FONDAMENTI DI ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI

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1 FONDAMENTI DI ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI RICOSTRUZIONE E INTERPOLAZIONE DI SEGNALI MONODIMENSIONALI Paolo Bestagini Ph.D. Student bestagini@elet.polimi.it

2 Outline 2 Ricostruzione di segnali monodimensionali Motivazioni Formulazione del problema Ricostruzione ideale Ricostruzione con mantenitore Interpolazione di segnali monodimensionali Motivazioni Formulazione del problema Interpolazione polinomiale Interpolatori derivati dal mantenitore (sample & hold) Interpolatori derivati dal troncamento del sinc Interpolatore spline Interpolatore bicubico

3 3 RICOSTRUZIONE

4 Motivazioni 4 ACQUISIZIONE: A/D Un segnale fisico viene tipicamente convertito in una quantità misurabile. Es: un microfono converte onde acustiche in cambiamenti di tensione. Il segnale analogico viene convertito in digitale. Campionamento e quantizzazione. PRO: Possibilità di salvare i dati. Possibilità di svariate operazioni di editing.

5 Motivazioni 5 RIPRODUZIONE: D/A Il segnale digitale viene ri-convertito in analogico. Il segnale analogico viene riprodotto. Es: segnale audio riprodotto da casse acustiche. Come ricostruiamo un segnale analogico da uno digitale??

6 Ricostruzione di segnali: formulazione del problema 6 Consideriamo una sequenza di campioni x(k) x(k) k Questa può essere convertita in una sequenza continua di impulsi x c (t) = X x(k) (t kt) x c (t) k= T 2T 3T 4T t da esso, in Ricostruire in maniera lineare il segnale continuo di banda limitata in 2T, 2T. che ha generato la sequenza. di utilizz

7 ca il segnale ricostruito viene generato nel modo illustrato in fig.(). Il el sistema è in questo caso costante a tratti e non ha la banda limitata fra i necessario prevedere la presenza di un filtro a valle della ricostruzione che pioni n CK Ricostruzione di segnali: ideale Ricostruzione di segnali X Il modo ottimo di procedere consiste nel filtrare x c (t) = x(k) (t kt) Dato con un il segnale, filtro sinc formalmente dalla risposta continuo, all impulso: che X rappresenta una sequenza k= di valori (campioni) a passon T: D/A h(t) x = sin( t/t X ) c (t) = t/t x(k) (t kt) () registro dove che x(k) in frequenza con k 2, è piatta rappresenta nella banda la sequenza di interesse di dati e (reali) zero a altrove: disposizione, è di interesse studiare le tecniche che permettono di ricostruire da esso, in modo lineare, un segnale H(f) =T rect(ft) (continuo) con banda limitata all intervallo di frequenze 2T, 2T. di ricostruzione Come a mantenitore, è noto il modo ha come ottimo ingresso diilprocedere valore dei prevede campioni. di utilizzare il segnale x c (t) come x c (t) ingresso di un sistema lineare con risposta h(t) all impulso: Esso non potrà però essere quello di eq.(2), poichè il segnale ricostruito è quello generato applicando il segnale di eq. ad un interpolatore * h(t) = sin( t/t ) a =rect(t/t ), o rect((t T/2)/T ) nel caso si voglia avere una (2) t/tsistema o di fig.. L uscita del sistema sarà espressa, nel dominio della frequenza, T 2T 3T 4T t -T 0 T t T 2T 3T 4T t e quindi caratterizzato da una risposta in frequenza del tipo: X h (f) =X c (f) T sin( ft) ft H(f) =T rect(ft) (3) cioè una funzione di trasferimento. di valore costante nell intervallo 2T, e considerare il termine moltiplicativo e j2 ft/2 nel caso si consideri un 2T e nulla altrove. Il filtro di ricostruzione Nellada realtà esso dovrà il segnale quindi, di annullare eq.da non esso ogni puo componente essere, in generato spet-drvallo a causa esso della, presenza in di impulsi 2T ideali., 2T, ednella all interno pratica f f f 2T, 2T, 2T, di il tale segnale intervallo ricostruito compensare viene l e etto generato del nel modo illustrato in fig.(). Il 2T 2T 2T segnale all uscita di ut del ilizz sistema è in questo di ut caso ilizz costante a tratti dieut non ha la ilizz banda limitata fra. E quindi 3 necessario prevedere la presenza di un filtro a valle della ricostruzione che 2T, 2T n k= 7

8 Ricostruzione di segnali: mantenitore () 8 Per ovviare ai problemi dovuti alla generazione di un treno di impulsi ideali, possiamo utilizzare strategie diverse. Una possibilità è l utilizzo del mantenitore: n T campioni registro n D/A CK L effetto è quello di filtrare un segnale nel tempo con un filtro dalla risposta all impulso rettangolare: (h(t) =rect(t/t ), o rect((t T/2)/T ) (per una risposta causale)

9 Ricostruzione di segnali: mantenitore (2) 9 (h(t) =rect(t/t ), Il filtro rettangolare è caratterizzato da una risposta di tipo sinc in frequenza. Il segnale così ricostruito in frequenza risulta essere: X h (f) =X c (f) T sin( ft) ft oppure X h (f) =X c (f) T sin( ft) ft. e j2 ft/2 Per ricostruire il segnale in maniera corretta, è opportuno inserire un ulteriore filtro che Compensi l effetto del sinc in banda esso, passante in Annulli le componenti al di fuori di 2T, 2T. di utilizz n campioni registro n D/A mantenitore filtro CK T 2T 3T 4T t

10 Ricostruzione di segnali: mantenitore (3) 0 Il filtro avrà forma Hr(f) -/2T /2T f

11 INTERPOLAZIONE

12 Motivazioni 2 A volte non è necessario ricostruire l intero segnale analogico, ma aumentare la densità dei campioni nel dominio digitale. Utile per calcolo numerico. Es: conosco il valore dei campioni x(k) e x(k+), e voglio trovare il valore che avrebbe un campione x(k+0.5) in posizione k+0.5 senza ricostruire l intero segnale.

13 Motivazioni 3 No interpolation

14 Interpolazione: formulazione del problema 4 Supponiamo di avere una sequenza digitale di campioni x(k) che è stata campionata a intervalli regolari di passo T. Questi equivalgono ai campioni nel tempo x(kt), con k intero. Vogliamo ricostruire il valore di campioni a intervalli T <T. Es: se T =T/k, con k intero positivo, dobbiamo generare k- campioni nuovi per ogni campione della sequenza nota x(k). Il problema può essere interpretato secondo il seguente schema: (k) (t-kt) h(t) Segnale continuo Nuova sequenza campioni (passo T ) In applicazioni pratiche tipicamente si conoscono solo un numero finito di campioni di x(k) (ad esempio N o N+). (t-kt')

15 Interpolazione polinomiale 5 Consideriamo di avere a disposizione N+ campioni spaziati di periodo T: x(0), x(t), x(2t),, x((n-)t), x(nt) Vogliamo trovare il polinomio (al più di grado N) che: p N (t) =a 0 t N + a t N a N t + a N. onori i dati (assuma il valore dei campioni nelle posizioni kt) p N (kt) =x(kt) k =0,...,N 2. assuma valori qualsiasi nelle restanti posizioni Dobbiamo trovare il valore dei coefficienti a

16 Interpolazione polinomiale: forma matriciale (Vandermonde) 6 Possiamo scrivere il problema in forma matriciale: Polinomio: p N (t) =a 0 t N + a t N a N t + a N Vettore dei coefficienti (da stimare): a = [a 0,a,...,a N ] T N Vettore dei dati (noto): f =[x(0),x(t te. ),x(2t Chiamato ),...,x(nt)] f =[x(0) etta matrice di Vandermonde) come a È possibile scrivere la relazione Va = f dove i valori della matrice V sono v ij =[(i )T ] N j+ i =,...,N + j =,...,N + Y La matrice che si ottiene è detta di Vandermonde, e si dimostra avere determinante sempre diverso da zero: NY (it jt) i,j=0;i<j Il vettore a quindi esiste, è unico, ed è sempre calcolabile come:

17 7

18 Interpolazione polinomiale: formula di Lagrange 8 Invertire la matrice V ha una complessità computazionale dell ordine di N 3 Se non si vuole conoscere il vettore a ma si vogliono solamente ricavare i valori di alcuni campioni di x è possibile utilizzare la formula di Lagrange: NX NY t kt p N (t) = x(jt)l j (t) dove L j (t) = jt kt j=0 k=0;k6=j Per v È possibile verificare che L j (it )=per i = j e zero altrimenti, quindi: p N (it )= NX x(jt)l j (t) =x(it ) j=0 Il costo computazionale per calcolare il valore di e p N (t) per t 6= it risulta ` essere dell ordine di N 2

19 Interpolazione polinomiale: X esempio formula di Lagrange 9 È possibile verificare la correttezza della formula di Lagrange nel caso di 2 campioni noti (N=). Il polinomio di grado che onora i dati x(0) e x(t) in posizione 0 e T è p (t) =x(0) t T 0 T + x(t ) t 0 T 0 = T [x(t )t + x(0)(t t)] p (t) x(t) x(0) 0 T t

20 Interpolazione polinomiale: effetti di bordo 20 Verrebbe da pensare che all aumentare del grado del polinomio, la ricostruzione migliori. Questo è vero solo nella parte centrale del segnale ricostruito, ma in generale si possono verificare fastidiosi effetti di bordo. e Es: consideriamo il segnale x(t) = +t 2 t 2 [ 5 : 5] grado= grado=0

21 Interpolazione polinomiale: metodo dei minimi quadrati 2 Per evitare gli effetti di bordo, è possibile studiare una soluzione ai minimi quadrati. Si cerca il polinomio di grado minore o uguale rispetto al numero di campioni, che minimizzi l errore + quadratico minore od uguale al nu P M i=0 [x(it ) p N (it )] 2 ttore ottimo si deriva ris Procedimento:. Scrivere l errore quadratico in funzione di a 2. Derivare l espressione ottenuta rispetto agli elementi di a 3. Imporre la derivata uguale a zero (imporre un minimo) 4. Calcolare il valore degli elementi di a Si ottiene la relazione V T Va = V T f, e siccome Vo) T V viha è sempre rango pieno, soluzio si può invertire il sistema ottenendo a opt = V f dove V = (V T V) V T terpolazioni o

22 Interpolazione polinomiale: esempio metodo dei minimi quadrati 22 Il polinomio ottenuto non onora i dati!!! p (t) t

23 Interpolazione polinomiale: Lagrange per finestre 23 Il metodo di Lagrange può essere analizzato in termini di convoluzione di un segnale X x c (t) = x(k) (t kt) k= con filtri diversi per ogni intervallo tra 2 campioni. È possibile derivare una serie di filtri caratterizzanti un polinomio di Lagrange e applicarlo per finestre a un segnale più lungo, tenendo valida per l interpolazione solo la parte centrale, in cui non ci sono effetti di bordo. Più alto è l ordine del polinomio, più campioni sono necessari per stimare il campione incognito. Se si dispone di un numero sufficiente di campioni, usare un filtro lungo è una buona opzione. Se si dispone di pochi campioni è meglio un filtro corto, o si rischiano effetti di bordo.

24 Interpolazione polinomiale: esempio 24 Consideriamo il polinomio di grado, stimato con un numero N=2 di campioni. Come visto in precedenza, il polinomio per interpolare tra i campioni in 0 e T è la retta passante per i 2 campioni p (t) x(t) x(0) 0 T t L interpretazione è quella di un filtro triangolare! x(t) x(0) -T 0 T 2T t

25 0.8 Interpolazione polinomiale: 0.6 esempio Nel caso N=3 si ottengono 3 filtri diversi: i) uno per il campione in 0; ii) uno per il campione in T; iii) uno per il campione in 2T Figure 7: Risposte all impulso associate ad un interpolatore di Lagrang Figure 7: Risposte all impulso associate ad un interpolatore di Lagrange con N = 3. 0 T 2T t

26 Interpolazione polinomiale: filtri in frequenza 26 È possibile analizzare la risposta in frequenza dei filtri di Lagrange ottenuti per diversi valori di N N= N=3 N=5 N=7 0.6 H(f) Frequenze normalizate f*t

27 Interpolatori derivati dal mantenitore 27 h m (t) =rect(t/t )) va bene, va meglio, andrà meglio? Il mantenitore h m è un filtro rettangolare L interpolazione lineare è un filtro triangolare (h l (t) = tri(t/t )) Cosa succede se convolvo ancora con h m?

28 Interpolatori derivati dal mantenitore h m (t) h l (t) h s (t) t/t

29 Interpolatori derivati dal mantenitore H m (f) H l (f) H s (f) Frequenze normalizzate ft

30 Interpolatori derivati dal mantenitore 30 NO!! h s presenta lobi laterali più piatti, ma banda passante molto stretta. Inoltre non onora i dati (non presenta zeri regolari a passo /T). Notiamo però che: h m ricostruisce un segnale con discontinuità (step). h l ricostruisce un segnale continuo ma con derivata discontinua nei punti di giunzione (punti angolosi). C è una regola per un buon interpolatore? Imporre che le derivate si annullino fino al massimo ordine possibile. Imporre massima piattezza per f = 0.

31 Interpolatori derivati dal sinc troncato 3 La funzione che rispetta le precedenti condizioni è il sinc. Il sinc ideale è però di lunghezza infinita. Anche potendolo approssimare con un numero molto grande di campioni, se devo interpolare un segnale lungo, tale convoluzione genera ritardi. Se devo interpolare un segnale corto, un filtro lungo genera sovraelongazioni ai bordi: Il segnale è ricostruito con banda limitata Devo smussare la transizione tra i campioni e gli zeri

32 Interpolatori derivati dal sinc troncato n

33 Interpolatori derivati dal sinc troncato 33 Con segnali corti è meglio usare filtri corti. È possibile troncare (finestrare) il sinc, per ridurne il numero di campioni. Troncare equivale a moltiplicare per un rettangolo nei tempi. La risposta in frequenza del filtro è la convoluzione tra un rettangolo (dato dal sinc nei tempi) e un sinc (dato dal rettangolo nei tempi). t NT/2 NT/2 a Trade-off: elimino effetti di bordo, ma b introduco alias. f

34 Interpolatori derivati dal sinc troncato n

35 Interpolatore spline 35 Invece di arrivare al caso limite del sinc, possiamo considerare vincoli meno stringenti: Continuità della funzione interpolata e delle sue prime 2 derivate. L interpolatore ottenuto con queste condizioni è detto spline. La curva ottenuta tra due campioni è un polinomio del terzo ordine che soddisfa l equazione di elasticità semplificata ((f 0000 (x) = 0) ). Noti i valori di 2 campioni e delle loro derivate, il polinomi interpolante è dato dall equazione f(x) =y(i)( 3x 2 +2x 3 )+y(i+)(3x 2 2x 3 )+y 0 (i)(x 2x 2 +x 3 )+y 0 (i+)( x 2 +x 3 ) assumendo che x vari tra 0 e per passare dal campione i a i+ 0 x i x i+

36 Interpolatore spline 36

37 Interpolatore spline 37 Condizioni da imporre per trovare l equazione:. Continuità della derivata seconda per i campioni centrali y 0 (i ) + 4y 0 (i)+y 0 (i + ) = 3(y(i + ) y(i ) 2. Derivata seconda nulla per il primo e ultimo campione y 0 (0) = y 0 (N) = y 0 () + 3(y() y(0) 2 y 0 (N ) + 3(y(N ) y(n) 2 Si ottiene così un sistema di N equazioni in N incognite (le derivate prime y ) La soluzione del sistema permette di trovare tutti i parametri mancanti e di usare l equazione del polinomio per interpolare: f(x) =y(i)( 3x 2 +2x 3 )+y(i+)(3x 2 2x 3 )+y 0 (i)(x 2x 2 +x 3 )+y 0 (i+)( x 2 +x 3 )

38 Interpolatore spline 38 Numericamente è possibile ricavare la risposta all impulso dello spline, filtrando un impulso con il polinomio interpolatore n

39 Interpolatore spline 39 È possibile dimostrare che la trasformata della risposta all impulso dello spline è la seguente H(f) = 3sinc(fT)4 +cos 2 ( ft) Osservazioni: Questa funzione ha derivate nulle per f=0 fino all ordine 4. Le derivate sono nulle fino al quarto ordine anche per i valori in frequenza k/t. I lobi laterali sono 43 db più bassi del lobo principale. La risposta all impulso è comunque abbastanza lunga, ed eredita i problemi del sinc per quanto riguarda sovra-elongazioni.

40 Interpolatore spline H(f) Frequenze normalizzate, ft

41 Interpolatore spline 4.2 Gradino interpolato con spline n

42 Interpolatore bicubico 42 L interpolatore spline presenta un problema: Se un campione è rumoroso/errato, l errore si propaga per tutto il segnale interpolato. È possibile ovviare al problema:. Consideriamo sempre un polinomio di grado 3 2. Imponiamo che dipenda da pochi campioni Imponiamo la derivata prima nulla agli estremi. L interpolatore così ottenuto è detto bicubico

43 n Interpolatore bicubico: derivazione Figure 5: Interpolazione con spline di un gradino rappresentato da 0 campioni. I segni Figure 5: Interpolazione con spline di un gradino rappresentato da 0 campioni. I segni indicano Consideriamo i campioni disponibili. indicano i campioni disponibili. l intervallo tra i campioni in k=0 e k= (stessa normalizzazione dello spline) Nell intervallo 0, l interpolatore h 0 (x) =a avrà + bx l espressione + cx 2 + dx 3 h 0 (x) =a + bx + cx 2 + dx 3,mentre Nell intervallo 0, l interpolatore avrà l espressione in, 2Consideriamo avrà h 2 (x) l intervallo =A + Bx successivo + Cx 2 + Dx (tra 3 h, xe è 0 (x) =a + bx + cx 2) la variabile indipendente 2 + dx 3,mentre e si assume in, 2 si avrà h che i campioni 2 (x) =A + Bx + Cx da interpolare si susseguano 2 + Dx 3, x è la variabile indipendente e si assume a passo. Inoltre si impone, ovviamente, che che i campioni da interpolare si susseguano a passo. l interpolatore abbia simmetria h 2 (x) pari. =A + Bx + Cx 2 Inoltre + Dx 3 si impone, ovviamente, che l interpolatore abbia simmetria pari. Il valore in zero della funzione dovrà essere pari a e la sua derivata sempre nell origine Il valore in zero della funzione dovrà essere pari a e la sua derivata sempre nell origine si vuole Vogliamo che sia un nulla filtro (cisimmetrico, deve essere un con massimo un massimo nell origine). (derivata Ciònulla) implica: di valore si vuole che sia nulla (ci deve essere un massimo nell origine). Ciò implica: nell origine, e zero negli altri punti noti h 0 (0) = a = (7) h 0 h (0) 0 h 0 (0) = = a = a = (7) 0(0) = b = 0 (8) h 0 0(0) h 0 = 0(0) = b = b = 0 0 (8) Inoltre: Inoltre: h 0 () = a b c + d =0! c = ( + d) (9) h 0 () = a + b + c + d =0! c = ( + d) (9) Il polinomio In [0,] interpolante il polinomio nell intervallo risulta quindi dipendente 0, èquindisolo da d: Il polinomio interpolante nell intervallo 0, èquindi Nell intervallo, 2 le condizioni da imporre sono: Nell intervallo, 2 le condizioni da imporre sono: h 0 (x) = ( + d)x 2 + dx 3 (20) h 0 (x) = ( + d)x 2 + dx 3 (20) h 2 () = A B C + D = 0 (2) h 2 () = A + B + C + D = 0 (2) 43

44 Interpolatore bicubico: derivazione 44 Ripetiamo le stesse operazioni per l intervallo [,2] h 2 () = A + B + C + D = 0 h 2 (2) = A +2B +4C +8D = 0 h 0 2(2) = B +4C + 2D = 0 Ricaviamo ancora un polinomio h 2 che dipende da un solo parametro (D) Imponiamo la condizione di continuità della derivata prima Si ricava, qu h 0 0() = h 0 2() otteniamo una sola equazione che dipende da d o D Spendiamo l ultimo grado di libertà imponendo un ulteriore condizione (a scelta all interno di un set possibile). Zero di ordine più alto possibile per la frequenza di campionamento (e multipli) 2. Oppure stessa condizione nell origine

45 Interpolatore bicubico: derivazione 45 Imponendo la prima condizione, si ottiene d = 5/4 Lobo principale più stretto Andamento oscillatorio irregolare Imponendo la seconda si ottiene d = 3/2 Il lobo è più largo Sono presenti meno oscillazioni

46 Interpolatore bicubico 46 D=3/2 D=5/4 x -2-2 D=5/4 D=3/2