Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e modulazione di fase Valentino Liberali Dipartimento di Fisica Università degli Studi di Milano valentino.liberali@unimi.it Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre / 5 Contenuto Modulazione di angolo (generica) Modulazione di fase 3 Frequenza istantanea di un segnale modulato in fase 4 Modulazione di frequenza 5 Spettro del segnale modulato in frequenza 6 Uso della modulazione di frequenza Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre / 5
Modulazione di angolo Nella modulazione di ampiezza, l ampiezza (istantanea) del segnale modulato è proporzionale all ampiezza della modulante. Nelle modulazioni di frequenza e di fase, l ampiezza del segnale modulato è costante; variano o la frequenza (istantanea) o la fase (istantanea) del segnale modulato. In entrambi i casi, la modulante cambia l argomento (cioè l angolo) della sinusoide portante. Modulazione di frequenza: y(t) = cos(πf (t)t), con f (t) = F (m(t)) Modulazione di fase: y(t) = cos(πf c t + ϕ(t)), con ϕ(t) = Φ(m(t)) Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 3 / 5 Modulazione di fase (PM) (/) Il caso più semplice è la modulazione di fase (PM = phase modulation), in cui la fase è proporzionale all ampiezza istantanea della modulante: Φ(m(t)) = k ϕ m(t) Il segnale modulato cos(πf c t + k ϕ m(t)) è anticipato o ritardato rispetto alla portante. Φ(m(t)) è la deviazione istantanea di fase. La deviazione massima di fase è il massimo valore assoluto che Φ(m(t)) assume al variare di t. Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 4 / 5
Modulazione di fase (PM) (/) modulante: m(t) = sin πf t; portante: p(t) = cos πf c t segnale PM: y(t) = cos(πf c t + k ϕ sin πf t) modulante.5.5 portante segnale PM.5.5 Per m(t) > gli attraversamenti dello zero di y(t) sono in anticipo rispetto a p(t); per m(t) < gli attraversamenti dello zero di y(t) sono in ritardo rispetto a p(t). Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 5 / 5 Frequenza istantanea del segnale PM La frequenza istantanea del segnale PM è: f (t) = π d dt (πf ct + k ϕ m(t)) = f c + k ϕ π d dt m(t) f (t) varia in modo proporzionale alla derivata della modulante: quando m(t) aumenta, f (t) > f c quando m(t) diminuisce, f (t) < f c Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 6 / 5 3
Modulazione di fase e di frequenza f (t) = f c + k ϕ d π dt m(t) Una variazione istantanea della fase comporta anche una variazione della frequenza, che è la derivata della fase. È impossibile modulare la fase senza modulare contemporaneamente anche la frequenza, e viceversa. La modulazione di fase con m(t) è equivalente alla modulazione di frequenza con d dt m(t). La modulazione di frequenza con m(t) è equivalente alla modulazione di fase con m(t) dt. Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 7 / 5 Modulazione di frequenza (FM) modulante: m(t) = cos πf t; portante: p(t) = cos πf c t segnale FM: y(t) = cos(πf c t + k ϕ sin πf t) modulante.5.5 portante.5.5 segnale FM.5.5 Quando m(t) > gli attraversamenti dello zero di y(t) sono più frequenti; quando m(t) < gli attraversamenti dello zero di y(t) sono meno frequenti. Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 8 / 5 4
Indice di modulazione Per una modulante sinusoidale m(t) = cos πf t, il segnale modulato y(t) = cos(πf c t + k ϕ sin πf t) ha una frequenza istantanea f (t) = f c + d π dt (k ϕ sin πf t) = f c + k ϕ f cos πf t La deviazione istantanea di frequenza f del segnale FM è: f (t) = f (t) f c = k ϕ f cos πf t La deviazione massima di frequenza f max è: e k ϕ è detto indice di modulazione. f max = k ϕ f Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 9 / 5 Spettro del segnale FM (/3) Ricordando che cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β, si può esprimere il segnale FM come: y(t) = cos(πf c t + k ϕ sin πf t) = cos πf c t cos(k ϕ sin πf t) sin πf c t sin(k ϕ sin πf t) La funzione cos(k ϕ sin πf t) è pari e periodica con frequenza fondamentale f ; quindi può essere sviluppata in serie di Fourier con i soli termini pari: cos(k ϕ sin πf t) = J (k ϕ ) + J (k ϕ ) cos 4πf t + J 4 (k ϕ ) cos 8πf t +... + J n (k ϕ ) cos 4nπf t +... La funzione sin(k ϕ sin πf t) è dispari e periodica con frequenza fondamentale f ; quindi può essere anch essa sviluppata in serie di Fourier con i soli termini dispari: sin(k ϕ sin πf t) = J (k ϕ ) sin πf t + J 3 (k ϕ ) sin 6πf t +... + J n (k ϕ ) sin (n )πf t +... Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre / 5 5
Spettro del segnale FM (/3) y(t) = cos πf c t cos(k ϕ sin πf t) sin πf c t sin(k ϕ sin πf t) Moltiplicando cos πf c t e sin πf c t per i due sviluppi in serie di Fourier, e ricordando che cos α cos β = cos(α β) + cos(α + β) e sin α sin β = cos(α β) cos(α + β), si ottiene: y(t) = J (k ϕ ) cos πf c t J (k ϕ )(cos π(f c f )t cos π(f c + f )t) + J (k ϕ )((cos π(f c f )t + cos π(f c + f )t) J 3 (k ϕ )((cos π(f c 3f )t cos π(f c + 3f )t) +... Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre / 5 Funzioni di Bessel Le J n (x) sono le funzioni di Bessel (del primo tipo), e costituiscono le soluzioni dell equazione di Bessel:.5.5 x d y dx + x dy dx + ( x n ) y = Bessel functions of the first kind: Jn, for n =..7 J J J J3 J4 J5 J6 J7.5 5 5 Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre / 5 6
Spettro del segnale FM (3/3) Lo spettro del segnale FM contiene tutte le frequenze f c ± nf ; le ampiezze tendono a zero all aumentare di n, ma al crescere dell indice di modulazione k ϕ tendono a zero più lentamente. k φ = f c f f c + f f c f k = 5 φ Nella pratica, la banda del segnale FM è: B = (k ϕ + ) f (B contiene il 98% della potenza trasmessa). f Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 3 / 5 Uso della modulazione di frequenza La modulazione di frequenza si ottiene con un oscillatore controllato in tensione (VCO) si può demodulare con un phase-locked loop (PLL) è una modulazione ad inviluppo costante: poiché il segnale modulante fa variare frequenza (e fase) del segnale FM, le fluttuazioni dell ampiezza dovute a ostacoli non peggiorano la qualità del segnale è adatta alle telecomunicazioni mobili viene usata nelle trasmissioni radiofoniche FM, con 88 MHz f c 8 MHz, e in passato veniva usata per il segnale audio nella televisione analogica (PAL); è stata usata anche per la telefonia mobile di prima generazione (TACS = Total Access Communication System) negli anni 8 Valentino Liberali (UniMI) Teoria dei Segnali Modulazione di frequenza e di fase 9 novembre 4 / 5 7