RUBRICA Dal ritagliare al dimostrare: i rettangoli isoperimetrici di Monica Testera La seguente proposta didattica mostra come, da attività semplici e manipolative quali il ritaglio di figure su cartoncini colorati, possano nascere idee per strategie dimostrative. Il contesto è di norma una classe seconda della secondaria di I grado e le modalità di attuazione prevedono l uso di schede predisposte, righello, matita, cartoncini colorati e forbici. Prima sessione «Disegniamo». Il percorso inizia con la seguente consegna: Disegna 4 rettangoli diversi aventi tutti lo stesso perimetro di 20 cm. La richiesta, da svolgere individualmente con righello e matita, viene proposta su una scheda predisposta con quattro griglie quadrettate con il lato della quadrettatura lungo 1 cm. Successivamente gli studenti, divisi in gruppi, svolgono la consegna della seconda scheda: Confrontate i metodi seguiti per disegnare i diversi rettangoli. A seguito di queste due schede si procede con una discussione di classe, nella quale dovrebbe emergere la riflessione sulle differenti possibilità di scelta delle misure delle lunghezze delle dimensioni del rettangolo e su quante possibilità si possono avere. Tale discussione può essere stimolata, per esempio, con una consegna aggiuntiva del tipo: Trova dei rettangoli diversi da quelli dei compagni. Qualora gli alunni non prendano in considerazione il quadrato, le consegne diventano utili strumenti di recupero delle conoscenze sui quadrilateri e del fatto che il quadrato è un rettangolo. Seconda sessione «Costruiamo e ritagliamo». Si prosegue con la richiesta di costruire su cartoncini colorati i rettangoli precedentemente disegnati sui fogli quadrettati e di ritagliarli. La scheda successiva, da svolgere in gruppo, contiene la seguente consegna: Tutti i rettangoli che avete disegnato e costruito col cartoncino hanno lo stesso perimetro: rettangoli di questo tipo si dicono rettangoli isoperimetrici. Che cosa potete dire delle loro aree? Sono tutte uguali? Ne segue una discussione di classe e, se non emerge nel confronto, l insegnante richiede: quale pensate che sia quello di area maggiore? Perché? Attraverso esplorazioni numeriche gli studenti scoprono che tra tutti i rettangoli isoperimetrici il quadrato è quello con area maggiore. Alla richiesta di cercare di giustificare l affermazione non utilizzando le misure dei lati dei rettangoli disegnati, gli alunni manipolano i modelli di cartoncino e realizzano, solitamente in modo autonomo, la strategia utile per l av- 100
2 2016 Archimede vio della dimostrazione algebrica della proprietà. Infatti, sovrappongono uno dei vari rettangoli al quadrato (figure 1 e 2) verificando che, ritagliando la parte del rettangolo non in comune con il quadrato (figure 3 e 4) e sovrapponendola alla parte non in comune del quadrato (figura 5), essa risulta, in tutti gli esempi realizzati, minore della parte eccedente del quadrato. RUBRICA Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 101
RUBRICA Terza sessione «Dimostriamo». Dall idea, nata dai ragazzi, di sovrapposizione delle figure, prende il via la dimostrazione algebrica dell enunciato «Tra tutti i rettangoli isoperimetrici il quadrato è quello con area massima» che viene costruita in forma di discussione con una forte mediazione dell insegnante. Di seguito, a uso dell insegnante, la scheda guida di conduzione della dimostrazione. Usiamo dei disegni per aiutarci nella dimostrazione Consideriamo un quadrato e un rettangolo con lo stesso perimetro, così disegnati: I Possiamo osservare che : L area del quadrato è composta dall area S e dall area R: area del Quadrato = area S + area R L area del rettangolo è composta dall area S e dall area T: area del Rettangolo = area S + area T Osserviamo che S è in comune. Quindi per provare che l area del quadrato è maggiore dell area del rettangolo ci basta mostrare che l area R è maggiore dell area T Usiamo le lettere perché vogliamo trovare una dimostrazione che vada bene per un quadrato qualsiasi e per tutti i rettangoli che hanno il suo stesso perimetro Chiamiamo l la lunghezza del lato del quadrato, a l altezza di R. Allora area R = l a R S Per determinare la base e l altezza di T, ricordiamo che T è una parte del rettangolo di partenza. È utile passare in rassegna tutte le informazioni di partenza: ricordiamo che il rettangolo e quadrato hanno lo stesso perimetro... a T 102
2 2016 Archimede Osserviamo che l altezza di T è l a. La base del rettangolo T non è nota la indichiamo con un punto di domanda? Per determinare la base di T, osservo che il rettangolo di partenza, composto da S e T, ha lo stesso perimetro del Quadrato. Tale perimetro è 4 l (perimetro di un quadrato di lato l). Quindi 4 l = perimetro del rettangolo di partenza = altezza del rettangolo + altezza del rettangolo + base del rettangolo + base del rettangolo = l a + l a + l +? + l +? Nella somma abbiamo già 4 volte l quindi devo imporre che? valga a, così ho a a + a + a = 0 Concludiamo allora che?, cioè la base di T, deve valere a. Allora area T = (l a) a. RUBRICA Quindi abbiamo trovato che: area R = l a area T = (l a) a Ricordiamo che dobbiamo provare che area R > area T. Allora... L area di R è maggiore dell area di T perché alla base di R non tolgo niente mentre alla base di T togliamo a, ossia nei due prodotti l a e (l a) a uno dei due fattori è lo stesso (cioè a) mentre per gli altri due si osserva che l > l a. Si conclude quindi che l area del quadrato è maggiore dell area del rettangolo a esso isoperimetrico. Quarta sessione «Confrontiamo». La proposta si conclude con una scheda di ripensamento con domande mirate a far riflettere sulla difficoltà e utilità di ogni tappa, con particolare riferimento alle diverse modalità di lavoro. Di seguito la consegna dell ultima scheda. Ripercorrendo le schede fatte sui rettangoli isoperimetrici, puoi osservare che abbiamo lavorato sul problema dei rettangoli isoperimetrici seguendo approcci diversi: disegnando rettangoli su carta, ritagliando rettangoli di cartoncino, disegnando due figure sovrapposte, usando le lettere. Che cosa puoi dire di questi diversi approcci? Ti hanno permesso di capire le stesse cose? Sono stati ugualmente facili da seguire? La durata media dell attività proposta è variabile e dipende molto dalle osservazioni che scaturiscono in sede di discussione (tempo minimo 6/7 ore). Per esempio, durante la realizzazione in una classe, alla richiesta di disegnare rettangoli diversi da quelli dei compagni l attività ha deviato in un lavoro di approfondimento aritmetico esplorando i casi di misure non intere dei lati. 103
RUBRICA La proposta, ad alto contenuto argomentativo, utilizza diversi registri di lavoro e si inserisce in un ampio percorso di avvio alla dimostrazione. Il lavoro con i cartoncini rende l attività coinvolgente e stimolante per tutti gli alunni e si inserisce in un percorso più ampio nel quale gli oggetti geometrici sono costruiti e manipolati dagli studenti per arrivare a riconoscere e assimilare le loro proprietà e caratteristiche. Monica Testera Insegnante di Matematica e Scienze presso la scuola secondaria di I grado dell Istituto Comprensivo di Carcare (Sv) monica.testera@istruzione.it Bibliografia Morselli, F., Panucci, E. (2013). Spiega come, spiega perché un percorso tra aritmetica e geometria nella scuola secondaria di I grado. In O. Robutti, M. Mosca (a cura di), I Docenti di matematica e fisica di fronte ai mutamenti della scuola: concetti, processi, valutazione. Atti del VI Convegno Nazionale di Didattica della Fisica e della Matematica DI.FI.MA. 2013, 91-98. Morselli, F., Panucci, E., Testera, M. (2015). Démarche d investigation et explication au collège. Recherches en Education, n. 21, 138-151. 104