Programmazione lineare

Programmazione lineare Dualitá: definizione, teoremi ed interpretazione economica Raffaele Pesenti 1 Dualità 1.1 Definizione e teoremi Definizione 1 Dato un problema di LP in forma canonica max x = ct x (1a) Ax b (1b) x 0 (1c) si definisce duale di (1) il seguente problema min λ G = b T λ (2a) A T λ c (2b) λ 0 (2c) Il problema originale è detto primale. È generalmente accettato il seguente fatto: Fatto 1 (Interpretazione economica) Ogni problema duale ha un significato economico che permette di vedere il problema reale che ha originato il modello lineare sotto una diversa luce e può suggerire strategie di comportamento differenti. Ad esempio il duale, di un problema di definizione del mix di prodotti ottimi da produrre a risorse limitate volendo ottimizzare il profitto, può essere interpretato come il problema di determinazione del minimo prezzo a cui conviene vendere le risorse disponibili piuttosto che produrre. La relazione primale duale è caratterizzata dall esistenza dei seguenti teoremi: Teorema 1 Il duale del duale è il primale. Teorema 2 (Dualità debole) Data una coppia primale/duale (e.g., (1) e (2)), se x è soluzione ammissibile per il primale e λ è soluzione ammissibile per il duale, allora valgono le seguenti relazioni tra i costi associati a tali soluzioni: se il primale è un problema di massimo e il duale di minimo, altrimenti, se il primale è un problema di minimo e il duale di massimo. c T x b T λ (3a) c T x b T λ (3b) 1

Il teorema di dualità debole permette di eseguire stime sul valore della soluzione ottima del problema primale senza la necessità di risolvere lo stesso. Infatti il teorema di dualità debole afferma che il valore della funzione obiettivo duale, calcolato rispetto a qualunque soluzione duale ammissibile, è certamente non peggiore del valore ottimo del problema primale. Il teorema di dualità debole ha anche interessanti conseguenze economiche. Dovendo affrontare un problema di produzione, se si trova qualcuno disposto a pagare le risorse disponibili a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora si può decidere certamente di vendere anche senza determinare il profitto associato al mix ottimale, Infatti il teorema di dualità debole garantisce che in questo caso il profitto proveniente dalla vendita considerata non può essere minore di quello massimo ottenibile dalla lavorazione delle risorse. Corollario Se il primale non è limitato il duale non è ammissibile. Non vale il corollario inverso. Se il primale non è ammissibile, il duale certamente non ha soluzione ottima limitata, ma può sia essere illimitato che non ammissibile. Teorema 3 (Dualità forte) Data una coppia primale/duale (e.g., (1) e (2)), se esiste x soluzione ottima per il primale, allora esiste λ soluzione ottima per il duale, inoltre i costi ottimali sono uguali c T x = b T λ (4) Il teorema di dualità forte permette di definire una patente che garantisce l ottimalità delle soluzioni ottenute. Infatti attraverso di esso è immediatamente verificabile se una coppia di soluzioni, rispettivamente ammissibili per il primale e per il duale, è ottima. L esistenza di una qualche patente di ottimalità, verificabile in tempo polinomiale, è una caratteristica dei problemi che hanno facile soluzione. Nei problemi difficili tipicamente non è possibile dimostrare l ottimalità della soluzione se non confrontandola con tutte le altre, spesso numerosissime. Teorema 4 (Slackness complementarity) Data una coppia primale/duale (e.g., (1) e (2)) e una coppia di soluzioni ammissibili x e λ, allora tali soluzioni sono anche ottime se e solo se: 1.2 Trasformazione primale duale λ i (A i. x b i ) = 0 i (5) x j (A Ṭ jλ c j ) = 0 j (6) Tutti i problemi di LP possono essere facilmente ricondotti alla forma canonica (1). Per fare ciò può essere necessario cambiare il verso a disuguaglianze e segni a coefficienti, nonchè trasformare i vincoli di uguaglianza in una coppia di vincoli di disuguaglianza e le variabili non limitate in segno in una coppia di variabili non negative. min c T x max x x ct x (7a) A i. x b i A i. x b i (7b) { Ai. x b A i. x = b i i (7c) A i. x b i x j > < 0 x + j 0, x j 0 (x j = x + j x j ) (7d) Per facilitare sia le trasformazioni da primale a duale che l interpretazione economica del duale, può comunque essere utile partizionare inizialmente i problemi di programmazione lineare in due grandi classi: problemi in cui viene massimizzato un profitto avendo a disposizione risorse limitate, e.g., problema produzione; problemi in cui viene minimizzato un costo dovendo soddisfare delle esigenze prefissate, e.g., problema dieta; 2

Un problema appartenente alla prima classe ha tipicamente la seguente struttura, o può ad essa essere banalmente ricondotto: max x F = ct 1 x 1 + c T 2 x 2 (8a) A 11 x 1 + A 12 x 2 b 1 : λ 1 (8b) A 21 x 1 + A 22 x 2 = b 2 : λ 2 (8c) x 1 0 (8d) x 2 > < 0 (8e) dove λ 1, λ 2 a fianco delle condizioni (8b) e (8c) servono a ricordare quali variabili duali sono associate a tali vincoli. Il duale di (8) è min λ G = b T 1 λ 1 + b T 2 λ 2 (9a) A T 11λ 1 + A T 21λ 2 c 1 : x 1 (9b) A T 12λ 1 + A T 22λ 2 = c 2 : x 2 (9c) λ 1 0 (9d) λ 2 > < 0 (9e) come può essere verificato riconducendosi prima alla forma canonica (1) attraverso le trasformazioni (7), deducendo quindi il duale ed applicando infine le trasformazioni inverse sulle variabili duali. Un problema appartenente alla seconda classe ha tipicamente la struttura (9), o può ad essa essere banalmente ricondotto, e quindi il suo duale è (8). 1.3 Interpretazione economica del duale In questa sezione vengono considerati i due problemi paradigmatici delle due classi definite in precedenza. In particolare viene presentata la loro struttura generale, vengono formalizzati i duali ed è data a questi ultimi una interpretazione economica. 1.3.1 Il problema di definizione del mix di prodotti Enunciato 1 (problema di definizione del mix di prodotti) Avendo a disposizione una certa quantità di materie prime, determinare il mix ottimale di prodotti che deve andare in produzione per massimizzare il profitto di una data azienda. Per potere formalizzare matematicamente e quindi risolvere il problema si devono individuare: variabili decisionali, obiettivi e vincoli. Si possono certamente definire variabili decisionali le quantità dei diversi prodotti che dovranno essere presenti nel mix ottimale. È necessario definire una variabile per ogni tipo di prodotto. Devono essere considerati di tipo diverso anche prodotti uguali che però sono caratterizzati da differenti modalità di produzione o da differenti profitti. Può essere anche opportuno introdurre dei prodotti nulli, la cui produzione non è altro che il consumo di risorse senza profitto o addirittura con perdite (profitti negativi). Al fine di formalizzare matematicamente l obiettivo, per ogni tipo di prodotto bisogna individuare il valore del profitto unitario legato alla sua vendita. Per le considerazioni fatte riguardo alle variabili, alcuni dei profitti possono essere negativi, inoltre ad alcuni prodotti identici tra loro possono essere associati profitti diversi. Nella individuazione dei profitti bisogna fare estrema attenzione in quanto si assume che ogni bene prodotto sia venduto, il che non è sempre vero nella realtà. Per quanto riguarda i vincoli, essi generalmente sono riconducibili alle seguenti classi: vincoli relativi alla limitata disponibilità di risorse. In tali vincoli la disuguaglianza è del tipo minore o uguale, il termine noto esprime la quantità di risorsa disponibile, mentre i coefficienti delle variabili esprimono il consumo di risorsa dovuto alla lavorazione di un unità del tipo di prodotto associato alla variabile a cui fanno riferimento. Vi possono essere coefficienti negativi nel caso in cui la lavorazione di un prodotto fornisca come materiale di scarto qualcosa di utilizzabile per altri prodotti, e.g., il truciolato nell industria del legno o gli scarti nell industria alimentare; 3

vincoli relativi alla quantità minima di risorsa che deve essere consumata. Tali vincoli sono tipicamente legati ad imposizioni di legge o contrattuali. Ad esempio nell industria del vetro o della carta parte delle materie prime utilizzate devono per legge provenire dalla raccolta differenziata. La disuguaglianza in questo caso è del tipo maggiore o uguale o semplicemente uguale. Le caratteristiche delle rimanenti componenti dei vincoli non cambiano dal caso precedente; vincoli relativi alla massima capacità o di produzione dell azienda o di assorbimento del mercato dei vari tipi di prodotto; vincoli relativi alla produzione minima dei vari tipi di prodotto. Questo tipo di vincolo può essere necessario perchè l azienda è obbligata a produrre certi prodotti ad esempio per motivi legislativi, oppure per essere presente sul mercato. 1.3.2 Il problema di definizione del mix di prodotti: esempio Enunciato 2 Si consideri una cartiera che può produrre 3 tipi di carta, A, B e C. Per la produzione utilizza 2 tipi di risorse, 1 e 2. In particolare la seconda risorsa è una pasta di cellulosa che può provenire dal legno oppure dalla carta ricliclata. In questo ultimo caso tale pasta è più costosa, ma l azienda è obbligata per legge ad utilizzarne almeno una certa quantità ai fini della produzione. Il mercato ha delle capacità limitate di assorbimento dei prodotti A, inoltre richiede che l azienda, per motivi di immagine, produca almeno una quantità minima di carta di tipo C. Determinare il mix ottimale di prodotti che deve andare in produzione per massimizzare il profitto. L enunciato del problema è volutamente un po ambiguo. Infatti, dall analisi dello stesso si deduce che è opportuno distinguere 3 tipi di risorse, la risorsa di tipo 1, la risorsa di tipo 2n (pasta proveniente dal legno) e la risorsa di tipo 2r (pasta proveniente dalla carta riciclata). Di conseguenza esistono sei tipi di carta, almeno dal punto di vista dei profitti, i tipi An, Bn e Cn provenienti da produzioni che utilizzano la risorsa di tipo 2n e i tipi Ar, Br e Cr provenienti da produzioni che utilizzano la risorsa di tipo 2r. Le variabili decisionali corrispondono, quindi, alle quantità da produrre per ognuno dei tipi di carta. Siano, per ogni tipo di carta, x jn e x jr le variabili decisionali, c jn e c jr i profitti corrispondenti. Per la carta A, indipendentemente dal profitto raggiunto, sia u A la massima quota di mercato copribile, viceversa sia l c la minima quota che si vuole coprire con la carta di tipo C. Siano b 1, b 2n e b 2r la disponibilità delle risorse e, per la risorsa 2r, sia m 2r la quantità minima di cui è imposto il consumo. Infine sia a ij la quantità di risorsa i usata nella produzione di un unità di prodotto j. Si noti che questi coefficienti non sono caratterizzati da pedici n e r in quanto i consumi sono indipendenti dalla provenienza della pasta di cellulosa. Il problema primale risulta essere: max Anx An + c Ar x Ar + c Bn x Bn + c Br x Br + c Cn x Cn + c Cr x Cr x (10a) a 1A x An + a 1A x Ar + a 1B x Bn + a 1B x Br + a 1C x Cn + a 1C x Cr b 1 (10b) a 2A x An + a 2B x Bn + a 2C x Cn b 2n (10c) a 2A x Ar + a 2B x Br + a 2C x Cr b 2r (10d) a 2A x Ar + a 2B x Br + a 2C x Cr m 2r (10e) x An + x Ar u A (10f) x Cn + x Cr l C (10g) x An, x Ar, x Bn, x Br, x Cn, x Cr 0 (10h) dove i vincoli (10b), (10c) e (10d) impongono di non consumare più risorse di quelle disponibili; il vincolo (10e) impone di consumare almeno una quantità m 2r di risorsa 2r; il vincolo (10f) impone di non produrre più carta di tipo A di quella che può assorbire il mercato; il vincolo (10g) impone di produrre almeno una certa quantità di carta di tipo C. Prima di formulare il duale conviene riportarsi ad una forma tipo (8): max Anx An + c Ar x Ar + c Bn x Bn + c Br x Br + c Cn x Cn + c Cr x Cr x (11a) a 1A x An + a 1A x Ar + a 1B x Bn + a 1B x Br + a 1C x Cn + a 1C x Cr b 1 : λ 1 (11b) a 2A x An + a 2B x Bn + a 2C x Cn b 2n : λ 2n (11c) 4

a 2A x Ar + a 2B x Br + a 2C x Cr b 2r : λ 2r (11d) a 2A x Ar a 2B x Br a 2C x Cr m 2r : ν 2r (11e) x An + x Ar u A : µ A (11f) x Cn x Cr l C : ν C (11g) x An, x Ar, x Bn, x Br, x Cn, x Cr 0 (11h) dove a fianco di ogni vincolo sono indicati i nomi delle variabili duali corrispondenti. Il duale risulta essere: min λ,µ,ν G = b 1λ 1 + b 2n λ 2n + b 2r λ 2r m 2r ν 2r + u A µ A l C ν C (12a) a 1A λ 1 + a 2A λ 2n + µ A c An : x An (12b) a 1A λ 1 + a 2A λ 2r a 2A ν 2r + µ A c Ar : x Ar (12c) a 1B λ 1 + a 2B λ 2n c Bn : x Bn (12d) a 1B λ 1 + a 2B λ 2r a 2B ν 2r c Br : x Br (12e) a 1C λ 1 + a 2C λ 2n ν C c Cn : x Cn (12f) a 1C λ 1 + a 2C λ 2r a 2C ν 2r ν C c Cr : x Cr (12g) λ 1, λ 2n, λ 2r, ν 2r, µ A, ν C 0 (12h) che con ovvi passaggi può essere riscritto come segue min G = b 1λ 1 + b 2n λ 2n + b 2r λ 2r + ( m 2r ν 2r + u A µ A l C ν C ) (13a) λ,µ,ν a 1A λ 1 + a 2A λ 2n c An + ( µ A ) (13b) a 1A λ 1 + a 2A λ 2r c Ar + (+a 2A ν 2r µ A ) (13c) a 1B λ 1 + a 2B λ 2n c Bn (13d) a 1B λ 1 + a 2B λ 2r c Br + (+a 2B ν 2r ) (13e) a 1C λ 1 + a 2C λ 2n c Cn + (+ν C ) (13f) a 1C λ 1 + a 2C λ 2r c Cr + (+a 2C ν 2r + ν C ) (13g) λ 1, λ 2n, λ 2r, ν 2r, µ A, ν C 0 (13h) I termini λ 1, λ 2n, λ 2r sono dimensionalmente dei valori per unità di risorsa. Quindi, ad esempio, b 1 λ 1 potrebbe indicare il valore totale delle risorse disponibili di tipo 1, mentre a 1A λ 1 potrebbe indicare il valore delle risorse di tipo 1 consumate per produrre un unità di prodotto A. In quest ottica la formulazione (13) suggerisce la seguente interpretazione economica del problema duale: Interpretazione duale 1 (problema di definizione del mix di prodotti) Determinare il minimo valore a cui conviene vendere in blocco l attività, cioè le risorse disponibili e le condizioni di contorno che influenzano la produzione, piuttosto che produrre. Nel duale (13), la prima parte della funzione obiettivo, esprime il valore delle risorse mentre la rimanente parte, indicata tra parentesi, esprime il valore delle condizioni di contorno; i vincoli impongono che il prezzo di vendita delle risorse necessarie a produrre ogni unità di prodotto sia non inferiore al profitto unitario (corretto, tenendo conto delle condizioni al contorno) che l azienda otterrebbe producendo quel tipo di carta. È ovvio che se vengono offerti dei prezzi di acquisto delle risorse che non soddisfano questi vincoli, conviene produrre piuttosto che vendere l attività. Viceversa, come già anticipato, il teorema della dualità debole permette di affermare che se si trova un compratore che offre di acquistare le risorse disponibili a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente vendere l attività. Per potere dare una interpretazione economica alle variabili duali ν 2r, µ A, ν C, e quindi ai termini correttivi presenti in (13) è opportuno comprendere il significato, dal punto di vista del mercato, dei vincoli del primale non riguardanti la limitata disponibilità delle materie prime. In particolare il vincolo (10f) evidenzia la difficoltà di assorbimento da parte del mercato della carta di tipo A (in un altro contesto tale vincolo potrebbe indicare la difficoltà di produrre quel tipo di carta). La corrispondente variabile duale, che si noti è dimensionalmente un 5

valore per unità di prodotto, si può quindi interpretare come il costo da sostenere (in pubblicità ad esempio) per riuscire a vendere (o in altro contesto produrre) la carta A. Viceversa il vincolo (10g) indica che vi può essere un incentivo a produrre carta di tipo C. Analogamente il vincolo (10e) indica che vi può essere un incentivo a consumare risorse di tipo 2r. Le corrispondenti variabili duali si possono quindi interpretare come il valore degli incentivi che il mercato è disposto a pagare per unità di prodotto lavorato o di risorsa consumata, qualora la produzione della carta C e il consumo della risorsa 2r non fossero già di per se stessi convenienti. Per quanto detto in precedenza, il vincolo duale (13c), relativo alla carta di tipo A prodotta con materiale riciclato, impone che nella definizione del prezzo delle risorse si tenga conto che per un unità di tale carta, il mercato: dovrebbe fornire un profitto legato alla sola vendita uguale a c Ar ; inoltre dovrebbe essere disposto a pagare un incentivo uguale a a 2A ν 2r per il consumo della carta riciclata; infine però dovrebbe richiedere una spesa di µ A per essere convinto ad acquistare. Discorsi analoghi si possono fare sui rimanenti vincoli duali. Nella attività di produzione descritta dal primale (10) alcuni vincoli definiscono la posizione nel mercato della azienda coinvolta. In particolare, essa ha conquistato alcune fette di mercato (o ha investito in una certa capacità di produzione) per quanto riguarda la carta di tipo A; si è già impegnata a produrre una certa quantità di carta C; infine si è anche impegnata a consumare una certa quantità di risorsa 2r. Ne consegue che tale azienda ha già affrontato alcune spese e ricevuto alcuni incentivi, quindi il prezzo minimo di vendita della sua attività deve essere calcolato al netto di questi flussi monetari. Tali flussi sono infatti considerati nel termine correttivo presente nella funzione obiettivo della formulazione duale (13). In esso vengono sottratti gli incentivi per il consumo della risorsa 2r e per la produzione della carta di tipo C, mentre vengono aggiunte le spese sostenute per garantirsi la quota di mercato per A. Si osservi che nella funzione obiettivo del duale vengono sottratti gli incentivi solo per le quantità minime di risorsa 2r o di prodotto C che l azienda si è impegnata a consumare o produrre. Ciò è dovuto al fatto che se per produrre il mix ottimo vi fosse un consumo maggiore di tale risorsa o una produzione maggiore di tale tipo di carta, allora esisterebbe una convenienza economica di tali comportamenti, indipendentemente dal valore degli incentivi, Conseguentemente questi ultimi si ridurrebbero a zero (come garantito dal teorema di slackness complementarity). Analogamente le spese che l azienda ha sostenuto per garantirsi una certa quota di mercato per A avrebbero valore di mercato nullo se la sua produzione non è poi stata capace di coprire tutta la quota conquistata. Si osservi infine che il teorema di slackness complementarity afferma che, vendendo in blocco le risorse, l azienda può essere costretta a regalarne alcune per strappare un prezzo maggiore per le altre, quelle di maggiore valore di mercato. Queste ultime sono evidentemente quelle che avrebbero permesso ulteriori profitti se fossero state disponibili in maggiore quantità in azienda. 1.3.3 Il problema della dieta Enunciato 3 (problema della dieta) Determinare il mix ottimale di alimenti che una persona deve acquisire per minimizzare il costo di soddisfazione di date esigenze alimentari. Nel caso in questione sono variabili decisionali le quantità di alimenti che devono essere presenti nel mix ottimale. È necessario definire una variabile per ogni tipo di alimento. Devono essere considerati di tipo diverso anche alimenti identici ma che siano cucinati in maniere diverse e quindi possano fornire sia contenuti nutritivi e che costi diversi. Al fine di formalizzare matematicamente l obiettivo, per ogni tipo di alimento bisogna individuare il costo unitario legato all acquisto. Per le considerazioni fatte riguardo alle variabili, ad alcuni alimenti possono essere associati costi diversi. Alcuni dei costi possono essere negativi. Per quanto riguarda i vincoli, essi generalmente sono riconducibili alle seguenti classi: vincoli relativi alla quantità minima di elementi nutritivi che devono essere assimilati (e.g, quantità minima di calorie), In tali vincoli la disuguaglianza è del tipo maggiore o uguale, il termine noto esprime la quantità di esigenza, mentre i coefficienti delle variabili esprimono quanti elementi nutritivi sono assimilati consumando un unità dell alimento associato alla variabile a cui fa riferimento. Vi possono essere coefficienti negativi nel caso in cui l assimilazione di un alimento richieda il consumo di elementi nutritivi forniti da altri alimenti; vincoli relativi alla quantità massima di elementi nutritivi che possono essere assimilati, (e.g., per evitare ipervitaminosi o obesità). La disuguaglianza in questo caso è del tipo minore o uguale o semplicemente uguale, il resto è come nei vincoli del caso precedente; vincoli relativi alla massima capacità o di consumo o di disponibilità del mercato degli alimenti; vincoli relativi alla minima quantità che si desidera acquisire (per piacere, per vizio, per necessità) degli alimenti. 6

1.3.4 Il problema della dieta: esempio Enunciato 4 Si considerino 3 tipi di alimento, A, B e C. Si devono assimilare 3 tipi di elementi nutritivi, 1, 2, e 3. Per il terzo elemento non si devono superare delle quantità massime. Il mercato ha delle capacità limitate di fornire alimenti di tipo A (oppure non si desidera mangiare più di una certa quantità dello stesso alimento); inoltre si desidera una quantità minima di alimento di tipo C. Determinare il mix ottimale di alimenti che una persona deve consumare per minimizzare i costi. Le variabili decisionali sono le quantità da acquistare per ognuno degli alimenti. Siano, per ogni tipo di alimento j, x j le variabili decisionali, e c j i costi corrispondenti. Sia u A la massima quantità di cibo A reperibile sul mercato (o consumabile), viceversa sia l c la minima quantità dell alimento C che si vuole acquistare. Siano b i le quantità di elementi nutrizionali da raggiungere, sia m 3 la quantità massima di elemento nutrizionale 3 assimilabile. Infine sia a ij la quantità di elemento nutrizionale i assimilato mangiando un unità dell alimento j. La formulazione primale risulta essere: min F = c A x A + c B x B + c C x C x (14a) a 1A x A + a 1B x B + a 1C x C b 1 (14b) a 2A x A + a 2B x B + a 2C x C b 2 (14c) a 3A x A + a 3B x B + a 3C x C b 3 (14d) a 3A x A + a 3B x B + a 3C x C m 3 (14e) x A u A (14f) x C l C (14g) x A, x B, x C 0 (14h) dove i vincoli (14b), (14c) e (14d) impongono di assimilare almeno una certa quantità di elementi nutrizionali; il vincolo (14e) impone di assimilare non più della quantità m 3 dell elemento nutrizionale 3; il vincolo (14f) impone di non acquistare più quantità di alimento A di quella disponibile sul mercato (o che si vuole mangiare); il vincolo (14g) impone di acquistare almeno una certa quantità di alimento di tipo C. Prima di formulare il duale conviene riportarsi ad una forma tipo (9): min F = c A x A + c B x B + c C x C x (15a) a 1A x A + a 1B x B + a 1C x C b 1 : λ 1 (15b) a 2A x A + a 2B x B + a 2C x C b 2 : λ 2 (15c) a 3A x A + a 3B x B + a 3C x C b 3 : λ 3 (15d) a 3A x A a 3B x B a 3C x C m 3 : ν 3 (15e) x A u A : ν A (15f) x C l C : µ C (15g) x A, x B, x C 0 (15h) dove a fianco di ogni vincolo sono indicati i nomi delle variabili duali corrispondenti. Il duale risulta essere: max λ,µ,ν G = b 1λ 1 + b 2 λ 2 + b 3 λ 3 m 3 ν 3 u A ν A + l C µ C (16a) a 1A λ 1 + a 2A λ 2 + a 3A λ 3 a 3A ν 3 ν A c A : x A (16b) a 1B λ 1 + a 2B λ 2 + a 3B λ 3 a 3B ν 3 c B : x B (16c) a 1C λ 1 + a 2C λ 2 + a 3C λ 3 a 3C ν 3 + µ C c C : x C (16d) λ 1, λ 2, λ 3, ν 3, ν A, µ C 0 (16e) che con ovvi passaggi può essere riscritto come segue 7

max G = b 1λ 1 + b 2 λ 2 + b 3 λ 3 + ( m 3 ν 3 u A ν A + l C µ C ) (17a) λ,µ,ν a 1A λ 1 + a 2A λ 2 + a 3C λ 3 c A + (+a 3A ν 3 + ν A ) (17b) a 1B λ 1 + a 2B λ 2 + a 3B λ 3 c B + (+a 3B ν 3 ) (17c) a 1C λ 1 + a 2C λ 2 + a 3C λ 3 c C + (+a 3C ν 3 µ C ) (17d) λ 1, λ 2, λ 3, ν 3, ν A, µ C 0 (17e) I termini λ 1, λ 2, λ 3 sono dimensionalmente dei valori per unità di elemento nutrizionale. Quindi, ad esempio b 1 λ 1 potrebbe indicare il valore totale degli elementi nutrizionali di tipo 1 necessari; mentre a 1A λ 1 potrebbe indicare il valore degli elementi nutrizionali di tipo 1 assimilati mangiando un unità di alimento A. In quest ottica la formulazione (17) suggerisce la seguente interpretazione economica del problema duale: Interpretazione duale 2 (problema della dieta) Determinare il massimo prezzo a cui conviene comprare in blocco delle pillole, che forniscano esattamente tutti gli elementi nutrizionali, piuttosto che acquistare alimenti. Nel duale (17), la prima parte della funzione obiettivo, esprime il valore degli elementi nutrizionali mentre la rimanente parte, indicata tra parentesi esprime il valore delle condizioni di contorno; i vincoli impongono che il prezzo complessivo degli elementi nutrizionali necessari a costituire ogni unitá di alimento sia non superiore al prezzo unitario (corretto, tenendo conto delle condizioni al contorno) del cibo in questione. È ovvio che se vengono offerti dei prezzi di vendita delle pillole che non soddisfano questi vincoli, conviene acquistare cibo piuttosto che i singoli elementi nutrizionali. Viceversa, il teorema della dualità debole permette di affermare che se si trovano delle pillole che forniscono gli elementi nutrizionali necessari a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente comprare tali pillole. Infatti il costo del mix ottimale dei cibi non può essere minore di quello pagato per l acquisto di tali pillole. Per potere dare una interpretazione economica alle variabili duali ν 3, ν A e µ C, e quindi ai termini correttivi presenti in (17) è opportuno comprendere il significato, dal punto di vista del mercato, dei vincoli del primale non riguardanti la necessità di soddisfare delle esigenze nutrizionali. In particolare il vincolo (14g) evidenzia il desiderio che sia acquistato comunque l alimento di tipo C. La corrispondente variabile duale, che si noti è dimensionalmente un valore per unità di alimento, si può quindi interpretare come lo sconto che si deve attuare per convincere comunque una persona ad utilizzare tale alimento, se il vincolo è stato imposto dal mercato, oppure come la diminuzione apparente del costo reale dovuto al desiderio o la necessità del cibo, se il vincolo è imposto da chi subisce la dieta (quanto del costo si è disposti a far finta di non vedere pur di mangiare l alimento C). Viceversa il vincolo (14f) indica che vi può essere scarsa disponibilità di alimenti di tipo A oppure scarsa attrazione verso gli stessi. Analogamente il vincolo (14e) indica che vi può essere scarsa attrazione ad assimilare elementi nutrizionali di tipo 3. Le corrispondenti variabili duali si possono quindi interpretare come la spesa aggiuntiva che si deve pagare per procurarsi l alimento di tipo A, se il vincolo è stato imposto dal mercato, oppure come l aumento di costo apparente dovuto allo scarso desiderio o alla necessità di rifiuto dell alimento A o dell elemento nutrizionale 3 se il vincolo è imposto da chi subisce la dieta (quanto si è disposti a pagare in più pur di non mangiare l alimento A o non assimilare elementi nutrizionali di tipo 3). Per quanto detto in precedenza il vincolo duale (17d), relativo al cibo di tipo C, impone che nella definizione del prezzo degli elementi nutrizionali si tenga conto che il costo di un unità di tale alimento dovrebbe essere considerato il costo legato al solo acquisto uguale a c C ; inoltre l incremento di costo che una persona è disposta a pagare in più pur di non mangiare tale cibo data la presenza degli elementi nutrizionali di tipo 3, cioè a 3C ν 3 ; l incentivo all acquisto di tale alimento µ C o, se il vincolo corrispondente a tale variabile duale è stato imposto da chi subisce la dieta, la diminuzione apparente del prezzo dovuta al desiderio. Nella dieta descritta dal primale (14) alcuni vincoli affermano che si è già scelto di acquistare una certa quantità di alimento C e che comunque si ritengono accettabili certi livelli di alimento A o di elementi nutrizionali 3. Ne consegue che chi subisce i costi della dieta ritiene come già rifiutate alcune spese e incentivi, oppure dà per scontate alcune dimenticanze sui prezzi. Ne consegue che il prezzo massimo di vendita della pillole deve essere calcolato al netto di questi flussi monetari. Tali flussi sono infatti considerati nel termine correttivo presente nella funzione obiettivo della formulazione duale (17) in cui vengono aggiunti i costi che si è disposti comunque a sopportare per l alimento C, mentre vengono sottratte le spese che si dovrebbero sostenere per non acquistare nemmeno una quantità u A dell alimento A (in quanto fino a tale quantità tale alimento è facilmente reperibile sul mercato o comunque si è disponibili a mangiarlo); analogamente vengono sottratte le spese che si dovrebbero sostenere per non assimilare nemmeno una quantità m 3 di elemento nutrizionale 3. Anche in questo caso il teorema di slackness complementarity garantisce che gli incentivi e le spese diventano nulli se i vincoli corrispondenti non sono attivi. Per cui, ad esempio, non si è disposti a dimenticare parte del 8

prezzo di C (o viceversa il mercato non è disposto a fare uno sconto) se, per soddisfare al costo minimo le esigenze nutrizionali, si deve acquistare una quantità di alimento C superiore a m C. Analogamente non si è disposti a pagare nulla per rifiutare A se comunque non converrebbe acquistarlo. Si osservi infine che può accadere, ed in generale succede, che il mix ottimo di alimenti soddisfa al minimo alcune esigenze nutrizionali, ma fornisce in aggiunta la soddisfazione di altre, anche eventualmente non richieste. Il teorema di slackness complementarity afferma che in questo caso è ottimo per il produttore di pillole fare pagare il più possibile le pillole che forniscono gli elementi nutrizionali soddisfatti al minimo dal mix ottimo di alimenti, ma che di conseguenza si devono regalare le pillole per gli altri elementi. 9