ELEMENTI DI ACUSTICA. P. Calvini. March 2, 2015

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1 ELEMENTI DI ACUSTICA P. Calvini March 2, 2015

2 DOWNLOAD Il file pdf di questi argomenti (acustica.pdf) è scaricabile dal sito calvini/ e contiene materiale ricavato dal sito della sezione di GENOVA dell INFN prati/ 2

3 GENERALITÀ In presenza di suono alla pressione atmosferica P si sovrappone la pressione sonora p(x, y, z, t) per dare la pressione totale P (x, y, z, t) = P + p(x, y, z, t). (1) Nel S.I. le pressioni si misurano in Pascal (Pa) [P ] = P a. Di solito i valori della pressione sonora sono molto minori di P e pertanto la pressione sonora va considerata come una piccola perturbazione dell ambiente. La pressione acustica rappresenta un termine fluttuante, ora positivo, ora negativo (valore medio zero) che costringe l aria a rapidi movimenti di oscillazione avanti e indietro intorno alla posizione di equilibrio. Al movimento dell aria associamo la velocità del mezzo u(x,y,z,t). È un vettore di modulo u(x, y, z, t). 3

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5 Il suono sarà generato da una sorgente sonora che produce le fluttuazioni di pressione e velocità nelle sue vicinanze. Queste vibrazioni inducono analoghe fluttuazioni negli strati d aria adiacenti ed attraverso questo meccanismo si realizza la propagazione dell onda sonora nell ambiente. Si pensi ai cerchi che si formano sulla superficie dell acqua di uno stagno quando vi si getta un sasso. La propagazione dell onda sonora in un mezzo è influenzata dalle proprietà elastiche e dall inerzia del mezzo stesso. L onda si propaga con una velocità che indicheremo con c e che non va confusa con la velocità u di vibrazione del mezzo. 5

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7 LA VELOCITÀ DEL SUONO Se si attiva la sorgente sonora all istante t = 0, si può determinare a che distanza x dalla sorgente la perturbazione sarà arrivata al tempo t. Si constata che il rapporto c = x t (2) non dipende dal lasso di tempo t trascorso. Questo fatto permette di definire c come velocità del suono nel mezzo in cui è stato eseguito l esperimento (aria o altro). Il valore ottenuto per c risulta ampiamente indipendente dalla potenza dalla sorgente sonora e dà un valore che è ben maggiore dei valori assunti da u, la velocità di vibrazione del mezzo. I valori di u dipendono dalla potenza della sorgente sonora. 7

8 Come già accennato, la velocità del suono deve dipendere dalle proprietà elastiche e di inerzia del mezzo. La densità ρ ne determina le proprietà di inerzia. In merito alle proprietà elastiche si deve distinguere tra gas, liquidi e solidi. In tutti i casi si fa l ipotesi di adiabaticità, ossia che le vibrazioni siano così rapide da non permettere scambi di calore tra le zone riscaldate (compresse) e le zone raffreddate (rarefatte). Nel caso dei gas, se si usa il modello di gas perfetto, si ottiene come parametro elastico γ P. Nel caso dell aria, che è composta prevalentemente da gas biatomici, vale γ = 7 5. Per la velocità del suono nell aria si ottiene l espressione c a = γ P ρ. (3) 8

9 La (3) può essere riformulata in maniera da contenere una sola variabile termodinamica, la temperatura. Usando la legge dei gas perfetti P V = n R T (dove R = J mole 1 K 1 ) ed introducendo il peso molecolare M del gas, si arriva alla relazione c gas = γ R T M, (4) la quale mostra che la velocità del suono in un gas dipende dal suo peso molecolare M e dalla temperatura assoluta T. Sostituendo per l aria il peso molecolare medio M = 28.8 g/mole = kg/mole e per T = K (ossia 0 C) si trova c a = 332 m/s. (5) 9

10 Nel caso dei liquidi il parametro elastico è dato dal modulo di compressione uniforme (adiabatica) B definito mediante la relazione ( V V ) adiab = p B (6) dove l incremento di pressione p produce la variazione di volume V del volume V del liquido ([B] = P a e a grandi valori di B corrispondono mezzi molto resistenti alla compressione). Una volta definito B, la velocità del suono nei liquidi è data da c = B ρ. (7) 10

11 Nel caso dell acqua, con B = P a e ρ w = 1000 kg/m 3, si ha c w = 1450 m/s. (8) Nei solidi possono esistere onde elastiche sia longitudinali che trasversali. Queste ultime non si trasmettono nell aria e nei liquidi, mentre le onde longitudinali rappresentano nei solidi l equivalente delle onde sonore. La velocità delle onde longitudinali nei solidi è data da un espressione analoga alla (7), dove però al posto di B compare un altro parametro elastico. 11

12 L IMPEDENZA CARATTERISTICA DI UN MEZZO Per un assegnato mezzo le grandezze p e u dell onda sonora non sono indipendenti, ma sono collegate da una quantità specifica del mezzo che viene chiamata impedenza caratteristica del mezzo (o impedenza acustica del mezzo). L impedenza caratteristica Z di un mezzo di densità ρ e velocità del suono c è data da Z = ρ c (9) e collega p e u tra di loro mediante la seguente relazione p u = Z. (10) 12

13 Valori di c e di Z mezzo c in m s 1 Z in kg m 2 s 1 aria acqua muscolo grasso sangue osso (1) osso (2) ferro

14 L INTENSITÀ Le perturbazioni sonore, e più in generale tutti i fenomeni ondosi, trasportano sempre energia. Vi è un flusso di energia dalla sorgente verso l esterno. Nel caso acustico si definisce intensità sonora I l energia che attraversa una superficie unitaria (disposta perpendicolamente) nell unità di tempo. [I] = J m 2 s 1 = W/m 2 (W sta per Watt) Si può dimostrare che l intensità I può essere scritta come I = p u = p2 Z = Z u2, (11) dove le ultime due relazioni sono state ricavate utilizzando la (10). 14

15 ONDE PIANE E ONDE SFERICHE In generale tanto p quanto u dipendono da x, y, z e t. Nel caso particolare in cui non vi sia dipendenza né da y, né da z ed il vettore u abbia la sola componente x, allora si può parlare di onda piana. Quindi si ha onda piana se vale p = p(x, t) ; u x = u(x, t) ; u y = 0 ; u z = 0. (12) La situazione descritta come onda piana corrisponde, per esempio, al suono che si propaga in un condotto a sezione costante. A rigor di termini, in questo caso si dovrebbe parlare di porzione di onda piana. 15

16 L onda sferica viene prodotta da una sorgente sonora di piccole dimensioni e che emette suono in maniera isotropa. In tal caso, presa la posizione della sorgente come centro ed indicata con r la distanza dal centro, l onda sonora viene caratterizzata da p = p(r, t) ; u r = u(r, t), (13) dove il vettore velocità u ha direzione radiale e u r ne indica la componente lungo detta direzione. Il concetto di porzione di onda piana viene invece spesso usato come un adeguata approssimazione di una piccola porzione di onda sferica avente dimensioni limitate rispetto alla distanza dalla sorgente. In tal caso si può trascurare la divergenza dei raggi. 16

17 LEGGE 1/r 2 PER L INTENSITÀ In un onda piana, l intensità della perturbazione non dipende dalla distanza dalla sorgente della perturbazione in quanto la potenza emessa dalla sorgente attraversa sezioni di area costante. Invece, nel caso delle onde sferiche la potenza della sorgente nel suo allontanamento dal centro attraversa superfici sferiche di area via via crescente. L intensità I(r) dell onda può essere calcolata in base alla sua definizione come I(r) = P ower 4 π r 2, (14) dove P ower è la potenza sonora emessa dalla sorgente. 17

18 ONDE PIANE SINUSOIDALI Considerato che il concetto di onda piana può risultare applicabile in una grande varietà di situazioni, risulta conveniente concentrarsi su di una particolare categoria di onde piane, le cosiddette onde sinusoidali dette anche onde armoniche. Un onda acustica sinusoidale piana propagantesi nel verso positivo dell asse x è caratterizzata da una pressione sonora che varia nel tempo e nello spazio secondo la seguente legge p(x, t) = p cos(2π t/t 2π x/λ + φ) (15) dove p, T e λ sono opportune costanti il cui significato verrà spiegato tra poco. L argomento del coseno dicesi in toto fase (complessiva) mentre con φ si indica la fase (addizionale). 18

19 Studiamo il comportamento dell onda armonica in un punto fisso dello spazio al passare del tempo. È il punto di vista del naufrago. Non si perde in generalità ponendo x = 0. Si ha la legge p(0, t) = p cos(2π t/t + φ) (16) che dice come varia la pressione sonora al passare del tempo. La pressione p varia da p a +p e la quantità p si chiama ampiezza della perturbazione sonora. La quantità T è chiamata periodo della perturbazione armonica e corrisponde al tempo necessario affinché si svolga un intero ciclo di oscillazione. 19

20 Infatti la funzione coseno assume lo stesso valore quando il suo argomento incrementa di 2 n π (n = numero intero) e si vede dalla (16) che ciò avviene quando il tempo incrementa di un numero intero di intervalli di durata T. Vi sono due grandezze collegate al periodo T : la frequenza ν e la pulsazione ω. La frequenza ν indica il numero di cicli che hanno luogo in un secondo ed è data da ν = 1/T. [ν] = s 1 = Hz dove Hz è l abbreviazione di Hertz. La pulsazione ω è data da ω = 2 π ν = 2 π/t. 20

21 Studiamo ora l andamento spaziale dell onda armonica ad un istante fissato. È il punto di vista del fotografo. Non si perde in generalità ponendo t = 0. Si ottiene una funzione di x la quale, se si tiene conto che cos( x) = cos(x), può essere riscritta come p(x, 0) = p cos(2π x/λ φ). (17) Anche nello spazio la pressione p varia da p a +p con andamento periodico e la minima distanza che separa profili identici è λ, che viene chiamata lunghezza d onda. La lunghezza d onda specifica la periodicità spaziale dell onda. Infatti aggiungendo un numero intero di lunghezze d onda a x, si ottiene un grafico sovrapponibile a quello della (17). La quantità k = 2 π/λ viene chiamata numero d onda. 21

22 RELAZIONE FONDAMENTALE Se si richiede nella (15) che l argomento del coseno resti costante al passare (crescere) del tempo, si osserva che anche la x deve aumentare. Si ottiene per la x una legge di crescita lineare del tipo x = λ T t + costante, (18) legge che rappresenta un moto a velocità costante λ/t. Detto moto corrisponde, ad esempio, al moto di avanzamento di una cresta d onda e quindi ne condivide la velocità c. Quindi si deve imporre c = λ T. (19) 22

23 Questa relazione può essere riscritta come λ = c T = c ν (20) oppure come c = λ ν. (21) La lunghezza d onda di un suono con ν = 1000 Hz è λ = 0.33 m in aria mentre sarà λ = 1.45 m in acqua. 23

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25 IL TEOREMA DI FOURIER Le perturbazioni sinusoidali del tipo (16), che spesso vengono anche denominate perturbazioni armoniche o toni puri, costituiscono un insieme di mattoni con cui si può costruire una perturbazione di andamento temporale qualsiasi. Il teorema di Fourier (applicato all acustica) dice che una qualunque perturbazione sonora è sempre rappresentabile come sovrapposizione di un numero finito o infinito di toni puri del tipo (16), ciascuno caratterizzato da un opportuno valore di ampiezza, frequenza e fase. 25

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27 Consideriamo il caso in cui la perturbazione sonora sia periodica con periodo T. Questo equivale a dire che per ogni istante t e per ogni intero n varrà p(t + n T ) = p(t). (22) Sotto queste ipotesi il teorema di Fourier afferma che la funzione p(t) (a valore medio nullo) può essere espressa dalla seguente somma p(t) = k=1 p k cos(2πkt/t + φ k ) = k=1 p k cos(2πν k t + φ k ) (23) dove ν k = T k. Il termine per k = 1 rappresenta il contributo della cosiddetta armonica fondamentale mentre i termini successivi danno il contributo delle armoniche superiori, cui corrispondono frequenze multiple intere della frequenza fondamentale ν 1. 27

28 L insieme dei p k rappresenta i contributi per ogni frequenza k- esima alla formazione del segnale complessivo. I p k costituiscono una successione che può essere rappresentata con un grafico (valori dei p k in ordinata e frequenze corrispondenti in ascissa), grafico che viene denominato spettro di frequenza. Eseguire l analisi di Fourier di una perturbazione sonora significa ricavarne le frequenze componenti, i corrispondenti p k (e le fasi φ k ). Nel caso che la perturbazione sonora non sia periodica (ad esempio il rumore stradale), l analisi di Fourier porta ad un insieme di infinite frequenze infinitamente fitte (insieme non numerabile, cioè non ricavabile dai numeri interi). In questo caso si parla di spettro di potenza continuo. 28

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30 Torniamo a parlare di perturbazioni sonore periodiche. In questo caso le frequenze vengono ricavate dai multipli interi di una frequenza fondamentale e si parla di spettro discreto. Quando uno strumento musicale emette una nota di frequenza ν 1, il contributo di p 1 è di solito grande relativamente ai successivi. Quante e quali delle ampiezze relative alle armoniche superiori contribuiscono apprezzabilmente al segnale emesso dallo strumento caratterizza il timbro. Differenze di timbro, ossia differenti contributi delle armoniche superiori, distinguono come si sente la stessa nota se suonata da strumenti diversi. 30

31 IL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE Il principio di sovrapposizione (detto anche di linearità) riveste un importanza fondamentale per lo studio e l indagine su quei sistemi meccanici, acustici ed elettrici che obbediscono a leggi lineari e permette appieno di sfruttare le potenzialità dell analisi di Fourier. Se un sistema obbedisce a leggi lineari, saremo sicuri che applicando ad esso una perturbazione armonica, la sua risposta sarà sicuramente armonica ed avrà la stessa frequenza presente in ingresso. 31

32 Se noi investighiamo come reagisce un sistema lineare ad un insieme di frequenze diverse e registriamo come il sistema risponde a ciascuna di esse, saremo allora in grado di prevedere la risposta ad un segnale qualsivoglia. Infatti potremo applicare l analisi di Fourier al segnale di ingresso, decomporlo nelle frequenze componenti (questo significa conoscere per ogni frequenza l ampiezza e la fase), convertire ampiezze e fasi in base alla conoscenza della risposta che il sistema dà frequenza per frequenza ed, infine, ricostruire il segnale in uscita per somma dei vari termini (sintesi di Fourier). 32

33 È in base a tale principio che gli audiometristi esaminano il funzionamento dell orecchio studiando solo come esso risponda ad una serie prefissata di armoniche e che i costruttori di amplificatori per alta fedeltà caratterizzano i loro prodotti indicando la loro risposta solo a sollecitazioni armoniche. In generale tutte le caratteristiche acustiche di sistemi acustici come microfoni, altoparlanti, ecc. ecc. vengono indicate semplicemente dando un grafico in cui si riporta la risposta del sistema quando viene sollecitato da perturbazioni armoniche (MTF = Modulation Transfer Function). È ancora il principio di sovrapposizione che consente al nostro cervello di isolare suoni particolari in mezzo ad altri suoni come, ad esempio, il suono di un cellulare in una rumorosa stazione ferroviaria o la voce di un amico in una strada molto trafficata. 33

34 Il principio di sovrapposizione è applicabile solo ai sistemi lineari, cioè a quei sistemi che sono governati da equazioni lineari. I sistemi acustici passivi (condotti, canalizzazioni, orifizi, fenditure, ecc) presentano un comportamento generalmente lineare. I sistemi attivi (per esempio gli amplificatori) hanno prestazione lineare fino a quando l intensità del suono da amplificare non supera una certa soglia. Al di sopra si hanno effetti di non linearità che danno distorsioni, ad esempio con la generazione di frequenze inesistenti nel segnale in ingresso. L orecchio umano si comporta in maniera lineare per intensità che vanno da W/m 2 fino a quasi 1 W/m 2. Oltre quella soglia di intensità l orecchio si comporta come un sistema non lineare e questo proteggere alquanto l orecchio da danni. 34

35 L ORECCHIO E L ANALISI DI FOURIER A questo punto risulta interessante accennare brevemente a come l orecchio trasforma il segnale acustico che entra nel condotto uditivo nel segnale nervoso che viene inviato al cervello. La perturbazione sonora pone in vibrazione il timpano, il quale a sua volta trasmette la vibrazione all orecchio interno mediante la catena degli ossicini (orecchio medio). Nell orecchio interno si trova la coclea, un organo particolare arrotolato a mo di conchiglia (da cui il suo nome). In detto organo viene eseguita un analisi in frequenza del suono ricevuto e, per ogni frequenza, ne viene individuata la corrispondente intensità sonora. 35

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37 Il funzionamento della coclea è basato sul fatto che al suo interno si trova una membrana chiamata membrana basilare. Ogni piccola porzione di membrana basilare viene messa in vibrazione da una specifica frequenza grazie ad un fenomeno di risonanza ed il corrispondente segnale di ampiezza viene recepito da speciali cellule in contatto con la membrana ed inviato al cervello tramite fibre nervose. Il cervello quindi riceve il risultato di questa analisi di Fourier analogica eseguita dall orecchio interno ed interpreta il suono sulla base dello spettro di frequenza fornitogli. 37

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40 DUE MEZZI DIVERSI: RIFLESSIONE E RIFRAZIONE Si abbiano i mezzi 1 e 2 separati da un interfaccia piana. Il comportamento di un onda sonora che dal mezzo 1 incide sull interfaccia è governato dalle leggi della riflessione e rifrazione (leggi di Snell), leggi che valgono per qualunque tipo di onde. Sia θ i l angolo di incidenza, ossia l angolo che il raggio dell onda incidente forma con la normale all interfaccia (nella figura alla pagina successiva la normale è orizzontale e l interfaccia è verticale). In generale l onda incidente in parte verrà riflessa ed in parte rifratta (trasmessa nel mezzo 2). La prima legge di Snell dice che l angolo θ r con cui l onda viene riflessa (angolo tra il raggio riflesso e la normale) è uguale all angolo θ i di incidenza. Varrà θ r = θ i. (24) 40

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42 La seconda legge di Snell dà l angolo con cui l onda trasmessa viaggia nel mezzo 2. Indicato con θ t l angolo che il raggio trasmesso fa con la normale, vale la seguente relazione sin θ i sin θ t = c 1 c 2 (25) dove c 1 e c 2 sono le velocità dell onda nei mezzi 1 e 2 rispettivamente. L onda incidente avrà un intensità I, la quale si ripartirà in un intensità I r dell onda riflessa e un intensità I t dell onda trasmessa. Si possono definire i coefficienti R e T, rispettivamente di riflessione e trasmissione in intensità che danno I r = R I ; I t = T I con I r + I t = I ; R + T = 1. (26) 42

43 Indicate con Z 1 e Z 2 le impedenze caratteristiche rispettivamente dei mezzi 1 e 2, si può dimostrare che vale R = ( Z1 Z 2 Z 1 + Z 2 ) 2 ; T = 4 Z 1 Z 2 (Z 1 + Z 2 ) 2. (27) Si può vedere che se Z 1 e Z 2 sono molto diverse, l intensità viene prevalentemente riflessa in quanto si ha R = 1. Pertanto nel caso di una forte differenza di impedenze caratteristiche la riflessione è il fenomeno dominante. Il suono non passa facilmente né dall aria all acqua, né viceversa in quanto c è un cattivo adattamento di impedenze. 43

44 Dipendenza di T e R da r = min(z 1 /Z 2, Z 2 /Z 1 ). Se Z 1 e Z 2 sono molto diversi (= cattivo accoppiamento di impedenze), r è quasi nullo e si ha R = 1. La trasmissione entra apprezzabilmente in gioco se Z 1 Z 2. 44

45 Qualora si voglia migliorare l adattamento di impedenze per facilitare il passaggio del suono da un mezzo ad un altro, si può inserire uno strato intermedio m avente impedenza caratteristica intermedia tra Z 1 e Z 2. Usualmente si cerca un materiale avente un valore di impedenza caratteristica Z m tale da approssimare il valore Z 1 Z 2 fornito dalla media geometrica tra Z 1 e Z 2. Si ricorre a questo espediente in ecografia quando si vuole massimizzare la trasmissione di segnale tra la sonda ecografica e il corpo umano. 45

46 INFRASUONI, SUONI E ULTRASUONI I suoni propriamente detti sono costituiti dalle onde sonore percepibili dal nostro orecchio. L orecchio in stato di buona performance percepisce frequenze che vanno da circa 20 Hz fino a circa 20 khz. Le onde acustiche associate a frequenze inferiori a questo intervallo diconsi infrasuoni mentre le onde acustiche che si collocano oltre l intervallo di udibilità si chiamano ultrasuoni. Nell intervallo di frequenze tra 2000 Hz e 6000 Hz è massima la capacità dell orecchio di percepire toni puri di intensità bassissima e la soglia dell udibile si colloca a circa W/m 2. La performance dell orecchio resta ragionevolmente costante e non introduce distorsioni in frequenza fino ad intensità dell ordine di 1 W/m 2. A quel punto si è vicini alla soglia del dolore e la catena degli ossicini smorza l energia incidente come naturale meccanismo di difesa. 46

47 I DECIBEL L intervallo tra il minimo udibile e la soglia di dolore è di ben dodici ordini di grandezza in intensità e risulta necessario capire come il cervello classifica l intensità dei suoni. Studi sulla percezione acustica dimostrano che la risposta del cervello agli stimoli acustici è di tipo logaritmico e che il cervello finisce per classificare come sostanzialmente uguali tutti i suoni la cui intensità differisce di meno del 30% e che quindi, ad esempio, i suoni (della stessa frequenza) la cui intensità cade nell intervallo [ W/m 2, W/m 2 ] risultano di fatto indistinguibili. Classifichiamo questo intervallo come il primo livello sonoro. Il secondo livello sonoro conterrà suoni con intensità contenuta nell intervallo [ W/m 2, (1.3) W/m 2 ]. 47

48 Quante volte dobbiamo moltiplicare per 1.3 per arrivare al valore superiore di 1 W/m 2? L equazione nell incognita N (1.3) N = 1 (28) dà N = 105, da cui si conclude che il cervello umano classifica i suoni in intensità in circa un centinaio di livelli. Alla luce di queste considerazioni viene utilizzata una scala che gradua in livelli discreti l intensità sonora quale viene percepita dal cervello umano (legge di Weber-Fechner). 48

49 SCALA SIL Un suono di intensità I viene classificato in base alla formula n SIL = 10 log ( I W/m 2 ) (29) della quale si prende il valore arrotondato all intero più vicino e se ne esprime il valore in decibel (db). Un valore di intensità I = W/m 2 inserito nella (29) fornisce il valore n SIL = La classificazione di tipo SIL (acronimo di Sound Intensity Level) che si dà di quel suono è di 64 db. Si ritiene che questo tipo di valutazione quantifichi correttamente anche ai fini normativi e legislativi l impatto di suoni di nota intensità sull individuo. 49

50 SCALA SPL Essendo la misura della pressione acustica più praticabile rispetto alla misura di intensità, è invalsa l abitudine di misurare i livelli di sensazione sonora utilizzando al posto del SIL il cosiddetto SP L, acronimo di Sound Pressure Level. Per definizione il livello di percezione sonora misurata in decibel SPL è dato dalla relazione n SP L = 20 log ( p P a ) (30) dove p è la pressione sonora ed il valore P a corrisponde alla pressione sonora che si ha in aria con un intensità minima di W/m 2 (si assume Z aria = 400 kg m 2 s 1 ). 50

51 Infatti dalla (11) si ricava la relazione p = Z I (31) che fornisce il valore P a per la minima pressione acustica percepibile. La stessa relazione (sempre in aria con Z aria = 400 kg m 2 s 1 ) calcolata per I max = 1 W/m 2 dà il valore p max = 20 P a di pressione acustica prossima alla soglia del dolore. Si noti che quest ultimo valore, pur rappresentando una soglia di pericolo di tipo acustico, risulta comunque molto minore della pressione atmosferica P = 10 5 P a. 51

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53 SCALA DELLE FREQUENZE Il tipo di risposta del cervello a molte categorie di stimoli quali le sensazioni visive, tattili, dell odorato e del gusto sono di tipo logaritmico, alla stessa stregua della percezione di intensità sonora. Non fa eccezione neppure la reazione del cervello alle variazioni di frequenza di toni puri. Questo fatto è ben noto ai musicisti che da secoli utilizzano scale di frequenza logaritmiche e che ragionano spesso utilizzando in modo involontario dei concetti tipici del calcolo logaritmico. I musicisti dividono in dieci ottave l intervallo delle frequenze udibili che ricordiamo va da 20 Hz a Hz. Ogni ottava corrisponde ad un raddoppio di frequenza. 53

54 Come esempio, la prima ottava va da 20 Hz a 40 Hz, la seconda va da 40 Hz a 80 Hz, la terza va da 80 Hz a 160 Hz e così via fino alla decima che va da Hz fino a Hz (si ricordi che 2 10 = 1024). Ogni ottava viene poi suddivisa in sei intervalli e per passare da un intervallo al successivo la frequenza deve aumentare di un fattore 6 2 = L intervallo delle frequenze udibili viene così suddiviso in circa 60 toni a ciascuno dei quali corrisponde un aumento di frequenza di un fattore Si noti incidentalmente che detto valore praticamente coincide con l incremento in ampiezza che corrisponde ad 1 db. Infatti l imporre 20 log(p 2 /p 1 ) = 1 dà p 2 /p 1 = =