Prof. F. Rota ISS Romero Albino (Bg) Materiale di supporto alle lezioni ERRORI NELLE MISURE ERRORI NELLE MISURE

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1 LA MATEMATICA E LA FISICA Sia la matematica che la fisica hanno a che fare con i numeri. Non lo fanno però allo stesso modo. Se pensiamo, per esempio, all'espressione ( + ) il risultato vale 19/6 tondi, tondi. L'equazione 3 x + 1 = 2 ha per risultato esattamente x =1/3. In fisica i "numeri" non si ottengono come risultati di espressioni o equazioni, ma principalmente tramite processi di misurazione. Ora, in natura non esistono strumenti perfetti e, quand'anche siano molto perfezionati, potrebbero non essere usati adeguatamente (errori nel protocollo). Inoltre potrebbe, durante la misurazione, succedere qualche imprevisto che ci faccia sbagliare (un colpo di vento che piega un metro a nastro, il segnale di un telefonino che fa deviare l'indice di un voltmetro...). Insomma, "l'esperienza ha mostrato che nessuna misura, per quanto fatta con cura, può essere completamente libera da errori. Dal momento che l'intera struttura della scienza dipende dalle misure, è quindi di importanza fondamentale essere capaci di calcolare questi errori e di ridurli al minimo" (Taylor). Mentre la matematica ha a che fare con numeri esatti, la fisica ha a che fare con misure affette da un certo errore. MISURE GROSSOLANE E MISURE DI PRECISIONE Spesso gli errori in fisica si nascondono. Se misuriamo, per esempio la larghezza di un floppy con un metro a nastro a un righello, saranno pochi a dubitare che la misura si esattamente 9 centimetri! È difficile immaginare a strane circostanze che avrebbero potuto alterare la misura, tanto che se la ripeto 50 volte e la faccio fare a 100 persone ottengo sempre 9 centimetri. Ho dunque fatto una misura senza errori? Ripensiamoci con un altro esempio. Questa volta voglio fare una misura di precisione: voglio misurare il periodo di un pendolo al centesimo di secondo usando un cronometro da polso. Detto, fatto! 1

2 Ottengo 2 secondi e 44 centesimi. Il display dell'orologio lascia pochi dubbi. Non ci sono errori dunque? Ripeto la misura. Se non ci sono errori mi aspetto di ottenere lo stesso valore. Mi accorgo che è praticamente impossibile riottenere lo stesso numero, perché è difficile sincronizzarsi alla perfezione con il movimento del pendolo. Inoltre ci sarà un tempo di reazione tra quando vedo e quando riesco a premere i pulsanti. E, poi, chi mi dice che il periodo del tempo non contenga anche le cifre dei millesimi che il mio orologio non riesce a valutare? Insomma, quanto vale il periodo del pendolo? Cosa deduco da questi due esempi? Che esistono misure "certe" e misure "incerte"? In realtà, se avessimo cercato di misurare la larghezza del floppy con uno strumento più raffinato, come un calibro o altro, saremmo stati nella stessa situazione del cronometro: ad ogni misurazione avremmo trovato valori leggermente diversi. Un'altra indicazione interessante di questa chiacchierata è che è facile accorgersi degli errori ripetendo le misure. Troveremo più avanti che è pure facile, ripetendo le misure, fare una stima degli errori. LE TRE CATEGORIE DELLE MISURE I fisici usano misurare in tre modi: 1) MISURE DIRETTE: si confronta l'oggetto da misurare direttamente col campione di misura. Questo succede poche volte, per esempio quando conto quante volte il righetto sta nel banco. 2) MISURE STRUMENTALI: per fare la misura uso uno strumento dotato di una scala (un orologio, un termometro, un voltmetro...). Sono le misurazioni che si incontrano piuttosto facilmente nella vita di tutti i giorni. 3) MISURE INDIRETTE: ricavo la misura di qualcosa misurando qualcos'altro e risolvendo una formula matematica (chiaro, vero?). Ad esempio posso misurare lo spessore di una tazza misurando il diametro esterno e sottraendo il diametro interno, o la velocità di un auto misurando il tempo impiegato a percorrere 1 km (come?). COME VALUTARE GLI ERRORI NELLA LETTURA DI SCALE (MISURE STRUMENTALI - UN'UNICA MISURA) Torniamo all'esempio del floppy: che errore potremo associare ai nostri 9 cm? Vedremo che la valutazione degli errori spesso si fa seguendo il buon senso. Dunque, la più piccola divisione del nostro righello è il millimetro. È dunque sensato pensare che il mio strumento sia in grado di valutare bene i cm e i millimetri, ma sia difficile farli valutare i centesimi o i millesimi di millimetro. Se dunque la lettura è 90 mm (9 centimetri), posso ritenere che l'errore sia al massimo di mezzo millimetro in più o in meno: 90,0 ±0,5 mm. Questo vuol dire che il floppy è sicuramente largo tra 89,5 e 90,5 millimetri. 2

3 Perché proprio mezzo millimetro? Perché un errore di 1 millimetro rientra nel campo di misurabilità del mio strumento, mentre non riesco ad apprezzare la sua metà. Che dire della misura fatta con il cronometro? Che errore attribuiamo ai 2,44 secondi? Il cronometro era in grado di apprezzare i centesimi di secondo e avrebbe continuato a segnare 2,44 anche se il periodo fosse stato 2,441 2,442 2,443 2,444 2,445 oppure 2,439 2,438 2,437 2,436 2,435. Certamente avrebbe segnato 2,45 se il periodo vero fosse stato 2,446. È ancora lecito dunque scrivere: 2,440 ± 0,005. NB: sarebbe stato sensato anche scrivere 2,44 ±1 per il periodo del pendolo e 90 ± 1 per la larghezza del floppy: ciò però avrebbe comportato uno spreco di informazione preziosa. Avremmo sovrastimato l'errore, e ciò non è bene, perché gli errori tendono a presentarsi in abbondanza già da soli. COME VALUTARE GLI RIPETIBILI (metodo della semidifferenza) Abbiamo detto che ripetere le misure è un buon modo sia per stimare che per ridurre gli errori. Nell'esempio del pendolo è stato proprio ripetendo le misure che abbiamo potuto vedere come 2,44 secondo non poteva essere privo di errori. Nel paragrafo precedente abbiamo visto 2,44 va così scritto 2,440±0,005 secondi. Siamo però sicuri che l'errore compiuto è davvero così piccolo? Dopo tutto 0,005 è l'errore che fa il cronometro (che misura solo i centesimi), ma potrebbero esserci errori dovuto al modo di usarlo (protocollo), ai tempi di reazione... Ripetendo la misura sarò certamente in grado di dire qualcosa anche su questo errore. Ripeto 4 volte ottenendo: 2,44 2,50 2,44 2,38. Le misure fatte vanno da un minimo di 2,38 ad un massimo di 2,50, ovvero spaziano su un campo di 0,12 secondi. La media aritmetica delle misure vale 2,44. Potremmo scrivere la misura come 2,44±0,06 secondi (0,06 secondi in più o in meno fanno proprio un errore di 0,12 secondi). 0,06 si ottiene prendendo il valore più grande, sottraendolo a quello più piccolo e dividendo per due (metodo della semidifferenza): 3

4 errore = (max - min)/2 Ripetere le misure ci ha fatto vedere che mentre all'orologio competeva un errore di 0,005 secondi, all'orologio usato da noi compete un errore di ben 0,06 secondi, che è più di 10 volte più grande! Nel caso della misura del floppy col righello, ripetere le misure non avrebbe portato a nessuna migliore stima nell'errore, perché tutto l'errore nasceva non dal modo di usarlo ma dallo strumento, e quello l'abbiamo valutato con 1 sola misura. ESERCIZIO 1 Usando un calibro decimale (= in grado di apprezzare il decimo di millimetro) misuro 5 volte una matita ottenendo i seguenti risultati espressi in centimetri 14,14 14,10 14,17 14,19 14,11 1) Se avessi fatto una singola misura, quale sarebbe stato l'errore attribuibile? 2) Quale errore deduci invece dalla ripetizione delle misure? 3) Perché l'errore ottenuto dalle misure ripetute è più alto di quello valutabile in una singola misura? 4) Dove sta l'ulteriore fonte d'errore che viene smascherata dalla ripetizione delle misure? 5) Quale è la miglior stima per la lunghezza della matita? LE CIFRE "SIGNIFICATIVE" Questo paragrafo parrebbe c'entrare poco con quello che stiamo dicendo, ma non è così. Per un matematico dire 8,1 o 8,10 o 8,100 è la stessa cosa, perchè gli zeri a destra dell'ultima cifra diversa da zero (la cifra "1" nel nostro caso, non aggiunge nulla). Per i fisici invece le tre scritture sopra, quando si riferiscano a risultati di una misura, sono molto diverse. 8,1 significa che sono certo di avere 8 unità mentre la cifra "1" non è "certa", nel senso che è affetta dall'errore che inevitabilmente entra in ogni misura. La cifra "1" potrebbe dunque essere un "2", un "3", uno "0"...(2 cifre significative). 8,10 significa che sono certo di avere 8 unità e 1 decimo mentre la cifra "0" non è certa, ovvero è affetta da errore. Questa potrebbe dunque essere un "1", un "2"...(3 cifre significative). 8,100 significa che sono certo di avere 8 unità, 1 decimo, 0 centesimi, mentre non sono "certo" di avere proprio "0" millesimi (4 cifre significative). Le cifre significative di una misura sono dunque le cifre certe (non affette da errore) più la cifra incerta. Nel contare le cifre significative non bisogna contare gli zeri "a sinistra" della prima cifra diversa da zero. 4

5 ESEMPI 0, ha tre cifre significative e non sette, perchè gli zeri a sinistra dell'uno non contano, mentre contano quelli "a destra". 0, ha 4 cifre significative. Un buon modo per non sbagliare a contare le cifre significative è di usare la notazione esponenziale: 1,80 * cifre significative 1,080* cifre significative ESERCIZIO 2 Conta le cifre significative e scrivi in notazione esponenziale: NUMERO CIFRE SIGNIFICATIVE NOTAZIONE ESPONENZIALE 180, ,00 0, ,0 0, ESERCIZIO 3 Scrivi il numero di cifre significative richiesto. Ove necessario riduci il numero di cifre facendo la giusta approssimazione. NUMERO 1 CIFRA 2 CIFRE 3 CIFRE 120 1*10 2 1,2* ,8 4,152 COME SCRIVERE LE MISURE CON ERRORE: L'ERRORE ASSOLUTO Si scrive Xbest ± δx ove Xbest è la miglior stima per la nostra misura, per esempio la media fra più misure, e δx è l'errore assoluto, che è una quantità sempre positiva e con le stesse unità di misura di Xbest. Per esempio posso scrivere 18,2 ± 0,3 metri intendendo che la mia miglior stima della misura è 18,2 metri con un errore assoluto di 0,3 metri. 5

6 L'errore va sempre scritto con una sola cifra significativa. Se vi si propone un errore di 0,423 (3 cifre significative) dovete tagliare le cifre di troppo approssimando per eccesso se la cifra che segue è dal 5 in su e per difetto sotto il cinque. Così 0,423 diventa 0,4 perché 4 è seguito da un 2. Inoltre la miglior stima va scritta in modo che l'ultima sua cifra significativa sia quella affetta da errore. ESEMPIO Non posso scrivere 92,804 ± 0,48 metri per due motivi: 1) l'errore è scritto con due cifre significative invece che con una sola. Invece di 0,48 scriverò 0,5; l'errore è sui decimi. 2) la miglior stima è nota fino ai millesimi, mentre l'errore è sui decimi. Scriverò 92,8 approssimando per difetto (la cifra successiva all'8 è uno zero). Scriverò correttamente 92,8 ± 0,5 metri. ESERCIZIO 4 Scrivi le seguenti misure con errore nel modo più corretto. Ricorda che l'errore va scritto con una sola cifra significativa; dunque un errore di 0,0058 diventa 0,006. Fai attenzione agli errori più grandi della decina: un errore di 1600 diventa un errore di 2*10 3 (1 cifra significativa) e non di 2000 (4 cifre significative!). MISURA SCRITTA MALE MISURA SCRITTA BENE 978,14 ± 4, ± 5 12,78 ± 0,28 0,00578 ± 0, ± 128 (13 ± 1) * ± ± 1800 ESERCIZIO 5 Rifai l'esercizio 1 scrivendo i risultati per la miglior stima e l'errore assoluto con il corretto numero di cifre significative. UN NUOVO MODO PER SCRIVERE GLI ERRORI: GLI ERRORI RELATIVI E PERCENTUALI Lo sperimentatore Albero misura 100 chilometri con un errore di 1 metro. Lo sperimentatore Bartolomeo (fratello della Bartolomea...) misura 10 centimetri con un errore di 1 centimetro. 6

7 Chi ha fatto la misura più accurata? A prima vista verrebbe da dire Bartolomeo, perché il suo errore assoluto è di un solo centimetro, mentre quello di Alberto è ben di un metro. Però Bartolomeo ha sbagliato di 1 cm su 10 centimetri (1/10 = 0,1 = 10%), mentre Alberto ha sì sbagliato di 1 metro, ma su 100 Km (1/ = 0,00001 = 0,001 %). Gli errori assoluto non sono dunque un indice oggettivo di quanto una misura è stata fatta bene o male. Bisogna introdurre l'errore relativo, che si ottiene dividendo l'errore assoluto perla miglior stima: ε r = δx/xbest Moltiplicando per 100 l'errore relativo si ottiene l'errore percentuale. ESERCIZIO 6 Relativamente all'esercizio 4 scrivi gli errori relativi e trova la misura meglio fatta. ESERCIZIO 7 Lo sperimentatore Claudio misura l'accelerazione di gravità ottenendo 9,81 con un errore dell' uno percento. Scrivi la miglior stima e l'errore assoluto. [Hint: prima ricava l'errore assoluto da quello relativo, poi scrivilo col numero giusto di cifre significative e poi adatta la miglior stima al suo errore assoluto]. ESERCIZI SUL TESTO: pag. 361 n 9, 10, 11 DALL'ERRORE RELATIVO ALL'ERRORE ASSOLUTO Dalla formula ε r = δx/xbest segue, con una banale "inversione" che δx = ε r * xbest ESERCIZIO 8 Trova gli errori assoluti e scrivi con il corretto numero di cifre significative Misura Errore relativo Errore assoluto Scrittura corretta 15,5 0,015 0,2325 = 0,3 15,5±0, ,10 0,547 0,02 0, , ,04 7

8 GLI ERRORI NELLE GRANDEZZE DERIVATE ESERCIZIO 9: Percorro una distanza di 19,0 ± 0,5 Km in 2,03±0,01 ore. Quale è la mia velocità in Km orari? ESERCIZIO 10: Misuro il diametro di una fontana una sola volta con un metro a nastro (suddivisione minima di un centimetro) ottenendo Scrivi la misura con l'errore assoluto che gli compete - Calcola l'errore relativo - Calcola l'area della fontana, il suo errore relativo e il suo errore assoluto - Scrivi l'area della fontana ed il suo errore assoluto con il corretto numero di cifre significative L'ALGEBRA DEI FISICI I fisici eseguono i calcoli con le misure seguendo queste "REGOLE D'ORO": IL NUMERO DI CIFRE SIGNIFICATIVE DEL RISULTATO DI UNA MOLTIPLICAZIONE O DIVISIONE E' PARI AL MINIMO FRA LE CIFRE SIGNIFICATIVE DEGLI OPERANDI. NEL CASO DI SOMMA O SOTTRAZIONE, IL RISULTATO DEVE ESSERE OTTENUTO OPERANDO SOLO SU CIFRE SIGNIFICATIVE. 8