Problemi di Fisica. Elettromagnetismo. Il Campo Elettrico

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1 Problemi di Fisica lettromagnetismo Il Campo lettrico Data la distribuzione di carica rappresentata in figura, calcolare il campo elettrico prodotto nell origine degli assi cartesiani. I dati sono: -3e +e 3 +5e -e D 3 cm D cm D 3 cm D 3 cm α 3 α 7 α3 α 5 Distribuzione delle cariche

2 Le quattro cariche generano nell origine degli assi i vettori campo elettrico,, 3,, rispettivamente. Dobbiamo quindi trovare modulo e direzione di questi quattro vettori. Per trovare i moduli applichiamo la definizione di campo elettrico: K D K D 3 K D 3 3 K D e ( 3 ) e ( ) 5e ( ) e ( 3 ) ,6 9,6 9 5,6 9 9, ,8, 8,6 Ora dobbiamo trovare l orientamento dei quattro vettori campo elettrico nell origine, tenendo presente che per una carica positiva il vettore campo elettrico è un vettore uscente dalla carica, mentre per una carica negativa è un vettore entrante nella carica. L orientamento dei vettori è riportato nel seguente diagramma, dove abbiamo anche trovato graficamente il vettore campo elettrico totale agente nell origine: Diagramma del campo elettrico

3 Adesso possiamo trovare le componenti di ciascun vettore su ogni asse e quindi le componenti del vettore campo elettrico totale T : Componenti di Componenti di X Y cos α senα,8,8 cos 3, sen3, X Y cos α senα,, cos 7,9 sen7 3,5 Componenti di 3 Componenti di 3X 3Y 3 3 cos α senα cos 3,8 sen,6 X Y cos α senα,6,6 cos 5, sen5, XT YT + +,,9 + 3,8 +,, X X X 3X X +, 3,5 +,6,,6 Y Y Y 3Y Y Per ottenere il modulo di T ci serviremo del teorema di Pitagora e per ottenere la sua orientazione utilizzeremo la definizione di tangente: T XT, + YT (, ) + (,6 ) +,36, tgα YT XT,6,, α arctg α, 3

4 Una sfera conduttrice di raggio r cm inizialmente con velocità v m/s, entra in una regione di spazio dove è presente un campo elettrostatico uniforme /m. Calcolare il tempo che la sfera impiega a fermarsi se la sua massa è m g e la sua densità superficiale σ -6 C/m Si tratta di un moto uniformemente accelerato, per cui vale la seguente legge: Sapendo che: () v v at F a F q q πr σ m la () diventa: v v F m t v q m t v πr σ t m da cui ricaviamo l incognita tempo, tenendo presente che v (la sfera si ferma dopo un tempo t): t mv πr σ π,, 796s

5 Tra due lastre caricate di segno opposto esiste un campo elettrico uniforme. Un elettrone viene lasciato libero sulla superficie della lastra carica negativamente e colpisce la superficie della lastra opposta, a distanza di cm, in un tempo t,5-8 s. Calcolare il campo elettrico tra le due armature. Per definizione il campo elettrico è dato da: F q ed è diretto dall armatura positiva a quella negativa. Mentre la forza F ma è diretta nel verso opposto in quanto la carica su cui agisce è un elettrone (e,6-9 C; m 9,8-3 kg), ossia una carica di segno negativo. Pertanto, essendo un moto uniformemente accelerato (con a < ), dalla legge del moto ricaviamo l accelerazione: s at a s t, (,5 8 ),8 6 m / s per cui: F 9, ,8,6 N Infine, il campo elettrico tra le due armature sarà:,6,6 5 9,

6 Due gusci sferici conduttori concentrici hanno raggi R,5 m e R,7 m. La sfera interna reca una carica -6, -8 C. Un elettrone (e,6-9 C; m 9,8-3 kg) sfugge dalla sfera interna con velocità trascurabile. Supponendo che tra le due sfere ci sia il vuoto, calcolare con quale velocità l elettrone colpisce la sfera esterna. La sfera interna genera un campo elettrico pari a: K R 9 9 6,, N/C per cui sull elettrone che sfugge dalla superficie della sfera interna agirà una forza pari a: F e q, 9 con una conseguente accelerazione, per la a legge della dinamica, data da: , N a F m, 5 9,8 3,5 6 m / s In un moto accelerato, la velocità è legata all accelerazione dalla relazione: v as per cui, nel nostro caso, la velocità con la quale l elettrone colpisce la sfera esterna è: v 6 a (R R),5 (,7,5), 8 m / s

7 Un condensatore piano ha un campo elettrico /m e una lunghezza L 5 cm. Un elettrone entra tra le armature con una velocità v 7 m/s ortogonale ad. Calcolare l angolo di deflessione all uscita del condensatore ed il modulo della velocità (trascurare gli effetti al bordo). Dalla definizione di campo elettrico ricaviamo che la forza elettrostatica che agisce sull elettrone è data da: F q per cui F ha la stessa direzione di ma verso opposto in quanto la carica q è negativa. Pertanto F agisce perpendicolarmente alla velocità iniziale dell elettrone v e lo devia verso destra. Il moto dell elettrone in queste condizioni è paragonabile a quello di un proiettile, cioè costituito da due moti indipendenti: moto rettilineo uniforme lungo l asse y y v t () y moto uniformemente accelerato lungo l asse x v x a t () Ricavando il tempo t dalla (): x della velocità: L t e sostituendolo nella () otteniamo la componente v y L F L e L,6 5 v x a 8,8 v m v m v 3 7 9, y y y 9 6 m/s dove F a ( principio della dinamica). m Pertanto il modulo della velocità e l angolo di deflessione sono dati da: v Fin v x + v y (8,8 ) + ( ),33 m/s v 7 y tgα, α 8, 7 v 6 8,8 x

8 Due superfici piane distano tra loro d,5 cm e portano ciascuna una carica elettrica di densità superficiale pari a +σ e σ. Un elettrone le attraversa perpendicolarmente (si trascuri la deviazione subita dall elettrone). L elettrone oltrepassa la superficie carica negativamente con velocità v, 5 m/s e quella carica positivamente con velocità v, 6 m/s. Calcolare il valore della densità superficiale σ Cosa succede all elettrone se entra dalla parte della superficie carica positivamente? Spiegare cosa succede se al posto dell elettrone poniamo un protone.. Dalla definizione di campo elettrico ricaviamo che la forza elettrostatica che agisce sull elettrone è data da: F q () per cui F ha la stessa direzione di ma verso opposto in quanto la carica q è negativa. La densità superficiale è data come formula inversa del campo elettrico di un condensatore piano: σ ε σ ε Ma il campo elettrico non è noto, per cui dalla () si ricava che: F e pertanto il problema si riduce al calcolo della forza elettrica che agisce sull elettrone. Dal principio della dinamica sappiamo che: F m a dove l accelerazione viene calcolata attraverso l utilizzo delle leggi che regolano il moto uniformemente accelerato: v a d v Il sistema ottenuto è così costituito da due equazioni in altrettante incognite a e t, pertanto: v t t + at

9 v a d v v t t + v v t/ t / v v a t d vt + v t v t v v a t vt + vt d a (v v v t + v )t d v a t v v t d + v 6 a 9 9,,5 t , 9, 5 9 m / s s 9,ns Nota l accelerazione, siamo in grado di calcolare la forza elettrica F, il campo elettrico e quindi la densità superficiale σ: F m a 9, 3 5,,9 N F e,9,6 9, ,56 8,86 5 C / m 5nC / m σ ε In maniera alternativa, e più convincente, possiamo calcolare la forza che agisce sulla carica attraverso l utilizzo del teorema dell energia cinetica, che stabilisce: la variazione di energia cinetica della particella è uguale al lavoro compiuto dalle forze del campo sulla particella: L c mv mv m ( v v ) 9, [( ) ( ) ],5 J Dalla definizione di lavoro ricaviamo la forza che agisce sulla particella: L F d F L d,5, N per cui possiamo calcolare il campo elettrico e quindi la densità di carica superficiale: F e 9,6 7 9, ,56 8,86 5 C / m 5nC / m σ ε

10 . Se l elettrone entra dalla parte della superficie carica positivamente, sempre in base alla legge (), avremo che la particella, essendo carica negativamente, sarà sottoposta ad una forza che avrà verso opposto al campo elettrico, per cui subirà un rallentamento. 3. Se al posto dell elettrone poniamo un protone, in base alla legge (), avremo che la particella, essendo carica positivamente, subirà una decelerazione se entrerà dalla parte della superficie carica negativamente (vedi figura), e una accelerazione se entrerà dalla parte della superficie carica positivamente (vedi figura). I calcoli da eseguire al punto. e al punto 3. sono gli stessi di quelli eseguiti al punto.

11 Determinare il punto nel quale una goccia carica d inchiostro tocca il foglio di carta. I dati del problema sono: m,3 - kg -,5-3 C x 8 m/s L,6 cm, 6 N/C La goccia viene caricata negativamente nell apposito dispositivo ed entra con una velocità x tra i piatti deflettenti, dove viene deflessa verso l alto dalla presenza del campo elettrico diretto verso il basso, infatti: F -,5-3, 6 -, -7 N La presenza di F, grazie al secondo principio della dinamica, comporta una accelerazione anch essa verso l alto:

12 F m a y a y F m,,3 7 3,6 m / s Pertanto: lungo l asse X il moto della goccia è rettilineo uniforme, per cui la legge del moto è: ) L x t lungo l asse Y il moto è uniformemente accelerato, per cui la legge del moto è: ) y g t Ricavando t dalla ): t L x,6 8,9 s sostituendola nella ), otteniamo il punto nel quale la goccia tocca il foglio di carta: y 9,8 (,9 ) 6,5 5,65mm

13 Data la distribuzione di carica in figura, determinare il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S. I dati sono: + 3, nc 5-5,9 nc 3-3, nc 6 neutra + + S neutra 5 - Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie S, che chiameremo superficie gaussiana, si calcola attraverso la legge di Gauss: Φ() ε int erna + ε , 9 5,9 8,85 9 3, 9 N m 7 C Notare: La carica neutra non dà nessun contributo al flusso, anche se è inclusa nella superficie S Le cariche e 5 non danno nessuno contributo al flusso perché sono esterne alla superficie S e non sono perciò incluse in Σ interna Il segno meno indica che la carica netta all interno della superficie S è negativa e che il flusso attraverso S è entrante.

14 La parte visibile di un fulmine è preseduta da una fase invisibile in cui una colonna di elettroni si estende da una nuvola verso terra. uesti elettroni provengono dalla nuvola e dalle molecole dell aria ionizzate all interno della colonna. La densità di carica lineare lungo la colonna è tipicamente λ - -3 C/m. uando la colonna raggiunge la terra, gli elettroni contenuti in essa vengono scaricati rapidamente a terra. Durante la scarica, le collisioni tra gli elettroni e l aria della colonna danno luogo ad un lampo brillante di luce. Se le molecole d aria si ionizzano quando l intensità di campo elettrico è 3 6 N/C, qual è il raggio della colonna? Per risolvere questo problema, facciamo prima delle considerazioni di carattere generale. Sia data una bacchetta di plastica, carica, infinitamente lunga, con una densità di carica λ uniforme. Troviamo il campo elettrico ad una distanza R dall asse della bacchetta, utilizzando il teorema di Gauss. La scelta della superficie gaussiana dovrebbe adattarsi alla simmetria del problema, che è cilindrica, per cui scegliamo un cilindro circolare di raggio R e lunghezza h, coassiale con la bacchetta. Attraverso la superficie laterale S L il flusso è dato da: Φ( ) S SL cos α S (πr h) Notare : α tra ed S cos πr h S L Attraverso le basi del cilindro il flusso è nullo perché: α 9 tra ed S cos Φ() In definitiva, applicando il teorema di Gauss, otteniamo: Φ() ε int πr h λ h ε λ πε R () dove: λ h int Ritorniamo al nostro problema, e sebbene la colonna non sia rettilinea né infinitamente lunga, si può considerare approssimativamente una carica lineare. Per trovare il raggio della colonna, risolviamo la () rispetto ad R: R λ πε π 8, m Notare Il campo elettrico si dirige radialmente verso l interno poiché la colonna è fatta di elettroni Sebbene la colonna possa essere soltanto di 6 m di raggio, non si creda di essere al sicuro se ci si trova ad una distanza maggiore dal punto d impatto del fulmine, perché gli elettroni trasportati dal fulmine si propagano sul terreno e queste correnti di terra sono letali.

15 Un pendolino elettrico di massa m, g e carica q, µf si trova in equilibrio nel campo elettrico generato da un filo carico infinitamente lungo, la cui densità lineare di carica è λ, -5 C/m. Se all equilibrio la distanza della sferetta del pendolino dal filo carico è r,5 m e il pendolino è deviato di un angolo θ rispetto alla verticale, calcolare:. l intensità del campo elettrico. l intensità T della tensione del filo e l ampiezza dell angolo θ. Si dimostra che l intensità di un filo infinitamente lungo è data da: λ πε r Sostituendo i dati del problema otteniamo:, π 8,85 5,5,8 5 N/C. Come si vede dalla figura, sulla sferetta agiscono la forza elettrica F e q, la forza peso P mg e la tensione T del filo. ssendo il pendolino in equilibrio, applichiamo la condizione d equilibrio alla carica q: F Fe + P + T Fissato un sistema di assi cartesiani, scomponiamo la () secondo gli assi e otteniamo un sistema di due equazioni nelle incognite T e θ : q T sin ϑ T cos ϑ mg () Il sistema ammetterà le seguenti soluzioni: tgϑ q mg,,,8 3 9,8 5,5 ϑ 68 T mg cos ϑ 3, 9,8 cos 68, N

16 Determinare il campo elettrico generato in ogni punto dello spazio da una sfera conduttrice omogenea di raggio R elettrizzata con una carica In condizioni di equilibrio elettrostatico il campo elettrico, in base al teorema di Gauss, è nullo in tutti i punti interni alla sfera. Inoltre sappiamo che la carica elettrica di un conduttore si distribuisce interamente sulla sua superficie. In particolare, avendo a che fare con una sfera conduttrice, ossia con un conduttore di forma simmetrica, la carica si disporrà sulla superficie in maniera uniforme. Si tratta, dunque, di una distribuzione superficiale di carica a simmetria sferica, il cui campo elettrico esterno coincide con quello di una carica puntiforme posta nel centro. Per punti esterni alla sfera (r > R) il campo è diretto radialmente (verso uscente se è positiva, entrante se negativa) e il suo modulo è: K r ossia il campo decresce come /r a partire dal valore massimo max K R raggiunto sulla superficie della sfera (r R) Per punti interni alla sfera (r < R) il campo è nullo. uattro cariche puntiformi sono disposte nei vertici di un quadrato come in figura. Dopo aver eseguito una rappresentazione in scala dei campi generati dalle singole cariche nel centro del quadrato, determinare il campo elettrico totale. ( +3 - C +6 - C C - - C L cm) 3 L D T 3

17 La distanza di ciascuna carica dal centro del quadrato è pari alla metà della diagonale del quadrato, che si calcola applicando il teorema di Pitagora al triangolo di lato L: D L + L L L,,m D,7m Il campo elettrico prodotto da ciascuna carica nel centro del quadrato è dato da: 9 3 K 9 + 5,5 D (,7) K 9 + D (,7) 9 6 K 9 + D (,7) 9 ( ) K 9 3,7 D (,7) A questo punto siamo in grado di riportare in scala i singoli campi elettrici e determinare graficamente il campo elettrico totale prodotto nel centro del quadrato. Come si vede dalla figura, i campi elettrici e 3 sono uguali ed opposti, quindi si annullano, mentre e sono concordi e quindi si possono sommare. Pertanto il campo elettrico totale è dato da: T + 5,5 + 3,7 9,

18 Due cariche puntiformi µc e -µc distano m l una dall altra. Determinare il punto sulla retta individuata dalle due cariche in cui il campo elettrico è nullo. Innanzitutto stabiliamo da che parte è situato il punto: + B - A x L C X Tenendo presente la definizione di campo elettrico, valgono le seguenti considerazioni: se il punto fosse C, in esso agirebbero due campi elettrici opposti, ma sarebbe più grande di in quanto la carica, oltre ad essere più vicina al punto C, ha un valore più grande della carica ;quindi nel punto C il campo elettrico totale non può essere nullo; se il punto fosse in B, su di esso agirebbero due campi elettrici concordi, per cui in B il campo elettrico totale non può essere nullo; se il punto fosse A, su di esso agirebbero due campi elettrici opposti, ed essendo la carica più lontana, la posizione A sarà quella in cui il campo elettrico totale è nullo. La condizione per cui nel punto A il campo elettrico totale sia nullo è la seguente: () - Se fissiamo l origine dell asse X nel punto A rispetto a, la () diventa: e indichiamo con x la posizione del punto A K/ x x K/ (x + L) + x L + L x x x (x + L) + x L + L x x (x + L) x L L (x + L) x x x L equazione da risolvere è un equazione di grado le cui soluzioni sono: b ± b ac ± + ± x x.m x a.8.m Per come abbiamo fissato l asse X, la soluzione x è da scartare per cui la soluzione del problema è: x. m il campo elettrico è nullo all esterno del segmento individuato dalle due cariche a, m di distanza da.

19 Determinare in quale punto P, compreso tra due cariche, il campo elettrico è nullo. In dati sono: +,5-7 C + 3,5-7 C d 7 cm,7 m Rappresentiamo la situazione descritta dal problema: ++ P + X x d - x d La condizione per cui nel punto P il campo elettrico totale sia nullo è la seguente: () Se fissiamo l origine dell asse X nella carica e indichiamo con x la distanza di rispetto a P e con (d x) la distanza di rispetto a P, la () diventa: K/ x K/ (d x),5 (,9 + x,5 / / x,x) 3,5x 7 7 3,5 / / (d x),7 +,5x,5 (d x),x 3,5x 3,5 x x,5 (,7 x) +,x,7 3,5 x L equazione da risolvere è un equazione di grado le cui soluzioni sono: b ± b ac, ±, + 5,9, ± 3,, + 3, x x,8m x a, 3,,3m Per come abbiamo fissato le cariche sull asse X (ricorda che la carica è nell origine dell asse X), la soluzione x è da scartare (perché si riferisce ad un punto che è alla sinistra della carica ), per cui la soluzione del problema è: x,8 m perché rappresenta la posizione di un punto P compreso tra le due cariche, come richiesto dal problema.

20 Una piccola sfera di plastica di masse m 3g e carica elettrica q +µc viene lanciata, alla velocità v m/s, contro una sfera metallica ferma avente carica elettrica q + µc. distante d m. Determinare la distanza tra le due sfere nel punto di massimo avvicinamento. q P q x d Le due cariche, avendo lo stesso segno, tendono a respingersi; però la carica q, avendo un energia cinetica, riesce a vincere la forza repulsiva e quindi si avvicina alla carica q fino alla posizione P, che rappresenta il punto di massimo avvicinamento. Poiché la forza elettrica è conservativa, l energia totale del sistema si conserva durante il movimento: + U cos tante mv q q + K d q q K x C Sostituendo i dati del problema, otteniamo una equazione di grado dove l incognita è proprio la posizione di massimo avvicinamento: ,x,7 x 9,7,,7m 9 9, +,8,7 x Due elettroni distano m. Un altro elettrone, lanciato dall infinito, si ferma a metà strada tra essi. uale deve essere la sua velocità iniziale? Per il principio di conservazione, l energia meccanica dell elettrone proveniente dall infinito (cinetica + potenziale), si conserva: C + U costante ossia: Ci + U i Cf + U f Poiché l elettrone proviene dall infinito, la sua energia potenziale iniziale è nulla; mentre, poiché si ferma a metà strada tra i due elettroni, la sua energia cinetica finale è nulla. Pertanto, il principio di conservazione diventa: e Ci Uf mvi K d / da cui è possibile ricavare l incognita v i : + e d / mv i e K d v (,6 ) i 3 8Ke md 9,8 3 m/s

21 In un campo elettrico, per trasportare una particella da un punto A a un punto B fra i quali esiste una differenza di potenziale AB 3, 5, la forza del campo elettrico compie un lavoro L,8 - J. Supponendo che sulla particella non agiscano altre forze diverse da quella elettrica, determinare: la carica della particella l aumento dell energia cinetica Dalla definizione di differenza di potenziale ricaviamo il valore della carica della particella: L L,8 AB 9 q,6 q 5 AB 3, C Attraverso l ausilio del teorema dell energia cinetica determiniamo l aumento dell energia cinetica della carica: L,8 J elettroni sono posti ugualmente distanziati su un cerchio di raggio R mm. Rispetto a all'infinito (preso come livello di zero per il potenziale):. che valore hanno il potenziale elettrico ed il campo elettrico nel centro C del cerchio. discutere qualitativamente la situazione per quanto riguarda il potenziale elettrico ed il campo elettrico in C nel caso in cui gli elettroni fossero disposti lungo il cerchio in maniera non uniforme.. Poiché tutti gli elettroni hanno la stessa carica negativa e tutti sono disposti alla stessa distanza R dal centro, il potenziale nel punto C, con l ausilio del principio di sovrapposizione, è: n n qi e 9,6 i 9 73 πε r πε R 3 i i i 9 7 Poiché il potenziale elettrico è uno scalare, l orientamento di ciascuna carica rispetto a C è irrilevante per il potenziale. Al contrario, poiché il campo elettrico è un vettore, l orientamento degli elettroni è importante per la determinazione di. Infatti, il vettore campo elettrico nel punto C, dovuto ad un certo elettrone, a causa della disposizione simmetrica viene annullato dal vettore campo elettrico dovuto all elettrone che si trova diametralmente opposto. Per cui nel punto C:

22 . Se gli elettroni fossero spostati lungo il cerchio fino ad avere una distribuzione disuniforme, il potenziale sarebbe sempre lo stesso in quanto ogni elettrone ha sempre la stessa distanza da C e, come abbiamo detto, l orientamento è irrilevante. Invece, il campo elettrico, sempre per ciò che abbiamo detto, non è più nullo in quanto la disposizione degli elettroni non è più simmetrica. Pertanto esisterà un campo elettrico netto risultante diretto verso la maggiore distribuzione di cariche. Calcolare il potenziale elettrico nel punto P al centro di un quadrato di lato L,3 m e sui cui vertici sono collocate quattro cariche puntiformi: + nc - nc nc + 7 nc Poiché tutte le cariche hanno la stessa distanza r dal punto P, il potenziale nel punto P, con l ausilio del principio di sovrapposizione, deve essere: n n i πε i i q r i i 9 9 ( ), L L L,3 dove: r +, 9 m Calcolare il potenziale del campo elettrico di una carica, µc nel punto P distante, m. uanto vale il lavoro compiuto contro le forze del campo per spostare una carica q -, µc dal punto P al punto O che dista, m da. Applicando la definizione di potenziale elettrico di una carica puntiforme otteniamo: 9, πε d

23 Per trovare il lavoro, possiamo eseguire lo stesso ragionamento applicato al campo gravitazionale terrestre ponendo le cariche in luogo delle masse e la costante K in luogo di quella gravitazionale: L q 9 3 9,, 9 d d J πε Le cariche elettriche puntiformi -, nc e +, nc sono separate da una distanza d, m. Determinare sulla retta passante per le due cariche i punti in cui il potenziale elettrico è nullo. Tenendo presente la definizione di potenziale elettrico di una carica puntiforme: () πε r notiamo che < in quanto è negativa e > in quanto è positiva. Pertanto il potenziale totale, che per il principio di sovrapposizione è la somma algebrica dei singoli potenziali e, sarà nullo nei punti in cui e sono uguali in valore assoluto. Il potenziale non si può annullare in nessun punto alla sinistra della carica in quanto in questi punti è sempre maggiore di visto che dai dati del problema è maggiore di e dalla () il potenziale è direttamente proporzionale alla carica ed inversamente proporzionale alla distanza. Pertanto il potenziale si potrà annullare solo nei punti più vicini a, e cioè nei punti compresi tra le due cariche e a sinistra di. Indichiamo con x l ascissa di un punto a potenziale nullo e supponiamo che si trovi a destra di e applichiamo, quindi, il principio di sovrapposizione: n i i πε x πε x d x x d da cui, risolvendo rispetto ad x si ha: x d +, (, 9 (, +,) ) 9, m ediamo se esiste anche tra le due cariche un punto a potenziale nullo. Indichiamo ancora con x l ascissa di tale punto e applichiamo di nuovo il principio di sovrapposizione: n i i πε x πε d x x d x

24 da cui, risolvendo rispetto ad x si ha: x d +, (, (, +,) 9 9 ) 6,67 m In definitiva esistono due punti a potenziale nullo sulla retta passante per le due cariche. In un condensatore piano ideale, infinitamente esteso, le due armature possiedono densità superficiali di carica rispettivamente uguali a +σ e a σ. Determinare il campo elettrico all interno e all esterno del condensatore. Per il principio di sovrapposizione, il campo elettrico in ogni punto dello spazio è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici ed generati in quello stesso punto, separatamente, dalle due armature cariche. L armatura a sinistra che possiede una densità superficiale di carica +σ, produce un campo elettrico diretto perpendicolarmente alla sua superficie in verso uscente, di modulo: σ ε L'armatura a destra, con densità superficiale σ, produce invece un campo elettrico in verso entrante, avente modulo. All'esterno del condensatore i due campi elettrici si annullano, per cui il campo risultante ha modulo: Nello spazio compreso fra le due piastre, invece, i due campi hanno verso concorde e quindi i loro moduli, entrambi uguali a: σ ε si sommano. In conclusione, dentro al condensatore il campo è uniforme, diretto perpendicolarmente dall'armatura positiva a quella negativa, con modulo: + σ ε σ + ε σ ε

25 Una particella di massa m, g e carica q -,5 5 C si trova in equilibrio nel campo elettrico uniforme di un condensatore carico. Calcolare la densità superficiale di carica sulle armature del condensatore. Il campo elettrico tra le armature piane del condensatore è dato da: σ ε da cui ricaviamo la formula per il calcolo della densità superficiale: σ ε Pertanto il problema si riduce al calcolo del campo elettrico tra le armature del condensatore. Poiché la particella è in equilibrio nel campo elettrico, le due forze che agiscono su q, la forza peso P mg diretta verticalmente verso il basso e la forza elettrica F -q diretta verticalmente verso l alto, per la condizione di equilibrio, si devono bilanciare, quindi: q mg da cui ricaviamo il valore del campo elettrico uniforme: mg q 3, 9, 8 8 7, 8 5, 5 Infine, noto il campo elettrico, possiamo calcolare la densità superficiale: 8 σ 8, 859 7, 8 69 C / m

26 Due condensatori di capacità 3 µf e 6 µf rispettivamente sono connessi in serie ed il sistema così ottenuto è caricato a 5. Calcolare la carica su ciascuna armatura e l energia immagazzinata da ciascun condensatore. C C C Poiché i condensatori sono in serie, sulle loro armature si accumulerà una stessa carica, che è la stessa che si accumula sul condensatore equivalente: C C + C 3 + 6,5 C,5 µ F C 5 C 3 C L energia immagazzinata da ciascun condensatore, sotto forma di energia elettrica, non è altro il lavoro speso dal generatore per caricare i singoli condensatori: L L C C 3 ( ) ( ) 6 6,7J,8J

27 Due condensatori di capacità µf e 8µF collegati in parallelo sono caricati con una differenza di potenziale di. Determinare la carica accumulata sulle armature di ciascun condensatore e l energia immagazzinata dal sistema. C C C I due condensatori, essendo in parallelo, sono sottoposti alla stessa differenza di potenziale, per cui la carica accumulata su di essi è data da: C C 8 8 C C Per calcolare l energia immagazzinata dal sistema, dobbiamo prima calcolare la capacità equivalente, che nel caso di condensatori in parallelo è data da: per cui: C C + C + 8 µ F L C 6 J Ricorda: l energia immagazzinata dal sistema sotto forma di energia elettrica è il lavoro speso dal generatore per caricare il condensatore equivalente che rappresenta il sistema dei due condensatori.

28 Una sfera metallica di cm di raggio è portata al potenziale di capacità e la carica della sfera.. Determinare la Dalla formula del potenziale di un conduttore sferico ricaviamo la carica della sfera: πε R πε R π 8, C La capacità della sfera la calcoliamo attraverso la sua definizione: C 3 9,5 3 F, F,pF Un condensatore piano ha le armature circolari di raggio cm, distanti tra loro cm, e come dielettrico l aria. uanta energia viene immagazzinata dal condensatore se è caricato con una differenza di potenziale (d.d.p.) uguale a? L energia immagazzinata da un condensatore è data da: C e per calcolarla dobbiamo prima determinare il valore della capacità. Poiché il problema fornisce le caratteristiche geometriche e fisiche del condensatore, allora la capacità la calcoliamo come: S 3, C ε 8,86 3,9 F 3,9pF d dove: S πr π ( ) 3, m In definitiva: 3,9 7 J

29 Un condensatore piano, con le armature di superficie, cm distanti nel vuoto, mm, viene caricato con una differenza di potenziale di. Calcolare:. la carica accumulata sulle armature. l energia immagazzinata 3. la densità di energia del campo elettrico. Poiché sono note le caratteristiche fisiche e geometriche del condensatore, possiamo calcolare la sua capacità: S, C ε 8, 859 7, 7 F 7, 7pF d 3, Dalla definizione di capacità ricaviamo la formula per calcolare la carica accumulata sulle armature: 9 C C 7, 7 7, 7 C 7, 7nC. Il lavoro speso per caricare il condensatore è immagazzinato sotto forma di energia potenziale elettrica, per cui: 9 6 L 7, 7 8, 85 J 8, 85µ J 3. Poiché fra le armature del condensatore esiste un campo elettrico che si annulla quando il condensatore si scarica, possiamo anche pensare che l energia spesa dal generatore per caricare il condensatore venga immagazzinata nel campo elettrico. Pertanto possiamo parlare di densità di energia del campo elettrico, che calcoliamo nel seguente modo: dove il campo elettrico è dato da: 6 u ε 8, 859 ( ), 3 J/m 3 d, 3 6 /m

30 Un condensatore C 3,55 µf viene caricato a una differenza di potenziale 6.3, utilizzando una batteria da 6.3. La batteria viene poi rimossa e il condensatore viene connesso a un secondo condensatore C 8,95 µf.. Cosa succede dopo che l'interruttore S è stato chiuso? una certa carica scorre da C a C fino a che non si raggiunge una condizione di equilibrio in cui entrambi i condensatori presentano la stessa differenza di potenziale.. ual è la differenza di potenziale comune?. Dopo che il condensatore C si è caricato ed è poi connesso al condensatore C, una certa carica scorre da C a C fino a che non si raggiunge una condizione di equilibrio in cui entrambi i condensatori presentano la stessa differenza di potenziale.. La carica iniziale q viene condivisa dai due condensatori in modo che si ottiene l equazione: q + q q Facendo uso della relazione q C per ciascun termine di questa equazione si ha: C C + C che risolta ci consente di ottenere il valore del potenziale comune ai due condensatori: C 3,55 6,3,79 J C + C 3,55 + 8,95

31 Un condensatore C µf è caricato con una differenza di potenziale i. sso, dopo il distacco dal generatore, viene collegato in parallelo ad un condensatore C 6µF, inizialmente scarico. Calcolare:. la differenza di potenziale f ai capi dei due condensatori in parallelo. la variazione di energia elettrostatica.. uando i due condensatori vengono collegati in parallelo il sistema ha una capacità: C C + C p Nell operazione di collegamento la carica resta inalterata, per cui: dalla quale segue: C (C + C ) iniziale finale C i 5 C + C + 6 f i f. L energia elettrostatica iniziale e finale sono: U i C i U f (C + C) f Sostituendo i valori numerici si ottiene: Ui, J Uf 8 5, J Pertanto la variazione di energia elettrostatica è: U Ui Uf,,,3 J OSSRAZION - Come era prevedibile, l energia elettrostatica del sistema è diminuita nel passaggio da una configurazione all altra, e la variazione di energia si è trasformata in calore, per effetto Joule, nei conduttori che collegano i due condensatori in parallelo.

32 Un condensatore è costituito da due armature piane e parallele di superficie S 8 cm poste a una distanza d mm. Fra le armature c è il vuoto. Il condensatore viene caricato portando le sue armature ad una differenza di potenziale. Staccato il condensatore dal generatore, una delle armature viene allontanata finché la distanza fra le armature diventa d cm. Calcolare:. la differenza di potenziale finale f fra le armature. il lavoro fatto per spostare le armature. Durante l allontanamento delle armature la carica resta costante, per cui: Siccome le capacità sono date da: C C () iniziale finale i i f f ε Ci S d C fi S ε () d la () diventa: ε S i d ε S d f i d d f da cui ricaviamo la differenza di potenziale finale fra le armature: d f i d 3. L energia elettrostatica iniziale e finale sono: 5 Ui Cii 35,,8 J,8µ J Uf C f f 7,8 5,89,89µ J dove C i e C f sono state calcolate attraverso le (): 8 Ci 8,859 35, F 3 8 Cf 8,859 7,8 F 35, pf 7,8 pf Il lavoro fatto per spostare le armature è pari alla differenza delle energie potenziali elettrostatiche: L Uf Ui,89,8,7µ J