Fisica Generale L - Prof. M. Villa

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1 Fiica Generale L - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Edile, Tecnico del Territorio I parziale - 9 Maggio 007 Compito Eercizio 1: La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione ( ) co( ) ˆ in( ) ˆ ˆ 1 rt t t j tk ( m) con, t epreo in econdi ed r in metri. Determinare la velocità e l accelerazione ad ogni itante di tempo, la terna di verori intrineca ed il raggio di curvatura della traiettoria per t=0. Eercizio : Un punto materiale, inizialmente (per t=0 ) fermo, in x=0 è oggetto ad una t / accelerazione pari a at () x ao (1 e ) nell intervallo di tempo 0 t, con ao 0, 5 m/ e, e at () 0 per t. Determinare la legge del moto x() t e l itante in cui il punto raggiunge la poizione x=0 m. Eercizio : Un proiettile di maa M viene parato da fermo, con un alzo di 45, da un cannone poto u una altura che i eleva di h=0 m ripetto alla pianura circotante. Determinare: 1) il modulo v della velocità con cui i deve parare il proiettile affinché colpica un beraglio nella pianura e che dita orizzontalmente dal cannone di D=100 m; ) l angolo con cui il proiettile colpice il beraglio; ) il modulo della velocità del proiettile quando colpice il beraglio. Eercizio 4: Un emplice itema di ollevamento pei, utilizzato in alcuni canteri edili, è chematizzabile come una barra orizzontale di maa tracurabile, lunga l=4 m, fiata ad una uperficie verticale ad un etremo e otenuta da una fune ideale (C) tramite il punto centrale C della barra, come motrato in figura. Sapendo che il egmento è lungo l/, che il punto cotituice un vincolo puntuale ideale, che la barra otiene all altro etremo una maa M=70 kg, determinare la tenione nella fune C e la reazione vincolare in. C M 5) Coa è un vincolo? Co è una reazione vincolare? 6) Spiegare il primo principio della dinamica. 7) Un grave di maa M in caduta libera nell aria è ottopoto ad una forza di attrito la cui epreione è: F kv con v velocità del punto e k una cotante. Sapendo che la velocità di caduta raggiunge un valore limite cotante v L, determinare quali, tra le eguenti formule, è fiicamente accettabile per v L : a) v Mg/ k b) v Mk/ g c) v kg/ M d) v Mgk L L L L vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

2 Fiica Generale L - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Edile, Tecnico del Territorio I parziale - 9 Maggio 007 Compito Eercizio 1: La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione t / t () (1 ) ˆ / rt e e ˆjt/ k ˆ ( m) con t epreo in econdi, r in metri e 4. Determinare la velocità e l accelerazione ad ogni itante di tempo, la terna di verori intrineca ed il raggio di curvatura della traiettoria per t=0. Eercizio : Un punto materiale, inizialmente (per t=0 ) fermo in x=0, è oggetto ad una t accelerazione pari a at () xao 1 nell intervallo di tempo 0 t, con ao, 7 m/ e 1, e at () 0 per t. Determinare la legge del moto x() t e l itante in cui il punto raggiunge la poizione x=8 m. Eercizio : Una pallina inizialmente ferma viene laciata cadere in verticale da un altezza di 5 m e nello teo itante un altra pallina viene lanciata in alto partendo da terra otto la verticale dell altra. Se le due palline i incontrano ad un altezza di,5 m, qual è la velocità iniziale della econda pallina? Dopo quanto tempo i incontrano e che velocità hanno le due palline in quel momento? Eercizio 4: Una piatra quadrata di lato L=10 cm e maa M=0,5 kg è pota in un piano verticale come in figura ed è vincolata nell etremo. La piatra, libera di ruotare attorno ad un ae orizzontale paante per e perpendicolare al piano della piatra, è oggetta alla forza peo, che può eere penata applicata al centro del quadrato, ad una forza orizzontale F di 8 N applicata nell etremo e ad una terza forza verticale F D applicata nell etremo D. Calcolare: 1) la forza in D apendo che la piatra e in equilibrio tatico; ) la reazione vincolare in. F y F P C D F D x 5) Qual e l utilità dei modelli in fiica? Fare qualche eempio 6) Spiegare il econdo principio della dinamica. 7) Un dico di raggio R viene fatto rotolare u un piano inclinato. Sapendo che il dico parte da fermo ad una altezza h e che la velocità raggiunta alla fine del piano inclinato non dipende né da R né dalla maa del dico, determinare ulla bae delle dimenioni la relazione accettabile per la velocità finale del dico: a) v gh b) v g / h c) v g / h d) v gh vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

3 Fiica Generale L - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Edile, Tecnico del Territorio I parziale - 9 Maggio 007 Compito C Eercizio 1: La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione rt () tˆ t ˆ j tk ˆ ( m) con t epreo in econdi ed r in metri. Determinare la velocità e l accelerazione ad ogni itante di tempo, la terna di verori intrineca ed il raggio di curvatura della traiettoria per t=0. Eercizio : Un punto materiale inizialmente (per t=0 ) fermo in x=0 è oggetto ad una t accelerazione pari a at () xao (4 ) nell intervallo di tempo 0 t 4, con ao 0,5 m/ e 1, 5 e at () 0 per t. Determinare la legge del moto x( t ) e l itante in cui il punto raggiunge la poizione x=150 m. Eercizio : Un proiettile di maa M viene parato con una velocità iniziale v, ad un angolo ripetto ad un piano orizzontale. Sapendo che il proiettile colpice un punto ad una ditanza D poto ullo teo piano orizzontale. Determinare: 1) La relazione eitente tra v ed ; ) La velocità con cui il proiettile colpice il beraglio; ) l angolo che, a parità di velocità calare, permette di avere la maima ditanza D. Eercizio 4: Una barra ideale di maa tracurabile e appoggiata in orizzontale u due upporti come in figura. Sapendo che la ditanza tra i upporti è di L= m e che a L/ da un upporto è appea, tramite un filo inetenibile una maa M=1 kg, determinare le reazioni vincolari ui upporti (punti e ) nell ipotei che tutto il itema ia in equilibro tatico. C M 5) Spiegare l utilità del modello del punto materiale. 6) Spiegare il principio di relatività. 7) L elemento principale di un orologio a pendolo è chematizzabile come una barra di lunghezza L. Sapendo che il periodo del pendolo dipende olo da L e dall accelerazione di gravità g, determinare quale di quete relazioni può decrivere il periodo di un pendolo. g g L L a) T b) T c) T 4 d) T L L g g vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

4 Fiica Generale L - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Edile, Tecnico del Territorio I parziale - 9 Maggio 007 Compito D Eercizio 1: La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione ˆ rt () (1 t) ˆ t j( t) kˆ ( m) con t epreo in econdi ed r in metri. Determinare la velocità e l accelerazione ad ogni itante di tempo, la terna di verori intrineca ed il raggio di curvatura della traiettoria per t=0. Eercizio : Un punto materiale inizialmente (per t=0 ) fermo in x=0 è oggetto ad una t t accelerazione pari a at () xao nell intervallo di tempo 0 t, con ao 5,1 m/ e, e at ( ) 0 per t. Determinare la legge del moto x( t ) e l itante in cui il punto raggiunge la poizione x=80 m. Eercizio : In una gara ciclitica, i oerva un primo ciclita andare ad una velocità di v=11 m/. Un econdo ciclita i trovava inizialmente 16 m dietro il primo e, dopo aver percoro 500 m di trada rettilinea, i trova 16 m davanti al primo. Determinare la velocità media del econdo ciclita 1) ripetto al terreno e ) ripetto al primo ciclita. Eercizio 4: Una barretta di lunghezza L, maa e peore tracurabili, è appoggiata u di un piano y orizzontale licio (vedi figura), inizialmente ferma. Nel F x punto O è applicata una forza FO ki kj (dove k è una O cotante poitiva), mentre nel punto, ditante x =L/ da O, è applicata la forza F F kj. Determinare ia la ditanza O del punto di applicazione da O ia il valore della forza F che è neceario applicare affinché il itema reti fermo. Determinare inoltre le dimenioni di k. x 5) Enunciare e piegare le regole della tatica. 6) Spiegare le caratteritiche del moto armonico. 7) L accelerazione di gravità g è cotante olo per un oervatore inerziale. Un oervatore olidale con la terra e che ruota con ea miura una accelerazione di gravità inferiore. Sapendo che la differenza tra le due è dovuta olo al moto di rotazione della terra, determinare quali tra le eguenti formule è quella giuta può decrivere la differenza di gravità g per i due oervatori apendo che all equatore queta dipende olo dalla pulazione terretre e dal raggio R della Terra: a) g R b) g R c) g / R d) g R vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno due domande. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

5 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) I parziale - 19 febbraio Compito Soluzioni (da verificare) Eercizio 1: Date le forze F ˆ 1 = ˆ ι ˆj+ k, F ˆ ˆ = ˆ ι + j+ k e F ˆ ˆ ˆ = ι + j k, applicate tutte ul punto P(,-1,1), i calcoli la riultante delle forze e il momento del itema di forze ripetto al polo O(0,0,0). Soluzione 1: R = F = 4ˆ ι + ˆj+ kˆ, M = r F = r F = r R = 4ˆ ι + 8kˆ i i O i i P i P i i Eercizio : La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione rt () = 4 tˆ ι ( t + ) ˆj+ tkˆ ( m) con t epreo in econdi. Determinare la velocità e l accelerazione ad ogni itante di tempo ed il raggio di curvatura della traiettoria per t=. Per quali itanti di tempo il punto decelera (ha una accelerazione calare negativa)? Soluzione : ˆ ˆ ˆ () dr 8ˆ ( / ), () dv d r vt = = tι tj+ k m at = = = 8ˆ ι j ( m/ ) dt dt dt ccelerazione tangenziale (accelerazione calare): at = v() t i a()/ t v() t = 68/ t 68t + 4. Il punto decelera quando a t < 0, cioè per t<0 ed accelera per a t > 0, cioè quando t>0. Per t=, 16 vs = v( ) = 76 = 16,6 ( m/ ); a( t) = at + an = 68; at( ) = ; vs an( ) = a at = = = 0,99 m/ ; R= = 78 m a n Eercizio : Un proiettile di maa M viene parato da fermo da un cannone con un angolo α = 0 ripetto ad un piano orizzontale. Determinare: 1) il modulo v della velocità con cui i deve parare il proiettile affinché colpica un beraglio che dita orizzontalmente dal cannone di D=90 m e i trova ad una altezza D/4 ripetto al cannone; ) l angolo con cui il proiettile colpice il beraglio; ) il raggio di curvatura nel punto di maimo. Soluzione : Mettiamo un itema di riferimento con centro nel cannone e con l ae x orizzontale e l ae y verticale. Il proiettile parte dall origine ( r = x ˆ ι + y ˆj; x = 0, y = 0) con velocità data da: o o o o o v co ˆ in ˆ D o = v αι + v α j e deve paare per il punto dove c e il beraglio: r ˆ ˆ = Dι + j. Le 4 equazioni del moto in forma parametrica che tengono conto delle condizioni iniziali ( r, v ) ono: o o

6 xt () = tvcoα dove v è una incognita da trovare. Sapendo che il proiettile colpice il g yt () = tvinα t beraglio, imponiamo che la traiettoria pai per r. Si potrà coì trovare ia il tempo dell urto ( t ) che la velocità (v) necearia: xt ( /( co ) ) = D= tv coα t = D v α D g gd yt ( ) in v 59,9 m/ = = tv α t = = 4 co α(tanα 1/ 4) L angolo con cui il proiettile colpice il beraglio dipende dal vettore velocità nell itante dell urto: vx() t = vco α vx( t) = vcoα. L angolo cercato e l angolo formato dall ae x con vy() t = vin α gt vy( t) = vinα gt vy( t) il vettore velocità: tan β = β = 14. vx( t) vs vx Il raggio di curvatura nel punto di maimo è empre calcolabile come: R = 75 m a = n g =. E da notare che in queto cao, il proiettile colpice il beraglio con una velocità lungo y poitiva, cioè mentre ta ancora alendo. Il punto di maimo è raggiunto olo dopo l urto! Eercizio 4: Una fera di maa M= kg è appea otto un ponte tramite un filo ideale di lunghezza l=1,5 m. Sapendo che in un certo itante offia un vento parallelo al terreno e con una velocità v= m/, in grado di eercitare una forza F = kv ulla fera e che, in condizioni di equilibrio, il filo devia ripetto alla direzione verticale di un angolo θ = 10, determinare la tenione del filo e il coefficiente k della forza. Soluzione 4: Mettiamo un SR centrato ulla fera, con ae x orizzontale e ae y verticale, mei in modo che il filo tia nel piano xy. Sulla fera agicono tre forze: la forza peo, la forza del vento e la tenione. Se iamo in condizioni di equilibro i avrà: P + F + T = 0. Per il SR celto i ha: P= mgj ˆ, F = kvιˆ, T = T(coϑιˆ + in ϑˆj). Impotando l equilibrio delle forze i ha: ˆ ι : kv + T inϑ = 0 k = T in ϑ/ v = 1,7 kg / ˆ j: Mg+ Tcoϑ = 0 T = Mg/coϑ = 19,9N 5) Coa è un vincolo? Co è una reazione vincolare? Vincolo: limitazione al moto; reazione vincolare: forza che produce il vincolo al fine di ripettare la limitazione del moto. 6) Una barra di lunghezza L= m può eere utilizzata come un pendolo quando un etremo della barra è vincolato in un punto e l altro etremo è libero di ocillare. Il periodo di ocillazione dipende olo da L e dall accelerazione di gravità g. Determinare (motivandola) la relazione che lega quete quantità: g L L g a) T = π b) T = π c) T = π d) T = π L g g L Determinarne inoltre il valore. Ripota: c, T=1,64

7 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) I parziale - 19 febbraio Compito Soluzioni (da verificare) Eercizio 1: In un certo itante, un punto materiale è in moto lungo un arco di circonferenza. Sapendo che ripetto ad un certo SR, la velocità e l accelerazione valgono v = ˆ ι + ˆj kˆ ( m/ ) e ˆ a = ˆ ι + j ( m/ ), determinare la velocità calare, l accelerazione tangenziale, il raggio di curvatura della traiettoria e la normale al piano in cui avviene il moto. Soluzione 1: Velocità calare ed accelerazione tangenziale: v = v = 14 =,74 m/, a = vi a/ v = 7 / 14 = 1,87 m/ S t 1 vs Raggio: a = at + an = 10; an = a at = =,55 m/ ; R= = 5,49 m an 1 9 Normale al piano: d = v a = ˆ ι + ˆj+ 9 kˆ; uˆ = d / d = ˆ ι + ˆj+ kˆ b Eercizio : Una pallina viene laciata cadere in verticale da un altezza di 10 m e nello teo itante un altra pallina viene lanciata in alto partendo da terra otto la verticale dell altra. Se le due palline i incontrano ad un altezza di 5 m, qual è la velocità iniziale della econda pallina? che velocità hanno le due palline quando i incontrano? Soluzione : Conidero un SR con un ae y verticale e ae x orizzontale, con l origine a terra. La prima pallina parte da una quota pari ad h, con velocità nulla e i muove lungo l ae y. La econda i muove olo lungo y, parte da y=0 con una velocità incognita. Le eq. Del moto ono: g g y () t = h t e y () t = vt t. La prima pallina raggiunge la quota h/ ad un tempo dato da: 1 g y1( t ) = h t = h/ t = h/ g. La velocità iniziale della econda pallina è tale per cui allo teo itante è nel punto h/: () g g y t = vt t = h/ v= ( h/ + t )/ t = hg = 9,9 m/ Le due palline hanno velocità date ripettivamente da: v1 () t = gt = gh = 9,9 m/ e v () t = v gt = 0. Eercizio : Due punti materiali hanno vettori poizione ripettivamente pari a 1/ ˆ ˆ ˆ 1/ r1 = t / ι + t j tk ( m) e r ˆ ˆ ˆ = t ι + tj+ t / k ( m) in un dato itema di riferimento. Determinare i valori della velocità e dell accelerazione del econdo punto materiale al tempo t= in un itema di riferimento in cui il punto 1 è fermo. Soluzione : Si tratta di un problema di traformazioni tra itemi di riferimento. Vito che l unica richieta è che il punto 1 ia fermo, poiamo coniderare due SR di cui uno (quello fio S) e quello dato inizialmente e il econdo, quello mobile S, ha l origine nel punto 1 ed ai paralleli a quello S. In queto modo, i ottiene la piu emplice traformazione: il SR S e ottenuto tralando S nella poizione r O = r enza rotazione degli ai: 0 1 ω =. Poiamo quindi crivere: v = v v O' = v v 1 e a ' = a a O' = a a 1/ 1 v 1/, da cui: = ( t + t ) ˆ ι + ( ˆ ˆ t ) j+ ( t+ 1) k 1. 1 / 1 / a = ( t + t)ˆ ι + t ˆj+ kˆ 4

8 Eercizio 4: Una pallina di maa M=0, kg è ferma tra due piani inclinati di angoli α = 0 e β = 70 come motrato in figura. Determinare le reazioni vincolari dei due piani inclinati. β α Soluzione 4: Il problema i riolve introducendo un SR con ae x orizzontale ed ae y verticale. In tale SR le tre forze preenti (forza peo, reazione vincolare 1 e reazione vincolare ) poono eere critte coì: P= Mgj ˆ, R ˆ ˆ 1 = R1( inαι + co α j) e R ˆ ˆ = R(in βι co β j). Imponendo la condizione di equilibrio tatico: P + R 1+ R = 0, i trova R = Mg in β / in( β α ) =,86 N e 1 R = Mg in α / in( β α) = 1,5 N 5) Spiegare coa ono i itemi di riferimento inerziali ed il loro uo in fiica ) Un grave di maa M in caduta libera nell aria è ottopoto ad una forza di attrito la cui epreione è: F = ksv con v velocità del grave, S uperficie del grave nella direzione del moto e k una cotante. Sapendo che la velocità di caduta raggiunge un valore limite cotante v L, determinare quali, tra le eguenti formule, è fiicamente accettabile per v L : a) vl = MgS / k b) vl = MkS / g c) vl = kg / MS d) vl = Mg / ks Ripota: d)

9 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) I parziale - 19 febbraio Compito C Soluzioni (da verificare) Eercizio 1: La poizione di un punto materiale è individuata dal vettore poizione ˆ rt () = 4in() tˆ ι co() t j tk ˆ ( m) con t epreo in econdi. Determinare la velocità e l accelerazione ad ogni itante di tempo, la terna di verori intrineca ed il raggio di curvatura della traiettoria per t=0. dr () t vt ( ) = = 8co( t) ˆ ι + 6in( t) ˆj tkˆ ( m/ ) dt Soluzione 1: dv() t ˆ ˆ at ( ) = = 16in( t) ˆ ι 1co( t) j k ( m/ ) dt Per t=0, i ha: (0) 8 ˆ ( / ), (0) 1ˆ ˆ v v = ι m a = j k ( m/ ). Da cui: u ˆ ˆt = =ι ; vito che per v t=0 l accelerazione è ortogonale al vettore velocità i ha: a(0) ˆ ˆ 6 ˆ 1 ˆ ( 1 ) / 148 ˆ 1 6 un = = j k = j k e quindi uˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b = ut un = j k. Il a(0) v 64 raggio di curvatura vale: R = = = 5, 6 m. a 148 Eercizio : Un corpo materiale i muove nella direzione dell ae delle x con una accelerazione variabile nel tempo econdo la legge a(t)= -t per 0<t< e a(t) =0 per t>, dove t è miurato in econdi e a in m/. Sapendo che il punto parte da x=0 con velocità nulla, determinare il tempo neceario a raggiungere il punto x=0 m e la velocità del corpo in quel punto. Soluzione : Nei primi econdi il moto è di tipo accelerato, con accelerazione variabile. Troviamo la velocità integrando l accelerazione e lo pazio integrando la velocità. Imponendo anche le condizioni iniziali, per 0<t< i ha: t t t vt () = v + at ( ) dt = ( t) dt = t t /; xt () = x + vt ( ) dt = t t o. Per t=, il punto i trova nella poizione x()=9m con velocità v()=4,5 m/. Per tempi ucceivi il moto proegue con accelerazione nulla, quindi con velocità cotante. Imponendo, per un moto rettilineo uniforme le condizioni iniziali a t=, i ha: xt () = x() + v()( t ). Il corpo raggiunge il punto x=0 m quando: t = + ( x x()) / v() = 5, 44, con una velocità pari a 4,5 m/. Eercizio : Un proiettile di maa M viene parato orizzontalmente da fermo da un cannone poto u una altura che i eleva di h=70 m ripetto alla pianura circotante. Determinare: 1) il modulo v della velocità con cui i deve parare il proiettile affinché colpica un beraglio nella pianura e che dita orizzontalmente dal cannone di D=10 m; ) l angolo con cui il proiettile colpice il beraglio; ) la velocità calare del proiettile quando colpice il beraglio.

10 Soluzione : Mettiamo un itema di riferimento con l ae x orizzontale, a livello della pianura e l ae y verticale, paante per il cannone. La poizione del cannone può eere eprea come ˆ ˆ ro = xoι + yo j; xo = 0, yo = h. Il proiettile parte dal cannone ( r ˆ ˆ o = xoι + yo j; xo = 0, yo = h ) con velocità olo orizzontale data da: v ˆ o = vι e deve paare per il punto dove c e il beraglio: r ˆ = Dι. Le equazioni del moto in forma parametrica che tengono conto delle condizioni iniziali ( ro, vo ) ono: xt () = tv dove v è una incognita da trovare. Sapendo che il proiettile colpice il beraglio, g yt () = h t imponiamo che la traiettoria pai per r. Si potrà coì trovare ia il tempo dell urto ( t ) che la velocità (v) necearia: t = D/ v=... =,78 xt ( ) = D= tv g g yt ( ) = 0= h t v= D= 1,7 m/ h L angolo con cui il proiettile colpice il beraglio dipende dal vettore velocità nell itante dell urto: vx() t = v vx( t) = v. L angolo cercato e l angolo formato dall ae x con il vettore v y() t = gt v y( t) = gt vy( t) velocità: tan β = β = 49,4. Velocità di impatto: v = vx( t) + vy( t) = 48,8 m/ v ( t ) x Eercizio 4: Un itema di ollevamento pei è chematizzabile come una barra di maa tracurabile fiata ad una uperficie verticale ad un etremo e otenuta da una fune ideale (C), come motrato in C figura. Sapendo che la fune di otegno e orizzontale e M collegata al centro della barra (C), che il punto cotituice un vincolo puntuale ideale, che la barra, lunga l= m, è inclinata di 45 ripetto alla verticale e che otiene una maa M=50 kg, determinare la tenione nella fune orizzontale e la reazione vincolare in. Soluzione 4: nalizziamo le forze che agicono ulla barra: vi è innanzitutto una forza dovuta al peo della maa M, che agice (tramite il filo verticale) ad un etremo della barra. Vi e poi la tenione del filo C che è orizzontale e la reazione vincolare in. Il itema in equilibrio tabile (non i parla di moto) e pertanto i annulleranno ia la riultante di tutte le forze che agicono ulla barra, ia il momento delle forze. Per calcolare l equilibrio tatico occorre introdurre un SR. Scegliamo un SR con centro nel punto, ae x orizzontale e ae y verticale (poiamo tracurare l ae z, vito che tutte le forze tanno u un piano verticale). L analii delle forze ci conduce a queto itema di vettori: Forza peo: ˆ F ˆ ˆ 1 = P = Mgj applicato in r1 = l / ι + l / j Tenione del filo C: F ˆ ˆ ˆ = Tι applicato in r = rc = l /4ι + l /4j Reazione vincolare in : F ˆ ˆ = Rxι + Ry j applicato in r = r = 0 bbiamo quindi un itema di forze con ben tre incognite: T, Rx, Ry. Come polo per calcolare i momenti cegliamo il punto (origine del SR), in modo che il momento della reazione vincolare in ia automaticamente nullo. L eq. Dei momenti ci conduce a:

11 M = r F = 0 0 = r F + r F = Mgl / kˆ+ Tl / 4kˆ T = Mg = 980N i i i 1 1 Imponendo il bilanciamento delle forze i ha: F = 0 P+ F + F = 0 F = P F = Mgˆ ι Mgj ˆ i i 5) Co è una grandezza fiica? Quali ono le grandezze fondamentali in meccanica? 6) caua della rotazione della terra, un corpo che cade da una altezza h egue una traiettoria che è olo approimativamente verticale. In realtà arriva a terra in un punto che è empre potato vero et ripetto alla verticale. Sapendo che l entità dello potamento x dipende da h, dall accelerazione di gravità g e dalla pulazione terretre ω, determinare quale delle eguenti relazioni è fiicamente accettabile per: a) x= 4 ωhg/ b) x= ωh gh/ c) x= ωh g/ h/ d) x= ω h g/ h/ Determinarne inoltre il valore per un corpo che cade da una altezza h=0 m. -- Neuna delle opzioni è accettabile, in quanto neuna ha le dimenioni di una lunghezza.

12 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) I parziale - 19 febbraio Compito D Soluzioni (da verificare) Eercizio 1: Un giocoliere lancia verticalmente una pallina che raggiunge un altezza h= m miurata ripetto alla mano del giocoliere. Se nell itante di tempo in cui la pallina ha raggiunto (alendo) un altezza di h = m, il giocoliere lancia verticalmente una econda pallina con la tea velocità iniziale, a che quota le due palline i incontrano? Che velocità hanno le due palline in quel momento? Soluzione 1: Definiamo un SR con un olo ae verticale y avente origine nella mano del g giocoliere. Il moto della prima pallina può eere critto come : y1 () t = t + vt dove abbiamo impoto la condizione iniziale y(0)=0 ed abbiamo introdotto la velocità di lancio v (incognita). Sapendo che la pallina raggiunge la quota maima h, poiamo determinare la velocità di lancio: v = gh = 7,67 m/. Il moto della prima pallina è quindi completamente determinato, ed è poibile trovare anche il tempo in cui raggiunge la quota h : g h y1 ( t ) = h = h = t + vt t = ( 1) = 0,1 g nche il moto della econda pallina è determinato. Parte con un ritardo temporale dato da t e g egue la tea legge oraria: y () t = ( t t ) + v( t t ). Poiamo trovare l itante in cui le due v h palline i incontrano imponendo: y 1 () t = y () t. Troviamo quindi: t = i g + gt. Da queto valore è poibile determinare la quota di incontro y ( ) 1 t i =, nonché le due velocità: v () 1 t = gti + v = e v () ( ) 1 t = g ti t + v = Eercizio : Un punto materiale inizialmente fermo in x=0 è oggetto ad una accelerazione pari a t / at () x ae τ = = o nell intervallo di tempo 0 < t < τ, con ao = 0,5 m/ e τ = 1,5 e at () = 0 per t> τ. Determinare la legge del moto e l itante in cui il punto raggiunge la poizione x=10 m. Soluzione : Nel primo intervallo di tempo ( 0 < t < τ ), il moto è di tipo accelerato, con accelerazione variabile. Troviamo la velocità integrando l accelerazione e lo pazio integrando la velocità. Imponendo anche le condizioni iniziali, per 0 < t < τ i ha: t t t t / τ t/ τ t/ τ o o oτ 0 oτ τ x( τ) aoτ e 0,414 m 1 ( τ) oτ(1 ) 0,474 /. Per vt () = v + at ( ) dt = ae dt = a (1 e ); xt () = x + vt ( ) dt = a ( t (1 e )) t=τ, il punto i trova nella poizione = = con velocità v = a e = m. Per tempi ucceivi il moto proegue con accelerazione nulla, quindi con velocità cotante. Imponendo, per un moto rettilineo uniforme le condizioni iniziali a t=τ, i ha: xt ( ) = x( τ ) + v( τ)( t τ). Il corpo raggiunge il punto x=0 m quando: t = τ + ( x x( τ))/ v( τ) = 4,8, con una velocità pari a 0,474 m/.

13 Eercizio : Due autovetture procedono velocità cotanti ripettivamente di 70 km/h e 0 km/h. d un certo punto le due autovetture i urtano. Determinare la velocità relativa dell urto (velocità oervata da uno dei due conducenti) quando l urto 1) è un urto frontale, ) è un tamponamento, ) le macchine i urtano ad un incrocio provenendo da due trade che formano un angolo retto. Soluzione : Conideriamo un SR S in cui la prima macchina i muove lungo l ae delle x in direzione poitiva: v 1 = vι 1ˆ con v1 = 70 km/ h. econda delle ituazioni, poiamo coniderare che la velocità della econda macchina valga: 1) v = vι ˆ, con v = 0 km/ h (le due velocità ono oppote in direzione); ) v = vι ˆ,(le due velocità hanno la tea direzione; e ) v = v ˆj, (le due velocità ono a 90. Per determinare la velocità relativa occorre metteri in un SR olidale con una delle due macchine. Sia S il SR mobile olidale con la macchina 1. Per tale SR i ha: v = v + v. Sapendo che 0 vo = v, i trova la velocità della macchina nel SR mobile come: 1 v = v v. Da cui: Cao 1: ˆ ˆ 1 v = ( + v v ) ι = 40 km/ hι ; Cao : v 1 = ( v + v 1 ) ˆ ι = 100 km/ h ˆ ι ; Cao : ˆ v = v j v1ˆ; ι v = 76 km/ h. Eercizio 4: Un itema di ollevamento pei è chematizzabile come una barra di maa tracurabile fiata C ad una uperficie verticale ad un etremo e otenuta da una fune ideale (C), come motrato in figura. Sapendo che la fune di otegno è a 45 ed è collegata al centro C della barra, che il punto cotituice un vincolo puntuale ideale, che la barra, lunga l= m, otiene all altro etremo una maa M=40 kg, determinare la tenione nella fune C e la reazione vincolare in. M Soluzione 4: Soluzione 4: nalizziamo le forze che agicono ulla barra: vi è innanzitutto una forza dovuta al peo della maa M, che agice (tramite il filo verticale) ad un etremo della barra. Vi e poi la tenione del filo C che è inclinato di 45 e la reazione vincolare in. Il itema in equilibrio tabile (non i parla di moto) e pertanto i annulleranno ia la riultante di tutte le forze che agicono ulla barra, ia il momento delle forze. Per calcolare l equilibrio tatico occorre introdurre un SR. Scegliamo un SR con centro nel punto, ae x orizzontale (lungo la barra) e ae y verticale (poiamo tracurare l ae z, vito che tutte le forze tanno u un piano verticale). L analii delle forze ci conduce a queto itema di vettori: Forza peo: F ˆ ˆ 1 = P = Mgj applicato in r1 = lι Tenione del filo C: F ˆ ˆ ˆ = T ( ι + j) applicato in r = r C = l /ι Reazione vincolare in : F ˆ ˆ = Rxι + Ry j applicato in r = r = 0 bbiamo quindi un itema di forze con ben tre incognite: T, Rx, Ry. Come polo per calcolare i momenti cegliamo il punto (origine del SR), in modo che il momento della reazione vincolare in ia automaticamente nullo. L eq. Dei momenti ci conduce a: M 0 0 ˆ ˆ = ri Fi = = r1 F1 + r F = Mglk + Tl /4k T = Mg = 1,11kN i Imponendo il bilanciamento delle forze i ha: F = 0 P+ F + F = 0 F = P F = Mgˆ ι Mgj ˆ i i

14 5) Spiegare che tipo di relazione è la F = ma e in quali cai è valida. 6) Un dico di raggio R viene fatto rotolare u un piano inclinato. Sapendo che il dico parte da fermo ad una altezza h e che la velocità raggiunta alla fine del piano inclinato non dipende né da R né dalla maa del dico, determinare ulla bae delle dimenioni la relazione accettabile per la velocità finale del dico: a) v= gh b) v= g/ h c) v= g/ h d) v= gh -- Ripota eatta: cao d--

15 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) II Parziale - 0 Marzo Compito Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=kg, lunghezza L=1,5 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è laciata cadere dalla poizione orizzontale. Quando paa per la verticale urta itantaneamente ed in modo totalmente anelatico con l etremo inferiore una pallina di dimenioni tracurabili e maa m=m. Calcolare: 1) Il momento d inerzia dell ata ripetto all ae di rotazione; ) La velocità angolare dell ata e la velocità della pallina ubito dopo l urto; ) L energia pera nell urto. 6 Eercizio : Sapendo che la ditanza media Terra-Sole è di d km e che il diametro angolare del Sole, vito dalla Terra, è di circa mezzo grado, timare la maa e la denità media del 11 Sole aumendo che l orbita della Terra ia circolare ( G 6,67 10 Nm / kg ). 1 Eercizio : Verificare e il campo di forze F( x, y, z) ( x y zˆ ˆ ˆ x yzjx y k) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. è 4) Spiegare il econdo teorema del centro di maa. 5) Enunciare e commentare brevemente il terzo principio della dinamica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

16 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) II Parziale - 0 Marzo Compito Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=kg, lunghezza L=0,8 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è laciata cadere dalla poizione orizzontale. Quando paa per la verticale urta itantaneamente ed in modo totalmente elatico con l etremo inferiore una pallina di dimenioni tracurabili e maa m=m. Calcolare: 1) Il momento d inerzia dell ata ripetto all ae di rotazione; ) La velocità angolare dell ata e la velocità della pallina ubito dopo l urto; ) L angolo maimo ripetto alla verticale raggiunto dall ata dopo l urto. Eercizio : La ditanza media del atellite Io da Giove è di d 4 10 km ed il uo periodo di rivoluzione è T 4,5h. umendo che l orbita ia circolare, determinare la maa e la denità di Giove apendo che il uo raggio medio è RG km ( G Nm kg 11 6,67 10 / ). 1 Eercizio : Verificare e il campo di forze F( xyz,, ) ( ˆ ˆ ˆ yz xyzjxyzk) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. è 4) Definire il concetto di centro di maa e piegarne l utilità. 5) Enunciare e commentare brevemente le equazioni cardinali della meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

17 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) II Parziale - 0 Marzo Compito C Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=0,kg, lunghezza L=0,5 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è inizialmente ferma nella poizione verticale. Una pallina di dimenioni tracurabili, maa m=0,m avente velocità iniziale orizzontale v= m/, urta itantaneamente ed in modo totalmente anelatico con l etremo inferiore dell ata.. Calcolare: 6) Il momento d inerzia dell ata ripetto all ae di rotazione; 7) La velocità angolare dell ata ubito dopo dell urto; 8) La quota maima raggiunta dal centro di maa del itema dopo l urto. Eercizio : Stimare il diametro di Marte apendo che la ua denità media vale,9 10 kg / m e che una delle ue lune, Deimo, i muove u un orbita circolare di lunghezza C 11 un periodo T 0,h ( G 6,67 10 Nm / kg ) km con Eercizio : Verificare e il campo di forze F( x, y, z) ((x y z1) ˆ x yzj ˆ x y ˆ k) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. è 4) Decrivere e dicutere brevemente il teorema di Huygen-Steiner. 5) Enunciare e commentare il principio di azione e reazione. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

18 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) II Parziale - 0 Marzo Compito D Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=0,7kg, lunghezza L=0,6 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è laciata cadere dalla poizione orizzontale. Quando paa per la verticale urta elaticamente ed itantaneamente con l etremo inferiore una pallina di dimenioni tracurabili e maa m=0,4m. Calcolare: 1) Il momento d inerzia del itema ripetto all ae di rotazione; ) La velocità angolare dell ata ubito prima dell urto; ) La quota maima raggiunta dal centro di maa dell ata dopo l urto. Eercizio : Fornire una tima (anche groolana) per la maa di Saturno e per la ua ditanza dal 6 Sole apendo che la ditanza media Terra-Sole è di d km, che periodo di rivoluzione di Saturno è di T 9,5anni, che il raggio apparente dell orbita del uo atellite principale, Titano, RTapp S 4 8,5 10 rad e che quet orbita viene percora in TT 15,9 11 iano circolari ( G 6,67 10 Nm / kg ). g aumendo che tutte le orbite Eercizio : Verificare e il campo di forze F( x, y, z) (( yz) ˆ ( xz) ˆj ( xy) kˆ ) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. è 4) Enunciare le leggi di Keplero e commentarle brevemente. 5) Enunciare e commentare brevemente il teorema di Konig. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

19 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) 0 Marzo Compito Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=kg, lunghezza L=1,5 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è laciata cadere dalla poizione orizzontale. Quando paa per la verticale urta itantaneamente ed in modo totalmente anelatico con l etremo inferiore una pallina di dimenioni tracurabili e maa m=m. Calcolare: 1) Il momento d inerzia dell ata ripetto all ae di rotazione; ) La velocità angolare dell ata e la velocità della pallina ubito dopo l urto; ) L energia pera nell urto. 6 Eercizio : Sapendo che la ditanza media Terra-Sole è di d km e che il diametro angolare del Sole, vito dalla Terra, è di circa mezzo grado, timare la maa e la denità media del 11 Sole aumendo che l orbita della Terra ia circolare ( G 6,67 10 Nm / kg ). 1 Eercizio : Verificare e il campo di forze F( x, y, z) ( x y zˆ ˆ ˆ x yzjx y k) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. Eercizio 4: Una goccia di pioggia di maa M=0, g mentre cade ente due forze oppote: quella di gravità e una forza vicoa dipendente dalla velocità pari a F kv con k= N/m. (??). Se la goccia cade in verticale da una altezza h=100 m, determinare la velocità di arrivo al uolo in aenza ed in preenza della forza vicoa. è 5. Decrivere il moto armonico pecificando la legge oraria, le epreioni della velocità e dell accelerazione e farne un eempio concreto. 6. Enunciare e commentare brevemente il primo principio della dinamica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno tre eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

20 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) 0 Marzo Compito Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=kg, lunghezza L=0,8 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è laciata cadere dalla poizione orizzontale. Quando paa per la verticale urta itantaneamente ed in modo totalmente elatico con l etremo inferiore una pallina di dimenioni tracurabili e maa m=m. Calcolare: 1) Il momento d inerzia dell ata ripetto all ae di rotazione; ) La velocità angolare dell ata e la velocità della pallina ubito dopo l urto; ) L angolo maimo ripetto alla verticale raggiunto dall ata dopo l urto. Eercizio : La ditanza media del atellite Io da Giove è di d 4 10 km ed il uo periodo di rivoluzione è T 4,5h. umendo che l orbita ia circolare, determinare la maa e la denità di Giove apendo che il uo raggio medio è RG km ( G Nm kg 11 6,67 10 / ). 1 Eercizio : Verificare e il campo di forze F( xyz,, ) ( ˆ ˆ ˆ yz xyzjxyzk) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. Eercizio 4: Una bomba di maa M=00 kg è laciata cadere da un aeroplano che i muove ad una velocità orizzontale v=100 m/ a h=500 m di quota. Se ulla bomba in caduta agice una anche forza vicoa dipendente dalla velocità pari a F kv con k=00 N/m. (??), determinare, in prima approimazione la velocità orizzontale e verticale che ha la bomba quando arriva al uolo. è 5. Decrivere il moto di un pendolo emplice pecificando la legge oraria ed il periodo. 6. Enunciare e commentare brevemente il terzo principio della dinamica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

21 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) 0 Marzo Compito C Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=0,kg, lunghezza L=0,5 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è inizialmente ferma nella poizione verticale. Una pallina di dimenioni tracurabili, maa m=0,m avente velocità iniziale orizzontale v= m/, urta itantaneamente ed in modo totalmente anelatico con l etremo inferiore dell ata.. Calcolare: 1. Il momento d inerzia dell ata ripetto all ae di rotazione;. La velocità angolare dell ata ubito dopo dell urto;. La quota maima raggiunta dal centro di maa del itema dopo l urto. Eercizio : Stimare il diametro di Marte apendo che la ua denità media vale,9 10 kg / m e che una delle ue lune, Deimo, i muove u un orbita circolare di lunghezza C 11 un periodo T 0,h ( G 6,67 10 Nm / kg ) km con Eercizio : Verificare e il campo di forze F( x, y, z) ((x y z1) ˆ x yzj ˆ x y ˆ k) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. Eercizio 4: Una bomba di maa M=50 kg è laciata cadere da un elicottero fermo nell aria ad una quota di h=1500 m. Se ulla bomba in caduta agice anche una forza vicoa dipendente dalla velocità pari a F kv con k=0 N/m. (??), determinare la velocità della bomba quando arriva al uolo ed il lavoro della forza vicoa. è 5. Decrivere e dicutere brevemente le componenti intrineche dell accelerazione. 6. Enunciare e commentare brevemente il principio di relatività galileiana. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/

22 Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) 0 Marzo Compito D Eercizio 1: Un ata rigida omogenea di maa M=0,7kg, lunghezza L=0,6 m, dimenioni traverali tracurabili e libera di muoveri attorno ad un etremo fio è laciata cadere dalla poizione orizzontale. Quando paa per la verticale urta elaticamente ed itantaneamente con l etremo inferiore una pallina di dimenioni tracurabili e maa m=0,4m. Calcolare: 1. Il momento d inerzia del itema ripetto all ae di rotazione;. La velocità angolare dell ata ubito prima dell urto;. La quota maima raggiunta dal centro di maa dell ata dopo l urto. Eercizio : Fornire una tima (anche groolana) per la maa di Saturno e per la ua ditanza dal 6 Sole apendo che la ditanza media Terra-Sole è di d km, che periodo di rivoluzione di Saturno è di T 9,5anni, che il raggio apparente dell orbita del uo atellite principale, Titano, RTapp S 4 8,5 10 rad e che quet orbita viene percora in TT 15,9 11 iano circolari ( G 6,67 10 Nm / kg ). g aumendo che tutte le orbite Eercizio : Verificare e il campo di forze F( x, y, z) (( yz) ˆ ( xz) ˆj ( xy) kˆ ) conervativo e calcolarne, eventualmente, l epreione dell energia potenziale. Eercizio 4: Una bottiglia di maa M=0, kg è laciata cadere inavvertitamente dal 10 piano di un edificio (quota iniziale h=40 m). Se ulla bottiglia in caduta agice, oltre alla forza peo, anche una forza vicoa dipendente dalla velocità pari a F kv con k=0 N/m., determinare la velocità della bottiglia quando arriva al uolo ed il lavoro della forza vicoa. 5. Decrivere il moto di un punto materiale vincolato ad una molla ocillante pecificandone la legge oraria ed il periodo. 6. Enunciare e commentare brevemente il econdo principio della dinamica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno due eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g 9,8 m/ è

23 Eercizi: Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) - 11 prile Compito 1) Un ao piatto, chematizzabile come un dico omogeneo di maa M, raggio R e peore tracurabile, inizialmente in quiete, i mette in movimento e rotola enza triciare lungo il tetto di una caa percorrendo un piano inclinato di angolo θ ripetto all'orizzontale. Dopo che il uo centro ha percoro un tratto verticale h il ao rotola fuori dal tetto e il uo centro percorre un altro tratto verticale H= v 1 en θ prima di colpire il uolo. Calcolare le epreioni delle eguenti g quantità: a) il modulo della velocità di tralazione v 1 del ao nell'itante immediatamente precedente al ditacco dal tetto; b) il modulo della velocità v del ao nell'itante in cui tocca il uolo (i tracuri l attrito con l aria); c) il tempo t tracoro tra l'itante in cui il ao i tacca dal tetto e quello in cui tocca il uolo. ) La forza reitente che una goccia di pioggia ferica di raggio r = mm incontra nell'aria quando i muove con velocità v è data dalla eguente epreione: F = rv +(rv), dove i valori numerici delle cotanti e ono ripettivamente = kg/m/ e =0.87 kg/m. Tracurando altre forze dovute alla preenza dell aria determinare il valore della velocità limite, ovvero della maima velocità raggiunta dalla goccia; ) Sia dato il campo di forze F( x, y, z) = α ( xy+ z ) ˆ ι + ( yz+ x ) ˆj+ ( xz+ y ) kˆ. Verificare e è conervativo e calcolarne in queto cao l epreione dell energia potenziale. 4) Un punto materiale, libero di muoveri lungo un ae x, è inizialmente fermo (a t=0) in x=0 m ed è oggetto ad una accelerazione pari a at ( ) = x= aen o ( πt/ τ ) nell intervallo di tempo 0 < t < τ, con ao = m/ e τ =,5 e at () = 0 per t> τ. Determinare la velocità e la poizione del punto per t = 5τ. 5) Enunciare e commentare brevemente la econda legge di Keplero. 6) Formulare e dimotrare il teorema di conervazione dell energia meccanica. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno tre eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g = 9,8 m/ θ h H

24 Eercizi: Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) - 11 prile Compito 1) Un piattello del tiro a volo, chematizzabile come un dico omogeneo di maa M, raggio R e peore tracurabile, viene lanciato verticalmente vero l alto con velocità angolare ω i (che rimane cotante) e velocità di tralazione v i. Raggiunta la quota maima H il piattello viene colpito dal proiettile di un tiratore e i divide in due pezzi di maa m 1 ed m = m 1. Tracurando l attrito dell aria calcolare: a) l epreione dell energia meccanica E poeduta dal piattello prima di eere colpito; b) la quota maima H raggiunta dal piattello; c) l epreione della componente verticale della velocità v del corpo di maa m apendo che il corpo di maa m 1 arriva a terra con componente verticale della velocità v 1y = v, e upponendo cotanti i termini rotazionali delle e- i nergie cinetiche dei due frammenti. ) La carica elettrica dell'elettrone fu determinata confrontando la velocità maima raggiunta da gocce di olio cariche in caduta nell'aria otto l'azione del proprio peo, ripettivamente in preenza e in aenza di un campo elettrico E. Sapendo che la forza reitente dovuta all'aria vale R = 6πη rv, dove r indica il raggio della goccia, v la ua velocità ed η (che ha valore numericoη = Kg/(m) ) la vicoità dell aria, determinare la velocità maima v 0 per una goccia di raggio r =10 6 m (denità olio 875. kg/m ) in aenza di campo elettrico E (i tracuri la pinta di rchimede); ) Sia dato il campo di forze F( x, y, z) = α yzˆ ι + xz ˆj + xykˆ. Verificare e è conervativo e calcolarne in queto cao l epreione dell energia potenziale. 4) Un punto materiale, libero di muoveri lungo un ae x, è inizialmente fermo (a t=0) in x=0 m ed è oggetto ad una accelerazione pari a at ( ) = x= ao co( πt/ τ ) nell intervallo di tempo 0 < t < τ /, con ao = m/ e τ = 1,5 e at ( ) = 0 per t> τ /. Determinare la velocità e la poizione del punto per t = τ. 5) Enunciare e commentare brevemente la prima equazione cardinale della dinamica. 6) Enunciare e dimotrare il teorema delle forze vive. vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno tre eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g = 9,8 m/

25 Eercizi: Fiica Generale L- - Prof. M. Villa CdL in Ingegneria Civile (-K) - 11 prile Compito C 1) Un ao piatto, chematizzabile come un dico omogeneo di raggio R e di peore tracurabile, inizialmente in quiete, i mette in movimento e rotola enza triciare lungo il tetto di una caa percorrendo un piano inclinato di angolo θ ripetto all'orizzontale. Dopo che il uo centro ha percoro un tratto verticale h il ao rotola fuori dal tetto con una velocità di tralazione ignota v 1 e il uo centro percorre un altro tratto verticale H= v 1co θ prima di g colpire il uolo. il uolo. Calcolare le epreioni delle Calcolare le epreioni delle eguenti quantità: h a. il modulo della velocità angolare ω 1 del ao nell'itante immediatamente precedente al θ ditacco dal tetto; b. il valore dell'energia cinetica T del ao nell'itante in cui tocca il uolo; H c. il tempo t tracoro tra l'itante in cui il ao i tacca dal tetto e quello in cui tocca il uolo. ) La forza reitente che una goccia di pioggia ferica di raggio r = mm incontra nell'aria quando i muove con velocità v è data dalla eguente epreione: F = v +v dove i valori numerici delle cotanti e ono ripettivamente = kg/ e = kg/m. Determinare il valore della velocità limite, ovvero della maima velocità raggiunta dalla goccia (i tracuri la pinta di rchimede). ) Sia dato il campo di forze F( x, y, z) = α (y + zx ) ˆ ι + 6xy ˆ j+ x ˆ k. Verificare e è conervativo e calcolarne in queto cao l epreione dell energia potenziale. 4) Un punto materiale, libero di muoveri lungo un ae x, è inizialmente fermo (a t=0) in x=0 m ed è oggetto ad una accelerazione pari a at ( ) = x= a( τ t) nell intervallo di tempo 0< t < τ, con ao = 10 m/ e τ = 5 e at () = 0 per t> τ. Determinare la velocità e la poizione del punto per t = 5τ. o 5) Definire e dicutere brevemente il concetto di energia potenziale. 6) Enunciare e dimotrare il teorema di Huygen Steiner vvertenze: non è conentito conultare libri, appunti, compagni né avere in aula cellulari accei o penti. Riolvere almeno tre eercizi e ripondere ad almeno una domanda. Le ripote e le oluzioni devono eere epree in termini dei imboli e dei dati pecificati nel teto. Occorre piegare i pai principali che hanno condotto alla oluzione. g = 9,8 m/