Capitolo 4 Acustica geometrica

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1 Capitolo 4 Acustica geometrica Indice - Considerazioni introduttive - Sorgenti immagine - Metodo delle immagini - Ray tracing - Metodi ibridi - Auralizzazione - Riverberatori artificiali Metodi numerici per l acustica 1 Cap. 4 Acustica geometrica

2 Introduzione (1) L acustica geometrica si basa sull ipotesi che la lunghezza d onda sia trascurabile rispetto alle dimensioni dell ambiente e degli oggetti in esso presenti. Questa ipotesi è spesso accettabile nella pratica (per esempio con f = 1 khz si ha λ = 34 cm). Il concetto di onda sonora è sostituito da quello di raggio sonoro. Un raggio sonoro può essere definito come una piccola porzione di onda sferica che ha origine in un punto ed è caratterizzato da una direzione di propagazione definita. L energia totale trasportata da un raggio è costante (nell ipotesi di mezzo non dissipativo). Tuttavia l intensità sonora di un fascio di raggi divergente decade come 1/r 2. Metodi numerici per l acustica 2 Cap. 4 Acustica geometrica

3 Introduzione (2) Viene modellata la riflessione dei raggi, ma non la rifrazione né il fenomeno di curvatura dei raggi in un mezzo non omogeneo. La velocità di propagazione viene comunque considerata finita, in quanto da essa dipendono fenomeni quali la riverberazione, la presenza di echi, ecc La diffrazione è solitamente trascurata, come anche l interferenza: non si considerano le relazioni di fase tra le componenti del campo, che vengono quindi considerate incoerenti, e le energie semplicemente si sommano. Metodi numerici per l acustica 3 Cap. 4 Acustica geometrica

4 Riflessione di raggi (1) I raggi vengono riflessi dalle pareti secondo le leggi dell ottica geometrica: 1. raggio incidente e raggio riflesso sono complanari; 2. l angolo tra raggio incidente e riflesso è dimezzato dalla normale alla parete. ' u u ' = u 2( un) n u n Nella figura si usano i versori delle varie direzioni. Metodi numerici per l acustica 4 Cap. 4 Acustica geometrica

5 Riflessione di raggi (2) Riflessione negli angoli δ 2δ Pareti perpendicolari: dopo due riflessioni il raggio riflesso è parallelo a quello incidente. Pareti non perpendicolari: se le pareti formano un angolo δ il raggio riflesso devia di un angolo 2δ rispetto a quello incidente. Metodi numerici per l acustica 5 Cap. 4 Acustica geometrica

6 Sorgenti immagine (1) B Ogni raggio emesso dalla sorgente A e riflesso dalla parete si può pensare come emesso dalla sorgente immagine A. N.B. Senza la sorgente immagine il raggio riflesso in B potrebbe essere trovato solo per tentativi. A A L effetto della parete è completamente rappresentato dalla sorgente immagine, nell ipotesi che essa emetta lo stesso segnale della sorgente e che le sue caratteristiche direzionali siano simmetriche di quelle di A. Metodi numerici per l acustica 6 Cap. 4 Acustica geometrica

7 Sorgenti immagine (2) Osservazione 1. Se la parete ha estensione finita, le possibili direzioni di emissione della sorgente immagine devono essere limitate (cioè per certe posizioni del punto di osservazione B la sorgente immagine può non essere visibile). Osservazione 2. In generale l energia riflessa è solo una parte di quella incidente. L assorbimento di energia è rappresentato da un coefficiente di assorbimento α. Il coefficiente di assorbimento dipende in generale dall angolo di incidenza e dalla frequenza, che modificano la distribuzione direzionale e lo spettro del segnale emesso dalla sorgente immagine. Di solito però si usa un valore medio di α. Metodi numerici per l acustica 7 Cap. 4 Acustica geometrica

8 Sorgenti immagine (3) Ciascun raggio subisce riflessioni multiple finchè non incontra una superficie perfettamente assorbente o comunque finchè la sua energia non si esaurisce. Il percorso completo del raggio può essere rappresentato mediante sorgenti immagine di ordine superiore al primo. A A B Costruzione di una sorgente immagine del secondo ordine A Metodi numerici per l acustica 8 Cap. 4 Acustica geometrica

9 Sorgenti immagine (4) Note la geometria della stanza e la posizione della sorgente, le sorgenti immagine possono essere costruite senza far riferimento ad uno specifico percorso del suono. Se N è il numero delle pareti, si hanno N sorgenti immagine del primo ordine, a ciascuna delle quali corrispondono N-1 sorgenti del secondo ordine, che quindi in totale sono N(N-1). In generale il numero di immagini di ordine i (i 1) è N(N-1) i -1. In totale il numero di sorgenti immagine fino all ordine i 0 è: N( i 0 ) = N i0 ( N 1) 1 N 2 N.B. In presenza di simmetrie molte immagini coincidono. Metodi numerici per l acustica 9 Cap. 4 Acustica geometrica

10 Sorgenti immagine (5) Esempio Si consideri una stanza piatta, cioè caratterizzata da una altezza piccola rispetto alle dimensioni laterali. In tal caso l effetto dei muri laterali può essere trascurato e la stanza è assimilabile ad uno spazio limitato da due piani paralleli infiniti. Se la sorgente A e il ricevitore B sono A equidistanti dai due piani, la distanza di un immagine di ordine n da B è r + n h. h A A A A r B Nell ipotesi che A emetta la potenza P in modo uniforme e il coefficiente di assorbimento dei due piani sia α, la densità di energia totale in B è: + n w P (1 α) B = 2 2 4π c n= r + n h 2 Metodi numerici per l acustica 10 Cap. 4 Acustica geometrica

11 Sorgenti immagine (6) Nel caso di stanze rettangolari, si ottiene una griglia regolare di sorgenti immagine Le prime quattro stanze immagine laterali contengono le sorgenti immagine del primo ordine, quelle agli angoli le sorgenti del secondo ordine corrispondenti a riflessioni su pareti diverse. Le stanze immagine contengono ciascuna una sorgente. La loro unione copre tutto lo spazio, senza zone scoperte o di sovrapposizione. Il reticolo deve essere ripetuto anche per la terza dimensione. stanza reale Metodi numerici per l acustica 11 Cap. 4 Acustica geometrica

12 Sorgenti immagine (7) Nel caso di ambienti non regolari, la situazione può essere decisamente più complicata. Sorgente non visibile Metodi numerici per l acustica 12 Cap. 4 Acustica geometrica

13 Sorgenti immagine (8) L energia emessa da ciascuna sorgente tiene conto dell assorbimento di ciascuna delle pareti attraversate. Il segnale ricevuto in un punto s (t) viene calcolato come sovrapposizione dei contributi di tutte le sorgenti immagine, assumendo che le sorgenti emettano lo stesso segnale nello stesso istante: s ' ( t) La risposta impulsiva è: = n A s( t Metodi numerici per l acustica 13 Cap. 4 Acustica geometrica n t g( t) = Anδ ( t tn) n N.B. In realtà, per effetto della dipendenza dalla frequenza del coefficiente di riflessione, il segnale riflesso non è esattamente un impulso. n )

14 Distribuzione temporale delle riflessioni (1) Si fa riferimento alla seguente forma della risposta impulsiva: g( t) = Anδ ( t tn) n Gli impulsi possono essere rappresentati graficamente in un ecogramma: A n Dopo le prime riflessioni (più forti e più diradate), quelle successive si addensano e costituiscono il vero e proprio riverbero. Metodi numerici per l acustica 14 Cap. 4 Acustica geometrica t

15 Distribuzione temporale delle riflessioni (2) R=c t dω dr=c dt Nell intervallo di tempo tra t e t+dt nel centro della stanza arrivano i segnali emessi dalle sorgenti le cui distanze dal centro sono comprese tra ct e c(t+dt). Tali sorgenti appartengono ad una regione di volume V pari a: = 4π c Metodi numerici per l acustica 15 Cap. 4 Acustica geometrica V ' 3 t 2 dt Indicando con V il volume della stanza, si ottiene la densità di sorgenti immagine e quindi il numero medio di riflessioni nell istante t : dn r 2 dt 3 c t = 4π V

16 Distribuzione temporale delle riflessioni (3) La relazione trovata: dn r 2 dt 3 c t = 4π V vale anche per geometrie arbitrarie e mostra che la densità media delle riflessioni aumenta con il quadrato del tempo. N.B. La relazione è simile (nel metodo e nel risultato) a quella ottenuta per calcolare la densità in frequenza dei modi in una stanza rettangolare: dn f df = 4πV f c 2 3 Metodi numerici per l acustica 16 Cap. 4 Acustica geometrica

17 Distribuzione temporale delle riflessioni (4) Da un punto di vista fisico ogni riflessione corrisponde ad un sottile fascio di raggi originato dalla sorgente immagine corrispondente, in cui l intensità sonora decresce con (ct) -2. L assorbimento da parte del mezzo è rappresentabile tramite una costante di attenuazione m. L intensità decresce quindi con una legge del tipo exp(-mct). L intensità si riduce di un fattore (1-α) ad ogni riflessione (α è la costante di assorbimento delle pareti, assunta costante). Se ci sono n riflessioni al secondo, dopo un tempo t l intensità si è ridotta di un fattore (1-α) nt = exp [nt ln (1-α)]. Metodi numerici per l acustica 17 Cap. 4 Acustica geometrica

18 Distribuzione temporale delle riflessioni (5) In totale, l intensità delle riflessioni nel punto di osservazione all istante t (t >0) è: I = A ( ct) 2 e [ mc+ nln(1 α )]t in cui A è una costante. L energia complessiva di tutte le riflessioni ha quindi il seguente andamento: E( t) = E e [ mc+ nln(1 α )] t e non dipende in pratica dal punto di osservazione. Si deve ora calcolare il valore medio n. 0 Metodi numerici per l acustica 18 Cap. 4 Acustica geometrica

19 Distribuzione temporale delle riflessioni (6) Il numero medio di riflessioni al secondo <n> può essere calcolato facilmente per una stanza rettangolare di dimensioni L x, L y e L z. β x n x ( β ) = x L x Un raggio che forma un angolo β x con l asse x, attraversa in un secondo un numero n x di pareti immagine perpendicolari all asse x pari a: c L x cosβ Metodi numerici per l acustica 19 Cap. 4 Acustica geometrica x

20 Distribuzione temporale delle riflessioni (7) Estendendo alle tre dimensioni si ha: n ( β, β, β ) = n + n + x y z x y n z Quindi si può dire che ogni raggio sarà caratterizzato da uno specifico valore del fattore di smorzamento. Nell ipotesi che non ci siano direzioni privilegiate, l espressione di n può essere mediata su tutte le direzioni. In particolare per la x si trova: n x c ( βx) = cosβ x = L e analogamente per le altre direzioni. x c 2L x Metodi numerici per l acustica 20 Cap. 4 Acustica geometrica

21 Distribuzione temporale delle riflessioni (8) Si ha quindi: n = c cs + + = Lx Ly L z 4V dove S e V sono l area totale delle pareti e il volume della stanza rispettivamente. L espressione finale dell energia media è: 4mV S ln(1 α ) ct E( t) = E e 4V 0 e può essere usata per calcolare il tempo di riverbero T R. Metodi numerici per l acustica 21 Cap. 4 Acustica geometrica

22 Distribuzione temporale delle riflessioni (9) Si ricava il tempo di riverbero come l istante in cui l energia si riduce di un milionesimo rispetto al suo valore iniziale: ct R 4mV S ln(1 α ) 4V 6 E( T ) = E e = 10 E R 0 0 T R = 1 c 24V ln10 4mV S ln(1 α) Metodi numerici per l acustica 22 Cap. 4 Acustica geometrica

23 Distribuzione temporale delle riflessioni (10) Inserendo il valore della velocità dell aria (340 m/s): T R = 0,163 4mV V S ln(1 α) La formula trovata descrive la dipendenza del tempo di riverbero dalle caratteristiche geometriche della stanza e dall attenuazione delle pareti ed è probabilmente la più importante dell acustica in ambienti chiusi. Metodi numerici per l acustica 23 Cap. 4 Acustica geometrica

24 Distribuzione temporale delle riflessioni (11) Se il coefficiente di assorbimento non è costante ma varia da parete a parete, se ne può considerare il valore medio: T R = 0,163 4mV V S ln(1 α ) in cui α = 1 αis i. S i In pratica è usuale assumere α <<1. In tal caso: 2 3 α α ln(1 α ) = α α e quindi: T V =,163 R 4mV + Sα 2 Formula di Eyring Metodi numerici per l acustica 24 Cap. 4 Acustica geometrica 3 0 Formula di Sabine

25 Distribuzione temporale delle riflessioni (12) La legge esponenziale che descrive il decadimento dell energia non è sempre rispettata nella pratica. Un esempio è quello di una riflessione che arriva con un ritardo e un energia significativi. Tale situazione si può verificare quando si ha una riflessione di raggi da parte di zone concave lontane. Un altra condizione sfavorevole è quella di un gruppo di riflessioni concentrate in un limitato intervallo temporale, che a causa della limitata capacità risolutiva dell apparato uditivo possono essere percepite come una singola riflessione di elevata intensità. Metodi numerici per l acustica 25 Cap. 4 Acustica geometrica

26 Distribuzione temporale delle riflessioni (13) OSSERVAZIONI Particolarmente fastidiose dal punto di vista percettivo sono le riflessioni periodiche o quasi periodiche. Se il periodo è dell ordine di qualche millisecondo, tali componenti periodiche sono percepite come una colorazione del riverbero e cambiano le caratteristiche spettrali di musica e parlato. Se invece il periodo è più elevato ( ms) anche la struttura temporale diviene udibile. Tale situazione si verifica per esempio quando il suono subisce riflessioni multiple tra pareti parallele (per esempio un lungo corridoio con le pareti terminali rigide ma soffitto e pavimento molto assorbenti, o anche in ambienti irregolari per particolari posizioni di sorgente e ricevitore). Metodi numerici per l acustica 26 Cap. 4 Acustica geometrica

27 Metodo delle sorgenti immagine (1) Si tratta di un metodo antico, la cui applicazione pratica è stata resa possibile dall uso del calcolatore. La sua principale limitazione è il controllo di visibilità (o di udibilità ) delle sorgenti. A 1 A 12 1 A 21 A A 2 B 2 La sorgente del secondo ordine A 12 rappresenta il contributo nel punto B del raggio riflesso prima dalla parete 1 e poi dalla parete 2. Invece la sorgente A 21 non è udibile, in quanto la retta che la congiunge con B non interseca la parete1. Metodi numerici per l acustica 27 Cap. 4 Acustica geometrica

28 Metodo delle sorgenti immagine (2) Purtroppo la maggior parte delle immagini non è valida. Esempio Si consideri una stanza con S=3600 m 2 e V=12000 m 3. In base alla relazione: cs n = 4V il numero medio di riflessioni al secondo per ogni raggio è 25,5. Se si vogliono calcolare i primi 400ms della risposta impulsiva, allora bisogna costruire le sorgenti immagine almeno fino al 10 ordine. La relazione: i0 ( N 1) 1 N( i0 ) = N N 2 fornisce 1,46x10 7 immagini. Se la stanza è rettangolare, la formula corretta è: 2 N( i0 ) = 4i0 + 2 che fornisce solamente 402 immagini. Metodi numerici per l acustica 28 Cap. 4 Acustica geometrica

29 Metodo delle sorgenti immagine (3) La risposta impulsiva energetica può essere calcolata sommando i contributi di tutte le sorgenti. Nell ipotesi che la sorgente emetta un impulso δ di potenza P nell istante t =0, il contributo alla densità di energia di un immagine di ordine i sarà: P 2 4πcr m m m 1 1 i ρ m 1 ρ m r ρ m δ t i m m m in cui si sono indicati con m 1, m 2,, m i i numeri delle pareti coinvolte dal raggio, ρ k =1-α k i coefficienti di riflessione e r m la distanza dell immagine dal punto di ricezione. 1m2 mk c i Metodi numerici per l acustica 29 Cap. 4 Acustica geometrica

30 Metodo delle sorgenti immagine (4) In particolare, il metodo delle immagini consente di tenere conto facilmente della dipendenza dalla frequenza del coefficiente di riflessione. Se infatti interessa calcolare la risposta impulsiva in termini di pressione sonora, supponendo che la sorgente emetta un impulso di pressione Aδ (t-r 0 /c) alla distanza r 0, il contributo dell immagine di ordine i sarà: r ( ) = 0 m 1m1m i g t A r t r t r t t r p ( ) m ( ) m ( ) m m m m ( ) δ 1 1 i 1 2 i m m m c 1 1 i in cui r m (t) rappresenta la risposta di riflessione della k- k esima parete ed è l antitrasformata di Fourier del coefficiente di riflessione (complesso) R m (f ). k Metodi numerici per l acustica 30 Cap. 4 Acustica geometrica r

31 Metodo delle sorgenti immagine (5) La trasformata di Fourier di g p (t) sarà: ( G ) ( f ) A R ( f ) R ( f ) R ( f )exp( 2 jfr ) 0 = π p m m m 1 1 i r r m m m 1 1 i m 1 m 2 mi m1m 1 In pratica il metodo delle sorgenti immagine viene usato per modellare soprattutto la prima parte della risposta impulsiva (cioè limitando opportunamente l ordine massimo delle immagini da costruire). m i Metodi numerici per l acustica 31 Cap. 4 Acustica geometrica

32 Metodo delle sorgenti immagine (6) SOMMARIO DEL METODO DELLE IMMAGINI Il metodo delle immagini si basa sulle seguenti assunzioni: 1. validità dell ipotesi dell acustica geometrica 2. riflessioni speculari sulle pareti 3. ad ogni riflessione speculare si associa una sorgente immagine 4. ogni sorgente emette fronti d onda sferici 5. la propagazione dei fronti d onda è rappresentata da raggi 6. l intensità sonora ricevuta è uguale a quella emessa dalla sorgente ridotta per effetto a- della divergenza geometrica ( 1/r 2 ) b- dell assorbimento delle pareti α c- dell attenuazione in aria m Metodi numerici per l acustica 32 Cap. 4 Acustica geometrica

33 Metodo delle sorgenti immagine (7) Il calcolo dell intensità sonora in un punto si effettua a partire dalla formula: WQ I = 2 4πr in cui W è la potenza emessa dalla sorgente, Q è la sua direttività e r è la distanza. Supponendo in generale che ci siano N 0 sorgenti reali e indicando con L 0 il massimo ordine di riflessione e con K il numero di pareti colpite dal generico raggio, si ottiene: I = N L 0 0 n= 1 l= 0 e mr nl WnQ 4πr n 2 nl K k= 0 (1 α ) k Metodi numerici per l acustica 33 Cap. 4 Acustica geometrica

34 Metodo delle sorgenti immagine (8) La costruzione geometrica delle immagini prosegue fino a quando l ordine di riflessione ha raggiunto un valore massimo prefissato o l intensità sonora scende al di sotto di una soglia. L algoritmo di calcolo per ogni sorgente, ogni ricevitore, ogni superficie e ogni ordine di riflessione deve verificare che: 1. la sorgente e il ricevitore siano interni all ambiente; 2. il punto di riflessione appartenga alla superficie di riflessione (primo criterio di visibilità); 3. il raggio non sia interrotto da una superficie non coinvolta dalla riflessione (primo criterio di visibilità). Metodi numerici per l acustica 34 Cap. 4 Acustica geometrica

35 Metodo delle sorgenti immagine (9) CONSIDERAZIONI PER L IMPLEMENTAZIONE 1. La risposta impulsiva viene costruita come un istogramma degli impulsi ricevuti. La larghezza di ogni sottointervallo ( bin ) dell istogramma corrisponde al periodo di campionamento adottato, che dipende dalla massima frequenza del segnale. Ciò significa che tutte le immagini nell intervallo da N R a (N+1) R vengono sommate e rappresentate nello stesso intervallo T. 2. La scelta della frequenza di campionamento f s dipende dall applicazione. Se il segnale è la voce in stanze piccole si può scegliere ad esempio f s = 10 khz. In ambienti grandi possono essere usate frequenze più basse (se non interessa la voce). Metodi numerici per l acustica 35 Cap. 4 Acustica geometrica

36 Metodo delle sorgenti immagine (10) 3. Un altro aspetto riguarda la lunghezza N della risposta impulsiva. Fissata la frequenza di campionamento f s, il tempo di calcolo (e il numero di immagini) aumenta approssimativamente con la terza potenza di N. Per esempio per una stanza di 3,3x4,9x4,1 m e f s = 8kHz si ottiene la seguente tabella: Lunghezza (ms) Num. di punti Num. di immagini Metodi numerici per l acustica 36 Cap. 4 Acustica geometrica

37 Metodo delle sorgenti immagine (11) 4. La presenza di una componente continua in frequenza (fisicamente non ammissibile) viene in genere rimossa mediante un filtro passa alto. 5. Il campionamento origina errori nei tempi di ritardo calcolati. La rilevanza di questi errori dipende dall applicazione specifica considerata. 6. La parte computazionalmente più onerosa è quella relativa al controllo di visibilità delle sorgenti. Concludendo, il metodo delle immagini è utile soprattutto per ecogrammi brevi e ad elevata risoluzione temporale, in ambienti con poche pareti e di geometria molto semplice (parallelepipedi). Metodi numerici per l acustica 37 Cap. 4 Acustica geometrica

38 Metodo del ray tracing (1) Nel ray tracing si suppone che la sorgente sonora emetta delle particelle, ciascuna delle quali si muove nello spazio con una traiettoria rettilinea alla velocità del suono fino a incontrare la prima parete. Il punto della prima riflessione viene individuato calcolando l intersezione della traiettoria con i piani che contengono le pareti e selezionando il più vicino. Se tale intersezione appartiene ad una parete, allora è il punto di riflessione. Dopo la prima riflessione la particella continua secondo la sua nuova traiettoria fino alla prossima parete. Metodi numerici per l acustica 38 Cap. 4 Acustica geometrica

39 Metodo del ray tracing (2) N.B. La riflessione può essere speculare o diffusa. Nel primo caso si applica la legge della riflessione geometrica. Nel secondo si introduce una distribuzione probabilistica delle particelle riflesse. L assorbimento delle pareti viene rappresentato in due modi: 1. l energia trasportata dalla particella viene ridotta di un fattore 1-α ad ogni riflessione; 2. si usa α come una probabilità di assorbimento. Quando l energia della particella scende sotto una soglia prefissata o quando la particella viene assorbita, si considera un altra particella. Metodi numerici per l acustica 39 Cap. 4 Acustica geometrica

40 Metodo del ray tracing (3) Il risultato viene raccolto tramite dei contatori di superficie o di volume predefiniti. Quando una particella attraversa uno di questi contatori, la sua energia e il tempo di attraversamento (ed eventualmente la direzione di provenienza) vengono memorizzati. Al termine della procedura, viene costruito un istogramma nel quale viene rappresentata per ogni intervallo di tempo T l energia di tutte le particelle che attraversano il contatore. La scelta di T è particolarmente critica; in pratica dovrebbe essere di circa 5-10 ms (risoluzione dell apparato uditivo umano). Metodi numerici per l acustica 40 Cap. 4 Acustica geometrica

41 Metodo del ray tracing (4) In pratica le assunzioni sono le seguenti: 1. validità dell ipotesi dell acustica geometrica 2. riflessioni speculari sulle pareti 3. l energia viene quantizzata in un numero finito di particelle sonore 4. i raggi sonori emessi dalla sorgente si propagano secondo le leggi dell acustica geometrica e hanno idealmente sezione infinitesima e costante 5. la divergenza dell energia sonora corrisponde alla divergenza dei raggi 6. i raggi perdono energia per effetto b- dell assorbimento delle pareti α c- dell attenuazione in aria m 7. in ricezione si sommano i quanti di energia sonora Metodi numerici per l acustica 41 Cap. 4 Acustica geometrica

42 Metodo del ray tracing (5) Ogni sorgente viene caratterizzata dal numero di raggi emessi e dalla potenza sonora e la direzione di ciascuno di essi. In particolare la generazione dei raggi può essere: 1. deterministica: le direzioni di emissione sono determinate dai vettori posizione di una sfera unitaria centrata nella sorgente secondo una regola geometrica di partizione. 2. statistica: i vettori di direzione sono determinati in base ad una regola statistica, in modo da assicurare la copertura uniforme della sfera. N.B. La generazione deterministica non è riutilizzabile se si varia il numero dei raggi. Metodi numerici per l acustica 42 Cap. 4 Acustica geometrica

43 Metodo del ray tracing (6) La potenza associata a ciascun raggio corrisponde alla potenza emessa dalla sorgente e alla direttività, divisa per il numero totale di raggi. Il ricevitore non può essere puntiforme, perché in tal caso la probabilità di captazione sarebbe nulla. Si usano quindi volumi finiti, in genere di forma sferica, posizionati in corrispondenza dei ricevitori. Metodi numerici per l acustica 43 Cap. 4 Acustica geometrica

44 Metodo del ray tracing (7) La potenza sonora che raggiunge l m-esimo ricevitore nel generico intervallo di tempo T è la somma delle potenze trasportate da ciascun raggio: W m = WQ J 0 J m d D jm j= 1 m l = 0 Metodi numerici per l acustica 44 Cap. 4 Acustica geometrica e m a r j L j j ( 1 α J 0 : numero totale di raggi J m : numero di raggi captati dall m-esimo ricevitore d jm : lunghezza della corda intersezione tra il j-esimo raggio e l m-esima sfera ricevente D m : diametro dell m-esimo ricevitore r j : distanza percorsa dal raggio L j : ordine massimo di riflessione α l : coefficiente di assorbimento della l-esima parete j l j )

45 Metodo del ray tracing (8) Affinchè il metodo fornisca risultati statisticamente stabili, è necessario generare un numero elevato di raggi e usare ricevitori sufficientemente grandi. Per esempio, se il ricevitore è una sfera di raggio 1m, si dovrebbero generare raggi. Il generico raggio ha termine quando è verificata una delle seguenti condizioni: 1. la potenza trasportata ha raggiunto un valore minimo prefissato; 2. l ordine di riflessione ha raggiunto un valore massimo prefissato; 3. la lunghezza del raggio ha raggiunto un valore massimo prefissato; 4. il tempo di percorrenza ha raggiunto un valore massimo prefissato. Metodi numerici per l acustica 45 Cap. 4 Acustica geometrica

46 Metodo del ray tracing (9) Il ray tracing è un metodo diretto e statistico. In particolare, il metodo converge statisticamente all aumentare del numero di raggi. Si ha infatti che l errore relativo ε della densità di energia per una sfera ricevente che ha captato j m raggi è all incirca: ε 1 L algoritmo richiede che siano effettuati i seguenti controlli: 1. i raggi devono colpire la parte interna delle pareti; 2. i raggi devono viaggiare davanti alle pareti; 3. i punti di riflessione devono appartenere alle pareti; 4. ogni raggio deve seguire il minimo percorso. j m Metodi numerici per l acustica 46 Cap. 4 Acustica geometrica

47 Metodo del ray tracing (10) Il costo computazionale del ray tracing aumenta linearmente con il numero di raggi e la loro durata. Ciò significa che si ha un rapporto costante tra lunghezza degli ecogrammi e tempo di calcolo. La parte più onerosa del metodo è la rappresentazione delle caratteristiche geometriche e fisiche (dimensioni della stanza, posizioni di sorgenti e ricevitori, caratteristiche di riflettività delle pareti, ). Infine, è possibile rappresentare la diffusione del campo sonoro inserendo una distribuzione di tipo statistico dell angolo di riflessione del raggio. Metodi numerici per l acustica 47 Cap. 4 Acustica geometrica

48 Confronto tra metodo delle immagini e ray tracing (1) La limitazione principale del metodo delle immagini è il test di visibilità, che deve essere effettuato dopo la costruzione di tutte le sorgenti immagine. La limitazione principale del ray tracing è la mancanza di una regola per la scelta del numero di raggi e la dimensione del ricevitore. In particolare la dimensione dei ricevitori è un fattore critico e origina errori sistematici di tre tipi: 1. errori di captazione multipla: il numero di raggi captati dipende dalla posizione reciproca di sorgente e ricevitore captazione multipla Metodi numerici per l acustica 48 Cap. 4 Acustica geometrica

49 Confronto tra metodo delle immagini e ray tracing (2) 2. errori di captazione variabile: un piccolo spostamento del ricevitore causa una notevole variazione dell energia ricevuta. 3. errori di captazione non valida: un piccolo spostamento del ricevitore causa una notevole variazione dell energia ricevuta. captazione variabile Questi errori possono essere minimizzati ad esempio scegliendo il raggio del ricevitore in base alla relazione: captazione geometricamente non valida L* = cammino massimo dei raggi rm = L* 2π J 0 Tale relazione a parità di cammino massimo e numero di raggi emessi garantisce una percentuale di captazione superiore al 99%. Metodi numerici per l acustica 49 Cap. 4 Acustica geometrica

50 Confronto tra metodo delle immagini e ray tracing (3) Il confronto tra i due metodi deve tenere conto di due fattori: tempo di calcolo e precisione raggiungibile. Questi fattori possono essere espressi in funzione del numero massimo di riflessioni. Nella pratica il metodo delle immagini risulta più veloce quando il numero di riflessioni è basso e la precisione richiesta è ridotta (±2 db). Nel caso invece di numero elevato di pareti e/o riflessioni e di assorbimento delle pareti non elevato conviene utilizzare il ray tracing, che fornisce tempi di calcolo e precisione comunque soddisfacenti. Metodi numerici per l acustica 50 Cap. 4 Acustica geometrica

51 Confronto tra metodo delle immagini e ray tracing (4) Per quanto riguarda le possibilità di sviluppo dei due metodi, il ray tracing è sicuramente più flessibile. Proprietà Superfici curve Riflessione diffusa Schermi Diffrazione Rifrazione Metodo immagini NO NO Con poche riflessioni NO NO Ray tracing Con geometria semplificata SI Con difficoltà Con difficoltà SI Metodi numerici per l acustica 51 Cap. 4 Acustica geometrica

52 Metodi ibridi (1) Le limitazioni dei metodi considerati ha portato allo sviluppo di metodi ibridi, che ne combinano le caratteristiche migliori. Un esempio di metodo ibrido è quello utilizzato dal software ODEON, in cui si introduce il concetto di sorgente secondaria. In questo metodo le riflessioni di ordine basso (early reflections) vengono modellate mediante il metodo delle immagini, mentre la coda del riverbero (dovuta alle riflessioni successive o late reflections) mediante sorgenti secondarie posizionate sulle pareti nei punti delle ultime riflessioni. Le sorgenti secondarie sono a tutti gli effetti delle nuove sorgenti. Metodi numerici per l acustica 52 Cap. 4 Acustica geometrica

53 Metodi ibridi (2) S 12 S S 1 R sorgenti secondarie Nell esempio si applica il metodo delle immagini per le riflessioni fino al secondo ordine. Oltre il secondo ordine ogni raggio genera sorgenti secondarie indipendenti che (se visibili) contribuiscono al campo sonoro nel ricevitore R. Metodi numerici per l acustica 53 Cap. 4 Acustica geometrica

54 Metodi ibridi (3) Un altro metodo ibrido è il cosiddetto metodo dei coni (o cone tracing). S S In questo metodo ad un fascio di raggi uscenti dalla sorgente si sostituisce un cono avente come asse uno dei raggi. Dopo ogni riflessione il vertice del cono coincide con una sorgente virtuale. Se un punto di ricezione appartiene al cono tra due riflessioni successive, allora la corrispondente sorgente immagine è potenzialmente visibile e se ne considera il contributo al campo sonoro totale. Metodi numerici per l acustica 54 Cap. 4 Acustica geometrica

55 Metodi ibridi (4) Il metodo dei coni è sostanzialmente basato sul modello delle sorgenti virtuali, ma ha la velocità tipica del ray tracing ed elimina le incertezze dovute al carattere statistico dei raggi. I coni vengono parzialmente sovrapposti, senza lasciare spazi vuoti, con il rischio però di considerare più volte lo stesso cammino sorgente-ricevitore (necessità di controlli). In pratica si usano solo le prime riflessioni. Anche il metodo dei coni soffre degli errori di captazione, che sono dovuti essenzialmente alla brusca transizione tra zone di visibilità e zone d ombra. Metodi numerici per l acustica 55 Cap. 4 Acustica geometrica

56 Metodi ibridi (5) Il metodo dei fasci (beam tracing) pesa l energia associata al fronte del cono secondo una certa funzione di distribuzione, risolvendo così i problemi della sovrapposizione tra i coni e delle individuazioni multiple. Tipicamente si usa una distribuzione di tipo gaussiano. Altri metodi si basano sulla generazione di fasci a partire da partizioni opportune di una superficie sferica (per esempio il metodo delle piramidi, o pyramid tracing). Metodi numerici per l acustica 56 Cap. 4 Acustica geometrica

57 Metodi ibridi (6) Strategie opportune vengono sviluppate per modellare la coda della risposta impulsiva, per la quale i contributi dei singoli fasci non sono più distinguibili. In tal caso l approccio puramente geometrico non è più sufficiente. Una possibile soluzione utilizza il beam tracing per le prime riflessioni, mentre la coda viene valutata con un modello staistico. La transizione tra i due metodi avviene in base all ordine di riflessione. Metodi numerici per l acustica 57 Cap. 4 Acustica geometrica

58 Metodi ibridi (7) DIFFUSIONE Il problema dell inclusione della diffusione nei metodi di beam tracing è tuttora non completamente risolto. Idealmente in corrispondenza della riflessione ogni fascio dovrebbe generare un insieme di fasci secondari (split up), distribuiti secondo il modello statistico adottato per la diffusione. Ciò però comporta un aumento esponenziale del tempo di calcolo. Esistono diverse soluzioni basate per esempio sulla discretizzazione della superficie riflettente o su meccanismi adattativi di suddivisione dei fasci (adaptive beam tracing). Metodi numerici per l acustica 58 Cap. 4 Acustica geometrica

59 Auralizzazione (1) Il termine auralizzazione è stato introdotto (in analogia a visualizzazione) per indicare tutte le tecniche che hanno lo scopo di ricostruire o simulare la percezione uditiva tipica degli ambienti chiusi. Modello della stanza Segnale registrato in camera anecoica Filtraggio numerico Il simulatore deve produrre un segnale di uscita binaurale, in modo da creare un effetto realistico nell ascoltatore. cross talk stanza anecoica Metodi numerici per l acustica 59 Cap. 4 Acustica geometrica

60 Auralizzazione (2) CROSS-TALK Il cross-talk consiste nel fatto che il segnale emesso da un altoparlante viene ricevuto anche dall orecchio opposto. Si deve usare allora un sistema di cancellazione ( cross-talk cancellation ) basato sull uso di filtri numerici. Filtro Filtro Filtro Filtro Metodi numerici per l acustica 60 Cap. 4 Acustica geometrica

61 Auralizzazione (3) Le risposte impulsive generate ad esempio con il metodo delle immagini possono essere utilizzate per l auralizzazione: r ( ) = 0 m 1m1m i g t A r t r t r t t r p ( ) m ( ) m ( ) m m m m ( ) δ 1 1 i 1 2 i m m m c 1 1 i E necessario rendere le risposte impulsive binaurali introducendo le funzioni di trasferimento della testa o HRTF (Head -related Transfer Function), rispettivamente per l orecchio sinistro e destro: L( R( 1 F f, ϕ, ϑ) l( t, ϕ, ϑ) 1 F f, ϕ, ϑ) r( t, ϕ, ϑ) Le HRTF si possono ottenere mediante misurazioni su una testa artificiale, cioè un manichino con due microfoni posti all ingresso dei canali uditivi. r Metodi numerici per l acustica 61 Cap. 4 Acustica geometrica

62 Auralizzazione (4) Le risposte impulsive binaurali saranno: ( g ) ( t) = ( g ) pl 1 ( t) l( t, ϕ, ϑ) ( g ) ( t) = ( g ) ( t) r( t, ϕ, ϑ) pr m m hm i m m hm i p p m m hm i m m hm N.B. Solitamente la simulazione della stanza produce un insieme di risposte impulsive energetiche, una per ogni banda di frequenza (per esempio bande di ottava). Se si indica con E(f i, t k ) il contributo energetico nella banda centrata intorno a f i nel k-esimo intervallo temporale, tale funzione può essere interpretata come uno spettro a breve termine. i Metodi numerici per l acustica 62 Cap. 4 Acustica geometrica

63 Auralizzazione (5) Mediante una operazione di media temporale si ottiene una funzione stazionaria in frequenza E k (f). Tale funzione può essere utilizzata per costruire la funzione di trasmissione in pressione G k (f) mediante l introduzione di una opportuna fase: G k ( ) ( ) jψk ( f ) f = E f e k La scelta della fase non è particolarmente critica perché le fasi nella propagazione sono casuali. Qualunque funzione random dispari (Ψ k (f)= -Ψ k (-f) ) può essere usata, a patto che il sistema risulti causale. Una possibilità è quella di considerare la funzione a fase minima ottenuta da E k (f) tramite la trasformata di Hilbert. Metodi numerici per l acustica 63 Cap. 4 Acustica geometrica

64 Riverberatori artificiali (1) Una applicazione di particolare interesse riguarda la possibilità di variare il tempo di riverbero di una stanza senza intervenire sulla sua geometria. Nel caso della diffusione della voce in un ambiente particolarmente riverberante, ai fini della sua intelleggibilità è solitamente sufficiente una opportuna disposizione degli altoparlanti e l eliminazione delle componenti a bassa frequenza. Se invece interessa la diffusione del segnale musicale, si richiedono dei tempi di riverbero elevati e quindi in genere volumi elevati. Se l ambiente non ha il volume richiesto, si può ricorrere a sistemi di rinforzo del segnale. Metodi numerici per l acustica 64 Cap. 4 Acustica geometrica

65 Riverberatori artificiali (2) riverberatore microfoni orchestra I suoni prodotti dall orchestra vengono prelevati tramite microfoni, elaborati dal riverberatore e riemessi nell ambiente tramite altoparlanti. In particolare un requisito importante è l incoerenza dei segnali in uscita dal riverberatore. Altri requisiti importanti (ma meno critici) sono naturalmente la posizione e il numero degli altoparlanti. In particolare gli altoparlanti dovranno essere lontani dagli ascoltatori, per evitare che uno di essi venga percepito più degli altri. Inoltre si dovranno evitare anelli di reazione tra microfoni e altoparlanti. Metodi numerici per l acustica 65 Cap. 4 Acustica geometrica

66 Riverberatori artificiali (3) Il riverbero può essere creato utilizzando un filtro numerico con una linea di ritardo in modo ricorsivo (filtri a pettine o comb ). x[n] + y[n] g N 0 1 = 1 gz Risposta in frequenza per N0=10 e g = 0,5. ( ) N0 H z Metodi numerici per l acustica 66 Cap. 4 Acustica geometrica

67 Riverberatori artificiali (4) Per avere un tempo di riverbero realistico il valore di g deve essere abbastanza vicino a 1 oppure N 0 deve essere elevato. Nel primo caso il riverberatore produce suoni colorati a causa della presenza di picchi e nulli nella sua risposta in frequenza. Segnale originario N 0 =10, g = 0,5. N 0 =10, g = 0,9. Nel secondo caso la successione regolare di riflessioni è percepita come un eco di tipo flutter. N 0 =30, g = 0,5. N 0 =100, g = 0,5. N 0 =500, g = 0,5. N 0 =500, g = 0,9. Metodi numerici per l acustica 67 Cap. 4 Acustica geometrica

68 Riverberatori artificiali (5) La qualità del riverberatore può essere migliorata imponendo che abbia caratteristiche passatutto. x[n] g 2 + y[n] g N 0 H( f ) 1 1 gz = N g 2 Risposta in frequenza per N 0 =10 e g = 0,5. N 0 =500, g = 0,9. Metodi numerici per l acustica 68 Cap. 4 Acustica geometrica

69 Riverberatori artificiali (6) Il sistema non è ancora del tutto soddisfacente, perché l orecchio umano è sensibile anche alla struttura temporale del segnale (non realizza semplicemente una trasformata di Fourier nel senso matematico). Si usano allora combinazioni di filtri a pettine e passatutto. Filtro a pettine T=45 ms Filtro a pettine T=41 ms Passa tutto Passa tutto ms 1,7 ms Filtro a pettine T=37 ms Filtro a pettine T=31 ms g Metodi numerici per l acustica 69 Cap. 4 Acustica geometrica

70 Riverberatori artificiali (7) Un metodo alternativo per generare la risposta di un ambiente chiuso consiste nel riprodurre l intero campo sonoro per mezzo di altoparlanti, sfruttando il principio di Huygens (tecnica di wavefront synthesis). orchestra I suoni vengono prelevati tramite microfoni (in genere di tipo direzionale). In frequenza, il segnale nel punto r m acquisito dal microfono posizionato in r m sarà: M ( ' ) ( ' r, ω = W r, r ) S( r,ω) m m m m Metodi numerici per l acustica 70 Cap. 4 Acustica geometrica

71 Riverberatori artificiali (8) Nella formula precedente la funzione W rappresenta la propagazione di un onda sferica da r m a r m : W ( ' ) jωτ r, r = = Ae m m e jk r r m Metodi numerici per l acustica 71 Cap. 4 Acustica geometrica m r r I segnali microfonici vengono trasmessi dagli altoparlanti dopo la compensazione di W e l introduzione della funzione di propagazione tra sorgente e il generico altoparlante. Il segnale complessivo emesso dall altoparlante posizionato nel punto r n sarà (si suppongono M sorgenti): P M ( ) 1( ', ) (, ) ( ' r = W r r W r r M r,ω) n m= 1 m m ' m ' m m n m

72 Riverberatori artificiali (9) La sintesi del campo sonoro sarà corretta se gli altoparlanti saranno sufficientemente vicini (dipoli). Solitamente saranno disposti su di una linea orizzontale (la capacità dell apparato uditivo umano di localizzare sorgenti sonore lungo direzioni verticali è piuttosto limitata). Lo stesso sistema può essere utilizzato per migliorare il bilanciamento tra le diverse sorgenti sonore (per esempio cantanti e orchestra), lasciando invariata la loro naturale localizzazione. Naturalmente se le riflessioni vengono trascurate, il sistema è efficace solo per bassi valori del tempo di riverbero. In caso contrario è necessario tenerne conto esplicitamente. Metodi numerici per l acustica 72 Cap. 4 Acustica geometrica

73 Riverberatori artificiali (10) Per tenere conto delle riflessioni si possono per esempio costruire le immagini delle sorgenti sonore reali e aggiungere il loro contributo nel segnale emesso da ciascun altoparlante. Tuttavia la soluzione più interessante è quella di costruire le immagini non rispetto all ambiente reale ma rispetto ad un ambiente virtuale di cui si vogliono riprodurre le caratteristiche sonore. Nella pratica si dispongono gli altoparlanti lungo le pareti laterali e si tiene conto solo delle immagini dalla parte corrispondente. Metodi numerici per l acustica 73 Cap. 4 Acustica geometrica

74 Riverberatori artificiali (11) Indicando con r m (k) e B m (k) rispettivamente posizione e contributo della generica immagine, allora la funzione di propagazione W assumerà la forma: W ( ) (1) ( (1) ) (2),, ( (2) r r B W r r + B W r, r ) +... m n + m m n m m n Il segnale emesso dall altoparlante posizionato in r n sarà: P M rn m n m= 1 k ( ) ( ) ( k) ( ( k) = W r, r + B W r, r ) S( r,ω) I coefficienti B m (k) dipendono dall assorbimento da parte delle pareti e consentono quindi di controllare il livello di riverbero complessivo. Metodi numerici per l acustica 74 Cap. 4 Acustica geometrica m m n m

75 Riverberatori artificiali (12) Gli schemi considerati fino a questo punto utilizzano dei riverberatori esterni all ambiente. In alternativa il tempo di riverbero può essere aumentato utilizzando gli stessi percorsi sonori interni all ambiente. q i i G ik q k k S Nel sistema multicanale in figura il segnale di ogni microfono viene restituito al corrispondente altoparlante alterato per un fattore di guadagno q i. Si introduce così una controreazione, che deve essere accuratamente controllata. i k Metodi numerici per l acustica 75 Cap. 4 Acustica geometrica

76 Riverberatori artificiali (13) Lo spettro del segnale ricevuto dal k-esimo microfono è: S N ( ω) S ( ω) + q G ( ω) S ( ω) ( k 1,..., ) = k 0 i ik i = N i= 1 in cui S 0 è lo spettro emesso dalla sorgente e G ik è la funzione di trasferimento della stanza tra l i-esimo altoparlante e il k- esimo microfono. Si è ottenuto un sistema lineare di N equazioni in N incognite, che può essere risolto per trovare le quantità S k (ω). N.B. I microfoni vengono posizionati ad una distanza maggiore della distanza di riverbero di ciascun altoparlante. Metodi numerici per l acustica 76 Cap. 4 Acustica geometrica

77 Riverberatori artificiali (14) Per semplicità si può supporre di considerare (invece che gli spettri) le energie medie in un piccolo intervallo di frequenze, trascurando le relazioni di fase (ipotesi accettabile se N>>1). Ciò corrisponde a usare nella formula le quantità reali s k, s 0 e g ik. Si può inoltre assumere g ik = g per ogni i e k e che i guadagni degli amplificatori siano costanti. In tal caso si ottiene: s s s 0 ( k 1,..., ) 2 1 Nq g N k = = = Il rapporto s/s 0 rappresenta l aumento dell energia ricevuta dal generico microfono. Sotto opportune ipotesi, tale rapporto è proporzionale al rapporto tra i tempi di riverbero con e senza il sistema descritto: T / T' = 1/ ( 2 1 Nq g) Metodi numerici per l acustica 77 Cap. 4 Acustica geometrica

78 Riverberatori artificiali (15) In realtà calcoli più precisi hanno dimostrato che la formula precedente fornisce un guadagno più elevato di quello effettivo (con 100 altoparlanti si ha un aumento del 50% del tempo di riverbero, nell ipotesi di guadagni di canale di 3dB al di sotto del limite di instabilità). I guadagni q idealmente dovrebbero essere indipendenti dalla frequenza; questo richiede l utilizzo di equalizzatori adattati per ciascun microfono. In ogni caso rimane il problema di controllare N 2 canali tramite N guadagni e N equalizzatori. Un sistema di questo tipo è stato per esempio installato nella Concert House di Stoccolma (V=16000 m 3, 2000 posti, 54 microfoni, 104 altoparlanti, T R variabile tra 2,1s e 2,9s). Metodi numerici per l acustica 78 Cap. 4 Acustica geometrica