LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA CIVILE. Docente: Marinella Giunta

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1 UNIVERSITA DEGLI STUDI MEDITERRANEA DI REGGIO CALABRIA FACOLTA DI INGEGNERIA LAUREA MAGISTRALE INGEGNERIA CIVILE Corso di PROGETTO E GESTIONE DELLE INFRASTRUTTURE VIARIE LECTURE 04 ELEMENTI DI RISK ANALYSIS CONCETTI DI PROBABILITA, FREQUENZA, MAGNITUDO Docente: Marinella Giunta

2 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 1/4 Per certi eventi che investono la collettività e possono provocare gravi danni sia immediati che ritardati alle persone o alle cose si definisce: Rischio = Frequenza prevista per l evento x R = F x M Magnitudo delle conseguenze Determinare la frequenza prevista per l accadimento dell evento ipotizzato e la gravità delle conseguenze significa con una espressione tecnica effettuare una valutazione probabilistica del rischio.

3 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 2/4 La valutazione del rischio si articola in tre studi: 1. Individuazione degli eventi che possono dar luogo ad un incidente rilevante 2. Determinazione della frequenza di accadimento dell evento 2. Analisi delle conseguenze

4 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 3/4 La definizione del rischio come prodotto della frequenza di accadimento dell evento per la magnitudo delle conseguente ha l enorme vantaggio di consentire una valutazione quantitativa del rischio ed abbandonare il significato vago che il termine rischio ha nel linguaggio comune. Con i numeri è più facile effettuare confronti e stabilire graduatorie!

5 DEFINIZIONE ANALITICA DEL RISCHIO 4/4 Frequenza prevista Protezione R 1 R 2 Prevenzione R 3 R 1 > R 2 > R 3 Magnitudo delle conseguenze Nel caso in cui il rischio non venga considerato tollerabile si potrà ridurre operando sulla frequenza di accadimento (azione di prevenzione) o sulla magnitudo delle conseguenze (azione di protezione)

6 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 1/21 Esistono due definizioni di probabilità: probabilità oggettiva (o classica) probabilità soggettiva PROBABILITA OGGETTIVA La definizione di probabilità oggettiva, introdotta da Pascal nel XVII secolo è la seguente: Dati N eventi che hanno uguale possibilità di verificarsi, la probabilità di accadimento dell evento A, vale: P(A) = Numero di eventi A Numero totale di eventi

7 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 2/21 PROBABILITA OGGETTIVA ESEMPI Nel lancio di un dado: Nel lancio di una moneta: P(uscita del 2) = 1/6 P(TESTA) = 1/2 CONSIDERAZIONI La definizione presuppone il conteggio di tutti gli eventi ugualmente possibili e questo è fattibile nel caso di giochi con carte, monete, dadi, al lotto, alla roulette. Questa probabilità si può anche chiamare teorica, nel senso che può essere valutata a tavolino, una volta nota la situazione. Nei casi reali il conteggio di tutti gli eventi non è sempre possibile e spesso non ha addirittura alcun significato. Gli eventi possibili possono non essere equiprobabili.

8 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 3/21 PROBABILITA OGGETTIVA VANTAGGI A. Permette di stabilire alcune relazioni matematiche relative alla probabilità B. Costituisce una scala di riferimento per la probabilità soggettiva A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA La definizione classica ci dice che la probabilità è un numero puro e può variare dallo zero (per un evento impossibile) all unità (per un evento certo), cioè: 0 P 1

9 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 4/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA Si può affermare che il verificarsi dell evento A e il non verificarsi (che indichiamo con not A) soddisfano alla relazione: P(A) + P(not A) = 1. considerando il caso in cui un evento possa verificarsi in relazione all accadimento di altri, questi ultimi fra di loro indipendenti, si possono avere due casi:

10 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 5/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA (I) L evento H capita quando si verifica l evento A oppure l evento B oppure entrambi, e si scrive simbolicamente: H = A or B La formula del calcolo delle probabilità per l evento H è la seguente: P(H) = P(A or B) = P(A) + P(B) P(A).P(B)

11 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 6/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA (II) L evento K capita quando si verifica l evento C e l evento D; si scrive simbolicamente: K = C and D La formula del calcolo delle probabilità per l evento K è la seguente: P(K) = P(C and D) = P(C). P(D)

12 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 7/21 PROBABILITA OGGETTIVA A. FORMULE DI BASE DEL CALCOLO DELLA PROBABILITA ESEMPI: Si lancino due dadi. Le coppie di valori possibili sono in numero di 36: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6 P(5 sul primo dado or sul secondo) = 11/36 = 0,305 Lo stesso risultato si può trovare così: P(5 or 5) = 1/6 + 1/6 1/6.1/6 = 11/36 = 0,305

13 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 8/21 PROBABILITA OGGETTIVA B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA Ritornando al gioco di TESTA o CROCE, si lancino due monete. La probabilità di avere tutte TESTE è 1/4, valutabile dal fatto che l evento favorevole è uno dei 4 eventi possibili: T.T, T.C, C.T, C.C o anche ricorrendo alla formula del calcolo delle probabilità P (Tand T) = 1/2.1/2 =1/4 Se si lanciano 3 monete la probabilità di avere TESTA SU tutte si calcola con una generalizzazione della formula: e lanciando N monete: P (Tand T) = (1/2) 3 = 1/8 = 0,125 P (Tand Tand Tand Tand T ) = (1/2) N

14 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 9/21 PROBABILITA OGGETTIVA B. SCALA DI RIFERIMENTO DELLE PROBABILITA Alcune potenze di 1/2 per una scala di riferimento: esponente valore valore N di (1/2) N approssimato 1 0,5 2 0,25 3 0, , , , , ,

15 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 10/21 PROBABILITA SOGGETTIVA Un altro punto di vista diverso, chiamato soggettivista o neobayesiano è importante per la maggior parte dei problemi. Si tenga presente che soggettivo non vuol dire arbitrario, ma semplicemente legato alle conoscenze del soggetto (De Finetti). A questa definizione si è costretti a ricorrere quando, volendo determinare il valore di una probabilità, non sono valide le condizioni discusse per la probabilità oggettiva. Il dominio di definizione della probabilità soggettiva comprende eventi unici, rari o capitati più volte nel passato in circostanze che non si ritengono più valide per il futuro. Rientrano in queste situazioni, per cu si può definire solo una probabilità soggettiva, terremoti, alluvioni avvenimenti sportivi, caduta di un aereo, ecc..

16 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 11/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica B. Valutazione tramite i bookmakers C. Metodo della decomposizione

17 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 12/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica Tale valutazione si basa sul teorema di von Mises che afferma: In una serie di prove ripetute un gran numero di volte nelle stesse condizioni, ciascuno degli eventi possibili si manifesta con una frequenza relativa che è pressappoco uguale alla sua probabilità. L approssimazione cresce ordinariamente con il crescere del numero delle prove.

18 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 13/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica Esempio: sono indicati i risultati di 10, 20, lanci di monete numero numero rapporto di lanci di TESTE TESTE/lanci , , , , , , ,5032 Il rapporto tra il numero delle volte che è apparso TESTA ed il numero totale dei lanci tende al valore teorico 0,5.

19 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 14/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: A. Valutazione frequentistica I risultati confermano la validità della legge dei grandi numeri e la disuguaglianza di Cebysev, che affermano che su un gran numero di prove è quasi certo che la frequenza coincide con la probabilità e che gli scarti hanno tendenza a compensarsi. ATTENZIONE Non dare a questo risultato interpretazioni eccessive e manifestamente assurde: non si pensi ad esempio che tale avvicinamento alla probabilità faccia attendere con maggiore facilità l apparizione di un evento in ritardo!

20 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 15/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: B. Valutazione tramite i bookmakers Per prevedere ad esempio il risultato di una corsa di cavalli si può studiare attentamente il lotto dei partenti, esaminare i risultati delle corse precedenti, tenendo conto della lunghezza del percorso, dello stato del terreno., e cercare di avere qualche confidenza dagli stallieri. E però più facile riferirsi alle poste dei bookmakers. Un cavallo dato S a T ha la probabilità di vincere in un gioco equo. P = S/(S+T)

21 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 16/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: B. Valutazione tramite i bookmakers La quota della posta S a T significa che si è disposti a ricevere T in caso di successo e dare S in caso di insuccesso. I bookmakers di Londra sono famosi in tutto il mondo ed accettano scommesse su tutto, ma anche loro incorrono in previsioni clamorosamente errate. Ai mondiali di calcio dell 82 la squadra azzurra, prima dell inizio delle gare, era data 1 a 20, il Cardinale Luciani non era neppure quotato dopo la morte di Papa Paolo VI!

22 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 17/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione Il metodo della decomposizione è importante per la valutazione della probabilità soggettiva riferita ad eventi rari o unici. Consiste nel considerare che un evento finale H o K può accadere per l avverarsi di eventi A, B, C, D,. indipendenti tra loro, secondo una delle relazioni logiche: H = A or B K = C and D

23 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 18/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione ESEMPIO Un treno non si arresta davanti ad un ostacolo per due motivi: la segnalazione luminosa è errata oppure il macchinista non avverte l indicazione o per entrambi i motivi. Naturalmente potrebbero essere considerati altri motivi, come il non funzionamento dei freni. Si ponga H = il treno non si arresta A = la segnalazione luminosa è errata B = il macchinista non avverte l indicazione Si può scrivere: H = A or B

24 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 19/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione ESEMPIO Se sappiamo in base all esperienza passata (cioè mediante una valutazione di probabilità tramite frequenza) che: P(A) = 1/100 (segnalazione luminosa errata) P(B) = 1/10 (errore umano) P(H) = P(A) + P(B) P(A).P(B) = 1/ /10-1/100.1/10 =1/10 L evento indesiderato è legato essenzialmente all errore umano..altri ESEMPI SU INCIDENTI STRADALI

25 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 20/21 PROBABILITA SOGGETTIVA METODI DI VALUTAZIONE: C. Metodo della decomposizione ESEMPIO Un reattore chimico può esplodere perché si è formata una miscela esplosiva e c e un innesco per lo scoppio. Siano: K = esplosione del reattore C = presenza di miscela esplosiva D = presenza di innesco Si può scrivere K = C and D P(K) = P(C).P(D) Se P(C) = 1/100 e P(D) = 1/10 la probabilità che accada l esplosione è P(K) = P(C).P(D) = 1/100.1/10 =1/1000

26 CONCETTI DI PROBABILITA E FREQUENZA 21/21 VARIABILE O NUMERO ALEATORIO Una variabile aleatoria o numero aleatorio ha un valore non noto a priori e può essere valutato attraverso una stima più o meno affidabile. ESEMPIO Numeri di incidenti con sversamento di materiali pericolosi che si verificano in una tratta autostradale in un anno; Talvolta, per convenienza, anche fenomeni e grandezze prevedibili empiricamente sulla base di modelli fisici sono interpretati nel senso di variabili aleatorie, rinunciando ad analizzare la complessità dei fenomeni e studiando solo la statistica delle sue manifestazioni. La serie storica dei valori assunti da una variabile aleatoria costituisce il campione o spazio campione e definisce i limiti conoscitivi o lo stato di conoscenza. La variabile aleatoria nelle sue realizzazioni storiche si definisce variabile campionaria.

27 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 1/13 Dopo avere richiamato i concetti di base della probabilità, definiamo il rischio ed esaminiamo come valutare in modo quantitativo i due fattori che entrano in gioco: la frequenza e la magnitudo. Indice di Rischio = Frequenza prevista per l evento x R = F x M Magnitudo delle conseguenze

28 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 2/13 Nella formula di calcolo dell indice di rischio, o semplicemente rischio, è insita la circostanza che risulta lo stesso rischio per un sistema che si prevede provochi 1 vittima all anno e per quello che ne provoca 25 in un evento che si prevede ogni 25 anni. In generale, noi siamo colpiti più dalla magnitudo delle conseguenze che dalla frequenza dell evento. Relativamente al calcolo delle frequenze abbiano richiamato il problema del giudizio soggettivo e quello delle frequenze estremamente basse. Si approfondisce adesso il carattere di accidentalità dell evento. Mentre alcuni eventi (caduta di un oggetto, ritorno di una cometa) sono previsti da leggi deterministiche, per altri eventi non è possibile formulare una previsione (scoppio di un pneumatico di un automobile, scontro tra due treni.)

29 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 3/13 Gli eventi accidentali possono essere di due tipi: - Eventi casuali uniformi nel tempo; - Eventi casuali non uniformi nel tempo. Eventi casuali uniformi nel tempo Si consideri un avvenimento che si verifica a ripetizione nel tempo. L evento è detto periodico se è costante l intervallo di tempo fra due accadimenti successivi: questo intervallo è detto periodo o tempo di ritorno (ed è indicato comunemente con T). La frequenza ν ne è l inverso. Nell ingegneria della sicurezza interessano prevalentemente eventi non periodici, e fra questi, quelli che accadono nel tempo secondo una legge casuale uniforme.

30 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 4/13 Eventi casuali uniformi nel tempo Per gli eventi casuali uniformi nel tempo detto N il numero di accadimenti nell intervallo complessivo considerato, possono essere definiti: - la frequenza ν; - l intervallo medio di tempo fra un accadimento ed il successivo: avendo indicato con t i successivi. T medio = Σ i t i /N l intervallo generico fra due eventi L intervello t medio vale approssimativamente l inverso di ν.

31 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 5/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI Esperimento: Si facciano estrazioni successive da un urna contenente gettoni marcati 0, 1, 2, 9 in numero estremamente grande. I gettoni delle diverse cifre sono in numero uguale e pertanto da questa popolazione avente distribuzione rigorosamente uniforme c è da aspettarsi che un campione di estrazioni (con reimbussolamento) presenti una distribuzione pressoché uniforme della 10 cifre. L aver effettuato estrazioni assicura che il processo è casuale. In pratica si utilizza una serie di numeri casuali uniformi ottenuti da un computer.

32 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 6/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI Esperimento: Si sostituisce SI allo zero e NO alle altre cifre e si considerino il SI e il NO come l etichetta attribuita ad ognuno dei anni, a seconda che si sia o no verificato un certo avvenimento nell anno. L anno di accadimento è casuale: ci aspettiamo di trovare nell intera storia degli ultimi anni circa 200 anni marcati SI. Nell esperimento si sono avuti 198 SI. La frequenza dell evento è quindi: e conseguentemente: ν = 198/2.000 ~ 0,1/ anno t medio = 1/ν =~ 10/ anni

33 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 7/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI a) Distribuzione delle frequenze Prendendo in considerazione intervalli di osservazione abbastanza lunghi si trovano valori delle frequenze dei SI con una distribuzione a campana, attorno al valore della moda (valore dell ascissa di maggior frequenza della funzione di distribuzione). NUMERO DI EVENTI (a) NUMERO DI EVENTI (b) L istogramma (a) è stato ricavato sperimentalmente: in ascissa è riportato il numero X di SI per secolo (e la frequenza corrispondente), in ordinata il numero di secoli caratterizzati dal valore X.

34 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 8/13 Eventi casuali uniformi nel tempo ALCUNE RELAZIONI CHE REGOLANO GLI EVENTI CASUALI UNIFORMI b) Distribuzione degli intervalli di tempo E stato ricavato t medio dall inverso della frequenza. Lo stesso valore si trova facendo la somma degli intervallo di tempo t 1, t 2, t 198 fra un evento SI ed il successivo e dividendola per il numero di eventi. Essendo t medio un valore medio, gli intervalli siano disposti attorno a questo, ancora secondo una distribuzione simmetrica: nel caso considerato si potrebbero aspettare molti intervalli di 10 anni, un po meno di 9 e 11, ancor meno di 8 e 12, e così via. La legge afferma invece che la distribuzione degli intervalli di tempo è una funzione decrescente. In effetti la distribuzione del numero degli intervalli non può essere simmetrica, ma decrescente: essendo fissato t medio, per ogni t i >> t medio devono esserci più valori con t i < t medio.

35 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 9/13 Eventi casuali uniformi nel tempo Le due leggi sono ben note nel calcolo delle probabilità: se l apparizione degli eventi è casuale uniforme la distribuzione delle frequenze è data da una funzione poissoniana e quella degli intervalli di tempo fra un evento ed il successivo da una funzione esponenziale negativa.

36 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 10/13 Eventi casuali non uniformi nel tempo La maggior parte dei sistemi e dei componenti tecnici mostrano durante certi periodi della loro vita ratei variabili: si hanno ancora eventi accidentali, guasti per esempio, ma con rateo o decrescente o crescente con l età. E molto comune per auto, televisori, sistemi di allarme un andamento del rateo di guasto che mostra un tratto che scende rapidamente, più piatto, poi in salita sempre più accentuata. Agli intervalli corrispondono: I. il rodaggio II. la vita utile III. l usura

37 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 11/13 OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO La valutazione dei danni, sia a priori sia a posteriori, è attuata nel campo assicurativo attraverso criteri prefissati di monetizzazione. I rischi facilmente assicurabili non sono quelli che si verificano raramente, perché questi mettono in gioco grandi valori concentrati su un mercato ristretto: essi impediscono il funzionamento della legge dei grandi numeri. Nella nostra trattazione interessano gli eventi che si verificano raramente: i problemi sono numerosi, e tra questi: a. Misurare la magnitudo scegliendo come unità di misura una vittima b. Ambiguità di considerare insieme, e con la stessa unità di misura, effetti immediati e a lungo termine

38 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 12/13 OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO a. Nella valutazione probabilistica del rischio la magnitudo deve essere determinata per un avvenimento previsto futuro, necessariamente affetto da incertezze. Accanto a questa difficoltà di principio, ne esiste un altra, presente anche per un evento già accaduto, relativa al problema di pesare le diverse conseguenze (feriti, morti, distruzione di cose) per attribuire un valore numerico alla magnitudo. Vi sono poi danni difficilmente valutabili, ma spesso gravi (disagio dello sfollamento, sospensione di attività). Entrano in gioco anche fattori psicologici. Per questo motivo spesso non c è accordo nello stabilire una graduatoria si magnitudo delle conseguenze.

39 IL RISCHIO DI UN EVENTO ACCIDENTALE 13/13 OSSERVAZIONI SULLA MAGNITUDO b. Le due affermazioni: Il terremoto uccide persone Il fumo ha ucciso persone Nel primo caso un terremoto ha causato in una zona abitata un gran numero di vittime: ci saranno anche case distrutte, servizi interrotti ecc La seconda affermazione evidenzia un fenomeno del tutto diverso: non si è mai visto stramazzare a terra nessuno perché avena una sigaretta in bocca. Semmai l abuso di tabacco provoca una riduzione della speranza di vita.