L'EQUILIBRIO DI HARDY- WEINBERG

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1 L'EQUILIBRIO DI HARDY- WEINBERG Questo documento è pubblicato sotto licenza Creative Commons Attribuzione Non commerciale Condividi allo stesso modo

2 Numerosità genotipiche attese Prendiamo come esempio la prima popolazione dell' articolo di Sassaman: Vediamo che sotto il valore delle numerosità genotipiche osservate (52, 24 e 4 ) sono riportati i valori attesi Attesi in base a quale ipotesi? Se io mi attendo di osservare un certo numero di eventi, vuol dire che ho in mente un sistema, più o meno complesso, per fare previsioni

3 L'ipotesi della panmissia La previsione su cui sono calcolati i valori attesi delle numerosità genotipiche è basata sull'ipotesi che la popolazione sia panmittica Se l'ipotesi è vera (ciascun genotipo si accoppia perfettamente a caso con qualunque altro genotipo), la legge che consente di quantificare gli attesi è una legge probabilistica elementare Panmixia: (pan mix i a) noun - random mating of individuals within a population, the mating individuals showing no tendency to choose partners with particular traits

4 Formazione degli zigoti per unione casuale dei gameti Immaginiamo che tutti i gameti maschili e femminili prodotti da una certa popolazione al momento della riproduzione costituiscano due enormi insiemi separati, in pratica due urne dalle quali possiamo pescare a caso. Consideriamo un locus diallelico, per il quale le frequenze dei due alleli A 1 e A 2 sono rispettivamente p e q (= 1 p), uguali nei due sessi. Immaginiamo quindi di prelevare a caso un gamete dall urna maschile e un'altro dall'urna femminile, e formiamo il genotipo dello zigote; abbiamo quattro possibilità: A 1 A 1, A 1 A 2, A 2 A 1, e A 2 A 2.

5 Probabilità dei genotipi degli zigoti Con che probabilità otteniamo tali genotipi? Trattandosi di eventi indipendenti dobbiamo semplicemente moltiplicare fra loro le probabilità delle diverse estrazioni, per cui troviamo che Pr(A 1 A 1 ) = p x p = p 2, Pr(A 1 A 2 ) = p x q, Pr(A 2 A 1 ) = q x p, e Pr(A 2 A 2 ) = q 2.

6 La legge di Hardy-Weinberg Possiamo raffigurare il processo della formazione di uno zigote mediante un diagramma di Punnett, in cui le frequenze alleliche sono rappresentate dalla lunghezza di un segmento su due assi cartesiani di lunghezza 1, così che la frequenza di ciascun genotipo è rappresentata dal prodotto di due frequenze, cioè dall'area di un quadrilatero. Poichè non possiamo distinguere il genotipo A 1 A 2, da A 2 A 1, diventa ovvio che le frequenze attese dei genotipi A 1 A 1, A 1 A 2 e A 2 A 1 in una popolazione con frequenze alleliche p e q sono rispettivamente p 2, 2pq e q 2 Questa è la legge di Hardy-Weinberg

7 Numerosità genotipiche osservate e attese La legge di HW è formulata nei termini di frequenze relative, cioè riportate a somma 1. Poichè però noi partiamo da campioni di numerosità arbitraria, vogliamo in genere esprimere le frequenze genotipiche attese sulla stessa scala delle frequenze osservate. Per ottenere questo basta semplicemente moltiplicare le frequenze genotipiche attese (relative) per il totale del campione osservato (n); in tal modo possiamo confrontare direttamente le numerosità attese e osservate di ciascun genotipo, e valutare criticamente se esse consistono. Chiamando E{. } il valore atteso di una data quantità abbiamo che E{ f ii } = n p i 2, e E{ f ij } = 2n p i p j.

8 Calcolo degli attesi nell'esempio di Sassman p = (2 x )/160 = 0,800 p 2 = 0,64, 2pq = 0,32, q 2 = 0,04 E{f/f} = 0,64 x 80 = 51,2 E{f/s} = 0,32 x 80 = 25,6 E{s/s} = 0,04 x 80 = 3,2

9 Legge di Hardy-Weinberg per loci multiallelici L estensione della legge di HW a loci multiallelici è ovvia. Per un locus con tre alleli (es. A, B, C), si possono avere sei diversi genotipi (AA, AB, AC, BB, BC, CC), con quattro alleli 10 genotipi (AA, AB, AC, AD, BB, BC,..., DD), ecc. Dato il numero di alleli (a), il numero dei genotipi è dato da [a x (a +1)]/2 In generale quindi la legge di Hardy-Weiberg può essere formulata come segue: Dato il polinomio delle frequenze alleliche (p 1 + p 2, +..., + p m ) = 1, la distribuzione delle frequenze genotipiche attese sotto l'ipoitesi di panmissia è data dallo sviluppo del suo quadrato: (p 1 + p 2, +..., + p m ) 2 = p p 1 p 2 + p p m 2 = 1

10 Legge di Hardy-Weinberg per loci ipervariabili Un esempio di analisi di frequenze alleliche osservate e attese per un locus ipervariabile si trova nell articolo di Tie et al.: Il lavoro di Tie è volto a validare un particolare marcatore, denominato D2S1242, per l uso in medicina legale. Questo locus è un tipico microsatellite, o short tandem repeat (STR, corta sequenza ripetuta in tandem), costituito da un segmento di quattro basi ripetuto molte volte, variabile da allele ad allele. Tale struttura fa sì che i tassi di mutazione per l acquisizione o la perdita di una unità di ripetizione siano piuttosto alti, e ciò determina in genere una elevata variabilità genetica nelle popolazioni di questo tipo di loci.

11 Frequenze alleliche di un microsatellite (o STR)

12 Genotype Obs. Exp. Tie Exp. true others Frequenze osservate e attese Le numerosità genotipiche osservate e attese al locus D2S1242 in un campione di 213 individui della popolazione cinese sono riportate nella tabella accanto. Vediamo che sono stati individuati 32 genotipi diversi, determinati da 10 alleli; i nomi degli alleli corrispondono per convenzione al numero delle unità ripetute (quindi l allele più corto è di 9 unità e quello più lungo di 19). Se procediamo al calcolo delle frequenze alleliche e al calcolo delle frequenze genotipiche attesi usando l'equazione di Hardy- Weinberg, troviamo che i calcoli coincidono, tranne che in un caso

13 Un'approssimazione non necessaria Osserviamo in effetti una incongruenza. Con 10 alleli sono possibili 55 genotipi diversi, mentre ne sono stati osservati solo 32; quindi 23 genotipi hanno frequenza osservata 0. Tuttavia la loro frequenza attesa non è nulla. In effetti le numerosità attese dei 32 genotipi sommano esattamente a 208,7, non a 213. Per differenza troviamo quindi che i 23 genotipi con frequenza osservata zero nel campione hanno cumulativamente una frequenza attesa di 4,3, che non è una quantità trascurabile. Nella tabella di Tie et al. questo valore è stato chiaramente aggiunto all atteso del genotipo (il più frequente), una semplificazione arbitraria e non necessaria.

14 Deviazioni dall'equilibrio di Hardy-Weinberg Le frequenze genotipiche attese, calcolate per mezzo della legge di Hardy-Weinberg, differiscono da quelle osservate di una certa quantità, che può essere piccola o grande Ad esempio, per la seconda popolazione di Sassman, il numero osservato di s/s (45) è circa l' 80% di quello atteso (56,5) Come facciamo a decidere se le frequenze osservate coincidono sostanzialmente con quelle attese, o se ne discostano troppo? Nel secondo caso dovremmo concludere che la legge di Hardy-Weinberg non è soddisfatta in quella popolazione

15 Controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg La decisione non può che essere adottata sulla base di un ragionamento statistico Il metodo con cui si saggia la bontà dell'accordo fra frequenze genotipiche osservate e attese prende il nome di controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg Il controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg si attua in tre passaggi: Si calcolano le frequenze alleliche dalle frequenze genotipiche Si calcolano le frequenze genotipiche attese secondo la legge di H-W Si confrontano le frequenze osservate e attese per mezzo di un test statistico

16 Il test dell'equilibrio di H-W col chi quadro Nel caso di un sistema diallelico il controllo dell'equilibrio di Hardy- Weiberg è particolarmente semplice Genotipi Osservati Attesi Chi quadro AA 84 80,0 0,199 AB 85 93,0 0,684 BB 31 27,0 0,589 Total ,0 1,472 P = 0,22498 Alleli Osservati A 253 B 147 Tot 400 Alleli Frequenze A 0,633 B 0,368 Tot 1,000 Il valore della probabilità ci dice quanto è probabile che l'equilibrio di H-W sia rispettato da questi dati I valori di chi quadro si calcolano come [(ossatt) 2 /att] Il valore finale del chi quadro è la somma di tre valori parziali Il valore di chi quadro si converte in una probabilità con una apposita funzione matematica

17 Gradi di libertà del test HWE Normally, the degrees of freedom in a chi-square test are equal to the number of observations minus 1 Essentially, if I know total number of observations and how many are in all but 1 group, I can guess how many observations were in the last group, so that group has no 'freedom' However, this is not true for testing the hardy-weinberg equilibrium. You have to think about how many quantities are really free to vary we first estimated p and q, then we used them to get p 2, 2pq, and q 2. So really, once we decided on a value for p, everything else was decided for us. Whatever p was, q had to be 1-p, and p 2, 2pq, and q 2 were set as well So, the moral of the story is, since only p is able to vary, there is ONLY ONE degree of freedom in this chi-square test.

18 Gradi di libertà per loci multiallelici La regola generale per trovare il numero di gradi di libertà di un locus multiallelico è data da numero delle classi fenotipiche (F) meno una meno numero delle frequenze alleliche stimate dai dati (a) meno una (F 1) (a 1) = F a Che si semplifica in: numero delle classi fenotipiche meno il numero degli alleli del locus Per il sistema AB0 ci sono 4 fenotipi (A, B, AB, e 0) e 3 alleli, e il chi quadro HWE ha 1 grado di libertà Oggi il test dell'equilibrio HW viene spesso eseguito al calcolatore usando metodi numerici di simulazione-permutazione

19 Miti da sfatare Fra le condizioni che devono essere soddisfatte perchè una popolazione si trovi in equilibrio di Hardy-Weinberg sono spesso citate: la grande dimensione della popolazione questo non è corretto: la legge di H-W vale indipendentemente dal numero degli individui che si accoppiano a dalla numerosità della prole; in piccole popolazioni è semplicemente difficile decidere se l'equilibrio è soddisfatto o meno la segregazione mendeliana degli alleli in effetti alterazioni della segregazione (trasmissione anomala degli alleli dal genitore alla prole) sono stati descritti, ma sono fenomeni estremamente rari l'assenza di migrazione la migrazione può alterare l'equilibrio solo se il numero dei migranti è grande e se le frequenze alleliche nei migranti sono diverse da quelle della popolazione di interesse

20 Altri miti da sfatare Altre condizioni che vengono spesso citate in relazione all'equilibrio: assenza di mutazione in effetti la mutazione è un fenomeno talmente raro che essa è praticamente irrilevante per l'equilibrio assenza di selezione per l'uno o l'altro dei genotipi osservati la selezione deve essere particolarmente forte per incidere sull'equilibrio che vi sia unione casuale dei gameti questa è la condizione della panmissia, e anche piccoli scostamenti da essa possono provocare deviazioni significative dall'equilibrio

21 Il primo passo dell'analisi genetica delle popolazioni Il controllo dell'equilibrio di Hardy-Weinberg è sempre il primo passo di qualunque studio genetico in una qualsiasi popolazione Generalmente ci attendiamo che l'equilibrio sia rispettato Una deviazione significativa dall'equilibrio di un locus particolare può segnalare difetti nelle procedure di genotipizzazione forti fenomeni di selezione o di mescolamento di popolazioni deviazioni dall'accoppiamento casuale (deviazione dalla panmissia)