Introduzione alla misurazione e misura Definizioni Il procedimento conoscitivo sperimentale Le grandezze d influenza L incertezza di misura

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1 1 Indice unità 1 Misurazione e Misure Misure Dirette e Indirette Caratterizzazione strumentazione di misura Esercizio Stima incertezze misura resistenze 2

2 Misure e incertezze di misura 3 Indice Introduzione alla misurazione e misura Definizioni Il procedimento conoscitivo sperimentale Le grandezze d influenza L incertezza di misura Modello deterministico Modello probabilistico Categoria delle incertezze secondo la GUM Compatibilità delle misure 4

3 Misurazione e Misure 5 Perché si misura 1/3 Determinare il valore (costo) di oggetti Determinare la qualità di beni Esempi: dimensione di terreni, stoffe,... quantità di grano, sementi, acqua,... Storicamente: Pesi e misure 6

4 Perché si misura 2/3 Motivazioni di tipo tecnico prove di accettazione per i semilavorati intercambiabilità fra i prodotti di più fornitori prove per la verifica della qualità del processo produttivo compatibilità fra pezzi provenienti da processi diversi prove per la verifica della qualità dei prodotti finiti compatibilità fra prodotto e specifiche di progetto confronto fra prodotti di fornitori differenti 7 Perché si misura 3/3 Motivazioni di tipo scientifico conoscere un fenomeno fisico e ricavarne un modello (sperimentazione sul fenomeno fisico): validare i parametri del modello mediante verifica sperimentale (migliorare l accuratezza del modello) tenere sotto osservazione (monitorare) il fenomeno per intervenire e modificare il suo comportamento 8

5 In tutte queste operazioni Occorre un accordo su un unità di misura e sul campione es.: per le lunghezze il metro su un metodo di misurazione es.: confronto diretto fra la grandezza da misurare e il campione sulle modalità di comunicare il risultato della misura es.: regole di scrittura e incertezza della misura 9 Metodo Sperimentale 1/2 Risale ai primordi dell attività cognitiva umana Formalizzato e assunto a metodo scientifico da Galileo Galilei, si basa sulla : teorizzazione di un fenomeno fisico modello (matematico,...) legge fisica 10

6 Metodo Sperimentale 2/2 esperimento sul fenomeno fisico affinamento del modello modifiche individuazione dei limiti di validità verifica sperimentale 11 Riassumedo 1/4 Misurare significa acquisire e comunicare informazioni oggettive sul mondo fisico 12

7 Riassumedo 2/4 Misurare significa acquisire e comunicare informazioni oggettive sul mondo fisico Il risultato di una misurazione (cioè l informazione ottenuta) si chiama misura 13 Riassumedo 3/4 Misurare significa acquisire e comunicare informazioni oggettive sul mondo fisico Il risultato di una misurazione (cioè l informazione ottenuta) si chiama misura La misura è definita quando sono dichiarati: il valore numerico stimato l unità di misura associata l intervallo di valori che può assumere il valore stimato 14

8 Riassumedo 4/4 Misurare significa acquisire e comunicare informazioni oggettive sul mondo fisico Il risultato di una misurazione (cioè l informazione ottenuta) si chiama misura La misura è definita quando sono dichiarati: il valore numerico stimato l unità di misura associata l intervallo di valori che può assumere il valore stimato Il procedimento con cui simisura sichiama misurazione 15 Misurazione e Misure 16

9 Il sistema misurato (in misura) Sistema o processo di cui interessa misurare una particolare proprietà o manifestazione fisica Esempio: amplificatore di cui interessa misurare la frequenza di taglio oscillatore sinusoidale di cui interessa misurare la stabilità di frequenza processo di lavorazione di un componente meccanico di cui interessa misurare la stabilità misurando le caratteristiche del prodotto finito 17 Il misurando È la caratteristica dell oggetto o la grandezza fisica che interessa conoscere in modo oggettivo e di cui interessa la misura Esempio: il volume di un solido in definite condizioni ambientali la tensione di una batteria in condizioni di corrente erogata nulla la resistenza di un resistore in definite condizioni ambientali di temperatura, umidità ecc. 18

10 La misurazione Procedimento, empirico ed oggettivo, che permette il confronto fra la proprietà dell oggetto e/o fenomeno ed il campione riconosciuto per quella grandezza, che realizza l unità di misura o un suo multiplo, sottomultiplo 19 La misura Associa dei valori numerici alle proprietà e/o alle caratteristiche di oggetti o fenomeni fisici al fine di descriverli in modo quantitativo e condiviso Esempio: Volume di un solido (15,2 ± 0,1) cm 3 Tensione a vuoto di una batteria (9,6 ± 0,2) V Resistenza di un resistore (12,5 ± 0,1) Ω 20

11 Espressione della Misura Si noti come negli esempi precedenti viene dichiarato: il valore numerico stimato ( volume 15,2 ) l intervallo di valori che può assumere il valore stimato (± 0,1) l unità di misura associata (cm3) 21 L incertezza Ad ogni misura è sempre associata l informazione essenziale sull incertezza: cioè l ampiezza della fascia di valori all interno della quale si stima sia collocato il valore misurato l incertezza indica quanto è significativa la misura ottenuta l incertezza deve essere: stimata dallo sperimentatore comunicata sempre 22

12 Misurazione e Misure 23 Procedura conoscitiva sperimentale 1/4 PROCESSO La misurazione si propone di ottenere informazioni per raggiungere la conoscenza di un processo. Misurazione CONOSCENZA DEL PROCESSO 24

13 Procedura conoscitiva sperimentale 2/4 Manif. di grandezze fisiche osservate Enti fisici osservati PROCESSO Il procedimento di misurazione produce dei numeri (e quindi si effettua una discretizzazione della grandezza continua) L interpretazione dei numeri permette la conoscenza Numeri (valori di grand. fisiche) Discretizzazione Interpretazione CONOSCENZA DEL PROCESSO 25 Procedura conoscitiva sperimentale 3/4 Manif. di grandezze fisiche osservate Enti fisici osservati PROCESSO Manif. di grandezze fisiche facilmente misurabili Trasduzione (sensori) Numeri (valori di grand. fisiche) Se le grandezze da misurare sono scomode si ricorre alla trasduzione mediante sensori Discretizzazione Interpretazione CONOSCENZA DEL PROCESSO 26

14 Procedura conoscitiva sperimentale 4/4 Manif. di grandezze fisiche osservate Enti fisici osservati PROCESSO Sui valori numerici ottenuti si possono eseguire delle elaborazioni per ricavare i parametri significativi del processo e quindi si può fare una Elaborazione dei dati Numeri (valori di funzionali) Interpretazione Trasduzione Numeri (valori di grand. fisiche) Elaborazione dati CONOSCENZA DEL PROCESSO 27 Tipi di grandezze 1/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica 28

15 Tipi di grandezze 2/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica Tipo numerale esempio: numero di abitanti in una certa regione 29 Tipi di grandezze 3/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica Tipo numerale esempio: numero di abitanti in una certa regione Tipo razionale esempi: lunghezza, massa, tensione elettrica, corrente elettrica, resistenza elettrica 30

16 Tipi di grandezze 4/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica Tipo numerale esempio: numero di abitanti in una certa regione Tipo razionale esempi: lunghezza, massa, tensione elettrica, corrente elettrica, resistenza elettrica Tipo complesso esempi: grandezze vettoriali, colore in colorimetria 31 Tipi di grandezze 5/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica 32

17 Tipi di grandezze 6/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica Tipo strumentale esempi: durezza, rugosità 33 Tipi di grandezze 7/7 Descrivibili con modelli matematici che soddisfano leggi della fisica Tipo strumentale esempi: durezza, rugosità Tipo selettivo esempi: parametri che definiscono la qualità di un processo di produzione, pezzature di pietrisco determinate con setacci 34

18 La misurazione richiede 1/4 La definizione del misurando e l individuazione della sua tipologia all interno di un insieme di grandezze 35 La misurazione richiede 2/4 La definizione del misurando e individuazione della sua tipologia all interno di un insieme di grandezze L esistenza di relazioni empiriche tra grandezze omogenee all interno della tipologia del misurando esempio: equivalente, più grande 36

19 La misurazione richiede 3/4 La definizione del misurando e individuazione della sua tipologia all interno di un insieme di grandezze L esistenza di relazioni empiriche tra grandezze omogenee all interno della tipologia del misurando esempio: equivalente, più grande Un insieme di numeri, con associate le relazioni fra di essi esempio: numeri reali relazioni di uguaglianza, operazioni matematiche 37 La misurazione richiede 4/4 La definizione delle funzioni di trasformazione che permettano il passaggio: dalle proprietà delle grandezze ai numeri che le esprimono dalle relazioni empiriche tra grandezze alle relazioni fra numeri esempi: equivalente = (uguale) più grande > (maggiore) La definizione una unità di misura con il relativo campione universalmente accettato 38

20 Attori coinvolti nella misurazione 1/2 In un processo di misurazione sono coinvolti molteplici attori: il misurando (descritto con un modello della grandezza che si vuole misurare) i parametri ambientali (temperatura, umidità, disturbi di tipo elettrico, ecc..) l operatore (che effettua delle azioni e raccoglie l'informazione di misura) 39 Attori coinvolti nella misurazione 2/2 il metodo di misurazione e la procedura utilizzata la strumentazione di misura il campione di riferimento 40

21 Misurazione e Misure 41 Grandezze d'influenza 1/4 Tutte quelle grandezze, coinvolte nel processo di misurazione che: 42

22 Grandezze d'influenza 2/4 Tutte quelle grandezze, coinvolte nel processo di misurazione che: Sono diverse dal misurando, 43 Grandezze d'influenza 3/4 Tutte quelle grandezze, coinvolte nel processo di misurazione che: Sono diverse dal misurando La cui variazione altera in modo apprezzabile il risultato della misura sono chiamate 44

23 Grandezze d'influenza 4/4 Tutte quelle grandezze, coinvolte nel processo di misurazione che: Sono diverse dal misurando, La cui variazione altera in modo apprezzabile il risultato della misura sono chiamate Grandezze di influenza 45 Misurazione e Misure 46

24 L incertezza A causa dell imperfetta misurazione il risultato non coincide con il valore di misura che idealmente dovrebbe essere attribuito al misurando Si ha dunque un errore (scarto, scostamento), originato da svariati contributi (effetti delle sorgenti di incertezza) che lo producono Se si ripetono le misurazioni, si ha una dispersione dei valori che possono essere trattati con tecniche statistiche e probabilistiche 47 Modi di esprimere l incertezza 1/4 Viene indicata la semiampiezza della fascia di incertezza centrata intorno al valore di misura. 48

25 Modi di esprimere l incertezza 2/4 Viene indicata la semiampiezza della fascia di incertezza centrata intorno al valore di misura. Questa può essere espressa ( per esempio nel caso di misura di una corrente I 0 ) come: valore assoluto e I = 0,004 A ε I I 0 49 Modi di esprimere l incertezza 4/4 Valore relativo (riferito al valore I 0 misurato) espresso normalmente in percento η I = ε I / I 0 = 0,13% ε I I 0 η I = (ε I / I 0 ) x100 Valore ridotto (riferito a un valore convenzionale I FS ) espresso normalmente in percento ρ I = ε I / I FS = 0,04% (e viene indicato anche il valore di I FS =10 A) ρ I = (ε I / I FS ) x100 50

26 L incertezza non è mai nulla Per vari motivi: Il misurando è affetto da una incertezza intrinseca (anche dovuta a imperfezioni di modello) I campioni che si utilizzano nel confronto sono affetti da incertezze Lo stato dei sistemi che interagiscono nella misurazione (sistema misurato, dispositivi, campione,...) non è perfettamente definito varia al variare delle condizioni al contorno (ambientali) 51 Correzioni Alcuni scarti sono però calcolabili sulla base di modelli determinati da: conoscenze sul comportamento dei sistemi che intervengono nella misurazione conoscenze dell effetto delle grandezze di influenza Calcolati questi scarti, si può correggere la misura (se la componente di errore è significativa) esempio: errori di consumo degli strumenti (carico strumentale) 52

27 Espressione della grandezza in misura In generale la grandezza q in misura è esprimibile in funzione di altre grandezze q i secondo una relazione q= f(q 1, q 2,... q m ) A questa relazione è associata una analoga relazione tra misure che definisce n (misura di q) n = f(n 1, n 2,... n m ) Le n i possono essere indifferentemente sia misure di grandezze q i sia valori noti per altra via (costanti fisiche o strumentali) 53 Valore da attribuire alla misura Il valore n o da attribuire alla misura è dato da: n o = f(n 1o, n 2o,... n mo ) Dove n io sono le misure n i, o i valori delle grandezze note 54

28 Calcolo della variazione di n o 1/2 L effetto di variazioni delle n io su n o può essere calcolato sulla base delle seguenti ipotesi: sono definite e calcolabili le derivate parziali prime di f( ) rispetto alle variabili indipendenti le variazioni δn i sono piccole rispetto ai valori n io 55 Calcolo della variazione di n o 2/2 Si può calcolare la variazione δn i... δ n o f f f = δn o δn n 1 + n o + o o n mo δ n m Limitandosi ai termini dello sviluppo in serie del primo ordine se f( ) non è fortemente non lineare 56

29 Esempio bilancia a due piatti m x a b m c All equilibrio la funzione che esprime m x =f(a,b,m c ) è m x =(b/a)m c m c massa campione, a e b possono essere quantità note o anche misurate in fase di misurazione La relazione tra le rispettive misure è m x =(b/a) m c 57 Variazione delle lunghezze a, b, e di m c Si può calcolare la variazione δm x f f f δm = δa + δb + δm x a b m c c mc = δb + a b a b δm c 2 a m c δa = Nella relazione δa, δb, δm c sono incrementi finiti e determinati, Formalmente però la semiampiezza della fascia di incertezza può essere matematicamente trattata come una variazione 58

30 Dalle variazioni alle incertezze In questo caso Il valore delle variazioni non è determinato, nel senso che δa, δb, δm c definiscono il limite superiore di una fascia all interno della quale si trova il valore di misura Il segno delle variazioni non è noto (perché non si conosce se il valore di misura è superiore o inferiore al valore centrale della fascia) 59 Come passare alle incertezze Si possono quindi assumere due diversi atteggiamenti per applicare la relazione che calcola δm x ad una analoga relazione che stima l incertezza e mx La stima di e mx può essere fatta sulla base di uno dei seguenti due modelli : modello deterministico modello probabilistico 60

31 L incertezza di misura 61 Modello deterministico 1/2 È un modello semplicistico Ogni contributo di incertezza è stimato nelle condizioni peggiori L ampiezza della fascia di incertezza è ottenuta sommando i valori assoluti dei singoli contributi 62

32 Modello deterministico 2/2 L ampiezza della fascia è tale da garantire che il valore del misurando sia compreso all interno della fascia Si stima l incertezza in modo pessimistico (worst case) 63 Stima col Modello deterministico 1/3 Definita la relazione n = f(n 1, n 2,... n m ) Se si stimano le δn i come semi ampiezza massima (δn i >0) della fascia di incertezza con cui si conoscono le n i 64

33 Stima col Modello deterministico 1/3 Se le incertezze δn i sono piccole rispetto alle misure n i (cioè la funzione è linearizzabile nell intorno) Se le grandezze q i, di cui n i sono le corrispondenti misure, sono tutte indipendenti fra di loro 65 Stima col Modello deterministico 3/3 L incertezza massima δn da attribuire alla misura è data da: f f f δ n = δn δn δn n 1 + n n m 1 2 m δn è una combinazione lineare delle varie incertezze in cui ciascuna contribuisce con un fattore peso f n i 66

34 Esempi (a > 0, b > 0) Somma x = a + b δ x = E = δa + δb x Differenza x = a b δx = E = δa + δb x Nota: in entrambi i casi si sommano le incertezze assolute 67 Esempi 1/2 Prodotto Quoziente x = a b δx x x = δx x δa δb = ε = + = ε + ε a b a b x a b δa δb = ε = + = ε + ε a b x a b Nota: in entrambi i casi si sommano le incertezze relative 68

35 Esempi 2/2 Potenza Radice x = δx x x = δx x a n δ = ε n a x = = a n a 1 δa = ε x = = n a nε ε n a a 69 L incertezza di misura 70

36 Modello probabilistico 1/3 Modello più raffinato, che fornisce una stima più realistica 71 Modello probabilistico 2/3 Modello più raffinato, che fornisce una stima più realistica È il modello che deve essere usato nella stima delle incertezze nella emissione di certificati ufficiali 72

37 Modello probabilistico 3/3 Modello più raffinato, che fornisce una stima più realistica È il modello che deve essere usato nella stima delle incertezze nella emissione di certificati ufficiali Modello previsto dalla Guida all espressione dell incertezza di misura (GUM) 73 Modello probabilistico dell incertezza 1/6 La fascia di incertezza assume un significato che va associato al concetto di probabilità che la misura rientri in quella fascia La singola misura è considerata come una estrazione a caso in un insieme di tutte le misure possibili (idealmente infinite) 74

38 Modello probabilistico dell incertezza 2/6 La distribuzione delle frequenze di occorrenza delle singole misure tende ad una distribuzione normale (curva gaussiana) Anche la distribuzione (densità) di probabilità assume un andamento gaussiano (approccio frequenzistico) 75 Modello probabilistico dell incertezza 3/6 p(n) Distribuzione Gaussiana n 0 σ n 0 n n 0 +σ σ deviazione standard (radice positiva della varianza σ 2 ) è la semi ampiezza della fascia che contiene i valori con probabilit à di occorrenza del 68,4% 76

39 Modello probabilistico dell incertezza 4/6 Viene introdotto il concetto di incertezza tipo u n come la radice positiva della varianza s 2 che numericamente è espresso dalla deviazione standard s della distribuzione La probabilità (livello di fiducia) che il valore cada all interno della fascia di semiampiezza u n centrata intorno al valore di stima è del 68,4% 77 Modello probabilistico dell incertezza 5/6 Se si richiede un livello di fiducia più elevato occorre moltiplicare u n per un fattore k detto fattore di copertura Siottiene così l incertezza estesa U n = k u n 78

40 79 Modello probabilistico dell incertezza 6/6 Per una densità di probabilità gaussiana con k =2 (e quindi incertezza estesa U n = 2 u n ) La probabilità (livello di fiducia) sale al 95,45% Con k =3 il livello di fiducia diventa 99,7% p(n) n 0 n n 0 3u n n 0 +3u n 80 Stima con modello probabilistico 1/4 La relazione È una combinazione lineara tra variabili casuali La varianza della distribuzione composta, nell ipotesi che le grandezze n io siano tutte statisticamente indipendenti, vale: n m mo n f o n o n f o n o n f o n δ δ δ δ + + = ) ( ) 2 ( 2 ) 1 ( 1 ) ( n mo mo n f o n o n f o n o n f o n σ σ σ σ + + =...

41 Stima con modello probabilistico 2/4 Nell ipotesi che: siano definite e note le incertezze tipo u ni delle grandezze n i le grandezze n i siano tutte statisticamente indipendenti le incertezze tipo u ni siano piccole rispetto alle n io siano definite e calcolabili le derivate parziali prime di f( ) rispetto alle variabili indipendenti 81 Stima modello probabilistico 3/4 La varianza composta u 2 n da attribuire alla misura è data da: u 2 n f = n1 2 u f 2 f 2 n u n + u 2 n m n 2 n m L incertezza tipo composta u n è la radice quadrata positiva della varianza composta 82

42 Stima modello probabilistico 4/4 u 2 n Se le grandezze q i sono correlate La varianza composta u 2 n da attribuire alla misura è data da: = m 2 f u 2 ni n i i = 1 m m 1 f + 2 n i = 1 j = i + 1 i f u n i, n n j j dove u ni,n j è la covarianza stimata associata a n i e n j l incertezza tipo composta u n è la radice quadrata positiva della varianza composta 83 Esempi (a > 0, b > 0, non correlati) Somma x = a + b u = u + u x a b Differenza x = a b u = u + u x a b Nota: in entrambi i casi si sommano quadraticamente le incertezze tipo assolute 84

43 85 Esempi (non correlati) Prodotto Quoziente Nota: in entrambi i casi si sommano quadraticamente le incertezze tipo relative = = b u a u x u b a x b a x x a b u x u a u b x a b = = Esempi Potenza n-ma Radice n-ma = = a u n x u a x a x n = = a u n x u a x a x n

44 Distribuzione composita 1/2 Se la densità di probabilità della distribuzione composita è ancora normale, valgono ancora i valori dei livelli di fiducia con i fattori di copertura già indicati (k =2, livello di fiducia 95,45% ecc..) Poiché la forma della distribuzione composita dipende dalla forma delle N distribuzioni componenti, ciò non è necessariamente vero 87 Distribuzione composita 2/2 Se le N distribuzioni componenti sono normali, anche la distribuzione composita è normale Se le N distribuzioni componenti non sono normali, la distribuzione composita tende ad una gaussiana se N (teorema del limite centrale) In tali condizioni valgono ancora i valori dei livelli di fiducia con i fattori di copertura già indicati (k =2, livello di fiducia 95,45% ecc..) Se non si è in queste condizioni i fattori di copertura assumono valori diversi 88

45 Strategie della misurazione 1/3 Si possono adottare due strategie: accontentarsi di una singola misurazione ripetere più volte la misurazione (ipotizzando che il misurando sia invariante) La prima strategia di solito si adotta quando si utilizzano metodi e strumenti non troppo sensibili, cosicchè ci si aspetta di ottenere sempre lo stesso risultato La seconda strategia si adotta con strumenti e metodi tanto sensibili da mettere in evidenza le variazioni indotte sulla misura dalle numerose grandezze di influenza 89 Strategie della misurazione 2/3 Poiché le grandezze d influenza interagiscono in modo casuale, ad ogni ripetizione della misurazione, si ottengono risultati diversi Dispersione delle misure Nell ipotesi che gli effetti del rumore sulla misura siano a valore medio nullo La stima migliore della misura è data ragionevolmente dalla media delle misure ripetute 90

46 Strategie della misurazione 3/3 Non tutte le grandezze di influenza però hanno un effetto aleatorio Alcune introducono effetti sistematici(si pensiper esempio alla perturbazioneprodottasulmisurando dallo strumento di misura) Questa perturbazione non potrà essere stimata ripetendo più volte la misurazione Il suo effetto infatti simanifesta in modo costante ad ogni ripetizione 91 Modello probabilistico delle incertezze La GUM fa riferimento a due diverse tipologie di incertezza che si differenziano per i diversi strumenti matematici utilizzati per la loro valutazione incertezze di categoria A l incertezza tipo si stima con una analisi statistica di una serie di osservazioni (misure ripetute) incertezze di categoria B l incertezza tipo si stima con mezzi diversi dagli usuali strumenti statistici 92

47 Misure ripetute Sono considerate m osservazioni indipendenti n k della grandezza q eseguite nelle stesse condizioni sperimentali La stima del valore sperato (la misura migliore) è data dalla media aritmetica delle osservazioni _ n = 1 m m n k k = 1 93 Varianza sperimentale delle misure La varianza sperimentale s 2, stima della varianza σ 2 della distribuzione, ottenuta solo su m valori sperimentali n k, è data da: s 2 1 ( n k ) = m m n 1 k k = 1 2 _ n 94

48 Varianza della media La miglior stima della varianza della media sperimentale è data da: _ s 2 n = s 2 n k m ( ) La sua radice quadrata è chiamata scarto tipo sperimentale della media e rappresenta l incertezza tipo u( n ) 95 Misurazione e Misure 96

49 Incertezza tipo di categoria A L incertezza di categoria A viene dunque valutata come: l incertezza tipo, data dalla radice positiva della varianza della media sono inoltre indicati i gradi di libertà (numero di osservazioni indipendenti utilizzate per il calcolo della varianza) la stima migliore della misura è data dalla media aritmetica delle misure (ripetute con lo stesso strumento) 97 Incertezza tipo di categoria B 1/2 La incertezza di categoria B è valutata a priori analizzando il sistema di misura e in base alle conoscenze che l operatore ha su di esso e cioè: specifiche tecniche dei costruttori dei vari componenti del sistema (incertezze sui valori di targa dei componenti utilizzati ecc...) dati forniti in certificati di taratura (che dichiarano per esempio l incertezza del campione interno al sistema utilizzato per la misurazione ecc...) 98

50 Incertezza tipo di categoria B 2/2 dati (incertezze) di misurazioni precedenti effettuate su elementi del sistema esperienza dell operatore 99 Esempi di incertezze di categoria B Le informazioni sulle varie componenti di incertezza di categoria B possono essere fornite in diversi modi: incertezza U(x) con ipotesi di distribuzione di probabilità normale e un dato intervallo di fiducia (fattore di copertura k). Quindi l incertezza tipo u(x)= U(x)/ k semiampiezza massima a della fascia e ipotesi di distribuzione di probabilità uniforme. Ricordando che, per distribuzione uniforme σ 2 (x)=a 2 /3, l incertezza tipo sarà: a u( x) = 3 fascia di valori a valore centrale 100

51 Composizione incertezze tipo B 1/3 Tutte queste componenti di incertezza vengono combinate quadraticamente, in base al modello che lega le varie grandezze 101 Composizione incertezze tipo B 2/3 Tutte queste componenti di incertezza vengono combinate quadraticamente, in base al modello che lega le varie grandezze Nell ipotesi di indipendenza statistica dei vari contributi l incertezza tipo di categoria B sarà: u 2 n f = n1 2 u 2 n f + n 2 2 u 2 n f n 1 2 m n m u 102

52 Composizione incertezze tipo B 3/3 Tutte queste componenti di incertezza vengono combinate quadraticamente, in base al modello che lega le varie grandezze. Nell ipotesi di indipendenza statistica dei vari contributi l incertezza tipo di categoria B sarà: u 2 n f = n1 2 u 2 n f + n 2 L incertezza può essere espressa al solito in valore assoluto, relativo o ridotto 2 u 2 n f n 1 2 m n m u 103 Composizione delle incertezze tipo B 1/2 Come già visto in precedenza se le N distribuzioni componenti sono normali, anche la distribuzione composita è normale se le N distribuzioni componenti non sono normali, la distribuzione composita tende ad una gaussiana se N 104

53 Composizione delle incertezze tipo B 2/2 Nell ipotesi di distribuzione normale L incertezza tipo u n definisce la semiampiezza della fascia con livello di fiducia del 68,4% e valgono ancora i valori dei livelli di fiducia con i fattori di copertura già indicati (k =2, livello di fiducia 95,45%, k=3 per circa il 99%ecc..) 105 Composizione delle incertezze tipo A e B 1/2 La strategia completa di una misurazione può essere la seguente: definiti la procedura ed il sistema di misura si procede ad analizzarlo e valutare a tavolino u B (incertezza tipo B) se, ripetendo la misura, si nota una variabilità dei risultati si esegue una stima migliore della misura espressa dalla media si stima u A (incertezza tipo A) 106

54 Composizione delle incertezze tipo A e B 2/2 in un sistema ben progettato i due contributi dovrebbero risultare circa dello stesso ordine di grandezza si possono quindi combinare quadraticamente le incertezze tipo A e B per ottenere l incertezza composta 2 2 A, B = ua ub u Considerazioni sul sistema di misura Un sistema di misura di elevata qualità produce misure con incertezze di categoria B piccole. Se la ripetizione delle misure porta a valutare u A >> u B può voler dire che: il misurando è poco stabile le fluttuazioni dei fattori di influenza danno contributi elevati Una u A molto piccola non necessariamente implica che la misura sia accurata Nel caso di una misura singola si può valutare solo l incertezza u B 108

55 Misurazione e Misure 109 Compatibilità delle misure 1/4 A causa dell incertezza : non ha significato parlare di misure uguali il concetto di uguaglianza è sostituito da quello di compatibilità tra misure le misure sono compatibili quando le fasce di valore assegnate in diverse occasioni come misura della stessa quantità, nello stesso stato, hanno intersezione non nulla 110

56 Compatibilità delle misure 2/4 Esempio: Prove diverse a b c a e b sono compatibili b e c sono compatibili misura a e c NON sono compatibili 111 Compatibilità delle misure 3/4 La compatibilità NON gode della proprietà transitiva se a compatibile con b e b è compatibile c non necessariamente è a compatibile con c 112

57 Compatibilità delle misure 4/4 La compatibilità NON gode della proprietà transitiva se a compatibile con b e b è compatibile c non necessariamente è a compatibile con c Sono mutuamente compatibili le misure che hanno almeno un elemento in comune fra tutte le fasce di valore 113 Misure e incertezze di misura 114

58 Indice Misurazioni dirette: per opposizione per sostituzione con memoria della funzione di taratura Misurazioni indirette 115 Misurazioni Dirette e Indirette 116

59 Misurazioni dirette Procedimento di misura che consente il confronto diretto fra il misurando ed una grandezza di riferimento della stessa specie (campione) 117 Gli attori della misurazione Il sistema misurato Il misurando Il campione Lo strumento L utilizzatore 118

60 Misurazioni dirette Il confronto con il campione può essere: per opposizione esempi: regolo, bilancia a due piatti, ponte di Wheatstone per sostituzione esempi: misura di capacità con sostituzione di capacità tarata nelle tecniche di risonanza con memoria della funzione di taratura esempi: galvanometri elettromeccanici 119 Misurazioni Dirette 120

61 Per opposizione 1/4 X q x q c C La misurazione di q x presuppone la presenza di un campione C noto e variabile finemente q x è la proprietà (misurando) che interessa misurare del sistema misurato X q c è la grandezza di riferimento del campione C 121 Per opposizione 2/4 X I {e} q x E e q c C n c Si varia C fino a che il rivelatore E indica (con il segnale e) equivalenza tra q c e q x n x è il valore di q x n c è il valore di q c I {e} è la funzione interpretativa di e n x =n c 122

62 Per opposizione 3/4 X I {e} Ambiente q x q c E e C n c Il valore n x è noto con una incertezza dovuta a numerose cause legate, in particolare, alla variazione delle grandezze ambientali n x =n c 123 Per opposizione 4/4 Ambiente X S x I{e} q x q c E e n x =n c ±dn S E C S c n c La stima ± dn dell incertezza da attribuire a n x è operazione che l utilizzatore deve eseguire tenendo conto dello stato S degli oggetti 124

63 Stima dell incertezza 1/3 Le sorgenti che contribuiscono all incertezza finale sono: 125 Stima dell incertezza 2/3 Le sorgenti che contribuiscono all incertezza finale sono: Incertezza su: conoscenza dello stato S x (incertezza intrinseca del misurando) conoscenza degli stati S c e S e modello di E (relazione fra q x, q c ed e) 126

64 Stima dell incertezza 3/3 Le sorgenti che contribuiscono all incertezza finale sono: Incertezza su: conoscenza dello stato S x (incertezza intrinseca del misurando) conoscenza degli stati S c e S e modello di E (relazione fra q x, q c ed e) Incertezza con cui l utilizzatore interpreta e (sulla base di I{e}) 127 Misurazioni Dirette 128

65 Per sostituzione 1/4 X S C E Indicatore di uguaglianza Si deve possedere una zavorra stabile S finemente variabile ed un deviatore 129 Per sostituzione 2/4 X q x S C q c E Passo 1 si applica X e si varia S fino ad ottenere eguaglianza n x =n s 130

66 Per sostituzione 3/4 X q x S C q c E e Passo 2 si varia Cfino ad ottenere eguaglianza n c n x =n c 131 Per sostituzione 4/4 Ambiente X C S x n c S c q x q c E I {e} e n x n=n c =n c ±δn s S E S S s Anche in questo caso l ambiente influenza il tutto ed in più conta il tempo trascorso tra le due operazioni 132

67 Stima dell incertezza Analisi condotta come nel caso precedente 133 Stima dell incertezza Analisi condotta come nel caso precedente Note: le incertezze comprendono ora gli effetti dell instabilità nel tempo non interessa più l incertezza sul modello di E; conta però la sua risoluzione 134

68 Misurazioni Dirette 135 Con memoria della funzione di taratura 1/5 Mem. C E e n x =f t (p S ) S Si basa su un riferimento interno S, su un campione esterno usato una tantum e su una memoria di taratura 136

69 Con memoria della funzione di taratura 2/5 n c Mem. C E e p s n c S p s Fase 1 - Taratura si applica il campione, si varia S e si memorizzano i risultati nella memoria di taratura 137 Con memoria della funzione di taratura 3/5 Nella memoria è immagazzinata la funzione di taratura f t (p s ) mediante la quale si passa da un valore convenzionale p s al valore n c del campione C con cui il riferimento interno è stato confrontato 138

70 Con memoria della funzione di taratura 4/5 Mem. X E e n x =f t (p S ) S p s Fase 2 - Uso si applica il misurando e si varia S. Si usano i dati della memoria per fornire il valore di X 139 Con memoria della funzione di taratura 5/5 Ambiente S x X E I{e} e S E S Mem. n x =f t (p S ) ±δn S s p s Per la stima dell incertezza valgono le considerazioni già svolte Si aggiunge come causa il tempo trascorso dalla taratura 140

71 Misurazioni Dirette e Indirette 141 Misurazioni indirette 1/9 Procedimento in cui il valore della misura è ottenuto elaborando i risultati di una o più misurazioni dirette effettuate su grandezze che intervengono nella definizione del misurando 142

72 Misurazioni indirette 2/9 La misurazione indiretta presuppone l esistenza di un modello matematico 143 Misurazioni indirette 3/9 La misurazione indiretta presuppone l esistenza di un modello matematico n = f(n 1, n 2,.. n i... n m ) 144

73 Misurazioni indirette 4/9 La misurazione indiretta presuppone l esistenza di un modello matematico n = f(n 1, n 2,.. n i... n m ) che lega le m misure n i delle grandezze q 1,...q m alla misura n della grandezza q 145 Misurazioni indirette 5/9 Esempi: velocità di un oggetto: misurazioni dirette di lunghezza e tempo densità di una sostanza: misurazioni dirette di massa e di volume resistenza di un resistore: misurazioni dirette di tensione e corrente 146

74 Misurazioni indirette 6/9 Motivazione della scelta: impossibilità di eseguire una misura diretta ragioni di comodità, costo ecc...) 147 Misurazioni indirette 7/9 Motivazione della scelta: impossibilità di eseguire una misura diretta ragioni di comodità, costo ecc...) Con riferimento agli esempi: la densità potrebbe essere misurata anche con un densimetro la resistenza potrebbe essere misurata per confronto con resistore campione 148

75 Misurazioni indirette 8/9 L utilizzo del modello n = f(n 1, n 2,.. n i... n m ) implica una incertezza aggiuntiva di modello : infatti la funzione f( ) non descrive adeguatamente le relazioni nel mondo empirico 149 Misurazioni indirette 9/9 Esempi: velocità: v = l/t densità: d = m/v volume: V = p d 3 /6 resistenza: R = V/I 150

76 151 L incertezza massima δn da attribuire alla misura è data da: δn è una combinazione lineare delle varie incertezze in cui ciascuna contribuisce con un fattore peso i n f m n m n f n n f n n f n δ δ δ δ = Stima col Modello deterministico 152 La varianza composta u 2 n da attribuire alla misura è data da: L incertezza tipo composta u n è la radice quadrata positiva della varianza composta Nell ipotesi che le grandezze n i siano tutte statisticamente indipendenti m n n m n n n n n u f u f u f u + + = Stima col Modello probabilistico

77 Misure e incertezze di misura 153 La caratterizzazione metrologica di uno strumento di misura Caratteristiche metrologiche in regime statico Classe di uno strumento Prescrizioni d uso Caratteristiche in regime dinamico Indice 154

78 Caratterizzazione strumentazione di misura 155 Caratterizzazione metrologica 1/5 La caratterizzazione, metrologica e funzionale, di un dispositivo per misurazione deve indicare all utente (in modo semplice ed esauriente) 156

79 Caratterizzazione metrologica 2/5 La caratterizzazione, metrologica e funzionale, di un dispositivo per misurazione deve indicare all utente (in modo semplice ed esauriente) Le prestazioni del dispositivo in ogni condizione (ragionevole) di uso 157 Caratterizzazione metrologica 3/5 La caratterizzazione, metrologica e funzionale, di un dispositivo per misurazione deve indicare all utente (in modo semplice ed esauriente) Le prestazioni del dispositivo in ogni condizione (ragionevole) di uso Le prescrizioni per ottenere le prestazioni indicate 158

80 Caratterizzazione metrologica 4/5 In particolare la caratterizzazione metrologica fornisce i dati riguardanti le relazioni fra letture effettuate con il dispositivo misure delle grandezze con cui interagisce incertezze associate 159 Caratterizzazione metrologica 5/5 Si hanno due ambiti di caratterizzazione a seconda del regime in cui opera il dispositivo STATICO DINAMICO 160

81 Caratterizzazione strumentazione di misura 161 Caratteristiche metrologiche 1/2 In regime statico: funzione di taratura risoluzione isteresi ripetibilità stabilità prescrizioni d uso 162

82 Caratteristiche metrologiche 2/2 In regime statico: funzione di taratura risoluzione isteresi ripetibilità stabilità prescrizioni d uso In regime dinamico: risposta in frequenza risposta al transitorio 163 Caratteristiche in regime statico La funzione di taratura di un dispositivo di misura fornisce le informazioni su: curva di taratura (o caratteristica) incertezza di taratura sensibilità linearità 164

83 Curva di taratura 1/3 La taratura di un dispositivo di misura è una procedura che definisce la caratteristica Misura/Lettura del dispositivo in forma continua (curva di taratura) o discreta (tabella di taratura) con associate le incertezze La curva di taratura permette di ricavare da ogni valore dell uscita del dispositivo (lettura) la corrispondente misura 165 Curva di taratura 2/3 M i L i 166

84 Curva di taratura 3/3 relazione biunivoca tra uscita del dispositivo (Lettura L i ) e il punto centrale della fascia di valore (Misura M i ) Incertezza di taratura Semiampiezza della fascia di incertezza assegnata alla misura (in figura è indicata l intera ampiezza della fascia M i in valore assoluto) M i L i 167 Sensibilità 1/2 L inverso della pendenza della curva di taratura definita nel punto corrispondente ad una lettura L i è la Sensibilità Analiticamente è espressa da Li S = lim Li 0 M i Un dispositivo infatti è tanto più sensibile quanto più elevata è l incremento della lettura a parità di incremento della misura 168

85 Sensibilità 2/2 La sensibilità, in generale, dipende dal punto di lavoro Se la curva di taratura è lineare, la sensibilità è costante ed il suo inverso è detto costante di taratura 169 Risoluzione di lettura 1/2 Si parla di risoluzione di lettura intendendo la minima variazione apprezzabile L i sull indicatore di uscita dello strumento Esempio: scala di uno strumento analogico divisa in 100 parti (divisioni) la risoluzione di lettura può essere pessimisticamente 1/100 in uno strumento con uscita numerica è corrispondente ad una unità della cifra meno significativa. 170

86 Risoluzione di lettura 2/2 Dalla risoluzione di lettura si passa alla risoluzione di misura M i attraverso la pendenza della curva di taratura M i / L i 171 Risoluzione del sistema di misura Variazione minima del misurando che provoca una variazione apprezzabile sulla scala di lettura In un sistema ben progettato tale variazione sarà indicata con graduazioni ad intervalli compatibili con le incertezze di lettura Rappresenta la attitudine di un sistema a funzionare come rivelatore differenziale nell intorno del valore assegnato al misurando Attenzione a non confondere risoluzione con accuratezza 172

87 Linearità Scostamento massimo della curva di taratura da una retta Il valore da attribuire alla linearità dipende da come si definisce la retta di riferimento 173 Modalità diverse per definire la retta Quattro esempi di rette di riferimento Riferita all inizio scala Estremi Minimi quadrati e indipendente 174

88 Errore di non linearità 1/2 Non linearità integrale riguarda lo scarto, M 1 = M 1 - M 1o rispetto al valore definito dalla caratteristica ideale in quel punto M M1 o M 1 K 2 = M 2 / L 2 P 2 (L 2, M 2 ) M 1 P 1 (L 1, M 1 ) Ko= M o / L o L 1 L 175 Errore di non linearità 2/2 Non linearità differenziale scarto tra la pendenza K 2 nel punto P 2 e la pendenza nominale K o M K 2 = M 2 / L 2 P 2 (L 2, M 2 ) Ko= M o / L o M 1 Il valore da attribuire alla linearità dipende da come si definisce la retta di riferimento e dal valore di lettura M1 o M 1 P 1 (L 1, M 1 ) L 1 L 176

89 Errore globale di non linearità Per generalizzare l informazione indipendentemente dal punto di lettura e dal singolo strumento il costruttore dichiara un errore globale M M individua una fascia che comprende tutte le caratteristiche di una famiglia di strumenti M M M L 177 Caratterizzazione strumentazione di misura 178

90 Classe di accuratezza 1/2 Indice di classe è un modo normalizzato (norma CEI) per indicare l incertezza, valido soprattutto per gli strumenti elettromeccanici Si definisce classe di uno strumento C L l incertezza ridotta rispetto al valore di fondo scala V FS espressa in percento C dv dv = V FS L FS L FS FS Classe di accuratezza 2/2 Il modello associato all indice di classe attribuisce una incertezza assoluta costante lungo tutta la scala dv FS L incertezza relativa ad una lettura dv e FS L = = VL C L V V FS L % 180

91 Proprietà di uno strumento di fornire valori di lettura diversi per il medesimo misurando, quando questo viene fatto variare per valori crescenti e decrescenti. Isteresi Valore della isteresi: differenza dei valori di lettura per il medesimo misurando, quando questo viene fatto variare per valori crescenti e decrescenti. 181 Attitudine di uno strumento a fornire valori di lettura poco differenti fra loro quando si applica più volte lo stesso misurando nelle stesse condizioni operative. Ripetibilità Valore della ripetibilità: intervallo di valori di lettura entro la quale si prevede cada una percentuale assegnata di valori di lettura, applicando più volte lo stesso misurando nelle stesse condizioni operative. 182

92 Stabilità Capacità di conservare inalterate le caratteristiche di funzionamento per un determinato intervallo di tempo La stabilità condiziona gli intervalli di taratura di uno strumento Aumentando il tempo trascorso dall ultima taratura l accuratezza dello strumento si deteriora Il costruttore dichiara dei coefficienti che, moltiplicati per il tempo trascorso, incrementano l incertezza 183 Caratterizzazione strumentazione di misura 184

93 Prescrizioni d uso 1/4 Valori ammissibili per il misurando campo di misura intervallo comprendente tutti i valori delle misure che il dispositivo può assegnare. portata: limite superiore assoluto del campo di misura campo di sicurezza intervallo comprendente tutti i valori che il misurando può assumere, senza che il funzionamento del dispositivo risulti permanentemente alterato rispetto alla funzione di taratura limite di sovraccaricabilità: limite superiore del campo 185 Prescrizioni d uso 2/4 notizie sull uscita Tipo di indicatore Interfaccia verso un calcolatore ecc... notizie sull ingresso Impedenza di ingresso 186

94 Prescrizioni d uso 3/4 Regole di uso dello strumento prescrizioni di assestamento (preriscaldamento, ecc.) prescrizioni di posizionamento (orizzontale, verticale, ecc.) Campo di riferimento condizioni soddisfatte durante la taratura del dispositivo 187 Prescrizioni d uso 4/4 Campo di impiego: condizioni da soddisfare per avere l incertezza dichiarata Grandezze di influenza funzione di influenza sulle caratteristiche metrologiche del dispositivo 188

95 Caratterizzazione strumentazione di misura 189 Caratteristiche in regime dinamico Risposta in frequenza si dichiara normalmente la banda passante a - 3dB attenzione: una variazione di -3dB corrisponde ad una riduzione di ampiezza di circa il 30% può essere anche dichiarata la banda in corrispondenza di attenuazione 0.1 db possono essere dichiarati errori di guadagno in corrispondenza di alcune frequenze di misura Risposta al transitorio generalmente si forniscono parametri della risposta al gradino 190

96 Risposta al gradino Sovraelongazione Fascia di ampiezza specificata percentuali specificate del valore di regime (es 10%,90%) tempo morto tempo tempo di risposta tempo di assestamento 191 Misure e incertezze di misura 192

97 Misurazioni dirette e indirette Un esempio: misura di resistenza di un resistore 193 Misurazione di resistenze Si analizzano tre metodi: 194

98 Misurazione di resistenze Si analizzano tre metodi: ohmetro 195 Misurazione di resistenze Si analizzano tre metodi: ohmetro metodo volt-amperometrico 196

99 Misurazione di resistenze Si analizzano tre metodi: ohmetro metodo volt-amperometrico ponte di Wheatstone 197 Misurazione di resistenze Si analizzano tre metodi: ohmetro metodo volt-amperometrico ponte di Wheatstone Si sceglie di valutare l incertezza utilizzando il modello deterministico 198

100 Esercizio Stima incertezze misura resistenze 199 Strumento che fornisce direttamente la misura della resistenza Ohmetro 200

101 Ohmetro Strumento che fornisce direttamente la misura della resistenza Metodo diretto con memoria della funzione di taratura 201 Ohmetro L incertezza di misura dipende da: Caratteristiche di accuratezza dello strumento Grandezze di influenza Incertezza intrinseca del misurando (effetto della temperatura, resistenze di contatto, ecc.) 202

102 Ohmetro numerico Caratteristiche strumento Ricavate dal manuale 4 Cifre con lettura max Accuratezza dipende dalla scala: Fondo Scala Incertezza 300,0 Ω (max.lett. 299,9) 0.7%+2 count 3,000kΩ 3,000MΩ 0.7%+1 count 30,00 MΩ 2% +1 count 203 Ohmetro numerico Grandezze influenza Si ipotizza che la misurazione sia eseguita all interno del campo d impiego S legge sul manuale che il campo d impiego per la validità delle caratteristiche metrologiche è: temperatura: 25±5 C tempo dalla taratura: 1 anno 204

103 Ohmetro numerico La formula dell incertezza è binomia: (k 1 %xl+1unità di peso più basso) (L é la lettura) Incertezze relative inferiori si hanno vicino al fondo scala Esempi : R = 2900 E R R = 3100 E R = = L = 2.900k ( ) L = 03.10k k = = % R R 3100 ( ) k = 31.7 = % 205 Esercizio Stima incertezze misura resistenze 206

104 Metodo volt-amperometrico Metodo di misurazione indiretto in cui il valore di resistenza è ottenuto dalla relazione : R = V I a partire dalle misurazioni dirette di tensione (voltmetro) corrente (amperometro) 207 Misura di V e I con strumenti ideali L amperometro ha una resistenza interna R A nulla Il voltmetro ha una resistenza interna R V infinita 208

105 Caso ideale: stima incertezze Misurazione indiretta: si sommano le incertezze relative degli strumenti : R = V ε R = ε V + εεi II R V I Esempio: strumenti elettromeccanici in classe 1 V I FS FS = 100V = 10A δv = 1V V = 80V δi = 01. A I = 4A ε ε V I = 125%. = 2. 5% R = V = 20Ω; ε R = 375%. I 209 Caso reale Prestazioni metrologiche definite da: Caratteristiche degli strumenti, grandezze di influenza e composizione delle incertezze Incertezza intrinseca del misurando (effetto della temperatura, resistenze di contatto, ecc.) Tipo di circuito impiegato per la misurazione: voltmetro a monte oppure voltmetro a valle (problema del carico strumentale o consumo ) 210

106 Misura di V e I con strumenti reali Gli strumenti non sono ideali : due possibilità L amperometro ha una resistenza interna R A non nulla Il voltmetro ha una resistenza interna R V non infinita 211 Effetto di carico (consumo) Voltmetro a monte: si misura R+R A Voltmetro a valle: si misura R//R V 212

107 Correzione errore di consumo Il consumo può essere uno scostamento perché: può essere descritto da un modello e quindi può essere corretto la correzione però non può essere totale, perché i valori di carico RA e RV sono affetti da incertezza e quindiconviene tra le due utilizzare la soluzione in cui l effetto del carico strumentale è minore 213 Es. Voltmetro a monte Correzione errore di consumo Si intende misurare R= V i /I m V m A Vi I m In realtà si misura R m =V m /I m = R A +R Nota R A si ottiene R=R m -R A 214

108 Esercizio Stima incertezze misura resistenze 215 Il ponte di Wheatstone Metodo di misurazione in D.C. in cui il valore di resistenza è ottenuto per confronto del resistore incognito con resistori campione Il confronto si effettua ricercando un equilibrio di tensioni in un particolare circuito a ponte alimentato in D.C. Si rileva cioè uno ZERO di tensione tra due morsetti del circuito 216

109 Equivalente meccanico del ponte a b R x R c 217 Condizione di equilibrio Si modifica il campione C fino a che il rivelatore G indica zero R X : misurando R A,R B : partitore tarato R C : resistenza campione variabile Quando G segna zero R R X = R A B R C 218

110 Il ponte di Wheatstone Prestazioni metrologiche definite da: caratteristiche dei resistori impiegati grandezze di influenza risoluzione del misuratore G fenomeni secondari (forze termoelettromotrici, resistenze di contatto,...) incertezza intrinseca del misurando (effetto della temperatura, ecc.) 219 Incertezza dovuta ai resistori L incertezza su R X relativa ai resistori impiegati si ottiene con le regole di composizione delle incertezze: R X R = R A B R C ε = ε + ε + ε R X R A R B R C Nel calcolo delle incertezze ε RA,ε RB, ε RC si è tenuto conto anche delle grandezze di influenza (temperatura, tempo,...) 220

111 Sensibilità di G 1/2 La scarsa sensibilità del rivelatore G intorno allo ZERO introduce una incertezza nella individuazione della condizione di equilibrio 221 Sensibilità di G 2/2 L incertezza σ X corrispondente si può determinare sperimentalmente squilibrando leggermente il ponte e stimando σ X RX / R = e / δe X RX valore di equilibrio di X RX variazione intorno all'equilibrio dove e deviazione prodotta da RX δe minima deviazione apprezzabile 222

112 Altre sorgenti di incertezza 1/2 Analizzando il sistema di misura, si possono individuare altre sorgenti di incertezza (effetti secondari) il cui contributo si può valutare con prove ad hoc 223 Altre sorgenti di incertezza 2/2 I principali effetti secondari che intervengono sono: le forze termoelettromotrici (FTEM) le resistenze di contatto Questi effetti secondari sono: correggibili con opportuni modelli riducibili con opportuni procedimenti 224

113 Incertezza composta L incertezza composta, con il modello deterministico, si ottiene sommando i vari termini che rimangono dopo aver apportato eventuali correzioni ε = ε + ε + ε + σ +... R R R R X X A B C 225