Tecniche volt-amperometriche in DC Tecniche volt-amperometriche in AC Tecniche di zero: ponte in DC Tecniche di zero: ponte in AC

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1 Misura di impedenze Misura di impedenze Tecniche volt-amperometriche in D Tecniche volt-amperometriche in A Tecniche di zero: ponte in D Tecniche di zero: ponte in A

2 Obiettivi della lezione Metodologici applicazione delle caratteristiche di risonanza dei circuiti R,, utilizzazione delle condizioni di risonanza come stato definito di un circuito A per misurare impedenze metodo di sostituzione: variazione di capacità Procedurali definire le scelte e le procedure di misura sulla base del tipo di impedenza da misurare 4

3 Prerequisiti per la lezione oncetti base dell elettrotecnica: impedenze di tipo R,, in regime sinusoidale caratteristiche dei circuiti alla risonanza significato fisico dei vari parametri di risonanza trasformazioni delle impedenze in circuiti equivalenti serie e parallelo Fondamenti di misure elettroniche: taratura di un condensatore alle variazioni, concetto visto per i ponti in A voltmetro in A a valore di cresta 5 Bibliografia per la lezione Q Meter and Its Theory V.V. Rao, Proceedings of the IRE Publication Nov. 94, Volume 3, Issue Misure Radioelettriche S. Malatesta,. Mezzani, E. Sportoletti olombo ursi, Pisa,

4 ontenuti della lezione aratteristiche dei circuiti risonanti Il Q-metro Q-metro reale Misurare un impedenza Misura di una capacità Misura di induttanza Misura di resistenza Misura di impedenza generica ome connettere l impedenza Il Q-metro per caratterizzare materiali Esercizio: misura di impedenza con Q-metro Esercizio: misura caratteristiche di un dielettrico 7 4

5 Richiami su circuiti risonanti /4 ircuito risonante parallelo alimentato con generatore ideale di corrente sinusoidale Alla risonanza le correnti i i omportamento alla risonanza i e i R i i - i i e ie i i i R P R P 9 Richiami su circuiti risonanti /4 Alla risonanza si definiscono: il fattore di qualità la pulsazione di risonanza il fattore di qualità è calcolabile come 5

6 Richiami su circuiti risonanti 3/4 Significato energetico di Q alla pulsazione di risonanza Sia P R e P R le potenze reattive rispettivamente induttiva e capacitiva. Alla risonanza vale P R -P R Richiami su circuiti risonanti 4/4 a potenza P G erogata dal generatore si dissipa sulla parte resistiva R P il fattore di qualità vale i e R P i e i i la pulsazione di risonanza vale 6

7 ircuito risonante serie onsideriamo un circuito con basse perdite serie (R S piccolo, Q>,3) v v Nel dominio della frequenza si rileva la curva di risonanza e v, v e B 3 db v e + R S v e v f v f 3 Misura indiretta di Q Alla risonanza si ha un massimo della tensione v o v e Q si può ricavare dalla relazione: Q f B dove p f w 4 7

8 ircuito risonante parallelo In modo duale un circuito equivalente parallelo con basse perdite (R P elevato, Q>, 3) alimentato da generatore di corrente Nel dominio della frequenza si rileva la curva di risonanza v(f) B f 3 db f i e v R P i e i i 5 Misura indiretta di Q Alla risonanza si ha un massimo della tensione v e Q si può ricavare dalla relazione: Q f B dove p f w 6 8

9 Misura di Q dalla risposta all impulso / Il valore di Q si ricava nel dominio del tempo eccitando con un impulso di corrente il circuito andamento nel tempo della tensione ai capi di o è una oscillazione smorzata v A t A /e t i e R S v e v τ v 7 Misura di Q dalla risposta all impulso / Si dimostra che se N è il numero di oscillazioni per cui l ampiezza si riduce dal valore massimo A al valore A /e v A t A /e t τ 8 9

10 Principio del Q- metro / Si abbia un circuito risonante a basse perdite (essenzialmente le perdite sono dovuta all induttore s ) E + R S S Per comodità si può trasformare il circuito in uno equivalente in cui le perdite sono concentrate in una conduttanza G in parallelo al la capacità E + P P G S V()

11 Principio del Q- metro / Alla pulsazione di risonanza valgono le relazioni: Q V EQ M P G G P P V() P V M B 3 db Q- metro ideale / Il circuito del Q-metro è costituito da: P V M E() un induttore campione a basse perdite P un condensatore tarato variabile in aria V un voltmetro M in A ad impedenza di ingresso idealmente infinita un generatore ideale di tensione di ampiezza E e frequenza variabile entrambe note

12 Q- metro ideale / Se tutto è ideale, per un dato valore di V e P variando si ottiene la risonanza quando V( ) (Q ) V() P V M V() E() 3 Validità dei modelli usati / e relazioni nell intorno delle condizioni di risonanza sono tanto più valide quanto più il circuito si avvicina a quello ideale con Q elevati (superiori ad alcune decine) iò vuol dire che si devono utilizzare induttori e condensatori di elevata qualità (basse perdite) 4

13 Validità dei modelli usati / Induttori di qualità elevata sono realizzabili in aria e con resistenza equivalente serie bassa (numero limitato di spire, filo a bassa resistività) e quindi valori piccoli di induttanza (da alcune decine di nanohenry a qualche centinaio di microhenry) ondensatori variabili di qualità sono anche essi realizzati in aria con valori compresi tra una decina di picofarad e qualche centinaio di picofarad 5 Frequenze operative del Q-metro Data la gamma di variazione dei componenti del Q-metro, le frequenze di risonanza vanno da alcune centinaia di kilohertz a qualche decina di megahertz uso del Q-metro è quindi limitato a queste gamme di frequenza I valori di capacità ed induttanza misurabili sono dell ordine delle decine di picofarad e delle decine di microhenry impedenza misurabile deve inoltre essere a basse perdite 6 3

14 omponenti non ideali Il circuito reale sarà realizzato con: un induttore che presenta una resistenza di perdita un condensatore variabile con perdite un voltmetro con impedenza di ingresso finita un generatore di tensione con resistenza interna non nulla In condizioni reali tutte le perdite dei componenti possono essere concentrate in un unica conduttanza G posta in parallelo a V 8 4

15 ome ottenere la risonanza /3 Per un valore fissato di V e P variando si ottiene la risonanza alla dove V( ) V M V() V M B 3 db P V G M V() E() 9 ome ottenere la risonanza /3 Una volta fissato P, la risonanza si può ottenere in due modi modo variando la pulsazione se si lavora a V costante V() V M B 3 db V cost. P cost. 3 5

16 ome ottenere la risonanza 3/3 modo variando la capacità V del condensatore se si lavora a una pulsazione imposta V() V M B 3 db cost. P cost. V V 3 6

17 Misura di una impedenza / Si analizzano per semplicità i 3 casi ideali di misura di: una pura capacità una pura induttanza una pura resistenza R (o conduttanza G ) In tutti i casi si considerano valide le relazioni alla risonanza P V P V G M V M ( ) V Q G G E( ) P 33 Misura di una impedenza / Il voltmetro M ha la scala tarata in valori di Q (essendo stato tarato con E noto) Si ricorda che alla risonanza V M EQ 5 5 Q

18 Misura di ideale a fissata /6 a misurazione viene eseguita in due tempi a parte si sceglie un induttore campione P adatto (in grado cioè di risonare alla pulsazione con i valori di V ) V P G M V M ( ) E( ) 36 8

19 Misura di ideale a fissata /6 si imposta la pulsazione si varia V fino al valore V che porta il circuito alla risonanza (VV M ) in queste condizioni si ha: P Q P V G G V P V G M V M ( ) E( ) 37 Misura di ideale a fissata 3/6 a parte si inserisce la capacità incognita in parallelo al condensatore variabile (senza ovviamente cambiare ) P V G M V<V M E( ) il circuito andrà fuori risonanza V<V M 38 9

20 Misura di ideale a fissata 4/6 si varia V fino al valore V che porta il circuito nuovamente alla risonanza (VV M ) P V G M VV M E( ) in queste condizioni si ha: P ( + ) V ; Q P G 39 Misura di ideale a fissata 5/6 Per confronto tra le due situazioni P V G M P V G M V M E( ) E( ) VV M Essendo invariata la pulsazione di risonanza P Q P ( + ) G V V 4

21 Misura di ideale a fissata 6/6 V V + e quindi si ricava la misura di V V Il Q del circuito non è cambiato perchè: le perdite sono invariate la reattanza induttiva (e quella complessiva capacitiva) sono invariate 4 Incertezza sulla misura di Dalla relazione V V si calcola la variazione δ δ V δ V e quindi l incertezza assoluta (caso peggiore) vale ε V ε ε ε + ε V Dove V sono le incertezze assolute con cui si conoscono V e V V ε ε V V possono essere elevate e quindi l incertezza di misura potrebbe essere anche essa elevata 4

22 ondensatore Tarato / È preferibile tarare il condensatore direttamente in termini di variazioni ondensatore variabile Φ Φ Armatura fissa par par Armatura mobile Φ a variazione di capacità ( V - V ) è proporzionale a Φ 43 ondensatore Tarato / accuratezza di taratura δ( ) può essere dell ordine di.pf V, pf Valore incerto Φ V 5 pf V 45 pf 45-53pF δ( ). pf 44

23 Misura di ideale ad fissata /5 a misurazione può essere eseguita in due modi o Metodo inserita al posto di P (in questo caso deve essere in grado di risuonare alla pulsazione con i valori di V ) V G M V M ( ) E( ) 46 3

24 Misura di ideale ad fissata /5 si varia V fino al valore V che porta il circuito alla risonanza (VV M ) V G M V M ( ) E( ) in queste condizioni si ha: V V 47 Misura di ideale ad fissata 3/5 o Metodo dopo aver portato il circuito alla risonanza con V V si ha P V G M V M ( ) E( ) V P si pone in parallelo a V P V G M E( ) V<V M 48 4

25 Misura di ideale ad fissata 4/5 Il circuito andrà fuori risonanza V<V M Si varia V fino al valore V che porta il circuito nuovamente alla risonanza (VV M ) P V G M E( ) In queste condizioni si ha V P + P VV M 49 Misura di ideale ad fissata 5/5 Dalle due relazioni, eliminando p V P V P + P si ricava ( ) V V 5 5

26 onsiderazioni sulla misura di /4 on la prima tecnica l induttanza incognita V è ottenuta indirettamente da: una misura diretta di una misura diretta della capacità V 5 onsiderazioni sulla misura di /4 Mentre una misura diretta di frequenza può essere eseguita con buona accuratezza con un contatore (se non è sufficiente la taratura della scala delle frequenze) Una taratura assoluta della capacità del condensatore non è facilmente fattibile perchè essa dipende dalle capacità parassite circostanti V par 5 6

27 onsiderazioni sulla misura di 3/4 on la seconda tecnica l induttanza incognita ( ) V V è ottenuta indirettamente da: una misura diretta di una misura diretta della variazione di capacità ( V - V ) 53 onsiderazioni sulla misura di 4/4 a misura diretta di frequenza può essere abbastanza accurata a misura della differenza di capacità è più accurata del valore assoluto V In conclusione è preferibile la seconda tecnica che consente una maggiore accuratezza 54 7

28 Misura di una R ideale /6 Se si inserisce nel Q-metro una resistenza ideale R : la pulsazione di risonanza non cambia cambia il Q del circuito e questa variazione è utilizzata per risalire al valore di R a modalità di misura consiste ancora nel portare il circuito alla risonanza senza l incognita e successivamente perturbare il circuito inserendo R incognita 56 8

29 Misura di una R ideale /6 Nella a misurazione viene eseguita in due tempi a parte si sceglie un induttore campione P adatto (in grado cioè di risuonare alla pulsazione con i valori di V ) P V G M V ( ) E( ) 57 Misura di una R ideale 3/6 si varia V fino al valore V che porta il circuito alla risonanza (VV M ) e il voltmetro indica il valore di Q P V G M V M ( ) in queste condizioni: E( ) Q Q P P V G G V 58 9

30 Misura di una R ideale 4/6 a parte si inserisce la resistenza incognita R (per comodità si indica la sua conduttanza G ) in parallelo a V (ovviamente cost.) P V G G M V m E( ) 59 Misura di una R ideale 5/6 il circuito è ancora alla risonanza ma, aumentando le perdite, Q diminuisce (Q <Q, V m <V M ) P V G G M V m <V M E( ) Q <Q in queste condizioni Q P P V V (G + G ) G + G 6 3

31 Misura di una R ideale 6/6 Nelle due situazioni di misura si ricavano due relazioni nelle due incognite G e G G G Q V P da cui si ricava ; Q P V ( G+ G ) G+ G G Q V G Q Q Q Q V 6 Principale causa di incertezza a resistenza misurata dipende dalla differenza tra Q e Q che sono misurati separatamente con incertezze relative ε Q e ε Q dell ordine tra il 5% e il % incertezza del caso peggiore δ( Q) δq +δq ε Q Q + ε Q Q può essere alquanto elevata 6 3

32 Misura di Z ad fissata /6 Di una qualunque Z si può fare un modello ad una frequenza con elementi R,, in un circuito equivalente parallelo o serie G G R R 64 3

33 Misura di Z ad fissata /6 a tecnica di sostituzione è simile alle precedenti si porta alla risonanza il circuito senza Z si misura il valore di Q Q P P V G G V P V G M V M ( ) E( ) Q 65 Misura di Z ad fissata 3/6 Si inserisce la impedenza incognita Z in parallelo al condensatore variabile (senza ovviamente cambiare ) P V G Z M V<V M E( ) Il circuito andrà fuori risonanza V<V M 66 33

34 Misura di Z ad fissata 4/6 Si varia V fino al valore V che porta il circuito alla risonanza (VV M ) e si misura Q P V G Z M VV M E( ) Q In queste condizioni se si è aggiunta una Z capacitiva si ha P Q + G+ G ( ) ( ) V P 67 Misura di Z ad fissata 5/6 e due condizioni di misura permettono di ricavare e G dalle relazioni: Q P G + Q P P V ( G+ G ) G+ G ( ) V V G Q Q Q Q V V V G 68 34

35 Misura di Z ad fissata 6/6 In modo analogo si procede ipotizzando altri modelli di impedenza e formule risolutive si lasciano da calcolare per esercizio 69 35

36 Scelta della connessione di Z /3 e approssimazioni di modello fatte valgono se il Q del circuito è superiore a 3-4 inserzione della Z non deve quindi perturbare eccessivamente le condizioni di risonanza Q ( ) 3 db cost. P cost. Q ( ) B 3 db cost. P cost. V V V Senza Z x V on Z x 7 Scelta della connessione di Z /3 ipotesi di inserzione della Z in parallelo vale se si verificano quelle condizioni Se però la conduttanza della Z è molto elevata la sua inserzione in parallelo può abbassare notevolmente il Q del circuito Q ( ) Q ( ) 3 db 3 db cost. P cost. B V V V 7 36

37 Scelta della connessione di Z 3/3 Se Q <4 (indicativamente) si può pensare ad inserire la Z in serie i si riconduce comunque a relazioni simili a quelle viste facendo una trasformazione serie parallelo Occorre scegliere tra la inserzione della Z in serie o in parallelo quella che non abbassa troppo il Q (Q min >3,4) 73 onsiderazioni sulla inserzione di Z Deve inoltre essere possibile compensare la perturbazione reattiva introdotta dalla Z con le variazioni ammesse per V per esempio se si tratta di parallelo VMA se si tratta di parallelo VMIN ( ) VMA VMIN 74 37

38 Misure di caratteristiche elettriche /4 Il Q-metro è utilizzato per misure su caratteristiche elettriche di materiali riconducibili a variazioni di capacità o a misura di perdite Esempio: misura della permittività ε e della conduttanza equivalente di perdite di un liquido 76 38

39 Misure di caratteristiche elettriche /4 Si realizza un provino con un recipiente di vetro e due armature, si inserisce nel Q-metro e si misura A e G A S Permittività relativa del liquido ε R P d E( ) V A G G A A S A ε d G A M V M ( ) 77 Misure di caratteristiche elettriche 3/4 Si riempie il provino del liquido in esame mantenendo la stessa geometria e si misura R e G G A +G R S Permittività relativa del liquido ε R d R G A + G S R R εεr d V P G R G A +G R M V M ( ) E( ) 78 39

40 Misure di caratteristiche elettriche 4/4 Si ricava ε R R A e G R G -G A 79 4

41 Testo dell esercizio Si vuole ricavare il circuito equivalente parallelo di tipo R di un bipolo Si usa un Q-metro, inserendo in parallelo al condensatore variabile il bipolo incognito V R Z M E() 8 Procedura di misurazione / a misurazione è eseguita in due fasi Fase si porta alla risonanza il circuito alla frequenza f senza l impedenza incognita e si leggono i valori f 3,8MHz, 65pF ± 5pF, Q 8 ± R Q E(f ) 8 4

42 Procedura di misurazione / Fase si inserisce l impedenza Z x mantenendo costante si porta alla risonanza il circuito variando la frequenza, si legge f 3,8MHz, 65pF ± 5pF, Q ± R Z Q E(f ) 83 Quesiti posti Quesito n. si calcolino il valore della capacità e della resistenza R equivalente in parallelo Quesito n. si valuti l incertezza delle misure della capacità e della resistenza R, trascurando l incertezza sul valore della frequenza 84 4

43 Soluzione al quesito n. /5 Si calcolino il valore della capacità e della resistenza R equivalente in parallelo Soluzione: a fase f 3.8 MHz E(f ) R Q 65pF ± 5pF δ Q 8 ± δq Q ,7% 3,6% 85 Soluzione al quesito n. /5 si possono ricavare anche i seguenti valori,4 µh, δ δ 7,7% Q Q R, R kω δr R δq Q δ +,3% 86 43

44 Soluzione al quesito n. 3/5 a fase f 3,8 MHz, Q ± R R Q E(f ) per confronto con la prima misurazione ( + ), ( + ) 87 Soluzione al quesito n. 4/5 essendo f f ( + ), pF la stima di R si fa sulla base dei valori di Q e Q ; posto RR R eq, e eq + R + R 88 44

45 Soluzione al quesito n. 5/5 si ricava R essendo noti Q, Q e R Q RR R eqeq Q R + R R + R R R R,87k Ω Q Q 89 Soluzione: incertezza sulla capacità dalla relazione si ricava δ Soluzione al quesito n. /3 Si valuti l incertezza delle misure della capacità e della resistenza R, trascurando l incertezza sul valore della freq. 99 δ 7,7% incertezza sulla resistenza R posto R Q R H H Q 9 45

46 46 9 la variazione relativa di R vale prima di stimare le incertezze conviene mantenere il segno infatti R e H sono correlati attraverso Q dalle posizioni fatte in precedenza si ricava Soluzione al quesito n. /3 H H R R R R δ δ δ Q Q Q Q H H Q Q R R δ δ δ δ + δ δ 9 Soluzione al quesito n. 3/3 nella differenza il termine comune si elide e la variazione relativa risulta l incertezza di caso peggiore su R sarà Q Q R R δ δ δ Q δq,3% Q Q R R δ + δ δ

47 Testo dell esercizio Una lastra piana di materiale dielettrico ha uno spessore d.6 mm d Si vogliono misurare: la costante dielettrica relativa ε r del materiale la resistenza equivalente di perdita alla frequenza di MHz 94 47

48 Procedura di misurazione /3 Si realizza un provino (in pratica un condensatore piano) a forma di disco con diametro D5 cm che viene rivestito sulle due facce con strato metallico di spessore trascurabile D d 95 Procedura di misurazione /3 Si utilizza un Q-metro: si imposta la frequenza di MHz e si porta alla risonanza il Q-metro senza e con il provino inserito in parallelo al condensatore variabile V a fase senza provino si leggono i valori V 55 pf e Q 3 V R Q fmhz 96 48

49 Procedura di misurazione 3/3 a fase si inserisce il provino in parallelo al condensatore variabile e si riporta il Q-metro alla risonanza variando V ; si legge V pf e Q 9 V R Z Q fmhz 97 Quesito n. ε r Stimare e la sua incertezza, nell ipotesi che V abbia un errore assoluto V costante su tutta la scala e questa sia tarata entro ±% per qualunque punto (tutto il resto è ideale) V,pF V V V δ V aratteristica reale δ V V % aratteristica ideale V pf lettura 98 49

50 Soluzione al quesito n. /4 Dal confronto tra i valori di capacità V nelle due fasi di misurazione si ricava V V 55 43pF a capacità del provino in base alla geometria ed alla permittività del materiale vale S εrε, dove d ε permettività relativa del dielettrico r ε permettività assoluta del vuoto ε 8,85 D S π F m 6,5 4 m 99 Soluzione al quesito n. /4 risulta - -4 d 43 6 ε - ε S 8,85 π 6,5 r -4 la incertezza relativa di εr vale,49 δε ε r r δ + δd + d δε ε + δs S i parametri d, D, ε sono dati idealmente senza incertezza δεr ε r δ 5

51 Soluzione al quesito n. 3/4 stima dell incertezza relativa su si calcola la variazione δ V le variazioni δ V e δ V hanno un contributo di errore di offset uguale e un termine di incertezza δ V δ V V ± V Offset di capacità δ V gli offset si compensano δ V V δ V δ ± V V V V Incert. di taratura V Soluzione al quesito n. 4/4 l incertezza assoluta su è pertanto δ δ V + δ V δ δ δ V V V + V V V δ, V +, V,34pF e l incertezza relativa su ε r vale δε ε δ,34 43 r r 3,% 5

52 Quesito n. Si ricavi la relazione che lega il valore della resistenza equivalente parallelo (che modella le perdite del materiale) in funzione delle grandezze misurate direttamente D R d 3 Soluzione al quesito n. /3 Stima della resistenza equivalente parallelo, che modella le perdite del materiale a Fase: senza provino si legge sul condensatore variabile V 55 pf e Q 3 Q V R 4 5

53 Soluzione al quesito n. /3 a Fase: con il provino in parallelo si legge V pf e Q 9 (si noti che la capacità totale V + V rimane invariata) Q V RR R + R ( ) V V + x 5 Soluzione al quesito n. 3/3 dalle due relazione con due incognite R e R si stima della resistenza QQ R,5 V ( Q - Q ) le perdite del materiale sono caratterizzate dall angolo δ (δ per una capacità) jb B Y G 3 6 Ω tgδ,48 B R G G 6 53

54 Approfondimenti I seguenti concetti devono essere meditati e risultare chiari dallo studio della lezione: come le caratteristiche di risonanza si possono sfruttare per la conoscenza di un circuito (e più in generale di un sistema) limiti del sistema di misura proposto ai circuiti con elevato Q livello delle approssimazioni introdotte nella trattazione come tali approssimazioni si riflettono nelle incertezze di misura 8 54

55 Sommario della lezione aratteristiche dei circuiti risonanti Il Q-metro Q-metro reale Misurare un impedenza Misura di una capacità Misura di una induttanza Misura di resistenza Misura di impedenza generica ome connettere l impedenza Il Q-metro per caratterizzare materiali Esercizio: misura di impedenza con Q-metro Esercizio: misura caratteristiche di un dielettrico Domande di riepilogo 9 55