcolare la distanza, espressa in anni luce, che la radiazione deve percorrere perchè il suo piano di polarizzazione ruoti di Calcoliamo, preliminarmente, ω p e ω g Si ha: ω p = ne mǫ 0 = = ω p = ( ωp ω g = eb 0 m 0 = ) X = = ω (π 10 9 ) = Y = ω g = ω π 10 9 = L angolo τ di rotazione per distanza unitaria è, utilizzando la formula approssimata: τ = 1 ω radianti X Y = c m La distanza che l onda deve percorrere perchè essa ruoti di π è L = dal momento che 1 anno luce è: π = m = allora L = anni luce ESCAM94-8

9 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-6) Esercizio n del 30/6/1994 Le molecole di ammoniaca presentano una riga di assorbimento centrata alla frequenza ν 0 = 3860 MHz Se il coefficiente di attenuazione in potenza, competente ad un onda elettromagnetica che attraversa una cella contenente il gas a bassa pressione con frequenza eguale a quella della riga, é α p = Np/m, calcolare la costante dielettrica complessa dell ammoniaca relativa a tale risonanza Si ha: P = P 0 e α pz Possiamo utilizzare la formula: α p = α = α = α p = 5 N 10 4 p m α = A c ω γ (ω 0 ω ) + ω γ Per ω = ω 0 si ha: Inoltre Dalla ( ) segue α = A cγ ǫ r = 1 + = ( ) A iωγ A γ = c = quindi, in definitiva, otteniamo per la costante dielettrica: ǫ r = 1 + i π = 1 + i10 6 ESCAM94-9

10 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-7) Esercizio n 3 del 30/6/1994 Sia data una guida d onda rettangolare, riempita d aria, di dimensioni a = 5 cm e b = 15 cm, eccitata nel modo TE 10 ad una frequenza f = 10 GHz Un osservatore si muove lungo la direzione e il verso di propagazione dell onda (rispetto alla guida) con velocitá v = 1 v g Rispetto ad un sistema di riferimento solidale all osservatore, calcolare: a) la costante di propagazione dell onda; b) le componenti del campo elettrico e del campo magnetico; c) il vettore di Poynting associato all onda; d) la frequenza del campo elettromagnetico Le risposte ai quesiti devono essere espresse in modo comparativo alla situazione in cui l osservatore é in quiete rispetto alla guida Si discutano fisicamente i risultati ottenuti Per cui: ModoTE 10 = ν c = c ω a = 6GHz β = c π rad = a m ) ( η = γ (1 vvf ξ = γ 1 vv ) f c v = 1v g v g = c 1 ω c ω = c 08 v f = c 08 = 15c γ = 1 = v c η = ( 1 1 ) 08 c = 0885 ξ = 35714(1 1) = c β = ξβ = 07148β = rad m Le componenti del campo elettrico e magnetico sono: E 0z = 0 ; E 0y = 0885E 0y ; E 0x = 0885 E 0x }{{} =0 B 0z = B 0z ; B 0y = B 0y }{{} ( S = x E y Quindi, a meno del fattore di fase: =0 B z ) + ẑ µ 0 ; B 0x = 07148B 0x ( E y B x ) µ 0 S 0x = 0885S x S 0y = 0 S 0z = 05917S z La frequenza del campo elettromagnetico è: f = ηf = 0885f = 885GHz L osservatore vede il campo elettromagnetico viaggiare in verso opposto rispetto a quello per cui l osservatore è solidale alla guida ESCAM94-10

11 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-8) Esercizio n 4 del 30/6/1994 Si abbia un sistema di 4 dipoli a mezz onda egualmente distanziati, la cui frequenza di alimentazione é ν = 10 GHz Si calcoli analiticamente la differenza di fase γ e la distanza d fra i singoli dipoli perché l array factor si annulli tre volte, nel piano ortogonale alla direzione delle antenne, nell intervallo angolare 0 0 φ π Si valutino gli angoli corrispondenti a tali zeri e si grafichi il diagramma di radiazione Si ha: K(ψ) = 1 sin nα n sin α Se n = 4 sappiamo che nell intervallo 0 α π la K(ψ) si annulla tre volte (r = 1,,3) con α = kdcos φ γ La corrispondenza angolare è: kdcos φ 1 γ = 0 kdcos φ γ = π Per φ 1 = 0 e φ = π si ha: kd γ = 0 = γ = kd +kd γ = π Dalla seconda, sostituendo γ = kd, otteniamo: kd = π = kd = π e γ = π da cui d = λ = 0015m = 15cm Il diagramma di radiazione è: φ K(φ) φ K(φ) φ K(φ) φ K(φ) ESCAM94-11

12 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Gli angoli corrispondenti agli zeri sono: n ( π cos φ nulli + π ) = rπ = cos φ nulli = rπ n π π = r 4 1 Risultano cos φ 1n = 1 = φ 1 n = 10 0 ; cos φ n = 0 = φ n = 90 0 ; cos φ 3n = 1 = φ 3 n = ESCAM94-1

13 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-9) Esercizio n 1 del 16/7/1994 Quando un onda elettromagnetica piana si propaga in un mezzo dielettrico dispersivo, la sua velocitá di propagazione coincide con la velocitá di gruppo Dimostrare che, in tal caso, essa é data dalla seguente formula: ( v g = v f 1 λ ) 1 dn n dλ dove λ é la lunghezza d onda relativa al vuoto Per un dielettrico dispersivo si ha: β = ω c ǫr (ω) = ω c n(ω) = ω v f essendo v f = c n Differenziando si ha: dβ = 1 c ndω + 1 c ω dn = 1 c ndω + 1 c ω dn dω dω = [ 1 = dω c n + 1 c ω dn ] dω Da cui v g = dω dβ = 1 [ 1 n + ω dn ] = c dω Poichè λ = πc, si ha: ω 1 [ n 1 + ω c n ] = dn dω v f 1 + πc dn dλ λn dλ dω dλ dω = πc ω = ( πc π c ) = λ πc λ Quindi v g = v f 1 λ n dn dλ ESCAM94-13

14 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-10) Esercizio n del 16/7/1994 Se l indice di rifrazione di un mezzo dielettrico dispersivo é espresso dalla legge: n = ( + ) 10 15, calcolare il ritardo temporale fra due segnali di colore rosso (f = Hz) e di colore violetto (f = Hz) che hanno percorso 1 Km nel mezzo considerato λ Ancora: Ne segue v gr = v gv = ν rosso = 48, Hz = λ rosso = ν violetto = Hz = λ violetto = Dalla formula data per l indice di rifrazione n si ha: v frosso = Per cui: c ν rosso = m c ν violetto = m n rosso = n violetto = 015 c n rosso = m s dn dλ ( ) dn = dλ rosso In definitiva il ritardo temporale è: v fvioletto = = λ 3 c n violetto = m s ( ) dn = 6500 dλ violetto = m s = τ ros= L v gr = µs = m s = τ viol = L v gv = µs τ = 8417ns ESCAM94-14

15 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-11) Esercizio n 3 del 16/7/1994 Un accurato e semplice metodo per valutare l indice di rifrazione di un certo materiale in aria consiste nella misura del rapporto R R relativo ad un fascio di luce incidente con un angolo θ 0 = 45 0 Se tale rapporto, per un dato materiale é 1393, calcolarne l indice di rifrazione Si ha: ǫr1 cos θ 0 ǫ r ǫ r1 sin θ 0 R = ǫr1 cos θ 0 + ǫ r ǫ r1 sin θ 0 ǫ r cos θ 0 ǫ r1 ǫ r ǫ r1 sin θ 0 R = ǫ r cos θ 0 + ǫ r1 ǫ r ǫ r1 sin θ 0 dove ǫ r1 = 1 Per θ 0 = π 4 si ha: R R = R = 1 ǫ r ǫ r 1 1 ǫ r ǫ r + ǫ r 1 ǫ r 1 ǫ r ǫ r 1 = (1 ǫ r ) + ǫ r 1(1 ǫ r ) (1 ǫ r ) ǫ r 1(1 ǫ r ) R = ǫ r ǫ r 1 ǫ r + ǫ r 1 = ǫ r + ǫ r 1 ǫ r ǫr 1 ǫ r + 1 ǫ r ǫ r 1 + ǫ r ǫr 1 ǫ r + 1 = 1 + ǫ r 1 1 ǫ r 1 r = 1 + ǫ r 1 1 ǫ r 1 = ±3733 Poichè per ǫ r > 1 = ǫ r 1 > 1 si ha r < 0, quindi: = ǫ r 1 = ǫ r 1 ǫr 1(1 3733) = 4733 = ǫ r 1 = 4733 = = 733 = ǫ r 1 = = ǫ r = = n = 1414 = ESCAM94-15

16 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-1 Esercizio n 4 del 16/7/1994 Sia dato un sistema binomiale di 10 antenne rettilinee a mezz onda, equidistanti d = λ Determinare l angolo di fase γ perché, nel piano θ = π, si abbia un massimo di radiazione nella direzione individuata dall angolo φ = 45 0 Graficare, altresí, il relativo diagramma di radiazione Si ha: kd = π, n = 10 Per θ = π [ ] K(φ) = kdcos φ + γ cosn 1 Il massimo si ha per π cos γ = 0 ; π + γ = 0 = γ = π φ K(φ) φ K(φ) φ K(φ) φ K(φ) ESCAM94-16

17 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ESCAM94-17

18 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-13) Esercizio n 1 del 8/7/1994 Una stella pulsar emette impulsi di radioonde di frequenza centrale rispettivamente f 1 = 151 MHz e f = 408 MHz; tali impulsi sono ritardati l un l altro di 418 s Tale ritardo é attribuito sostanzialmente alla dispersione del mezzo interstellare (idrogeno ionizzato) che si puó considerare un plasma con densitá elettronica media n = 003 elettroni cm 3 Calcolare la distanza, espressa in anni luce, della stella pulsar dalla Terra (Si ponga, nei calcoli, 1 1 x x) dove Si ha: v g = c ( 1 τ τ 1 = L 1 ) v g v g1 1 ω p ω v g1 = c 1 ω p ω 1 ω p = nq mǫ 0 = (rad/s) Poichè ω 1 = e ω = risulta ω p ω 1 e ω p ω ; pertanto: da cui: Poiché: t = τ τ 1 = L c L = ( ω p ω 1 1 ω p ω 1 ) = L ( c ω 1 p ω 1 ω 1 ) = = L ( c ω p ) = L s t = = m 1 anno luce = = m segue : L = = anni luce ESCAM94-18

19 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-14) Esercizio n del 8/7/1994 Una cella solare di silicio ha un indice di rifrazione di 39 in corrispondenza di una lunghezza d onda λ 0 = 600 nm Calcolare il coefficiente di riflessione per incidenza normale competente a tale radiazione Determinare, altresí, lo spessore e l indice di rifrazione di un rivestimento dielettrico perché la detta radiazione venga completamente assorbita dal sistema Sistema aria-silicio n 1 = 1 n = 39 Si R = n n 1 n + n 1 = n 1 = 1 n = x n 3 = 39 Aria x Si n = n 1 n 3 = Inoltre segue che: d = m λ 0 4n n d = m λ 0 4 (m dispari) per m = 1 = d = 76nm ESCAM94-19

20 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-15) Esercizio n 3 del 8/7/1994 Sia dato un sistema di n antenne rettilinee a mezz onda equidistanti ed alimentate uniformemente Se la distanza fra le singole antenne é pari a λ 4 e lo sfasamento progressivo per la corrente é γ = π, calcolare la direttivitá del sistema per n = 5 e per n = 10; confrontare i risultati ottenuti con la formula asintotica per n Nel nostro caso d = λ 4 = kd = π λ Osserviamo subito che per q dispari cos qγ = cos λ 4 = π ; γ = π ( q π ) = 0 quindi i termini della sommatoria per q dispari sono nulli Per q pari sin q π = sinu = 0 ed i termini della sommatoria diventano: q = q = 4 q = 6 q = 8 La formula usata per la direttività è: Per n = 5 si ha: Per n = 10 si ha: D = D = (n ) cos( π) cos π π = (n ) 1 π cos π 1 (n 4) cos( π) = (n 4) (π) 4π cos 3π 1 (n 6) cos( 3π) = (n 6) (3π) 9π cos 4π (n 8) cos( 4π) (4π) = (n 8) 1 16π 4πn n 1 8πn 3 + 8π ( sin u (n q) cos(qγ) u 8π 3 D = q=1 8π π 4π 5 ( 3 π + 1 4π sin u u 3 ) = cos u ) u 4π 100 ( π π + 6 4π + 4 9π + ) = π ESCAM94-0

21 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Per n si ha: D = 4n d λ = n per cui D 5 = 666 D 5 = 15 D 10 = D 10 = 1148 ESCAM94-1

22 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-16) Esercizio n 1 del 8/9/1994 Si abbia una striscia di corrente superficiale di forma rettangolare avente dimensioni a e b (a > b) Tale striscia é posta nel piano xy in modo tale che il baricentro della striscia coincida con l origine del sistema di riferimento ed il lato piú grande sia parallelo all asse x; sia I l intensitá di corrente diretta lungo l asse x positivo Applicando le condizioni al contorno e tenendo conto della simmetria del sistema, calcolare, in modulo, direzione e verso, i campi magnetici sui due lati della striscia, cioé, in z = 0 + e z = 0 x y I b a z ( ˆn H H ) 1 = J s ˆn = ẑ e Js = I b ˆx cioè: ẑ H t + ẑ H z ẑ ẑ H }{{} 1t ẑ H 1z ẑ = I }{{} b ˆx =0 =0 ẑ H t ẑ H 1t = I b ˆx Moltiplicando a sinistra per ẑ e applicando la identità vettoriale: a ( b c) = ( a c) b ( a b) c ESCAM94 -

23 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici ne segue: (ẑ H ) ( t ẑ ẑ ẑ) Ht (ẑ H ) ( ) 1t ẑ + ẑ ẑ H1t = I ) ẑ ˆx b( Ne segue: H t + H 1t = I bŷ Ora è chiaro che, per simmetria deve essere H t + H 1t = 0 cioè: H 1t = I bŷ, Ht = I bŷ ESCAM94-3

24 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-17) Esercizio n del 8/9/1994 Si abbia uno specchio piano di argento (ǫ r 1,σ = S/m,µ r = 1) Radiazione infrarossa, di lunghezza d onda nel vuoto (λ = 10µ), incide sullo specchio secondo la direzione normale Calcolare: a) la profonditá di penetrazione della radiazione nello specchio; b) la lunghezza d onda nell argento; c) il coefficiente di riflessione Mezzo(1) aria, Mezzo() argento Si ha: λ = 10µ = ν = c λ = Hz σ ǫ ω = = 9959 π quindi ed anche e quindi e poich si ha: α = β = ωµσ δ = 1 α = µ = π π = Per incidenza normale θ 0 = 0 0, in generale risulta: Nel caso σ ǫ 1 si ha: ω α λ arg = π β = µ R = R = R = (q β 1) + p (q + β 1 ) + p β q p R = ( β 1 ) + ( ) ( β 1 ) + ( ) R = β 1 = π λ a = = 9841% Utilizzando il risultato approssimato, per θ 0 = 0 0 otteniamo: R = 1 β 1 β = 98368% ESCAM94-4

25 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-18) Esercizio n 3 del 8/9/1994 Un antenna rettilinea orizzontale lunga 1 m trasmette ad una lunghezza d onda λ = m Il segnale deve essere ricevuto da un satellite in orbita geostazionaria distante Km dalla superficie terrestre e situato sulla verticale passante per l antenna Se il ricevitore sul satellite puó rivelare segnali il cui modulo minimo del campo elettrico é E min = 1 µv m, trascurando gli effetti di riflessione del suolo, calcolare la minima intensitá di corrente con la quale si deve eccitare l antenna perché il segnale possa essere rivelato dal satellite Calcolare la potenza totale irradiata dall antenna Ne segue ed anche Il campo elettrico di radiazione (far-field) di un antenna rettilinea dato da: Nel nostro caso E θ min = µ e ikr E θ = i ǫ πr I cos(kl cos θ) cos kl 0 sin θ µ ǫ kl = π 1 = π µ E θ = i ǫ E θ = µ ǫ e θ = π e ikr πr I 0 1 πr I 0 La potenza irradiata calcolata negli Appunti: 1 πr I 0 = 10 6 V ǫ m = I 0 = πr µ 10 6 = 06A P = µ I0 1 = 13176W ǫ 0 4π ESCAM94-5

26 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-19) Esercizio n 4 del 8/9/1994 La costante dielettrica complessa della carne, alla frequenza di 5 GHz (forno a microonde), é ǫ c = 40(1 + i03)ǫ 0 Calcolare il coefficiente di attenuazione della radiazione elettromagnetica e la relativa profonditá di penetrazione ossia: Si ha: k = ω [ ǫ ω ] c r = β + iα = 40 + i1 = β α + iαβ c β α = 40 ω c Dividendo membro a membro, si ha: αβ = 6 ω c (1) β α α β = 40 6 Moltiplicando ciascun termine per β α si ha: da cui Dividendo la () per la (1) si ha: β α 0 3 β α 1 = 0 β α = = () 9 1 α = c 6 ω = α = ω 6 c = N p m δ = 03cm ESCAM94-6

27 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-0) Esercizio n 1 del 1/11/1994 Un dipolo a mezz onda, eccitato alla frequenza di 300 M Hz, irradia nello spazio libero una potenza di 146 W Calcolare il modulo del campo elettrico e del campo magnetico in un punto P (r,θ,φ) quando r = 100 m, θ = 90 0, φ = 30 0 Si ha: P = µ0 ǫ 0 I 0 4π 1 = 3657I 0 = I 0 = A Il campo non dipende da φ e per kl = π e θ = 900 si ha: µ e ikr E θ = i ǫ πr I 0 E θ = µ ǫ 1 πr I 0 = 1 V m H φ = E θ Z H φ = A m ESCAM94-7

28 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-1) Esercizio n del 1/11/1994 Si abbia un onda elettromagnetica piana di frequenza f = 1 MHz ed il cui modulo del campo elettrico sia 5 mv/m Calcolare: a) la densitá di potenza associata a tale campo; b) il modulo del campo magnetico Si orienti una bobina costituita da 100 spire di diametro d = 10 cm in modo da massimizzare la tensione a circuito aperto indotta dal campo e se ne calcoli il valore massimo Si abbia, per esempio, un onda piana polarizzata lungo l asse x che si propaga lungo l asse z E = E 0ˆxe iβz e iωt H = ǫ µ E 0ŷe iβz e iωt y x z La bobina deve giacere nel piano xz in modo che il campo magnetico sia diretto secondo la normale fem = d dt BA = d [ ] 1 dt c E 0Nπ d 4 eiβz e iωt = = iω E 0 c Nπd 4 eiβz e iωt Quindi fem max = ωe 0 c Nπd 4 = V = 041mV ESCAM94-8

29 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-) Esercizio n 3 del 1/11/1994 Un fascio laser uniforme, non polarizzato, incide normalmente, dal libero spazio, su una superficie di vetro che riflette il 9% della potenza Se il fascio incide sotto un angolo di incidenza di 60 0, calcolare il coefficiente di riflessione In generale Per incidenza normale si ha: ed anche Poichè n 1 = 1 si ha: Allora: R nat = 1 R + 1 R R nat (0 ) = R (0 ) = R (0 ) = n 1 n n 1 + n = n 1 + n = 03 = 1 n n = 0 = 07n = 13 = = n = 1857 ǫ r = 345 R (θ0 =60 0 ) = R (θ0 =60 0 ) = = = = 0845 R nat 1 R = 14% = ESCAM94-9

30 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici 94-3) Esercizio n 4 del 1/11/1994 Un sistema di 5 dipoli a mezz onda paralleli, identicamente eccitati é lungo L I dipoli sono egualmente distanziati e sono orientati nella direzione dell asse z Si grafichi il diagramma di radiazione nel piano x y nel caso in cui i centri dei dipoli sono situati sull asse x nella situzione in cui: a) L = λ; b) L = 4λ Calcolare analiticamente le direzioni per cui, nei due casi, la potenza irradiata é nulla Nel nostro caso d = L 4, γ = 0, θ = 900 [ 5 π L λ 4 K(φ) = 1 sin cos φ ] 5 π L λ 4 sin[ cos φ ] a) L λ = b) L λ = 4 kd = π λ λ = π K(φ) = 1 sin[(5π/) cos φ] 5 sin[(π/) cos φ] K(φ) = 1 sin[5π cos φ] 5 sin[π cos φ] Il calcolo degli zeri ed i valori tabulati nel caso a) sono riportati negli Appunti (caso kd = π) Mentre nel caso b) si ha: φ K(φ) φ K(φ) φ K(φ) φ K(φ) ESCAM94-30

31 SBarbarino - Esercizi svolti di Campi Elettromagnetici Calcolo degli zeri 5π cos φ = rπ = cos φ = r 5 r φ , , , , , , , ,13 Il diagramma di radiazione : Fine Esercizi Campi em ESCAM94-31