Oscillazione risonante di una colonna d aria e velocità del suono

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1 Oscillazione risonante di una colonna d aria e velocità del suono Scuola estiva di Genova luglio

2 Questo esperimento impiega l oscillazione risonante di una colonna d aria per misurare la velocità del suono. Teoria La risonanza è il fenomeno che capita quando un oggetto che oscilla alla stessa frequenza naturale di un secondo oggetto pone in vibrazione questo secondo oggetto. Se prendiamo due diapason con la stessa frequenza naturale posti l uno vicino all altro e ne percuotiamo uno in modo da farlo vibrare, anche l altro diapason inizierà a vibrare pure se non lo percuotiamo. Questo è causato dalla risonanza. Nell esperimento impiegheremo una sorgente sonora a frequenza tenuta fissa per produrre una risonanza in un tubo verticale. Il suono prodotto dalla colonna d aria risonante sarà udito con un intensità maggiore del suono prodotto dalla sorgente. Le espressioni riportate sotto mostrano le relazioni fra la lunghezza della colonna d aria e la lunghezza d onda, e fra la velocità del suono e la lunghezza d onda. La relazione fra la velocità del suono e la lunghezza d onda è chiamata relazione di dispersione. L n = 2n 1 λ L, 4 c = f λ, dove : L n = lunghezza della colonna d aria per il punto di risonanza n ; L = correzione da estremità aperta della colonna d aria ; λ = lunghezza d onda del suono ; c = velocità del suono ; f = frequenza dell onda sonora. In realtà anche l aria intorno all estremità aperta del tubo risonante si comporta come parte della colonna d aria. Questa si chiama correzione da estremità aperta. Possiamo eliminare gli effetti della correzione da estremità 2

3 Figura 1: 1 Punto di risonanza 1 ; 2 punto di risonanza 2. aperta misurando la lunghezza della colonna d aria nel punto di risonanza 1 e nel punto di risonanza 2 e calcolando la differenza fra i due. Possiamo usare questo insieme alla relazione di dispersione dell onda per determinare la velocità del suono, con l espressione seguente : c = 2f(L 2 L 1 ). Apparato Tubo risonante di vetro, con diametro interno uniforme ed, eventualmente, tacchette graduate. Tubicino di gomma ; serbatoio ; supporto. Microfono piezoeletrico e cavetto di connessione. Altoparlante e cavetto di connessione. Generatore di forma d onda sinusoidale. Oscilloscopio con sonda. Termometro. 3

4 Figura 2: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 lunghezza del tubo = 1 metro ; 3 supporto ; 4 serbatoio ; 5 tubo di gomma ; 6 generatore a bassa frequenza : 800 Hz ; 7 altoparlante. Preparazione Disponiamo l apparato come mostrato nella figura 2 e riempiamo tubo e serbatoio d acqua, senza farla uscire. Solleviamo e abbassiamo il serbatoio assicurandoci che il livello dell acqua cambi. Misurazione dei punti di risonanza Posizioniamo il microfono in modo che riceva un segnale e visualizziamolo sull oscilloscopio collegato ; misuriamo l ampiezza. Abbassiamo il livello dell acqua e troviamo il punto di ampiezza massima. 4

5 Figura 3: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 punto di risonanza 1 ; 3 L 1 ; 4 ampiezza dell onda sonora ; A : livello A dell acqua ; B : livello B dell acqua ; C : livello C dell acqua. Abbassiamo ulteriormente il livello dell acqua e troviamo il successivo punto di ampiezza massima. Ripetiamo le misure un certo numero di volte e calcoliamo la media dei risultati. Sostituiamo i valori medi di L 1 ed L 2 nella formula teorica di sopra e calcoliamo la velocità del suono. Misurazione della temperatura della colonna d aria Usiamo il termometro per misurare la temperatura all interno del tubo di vetro. Sostituiamo il valore misurato della temperatura nella seguente formula ( vedere appendice ) e calcoliamo la velocità del suono. Quindi 5

6 Figura 4: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 punto di risonanza 1 ; 3 L 1 ; 4 punto di risonanza 2 ; 5 L 2 ; 6 ampiezza dell onda sonora ; D : livello D dell acqua ; E : livello E dell acqua ; F : livello F dell acqua. confrontiamo il risultato con il valore precedentemente trovato. dove : c = velocità del suono ; ϑ = temperatura in gradi Celsius. c = ϑ, Operazioni all oscilloscopio Usiamo il microfono piezoelettrico per ricevere il suono e visualizzarne il segnale d uscita all oscilloscopio. Confermiamo che l ampiezza sia al suo massimo per i livelli B ed E dell acqua. Usiamo la sonda del termometro per misurare la temperatura e leggerla. 6

7 Figura 5: 1 Tubo risonante di vetro ; 2 sonda del termometro ; 3 termometro. Figura 6: Forma d onda ai livelli d acqua A, C, D, ed F. 1 Forma d onda ; 2 ampiezza ; S intensità del suono ; t tempo. Figura 7: Forma d onda ai livelli d acqua B ed E. 7

8 Approfondimenti Ripetiamo l esperimento usando una diversa frequenza e osserviamo la differenza nei punti di risonanza e nella velocità del suono. Usiamo l analisi della FFT ( Fast Fourier Transform ) per determinare la frequenza ad ogni livello d acqua e confrontiamo il risultato con la frequenza della sorgente sonora. Sostituiamo la velocità osservata nella formula teorica e calcoliamo la correzione da estremità aperta. Cerchiamo per che fattore dobbiamo moltiplicare il valore della correzione da estremità aperta per ottenere il diametro interno del tubo risonante. Effettuiamo l esperimento con un tubo di vetro di diametro diverso e troviamo come il valore della correzione da estremità aperta viene alterato. Appendice In generale, la velocità del suono c è data da : c = C ρ, dove : C = modulo di Young, o modulo di compressibilità per un gas ; ρ = densità. Si trova anche che c 2 = p ρ, dove la derivata è calcolata lungo una trasformazione adiabatica. 8

9 Per un gas, il modulo di compressibilità, C, è approssimatamente dato da C = γ p, cosicché la velocità del suono diventa c = γ p ρ, dove : γ = indice adiabatico del gas. È il rapporto del calore specifico a pressione costante del gas per il calore specifico a volume costante. Compare nella formula perché un onda acustica induce una compressione adiabatica, in cui il calore prodotto dalla compressione non ha abbastanza tempo per sfuggire dalla regione compresa e, perciò, contribuisce alla pressione indotta dalla compressione. p = pressione. ρ = densità. Se usiamo la legge dei gas ideali per sostituire p con nrt/v e ρ con nm/v, l espressione di prima diventa c ideale = γ p γ R T γ k T ρ = M = m, dove : c ideale = velocità del suono di un gas ideale. R = costante molare dei gas ( circa J mol 1 K 1 ). k = costante di Boltzmann. γ = indice adiabatico del gas. T = temperatura assoluta. M = massa molare. La massa molare media dell aria secca vale circa kg/mol. m = massa di una molecola del gas. Questa formula, calcolata per l aria, dà valori solo leggermente diversi da quelli misurati sperimentalmente. 9

10 Per l aria il valore dell indice adiabatico, γ, varia fra e a 0 o C. L uso del valore 7/5 per γ richiede che il gas si trovi in un intervallo di temperature abbastanza alte affinché i gradi di libertà rotazionali siano eccitati, in modo che la rotazione molecolare agisca come un serbatoio di calore ; ma, allo stesso tempo, la temperatura sia abbastanza bassa affinché i modi vibrazionali molecolari non contribuiscano alla capacità termica. Cioè la quantità di calore che va in vibrazione deve essere trascurabile, dal momento che tutti i modi vibrazionali quantistici al di sopra di quello di energia minima, a queste temperature devono avere energie troppo alte per essere popolati da un numero significativo di molecole. Per l aria queste condizioni sono soddisfatte alla temperatura ambiente e a temperature inferiori. Se, per calcolare la velocità del suono nell aria a temperature vicine a 273 K, misuriamo la temparatura in gradi Celsius, scriveremo ϑ = T c ideale = = γ R T γ R (ϑ ) M = M γ R ϑ M = Se valutiamo questa formula per l aria secca con R = J mol 1 K 1, M = kg mol 1 e γ = 1.4, abbiamo c aria = m s ϑ Approssimando il termine sotto radice con la sua espansione in serie di Taylor troncata dopo i primi due termini, riscriviamo c aria = m s 1 (1 + ) ϑ = ( ϑ) m s