Corso di Calcolo Numerico

Corso di Calcolo Numerico Dottssa MC De Bonis Università degli Studi della Basilicata, Potenza Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Metodi Iterativi Sia A R n n e siano D, C R n n, D non singolare, tali che A = D + C Il sistema Ax = b è equivalente al sistema x = D 1 Cx + D 1 b, ossia, posto P = D 1 C R n n e q = D 1 b R n, al sistema x = P x + q Partendo da un vettore x (0) R n e utilizzando la formula iterativa x (k) = P x (k 1) + q (1) si costruisce la successione di vettori {x (k) } k=1,2, La matrice P viene detta Matrice di iterazione Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Se si ha e cioè lim k x(k) = x, x = P x + q Ax = b x R n Ovviamente per ciascuna scelta di x (0) otteniamo diverse successioni {x (k) } k=1,2, che possono essere convergenti o non convergenti Il procedimento iterativo individuato dalla formula iterativa (1) si dice convergente se, comunque si sceglie il vettore x (0), la successione {x (k) } k=1,2, è convergente Analizziamo il problema della convergenza del procedimento iterativo individuato dalla formula iterativa (1) Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Convergenza del procedimento iterativo Sottraendo membro a membro le formule si ha x (k) = P x (k 1) + q e x = P x + q x x (k) = P (x x (k 1) ) e, denotando con e (k) = x x (k) l errore al k esimo passo, si ha e (k) = P e (k 1) = P 2 e (k 2) = = P k e (0) Il procedimento iterativo è convergente se lim k e(k) = 0 lim k P k = 0 Vale il seguente Teorema 1 Condizione necessaria e sufficiente affinchè per una data matrice P R n n valga è che lim P k = 0 k ρ(p ) < 1 (ρ(p ) è il raggio spettrale di P ) Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Poichè P = D 1 C = D 1 (A D) = (I D 1 A), se la matrice D viene scelta in modo tale che ρ(i D 1 A) < 1, il procedimento iterativo è sicuramente convergente Ma, per ogni norma matriciale compatibile con una vettoriale, si ha pertanto vale il seguente ρ(b) B, Teorema 2 Condizione sufficiente per la convergenza del procedimento iterativo individuato dalla formula iterativa (1) è che esista una norma matriciale per cui I D 1 A < 1 Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Conclusioni Se D viene scelto in modo tale che det(d) 0; tale che I D 1 A < 1, il procedimento iterativo individuato dalla formula iterativa (1) è convergente Osservazione Si può verificare che, anche se I D 1 A < 1 in pratica il metodo non converge Ciò può accadere, per esempio, se I D 1 A è molto vicina a 1 e la matrice A è fortemente mal condizionata Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Costo computazionale Se la matrice A non ha specifiche proprietà e la matrice D ha una forma semplice, ad esempio diagonale o triangolare, il costo computazionale del procedimento iterativo individuato dalla formula iterativa (1) ha un costo computazionale dell ordine di n 2 ad ogni passo Dunque se converge in p passi il costo computazionale è dell ordine pn 2 Se, invece, A è sparsa, esso è dell ordine di n ad ogni passo Dunque se converge in p passi è dell ordine di pn Ecco perchè un metodo iterativo risulta essere competitivo con un metodo diretto solo se A è sparsa Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Criteri di Arresto e scelta di x (0) Come, già detto a proposito del metodo iterativo di Newton, dovendo implementare la formula iterativa (1) in maniera automatica, occorrono dei criteri per arrestarla Fissata una tolleranza T OLL arbitrariamente piccola si utilizzano come criteri di arresto: 1 x (k) x (k 1) < T OLL, x (k) tanto più è piccolo T OLL tanto più x (k) è vicino al limite della succession x ; 2 numero delle iterazioni IT MAX, IT MAX è una variabile intera fissata detta tappo È necessario utilizzarli entrambi In generale, x (0) viene scelto con tutte le componenti uguali a 0 Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Metodo di Jacobi È il più famoso e il più semplice dei metodi iterativi Se la matrice del sistema è a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n A = a n,1 a n,2 a n,n Si scelgono D = a 1,1 0 0 0 a 2,2 0 C = Ovviamente A = D + C 0 0 a n,n 0 a 1,2 a 1,n a 2,1 0 a n 1,n a n,1 a n,n 1 0 Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Partendo dal sistema Ax = b, cioè a 1,1 x 1 +a 1,2 x 2 + +a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 +a 2,2 x 2 + +a 2,n x n = b 2 a n,1 x 1 +a n,2 x 2 + +a n,n x n = b n la formula Dx = Cx + b non è altro che a 1,1 x 1 = a 1,2 x 2 a 1,n x n +b 1 a 2,2 x 2 = a 2,1 x 1 a 2,n x n +b 2 a n,n x n = a n,1 x 1 a n,n 1 x n 1 +b n cioè x i = 1 a i,i b i n a i,j x j, j=1 j i i = 1,, n Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Dunque la formula iterativa x (k) = D 1 Cx (k 1) + D 1 b, k = 0, 1,, scritta per componenti, diventa x (k) i = 1 n b i a i,j x (k 1) j, i = 1,, n, k = 0, 1, a i,i j=1 j i Per l implementazione del metodo iterativo di Jacobi occorrono 2 vettori, uno per x (k) e l altro per x (k 1) Poichè alla fine di ogni iterazione le componenti di x (k) prendono il posto delle componenti di x (k 1), il metodo iterativo di Jacobi viene detto anche Metodo degli spostamenti simultanei Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Affinchè det(d) 0, è necessario che a i,i 0, i Se la matrice A ha qualche elemento diagonale nullo scambiamo opportunamente le righe (poichè stiamo supponendo che A è non singolare sicuramente esiste una matrice di permutazione Π tale che ΠA ha elementi diagonali tutti non nulli) Per essere sicuri della convergenza è necessario verificare che I D 1 A < 1 Vale anche il seguente Teorema 3 Sia A R n n, se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: 1 A è a predominanza diagonale per righe in senso stretto; 2 A è a predominanza diagonale per colonne in senso stretto; allora il metodo di Jacobi è convergente Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Conclusioni Per implementare correttamente il metodo di Jacobi: 1 controllare che a i,i 0, i = 1,, n, altrimenti effettuare scambi di righe; 2 controllare che se per qualche p =, 1, 2, F si ha I D 1 A p < 1 Se la matrice A è a predominanza diagonale per righe o per colonne in senso stretto la convergenza è assicurata 3 fissare una tolleranza T OLL e un numero di iterazioni IT MAX; 4 porre x (0) = (0,, 0) e calcolare per k = 1,, IT MAX x (k) i = 1 n b i a i,j x (k 1) j, i = 1,, n, a i,i j=1 j i Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Metodo di Gauss-Siedel È una variante del metodo di Jacobi Si osserva infatti che nel calcolare x (k) i = 1 n b i a i,j x (k 1) j, i = 1,, n, a i,i j=1 j i a secondo membro potrebbero essere utilizzati i valori x (k) j, j = 1,, i 1, già calcolati e quindi più precisi Il metodo diventa x (k) i = 1 b i a i,i i 1 j=1 a i,j x (k) j n j=i+1 a i,j x (k 1) j, i = 1,, n Il metodo iterativo di Gauss-Siedel viene anche detto Metodo degli spostamenti successivi in quanto per costruire le componenti del vettore x (k) si utilizzano non solo le componenti di x (k 1) ma anche le componenti precedentemente calcolate di x (k) stesso Dunque per la sua implementazione basta 1 solo vettore Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Dal punto di vista matriciale è facile vedere che consiste nel considerare A = D + C dove D = a 1,1 0 0 a 2,1 a 2,2 0 e C = a n,1 a n 1,n a n,n 0 a 1,2 a 1,n 0 0 a n 1,n 0 0 0 Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Per il metodo di Gauss-Siedel vale il seguente Teorema 3 Sia A R n n, se è soddisfatta una delle seguenti condizioni: 1 A è a predominanza diagonale per righe in senso stretto; 2 A è simmetrica definita positiva; allora il metodo di Gauss-Siedel è convergente Osservazione Il metodo di Gauss-Siedel che utilizza un solo vettore è in generale più velocemente convergente del metodo di Jacobi, ma ci sono anche dei casi in cui, non solo il metodo di Jacobi converge più velocemente, ma il metodo di Jacobi è convergente e il metodo di Gauss-Siedel non lo è Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis

Conclusioni Per implementare correttamente il metodo di Gauss-Siedel: 1 controllare che a i,i 0, i = 1,, n, altrimenti effettuare scambi di righe; 2 controllare che se per qualche p =, 1, 2, F si ha I D 1 A p < 1 Se la matrice A è a predominanza diagonale per righe in senso stretto o simmetrica e definita positiva la convergenza è assicurata 3 fissare una tolleranza T OLL e un numero di iterazioni IT MAX; 4 porre x (0) = (0,, 0) e calcolare per k = 1,, IT MAX e i = 1,, n x (k) i = 1 i 1 n b i a i,j x (k) j a i,i j=1 j=i+1 a i,j x (k 1) j Corso di Calcolo Numerico - Dottssa MC De Bonis