Le origini della Teoria dei Quanti

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1 Le origini della Teoria dei Quanti Minicorso per gli studenti del Liceo Scientifico A. Guarasci (Rogliano) e dell Istituto Magistrale I Licei (Belvedere) Alessandro Papa Dipartimento di Fisica, Università della Calabria papa@fis.unical.it - Tel.: Programma del corso Introduzione - la fine del periodo classico della Fisica - la Fisica teorica classica - stato delle conoscenze microscopiche a fine 800 Quantizzazione nella luce - cenni sulla radiazione di corpo nero - effetto fotoelettrico - effetto Compton - doppia fenditura di Young

2 Quantizzazione nella materia - atomo di Thomson, atomo di Rutherford - atomo di Bohr - esperimento di Franck-Hertz - la antica teoria dei quanti La teoria quantistica moderna - cenni storici - ipotesi di De Broglie, onde di materia - esperimento di Davisson e Germer - incertezza della misura e indeterminazione di Heisenberg Introduzione La fine del periodo classico Paradigma della dottrina classica di un sistema fisico si vuole studiare l evoluzione nel tempo o, equivalentemente, determinarne la dinamica ad ogni sistema viene associato un certo numero di variabili dinamiche, che possiedono tutte, ad un certo istante, un valore ben preciso l insieme di queste variabili dinamiche costituisce lo stato dinamico del sistema; noto lo stato dinamico del sistema, la sua evoluzione è determinata

3 Introduzione La fine del periodo classico Da Newton in poi, successo della dottrina classica nuova scoperta nuove variabili dinamiche e/o nuove equazioni di evoluzione I. Newton ( ) sempre maggiore semplicità e unità delle conoscenze Introduzione La fine del periodo classico Verso il 1900, crisi della Fisica classica le conoscenze microscopiche diventano sempre più precise ed appaiono difficoltà e contraddizioni della teoria classica nuovi princìpi nuova teoria, la meccanica quantistica ( ) Cosa intendiamo qui per microscopico? Relativo a scale di lunghezza atomiche, cioè a lunghezze inferiori a 1 Å=10-8 cm.

4 Introduzione La Fisica teorica classica materia fenomeni fisici irraggiamento Teoria corpuscolare - dalla meccanica dei corpi celesti e dei solidi macroscopici fino alla scala microscopica - confermata l ipotesi atomica dei chimici (leggi delle proporzioni costanti e delle proporzioni multiple) -la difficoltà di operare con sistemi con un numero di variabili dell ordine del numero di Avogadro porta alla nascita della meccanica statistica (Boltzmann, 1884) L. Boltzmann ( ) Introduzione La Fisica teorica classica materia fenomeni fisici irraggiamento Teoria ondulatoria - le variabili dinamiche sono i campi elettrici e magnetici in tutti i punti dello spazio-tempo - esse obbediscono alle equazioni di Maxwell (1855) che unificano l ottica con l elettricità e il magnetismo e portano alla previsione delle onde elettromagnetiche, scoperte da H.R. Hertz (1887) J.C. Maxwell ( )

5 Introduzione La Fisica teorica classica materia fenomeni fisici irraggiamento Tutto sembra trovare spiegazione nell ambito della teoria corpuscolare o in quella dell irraggiamento, con sorprendente grado di unità. Fu proprio la ricerca di un grado di unità ancora maggiore, quello tra la propagazione delle onde elettromagnetiche e delle onde elastiche, che portò alla ricerca dell etere. Il fallimento di questa ricerca sta all origine della formulazione della teoria della relatività (Einstein, 1905). Introduzione Stato delle conoscenze microscopiche a fine 800 Gli sforzi sperimentali a fine 800 sono mirati allo studio della struttura della materia, delle mutue interazioni tra corpi e della interazione materia-radiazione. Conducibilità elettrica nei gas rarefatti (10 3 mm/hg) - raggi catodici (elettroni; J.J. Thomson, 1897) - raggi canale (ioni di gas residuo, Goldstein, 1886) - raggi anodici (ioni strappati dall anodo) In seguito a queste scoperte l esistenza di atomi e molecole da ipotesi di lavoro diventa realtà. Inoltre, si affinano le tecniche sperimentali per isolare particelle atomiche e sub-atomiche: - misura carica elettrone (Millikan, 1910) - camera di Wilson (1912) - contatore Geiger (1913)

6 Introduzione Stato delle conoscenze microscopiche a fine 800 Scoperta della radioattività (Bequerel, 1896): -prima manifestazione delle proprietà dei nuclei atomici - si comincia a disporre dei raggi α come potente mezzo di investigazione dell atomo A.H. Bequerel ( ) M. Curie ( ) Onde elettromagnetiche: - scoperta dei raggi X (Röntgen, 1895) - e delle loro proprietà ondulatorie (von Laue, 1912) Analisi spettrale dell irraggiamento: informazioni su emissione, assorbimento e diffusione della radiazione e primi disaccordi con la teoria classica. W.C. Röntgen ( ) Digressione: Onde elettromagnetiche λ = distanza tra due creste consecutive = lunghezza d onda T = periodo dell onda ν = 1/T = frequenza dell onda c λ = ν

7 Digressione: spettro elettromagnetico I Digressione: spettro elettromagnetico II

8 Digressione: spettro elettromagnetico III Digressione: spettro elettromagnetico IV Spettro della radiazione elettromagnetica Regione Lunghezza Lunghezza d onda d onda (Angstrom) (centimetri) Radio > 10 9 > 10 Microonde Infrarosso x 10-5 Visibile x x 10-5 Ultravioletto x Raggi X Raggi Gamma < 0.1 < 10-9 Frequenza (Hz) < 3 x x x x x x x x x x x > 3 x Energia (ev) < > 10 5

9 Digressione: Interferenza di onde elettromagnetiche I Interferenza costruttiva Interferenza distruttiva Digressione: Diffrazione I Posizione dei minimi: dsinθ = nλ n = 1,2,3,...

10 Digressione: Diffrazione II Esempi di figure di diffrazione sinistra: forma apertura destra: immagine sullo schermo ad apertura piccole corrispondono picchi centrali più estesi Posizione primo minimo: λ sinθ = d Quantizzazione nella luce Cenni sulla radiazione di corpo nero Corpo nero: oggetto ideale che assorbe il 100% delle radiazioni che lo colpiscono, quindi non riflette alcuna radiazione e appare perfettamente nero. Un corpo può apparire nero ai nostri occhi perché assorbe solo la luce visibile. Un corpo nero ideale assorbe su tutto lo spettro elettromagnetico. In natura niente assorbe totalmente (la migliore approssimazione è la grafite che riflette solo il 3%). In pratica, un piccolo foro in una scatola con l'interno annerito, si avvicina molto al concetto di corpo nero: la radiazione che entra viene totalmente assorbita. Quella che ne uscirà corrisponderà all'equilibrio di temperatura del corpo.

11 Quantizzazione nella luce Cenni sulla radiazione di corpo nero Il corpo nero dunque è anche idealmente un perfetto emettitore di radiazione. L'emissione è isotropa e dipende solo dalla temperatura, non dal materiale di cui è fatto. La lunghezza d'onda a cui avviene la massima emissione dipende dalla temperatura del corpo. Legge di spostamento di Wien: λmax T = cm K Quantizzazione nella luce Cenni sulla radiazione di corpo nero Ogni corpo emette radiazioni, anche se non ce ne rendiamo conto, poiché un oggetto deve essere molto caldo per emettere luce visibile (es. il ferro incandescente, la lava di un vulcano). B(λ, 310 K) (x10 8 erg cm -3 s -1 ) Ad esempio, per l uomo o T = 37 C = 310 K λmax 9µ m λ (µm)

12 Quantizzazione nella luce Cenni sulla radiazione di corpo nero Le stelle sono buone approssimazioni di emissione di radiazione di corpo nero, ad es. la superficie del Sole ha un massimo di emissione intorno ai 6000 K, che corrisponde al suo tipico colore giallo-arancio. Quantizzazione nella luce Cenni sulla radiazione di corpo nero I fisici già nel 1800 tentavano di trovare la teoria che spiegasse lo spettro di corpo nero, utilizzando le leggi di Maxwell dell elettromagnetismo classico. Molte cose furono capite, come ad esempio la dipendenza dalla temperatura della potenza totale emessa da un corpo nero e la forma della legge di spostamento di Wien. W. Wien ( ) Nel 1900 che M. Planck riuscì a trovare la formula che riproduce I valori osservati dello spettro di corpo nero. Ma per farlo dovette introdurre un ipotesi nuova, che apparve inizialmente come un mero artificio matematico. M. Planck ( )

13 Quantizzazione nella luce Cenni sulla radiazione di corpo nero Spiegazione di Planck (1900) le pareti di una cavità, come qualsiasi superficie emittente, contengono particelle, che assorbendo energia dall esterno aumentano la loro temperatura e iniziano ad oscillare. Oscillando emettono radiazione, ma, contrariamente ai principi classici, l energia di questa radiazione è emessa in quantità definite o pacchetti di energia hν, dove h=6.626x10-34 J s (costante di Planck). L emissione alle alte frequenze (piccole lunghezze d onda) è sfavorita perché comporterebbe l emissione di pacchetti di energia grandi. In effetti, lo spostamento verso le lunghezze d onda più piccole si verifica alle temperature più elevate. Digressione: La radiazione cosmica di fondo L universo è permeato da radiazione omogenea e isotropa, ritenuta essere il residuo termico del big bang. Questa radiazione, chiamata radiazione cosmica di fondo, scoperta nel 1964 da A. Penzias e R.W. Wilson, è caratterizzata da un perfetto spettro di corpo nero a una temperatura di 2,726 K. R.W. Wilson e A. Penzias Questa radiazione è estremamente uniforme su tutto il cielo; le anisotropie sono dell ordine dello % e danno utilissime informazioni su età, dimensione, composizione ed evoluzione futura dell universo. Mappa del fondo cosmico a microonde ottenuta da WMAP

14 Quantizzazione nella luce Effetto fotoelettrico Misure effettuate da H. Hertz (1887), Hallwachs (1888), Elster e Geitel ( ), Lenard ( ). Luce monocromatica (tipicamente UV) su placche di metalli alcalini; rilevazione della corrente tra catodo e anodo, in un tubo a vuoto. Fenomenologia: 1. esiste frequenza di soglia, al di sotto della quale non vengono emessi elettroni; 2. numero di elettroni emessi proporzionale alla intensità della radiazione incidente 3. velocità degli elettroni dipendente solo dalla frequenza della luce, secondo legge 1 m v 2 2 = hν A A costante caratteristica del metallo Quantizzazione nella luce Effetto fotoelettrico Ipotesi di Einstein dei quanti di luce (1905): - ogni quanto di luce colpisce un elettrone del metallo e gli cede la sua energia hν - se questa energia è maggiore del lavoro di estrazione del metallo A, l elettrone viene emesso - l avanzo di energia hν-a di cui dispone l elettrone costituisce l energia cinetica con cui si muove dopo l emissione L esistenza di una frequenza di soglia è in contrasto con la teoria ondulatoria: un onda di luce trasporta energia in proporzione alla sua intensità; essa cederebbe questa energia agli elettroni del metallo in modo continuo, fino a consentire loro di sfuggire dal metallo emissione ritardata, non osservata sperimentalmente.

15 Quantizzazione nella luce Effetto Compton Diffusione di raggi X su grafite (1922) A. Compton ( ) Aspettativa secondo la teoria ondulatoria: gli elettroni del materiale vengono messi in oscillazione dalle onde elettromagnetiche incidenti e diventano essi stessi sorgente di radiazione elettromagnetica con la stessa frequenza della radiazione incidente. Quantizzazione nella luce Effetto Compton Osservazione sperimentale: 1. la radiazione diffusa ha una lunghezza d onda λ diversa da quella della radiazione incidente, λ 2. la differenza λ -λ dipende dall angolo di rilevazione

16 Quantizzazione nella luce Effetto Compton Teoria corpuscolare della luce: radiazione incidente costituita di fotoni di energia E=hν e quantità di moto p= E/c=hν/c=h/λ; ogni singolo fotone incide su un elettrone, trasferendogli parte della sua energia. Fotone incidente pγ o Elettrone diffuso pe Φ θ Fotone pγ diffuso x Conservazione dell energia e della quantità di moto: h h = cosθ + pecosφ λ λ' h 0 = sinθ pesinφ λ' mc 2 + hν = p 2 e c m c 4 + hν ' λ' λ = h mc (1 cosθ ) in accordo con l esperimento Quantizzazione nella luce Doppia fenditura di Young Singola fenditura: interpretazione ondulatoria

17 Singola fenditura: interpretazione corpuscolare A Sorgente B parete otturatore Singola fenditura: interpretazione corpuscolare A Sorgente B parete otturatore

18 Singola fenditura: interpretazione corpuscolare A Sorgente B parete otturatore Singola fenditura: interpretazione corpuscolare A Sorgente B parete otturatore

19 Singola fenditura: interpretazione corpuscolare A Sorgente B parete otturatore Esperimento di Young (1801) Frange di interferenza

20 Doppia fenditura: interpretazione ondulatoria Doppia fenditura: interpretazione corpuscolare Aspettativa classica A Sorgente B parete

21 Doppia fenditura: interpretazione corpuscolare Osservazione sperimentale A Sorgente B Frange di interferenza Quantizzazione nella luce Doppia fenditura di Young Cosa possiamo concludere? La luce si comporta come un flusso di corpuscoli (fotoni); ma il comportamento di ciascuno di essi può essere previsto solo in senso probabilistico. La funzione di probabilità obbedisce alla teoria ondulatoria. Infatti, dopo aver inviato contro la parete un numero elevatissimo di fotoni, l insieme dei loro impatti localizzati formerà una figura come quella prevista dalla teoria ondulatoria nelle stesse condizioni sperimentali. Dualismo onda-corpuscolo

22 Quantizzazione nella materia Atomo di Thomson Nel 1903 J.J. Thomson ipotizzò che un atomo con numero atomico Z fosse costituito da una sfera uniformemente carica di raggio dell ordine di 1 Å, con carica totale positiva pari a +Ze, all interno della quale siano distribuiti Z elettroni, come l uvetta in un panettone o i semi in un anguria. J.J. Thomson ( ) Dallo studio delle frequenze di oscillazione degli elettroni intorno alle loro posizioni di equilibrio, si può determinare lo spettro di emissione di un atomo di Thomson, che non è in accordo con i dati sperimentali. Un atomo siffatto deve risultare praticamente trasparente, se bombardato con particelle pesanti, come le particelle α. Quantizzazione nella materia Esperimento di Rutherford Nel 1911 Rutherford condusse un esperimento fondamentale: bombardò un sottilissimo foglio di oro, posto fra una sorgente di particelle α (nuclei di elio) e uno schermo al solfuro di zinco (materiale fluorescente che emette lampi di luce quando viene colpito dalle particelle). Le particelle, passate attraverso la lamina, sarebbero rimaste impresse sullo schermo. E. Rutherford ( ) Risultato sperimentale: le particelle α non venivano quasi mai deflesse; ma quando ciò succedeva, la deflessione era notevole (in alcuni casi venivano respinte all indietro).

23 Quantizzazione nella materia Atomo di Rutherford Nell atomo la carica positiva non può essere distribuita in modo uniforme su una sfera di raggio dell ordine di 1 Å, ma deve essere concentrata in un nucleo di dimensioni dell ordine di cm. Il modello atomico di Rutherford è di tipo planetario : gli elettroni orbitano intorno al nucleo, occupando uno spazio delle dimensioni di 1 Å; essi determinano le proprietà chimiche degli elementi. Quantizzazione nella materia Difficoltà del modello di Rutherford Secondo la teoria elettromagnetica una carica soggetta ad accelerazione emette energia sotto forma di radiazione elettromagnetica: gli elettroni dell'atomo di Rutherford dovrebbero emettere onde elettromagnetiche e, perdendo energia, spiralizzare fino a cadere sul nucleo Nel caso dell idrogeno, tutto ciò dovrebbe succedere in un tempo dell ordine di secondi!

24 Digressione: Spettri di riga Spettro solare (continuo) Spettro emissione idrogeno atomico Spettro emissione azoto mlecolare Spettro assorbimento del sole Linee spettrali nel visibile dell Elio Linee spettrali nel visibile del mercurio λ = nm (blu), nm (verde), nm e nm (giallo-arancio). Linee spettrali nel visibile del Neon

25 Quantizzazione nella materia Atomo di Bohr Nel 1913 N. Bohr propose un modello atomico che superasse le difficoltà di quello di Rutherford e fosse compatibile con le osservazioni spettroscopiche. N. Bohr ( ) 1. L'elettrone può muoversi solo su alcune determinate orbite non-radiative, dette stati stazionari. 2. L'atomo emette (o assorbe) radiazione quando l'elettrone effettua una transizione da uno stato stazionario ad un altro. Quantizzazione nella materia Atomo di idrogeno secondo Bohr I Gli stati stazionari dell atomo di idrogeno hanno energie date dalla formula R E n = 2 n = 1,2,3,... n R 13.6eV (costante di Rydberg) 1eV = 1.6 x J Alla transizione tra il livello n i ed il livello n f < n i corrisponde l emissione di un fotone di frequenza ν tale che 1 1 R = 1 1 hν = En En = R ν i f ni n f h n f ni

26 Atomo di idrogeno secondo Bohr II n f =3 Paschen, infrarosso n f =2 Balmer, visibile n f =1 Lyman, ultravoletto Quantizzazione nella materia L esperimento di Franck-Hertz (1914) In un tubo di vetro riempito di vapori di mercurio, gli elettroni emessi dal catodo vengono accelerati verso una griglia carica positivamente. Urtando contro gli atomi di mercurio, essi cerdono parte della loro energia. J. Franck ( ) G.L. Hertz ( ) Se gli atomi di mercurio possono trovarsi solo in stati stazionari quantizzati, le energie perse dagli elettroni nell urto devono coincidere con le energie di eccitazione dell atomo di mercurio.

27 Quantizzazione nella materia L esperimento di Franck-Hertz (1914) La corrente aumenta all aumentare del potenziale della griglia; quando esso raggiunge i 4.9 V, la corrente scende improvvisamente, segnalando una perdita brusca di energia da parte degli elettroni. Quello che succede è che gli elettroni cedono tutta la loro energia cinetica agli atomi di mercurio (che passano così dallo stato fondamentale al primo stato eccitato) e, di conseguenza, non hanno più l energia sufficiente a vincere il campo frenante tra griglia e anodo e a raggiungere quest ultimo. Quantizzazione nella materia La antica teoria dei quanti Il successo del modello atomico di Bohr, in particolare per la descrizione dell atomo di idrogeno incoraggiò la formulazione di una teoria, oggi nota come antica teoria dei quanti in grado di descrivere il comportamento di altri sistemi. Essa si basava sulla imposizione di regole di quantizzazione per le variabili dinamiche di un sistema e si poteva applicare senza difficoltà a sistemi multiperiodici, cioè a sistemi per i quali tutte le variabili dinamiche hanno carattere periodico. La antica teoria dei quanti ebbe successo nella descrizione dell atomo di idrogeno, degli atomi idrogenoidi (He +, Li ++, ), atomi alcalini e di altri sistemi atomici e molecolari. Tuttavia la teoria è incompleta in quanto non può descrivere atomi complessi (presenta difficoltà anche per la descrizione dell atomo di elio); inoltre non sono contemplati I fenomeni che coinvolgono urti. Occorre una nuova teoria, completa e non contraddittoria

28 La teoria quantistica moderna Cenni storici La meccanica quantistica è la teoria delle interazioni tra le particelle elementari. Finora non è stata smentita da alcuna osservazione sperimentale. Essa è nata tra il 1923 e il 1927, con il contributo di diversi fisici. Inizialmente apparve in due formulazioni apparentemente diverse: la meccanica delle matrici (Heisenberg, Born, Jordan) e la meccanica ondulatoria (Schrödinger). Successivamente fu lo stesso Schrödinger a dimostrare l equivalenza delle due formulazioni. La messa a punto del formalismo generale della teoria quantistica si deve a Dirac. L interpretazione e la coerenza interne della teoria sono state pienamente comprese grazie ai lavori di Bohr, Born e Heisenberg. La teoria quantistica moderna Ipotesi di de Broglie; onde di materia Alla base della meccanica ondulatoria si trova l ipotesi di de Broglie (1924): la stessa corrispondenza che esiste tra un onda luminosa ed un quanto di luce deve esistere tra una particelle ed una onda di materia. Ad una particella che possiede quantità di moto pari a p viene associata un onda piana di lunghezza d onda pari a λ = h p (lunghezza d'onda di de Broglie) L. de Broglie ( ) Per l elettrone di un atomo di idrogeno la condizione di stazionarietà è data dalla condizione di non-autointerferenza: h h 2π r = nλ = n mvr = n p 2π - quantizzazione del momento angolare (Bohr)

29 La teoria quantistica moderna Esperimento di Davisson e Germer (1927) L esperimento di Davisson e Germer prova la validità dell ipotesi di de Broglie sull esistenza di onde di materia. Un fascio di elettroni era diretto verso un cristallo di nickel, che poteva essere ruotato per misurare la distribuzione angolare degli elettroni. C. Davisson ( ) L. Germer ( ) Si poteva variare anche il voltaggio che accelerava il fascio di elettroni e, quindi, la loro velocità. La teoria quantistica moderna Esperimento di Davisson e Germer (1927) A certi angoli si osservava un picco nell intensità degli elettroni diffusi, in accordo con la condizione di interferenza costruttiva tra onde elettroniche riflesse da diversi piani reticolari, come accade con i raggi X. Raggi X Elettroni Diffrazione da fogli sottili

30 La teoria quantistica moderna La funzione d onda Il fatto che una particella come l elettrone mostri comportamento di tipo ondulatorio non significa che l elettrone sia identificabile con un onda piana di definita frequenza. Se fosse così sarebbe un oggetto di estensione infinita. Per avere un oggetto di estensione finita è necessario sovrapporre più onde piane con lunghezze d onda distribuite intorno a quella di de Broglie λ=h/p per una particella di una data quantità di moto (pacchetto d onde). Tuttavia, anche in questo caso, non vale l identificazione particella = pacchetto d onde. La teoria quantistica moderna La funzione d onda Un pacchetto d onde, proprio perché costituito da onde con lunghezze d onda diverse, tende a sparpagliarsi man mano che si propaga, quindi non può essere identificato con un oggetto di estensione limitata. Ma allora, cos è l onda associata ad una particella? È un onda di probabilità! Essa descrive la probabilità che una particella possa essere osservata in un certo punto dello spazio. E. Schrödinger ( ) Schrödinger ha sviluppato la formulazione Ondulatoria della meccanica quantistica, basata sul concetto di funzione d onda; la celebre equazione di Schrödinger (1925) è in grado di descrivere perfettamente lo spettro dell atomo di idrogeno e, in generale, il comportamento di una particella in un potenziale.

31 Orbitali atomici: atomo di idrogeno La teoria quantistica moderna Indeterminazione di Heisenberg Heisenberg sviluppò contemporaneamente a Schrödinger l approccio della meccanica delle matrici, che rappresenta una formulazione equivalente della moderna teoria quantistica. Ad Heisenberg si deve la formulazione della nota relazione di indeterminazione (1927). x θ xsinθ λ = p x W. Heisenberg ( ) h x h p x p x h

32 I postulati della meccanica quantistica Postulato I Ad un sistema dinamico (per semplicità costituito da una sola particella, in moto unidimensionale) è associata una funzione d onda ψ(x,t). Le funzioni d onda ψ(x,t) e C ψ(x,t), con C costante, corrispondono allo stesso stato fisico. La probabilità di trovare la particella all istante di tempo t nell intervallo compreso tra x e x+dx è data da ψ(x,t) 2 = ψ(x,t) ψ(x,t)*. Per dare una corretta interpretazione della realtà, la funzione d onda deve essere una funzione - continua - ad un solo valore - a quadrato sommabile + ψ ( x, t) 2 dx =1 Condizione di normalizzazione: la probabilità di trovare la particella in un punto qualsiasi dello spazio deve essere pari ad 1. I postulati della meccanica quantistica Postulato II (principio di sovrapposizione) Se un sistema si può trovare nello stato descritto dalla funzione d onda ψ 1 (x,t) e in quello descritto dalla funzione d onda ψ 2 (x,t), allora può trovarsi in tutti gli stati descritti dalle funzioni d onda C1ψ 1( x, t) + C2ψ 2( x, t) dove C 1 e C 2 sono costanti. L insieme delle funzioni d onda di un sistema ha la struttura di spazio vettoriale.

33 I postulati della meccanica quantistica Postulato III Ad ogni osservabile fisica corrisponde un operatore O che, quando agisce su una funzione d onda ψ(x,t) dà come risultato una nuova funzione d onda ψ (x,t): Oψ ( x, t) = ψ '( x, t) Per una data osservabile, ci sono alcune funzioni d onda particolari, per le quali succede che Oψ ( x, t) = λψ ( x, t) L insieme di tutte le funzioni di questo tipo costituisce l insieme delle autofunzioni di O; l insieme dei corrispondenti valori di λ costituisce lo spettro degli autovalori di O. Tale spettro può essere continuo o discreto. I postulati della meccanica quantistica Postulato III - continuazione L insieme delle autofunzioni di un dato operatore O forma una base per tutte le funzioni d onda del sistema, cioè ogni funzione d onda ψ(x,t) può essere costruita per sovrapposizione di autofunzioni di O. Se si misura l osservabile associata ad O su uno stato descritto da una generica funzione d onda ψ(x,t), il risultato della misura può essere solo uno degli autovalori λ, con probabilità che dipende dal peso che ha l autofunzione con autovalore λ nella sovrapposizione che costruisce ψ(x,t). Dopo una misura che abbia dato come risultato un certo autovalore λ, la funzione d onda ψ(x,t) si riduce alla autofunzione che ha quel λ come autovalore.

34 I postulati della meccanica quantistica Postulato IV L evoluzione temporale di una funzione d onda ψ(x,t) è governata dall equazione di Schrödinger h i 2π tψ ( x, t) = Hψ ( x, t) Qui H è l operatore corrispondente alla osservabile energia del sistema. Si tratta di una equazione differenziale del prim ordine rispetto al tempo, quindi richiede la conoscenza della sola funzione d onda ψ(x,t=0). L evoluzione del sistema è causale e deterministica, fin tanto che non si effettui una operazione di misura. La misura di una osservabile perturba drasticamente lo stato del sistema, producendo la riduzione della funzione d onda ad una delle autofunzioni dell osservabile misurata (postulato III). La meccanica quantistica La teoria costruita a partire da questi postulati è in grado di spiegare tutti i fenomeni finora osservati alle scale atomiche. In particolare, essa ha consentito - di descrivere correttamente il moto di particelle soggette a campi di forza; - di determinare i livelli energetici dell atomo di idrogeno e le corrispondenti funzioni d onda dell elettrone (orbitali); - di ottenere, applicando il principio di esclusione di Pauli, la configurazione elettronica degli atomi più complessi; - di ottenere, quando integrata con una teoria quantistica della radiazione elettromagnetica, le probabilità di transizione tra due diversi livelli energetici di un atomo. La meccanica quantistica non è stata finora contraddetta da alcun fatto sperimentale.

35 Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Propagazione libera di un pacchetto gaussiano Classicamente, una particella in moto con una certa velocità, non soggetta ad alcuna forza, si muove mantenendo inalterata la sua velocità. Secondo la teoria quantistica, la funzione d onda associata alla particella evolve nel tempo diventando più estesa: se all istante iniziale la particella era localizzabile in una regione di spazio piccola, col passare del tempo la regione in cui è possibile trovarla diventa sempre più estesa. Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Moto di un corpo soggetto a forza elastica Classicamente, una particella soggetta a forza elastica, compie un moto oscillatorio armonico. Quantisticamente, l insieme dei valori possibili per l energia forma uno spettro discreto h 1 E ( ), n = 2 π ω n + 2 n = 0,1,2,... Il valore più basso possibile per l energia (n=0) non è zero, in accordo con la indeterminazione di Heisenberg. Velocità media non nulla Velocità media nulla

36 Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Moto di un elettrone contro barriera dura Classicamente, una particella che incontri lungo il suo percorso una barriera di potenziale infinitamente alta, ne viene respinta all indietro, manentendo immutato il valore assoluto della sua velocità. Vediamo come si presenta questo processo secondo la teoria quantistica: Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Effetto tunnel Una particella, secondo la meccanica classica, non può assolutamente superare una barriera se non ha l energia sufficiente Secondo la meccanica quantistica, invece, c è sempre una probabilità non nulla di trovare la particella oltre una barriera qualunque sia l energia della particella. Questo è il cosiddetto effetto tunnel (la probabilità evolve nel tempo, una parte di probabilità rimbalza sulla barriera, un altra parte la supera) secondo la meccanica classica effetto tunnel

37 Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Effetto tunnel Pacchetto d onde gaussiano in moto con energia E verso una barriera di potenziale pari a V=2 E. Classicamente la particella verrebbe respinta indietro in ogni caso. Quantisticamente, esista la probabilità di attraversare la barriera; questa probabilità decade esponenzialmente con lo spessore della barriera. Barriera di potenziale di spessore d, pacchetto di spessori (d,2d). Barriera di potenziale di spessore 2d, pacchetto di spessori (8d,8d). Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Effetto Tunnel La corrente elettrica è trasportata in generale da particelle cariche (elettroni). All interno di materiali conduttori, come i metalli, gli elettroni hanno la possibilità di muoversi liberamente sotto l azione di una tensione applicata. Se si hanno due conduttori ravvicinati, tra cui è imposta una tensione V, lo spazio non conduttore tra di essi costituisce una barriera per il passaggio di elettroni (corrente). Se si elimina la barriera, passa la corrente. Tuttavia se la separazione tra i due conduttori è molto piccola (< 10 mm), c è una certa probabilità che gli elettroni possano passare attraverso la barriera dando luogo a un flusso di corrente I (effetto Tunnel) La probabilità di passaggio di un elettrone diminuisce esponenzialmente al crescere della separazione d tra i due conduttori (Fowler Nordheim): I (V 2 / d 2 ) exp(-d / V)

38 Microscopio a Scansione Tunnel (STM, G. Binnig H. Rohrer, 1982) Se si mantiene costante la tensione V tra i due conduttori, - aumentando la loro distanza, diminuisce la corrente I - diminuendo la loro distanza, aumenta la corrente I Misurando la corrente I si può ottenere una misura precisa della distanza. 1 2 Microscopio a scansione tunnel : se uno dei due conduttori è una punta piccolissima, tenuta PUNTA METALLICA separata dalla superficie di un campione conduttivo, misurando la corrente circolante per effetto tunnel si può conoscere la distanza della punta dal punto del campione. CAMPIONE CONDUTTIVO Superficie di un cristallo di silicio (si può distinguere la posizione dei singoli atomi di silicio arrangiati con simmetria esagonale). Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation Emissione spontanea L atomo in uno stato eccitato E 2 passa spontaneamente, cioè senza nessuna sollecitazione esterna, in uno stato di energia inferiore E 1 E 2 E 1 E 2 E 1 EMISSIONE INCOERENTE Emissione stimolata L atomo immerso in un campo e.m. di frequenza ν = (E 2 E 1 )/h, viene indotto a compiere la transizione, cioè la presenza di un fotone stimola l emissione di un fotone alla stessa ν. E 2 E 2 E 1 E 1 EMISSIONE COERENTE Due fotoni indistinguibili: stessa frequenza, direzione, fase, ecc.

39 Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation Normalmente la luce viene assorbita quando si propaga attraverso un materiale. In un mezzo in cui è stata creata una inversione di popolazione si ha emissione ed amplificazione della luce. Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation Schema di funzionamento di un laser EMISSIONE DI LUCE LASER SPECCHIO COMPLETAMENTE RIFLETTENTE MEZZO ATTIVO SPECCHIO PARZIALMENTE RIFLETTENTE SISTEMA DI POMPAGGIO (CHE SERVE A CREARE L INVERSIONE DI POPOLAZIONE NEL MEZZO OTTICO)

40 Alcune conseguenze della Meccanica Quantistica Laser (Light Amplification by Stimulated Emitted Radiation Esempio di schema per la creazione di inversione di popolazione in un sistema a tre livelli. In vista del test di verifica Cos è un onda elettromagnetica piana? Quali sono i parametri che la caratterizzano? Come sono legati tra di loro? Cosa si intende per parte visibile dello spettro della radiazione elettromagnetica? Cosa si intende per corpo nero? Lo spettro di emissione di un corpo nero è continuo o discreto? Quali sono le possibili frequenze della luce emessa da un corpo nero? Come è legata la lunghezza d onda alla quale c è il picco di emissione di un corpo nero con la temperatura? Qual è la lunghezza d onda di picco di una stella con temperatura superficiale pari a 6000 K? In cosa consiste l ipotesi di Planck? Quanto vale la costante di Planck? Perché è necessario ipotizzare che la luce sia costituita di corpuscoli per spiegare l effetto fotoelettrico? Se il potenziale di estrazione A di un materiale è pari a 5 ev, quale sarà il valore della frequenza di soglia per l emissione di elettoni per effetto fotoelettrico?

41 In vista del test di verifica Perché la teoria corpuscolare della luce spiega l effetto Compton, mentre quella ondulatoria fallisce? Di quanto differisce la lunghezza d onda della radiazione diffusa da quella incidente se nell effetto Compton il rivelatore è posto a 90 gradi rispetto alla direzione del fascio incidente? Lo spettro di emissione e di assorbimento di radiazione degli atomi e delle molecole è continuo o discreto? Quali sono la frequenza e la lunghezza d onda della radiazione emessa dall idrogeno atomico in seguito alla transizione dal livello n=2 al livello n=1? Un fotone emesso in seguito a questa transizione, potrebbe provocare una emissione fotoelettrica su un materiale con potenziale di estrazione A pari a 10 ev? Se si ripetesse l esperimento di Franck-Hertz usando idrogeno atomico invece vapore di mercurio, per quale valore della tensione tra catodo e griglia si osserverebbe la caduta della corrente? In vista del test di verifica A parità di velocità, quale è maggiore tra la lunghezza d onda di de Broglie di un elettrone e di un protone? Per produrre diffrazione di elettroni per mezzo di una fenditura di larghezza pari a 1 Å, quale deve essere la velocità degli elettroni da utilizzare? Cosa si intende per dualismo onda-corpuscolo? Cosa rappresenta la funzione d onda per un sistema di una particella? Perché, secondo il principio di indeterminazione di Heisenberg, non è possibile che un corpo puntiforme soggetto a forza elastica abbia energia totale uguale nulla? Cos è l effetto tunnel? Perché non è mai stato osservato per un corpo macroscopico?

42 Grazie per l attenzione!!!