Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Siano X 1,, X n indeterminate Un equazione lineare (o di primo grado) nelle incognite X 1,, X n a coefficienti nel campo K è della forma a 1 X 1 + + a n X n = b, a i, b K, 1 i n (01) Una soluzione di (01) è un elemento (x 1,, x n ) K n tale che sostituito al posto della n upla delle indeterminate (X 1,, X n ) dà luogo ad un identità L equazione (01) si dice omogenea se b = 0, altrimenti si dice non omogenea Se si considerano simultaneamente m 1 equazioni lineari nelle incognite X 1,, X n : a 11 X 1 + a 12 X 2 + + a 1n X n = b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + + a 2n X n = b 2, (02) a m1 X 1 + a m2 X 2 + + a mn X n = b m si ottiene un sistema di m equazioni lineari nelle incognite X 1,, X n Il sistema (02) si dice omogeneo se b 1 = = b m = 0, mentre si dice non omogeneo se b i 0, per qualche i, con 1 i m Una soluzione di (02) è una n upla (x 1,, x n ) K n tale che essa è soluzione simultanea delle m equazioni lineari di (02) Il sistema (02) si dice compatibile se ammette soluzioni, altrimenti si dice non compatibile Si noti che ogni sistema omogeneo è compatibile, in quanto ammette sempre come soluzione il vettore nullo di K n Tale soluzione è detta soluzione banale Una soluzione diversa dal vettore nullo si dice soluzione non banale Il sistema a 11 X 1 + a 12 X 2 + + a 1n X n = 0 a 21 X 1 + a 22 X 2 + + a 2n X n = 0 si dice sistema omogeneo associato a (02) a m1 X 1 + a m2 X 2 + + a mn X n = 0, (03) Proposizione 01 Se il sistema (02) è compatibile, allora le sue soluzioni sono tutte e sole le n uple ottenute sommando ad una di esse le soluzioni del sistema omogeneo associato Proof Si denotino con Σ e Σ 0 i sottoinsiemi di K n le cui n uple sono rispettivamente le soluzioni del sistema (02) e del sistema omogeneo associato Se (x 1,, x n ) Σ e (y 1,, y n ) Σ 0, allora (x 1,, x n ) + (y 1,, y n ) = (x 1 + y 1,, x n + y n ) Σ, infatti a j1 (x 1 +y 1 )+a j2 (x 2 +y 2 )+ +a jn (x n +y n ) = a j1 x 1 +a j2 x 2 + +a jn x n +a j1 y 1 +a j2 y 2 + + a jn y n = b j + 0 = b j, 1 j m Viceversa, se (x 1,, x n ) Σ, presa comunque (z 1,, z n ) Σ, si ha (z 1 x 1, z 2 x 2,, z n x n ) Σ 0 Infatti a j1 (z 1 x 1 )+a j2 (z 2 x 2 )+ + a jn (z n x n ) = a j1 z 1 + a j2 z 2 + + a jn z n (a j1 x 1 + a j2 x 2 + + a jn x n ) = b j b j = 0, 1 j m Poichè (z 1,, z n ) = (x 1,, x n ) + (z 1 x 1,, z n x n ), segue l asserto 1

Al sistema (02) è possibile associare la matrice formata dai coefficienti del sistema: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn A è detta matrice associata al sistema (02) o matrice dei coefficienti del sistema (02) o matrice incompleta del sistema (02) Aggiungendo ad A come (n + 1) esima colonna la b 1 b 2 colonna dei termini noti b = si ottiene b m a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 Ā = a n1 a n2 a nn b m che è detta matrice completa del sistema (02) Ponendo X = sistema (02) si può esprimere in forma matriciale: AX = b X 1 X 2 X m, si ha che il Due sistemi di equazioni lineari nelle incognite X 1,, X n si dicono equivalenti se possiedono le stesse soluzioni (Si noti che due sistemi equivalenti non necessariamente hanno lo stesso numero di equazioni) Un sistema di equazioni lineari nelle incognite X 1,, X n si dice a gradini se la matrice associata al sistema è a gradini ed è priva di righe nulle Proposizione 02 Un sistema a gradini è sempre compatibile In particolare esso ammette un unica soluzione oppure n m soluzioni a seconda che n = m oppure m < n Proof Si noti che per un sistema a gradini si ha m n Se m = n, allora il sistema sarà del tipo a 11 X 1 + a 12 X 2 + + a 1n X n = b 1 a 22 X 2 + + a 2n X n = b 2 a nn X n = b n Allora dall ultima equazione si ha x n = a 1 nnb n e procedendo con le sostituzioni a ritroso si ottiene un unica soluzione (x 1,, x n ) K n Pertanto un sistema di equazioni lineari 2

a gradini di n equazioni in n incognite è compatibile e possiede un unica soluzione Se m < n, sia a ij il pivot della i esima riga della matrice A associata al sistema Si noti che se a ij è il pivot della i esima riga e a kh è il pivot della k esima riga, con i < k, allora j < h Possiamo supporre che X 1,, X m siano le incognite del sistema aventi come coefficienti i pivot della matrice A Allora il sistema considerato è equivalente al seguente: a 11 X 1 + a 12 X 2 + + a 1n X m = b 1 (a 1m+1 X m+1 + + a 1n X n ) a 22 X 2 + + a 2m X m = b 2 (a 2m+1 X m+1 + + a 2n X n ) a mm X m = b m (a mm+1 X m+1 + + a mn X n ) (04) Attribuendo valori arbitrari t m+1,, t n K alle incognite X m+1,, X n si ottiene un sistema a gradini di m equazioni nelle m incognite X 1,, X m, il quale ha un unica soluzione Pertanto il sistema (04) ammette le infinite soluzioni al variare dei parametri t m+1,, t n K Pertanto un sistema di equazioni lineari a gradini di m equazioni in n incognite è compatibile e possiede n m soluzioni Osservazione 03 Un equazione lineare a 1 X 1 + + a n X n = b, con (a 1,, a n ) (0,, 0), si può considerare come un sistema a gradini, pertanto essa possiede n 1 soluzioni Metodo di eliminazione di Gauss Jordan Il metodo di eliminazione di Gauss Jordan consente di stabilire se un sistema è compatibile ed in caso affermativo di trovarne le soluzioni Esso consiste nel sostituire il sistema assegnato con un sistema a gradini ad esso equivalente mediante passaggi successivi detti operazioni elementari sulle equazioni del sistema, che corrispondono ad altrettante operazioni elementari di riga sulle righe della matrice completa del sistema Le corrispondenti operazioni elementari sulle equazioni del sistema sono: Proposizione 04 Le soluzioni di un sistema non cambiano se esso viene sottoposto ad una qualunque selle seguenti operazioni, dette operazioni elementari sulle equazioni: i) scambio di due equazioni, ii) moltiplicazione di entrambi i membri di un equazione per uno scalare non nullo, iii) addizione di un multiplo di una equazione ad un altra equazione Se si effettua su un sistema un operazione elementare di tipo i), il nuovo sistema che si ottiene è equivalente al precedente in quanto le soluzioni di un sistema non dipendono dall ordine in cui si considerano le sue equazioni Analogamente, se si effettua un operazione di tipo ii), le soluzioni non cambiano in quanto equazioni proporzionali hanno le stesse soluzioni 3

Infine se si effettua una operazione di tipo iii), allora anche in tal caso si ottengono sistemi equivalenti Infatti la n upla (x 1,, x n ) K n soddisfa due equazioni a i1 X 1 + + a in X n = b i, a j1 X 1 + + a jn X n = b j, se e solo se è soluzione delle equazioni a i1 X 1 + + a in X n = b i, c(a i1 X 1 + + a in X n ) + (a j1 X 1 + + a jn X n ) = cb i + b j, per ogni scalare c K Esempi 05 Sia K = R 1 X 1 + 2X 2 + 3X 3 = 1 1 2 3 1 2X 1 + X 2 + 4X 3 = 2, Ā = 2 1 4 2 3X 1 3X 2 + X 3 = 1 3 3 1 1 R 2 1 2 3 1 = R 2 2R 1 R 3 0 3 2 0 = R 3 3R 1 0 9 8 2 1 2 3 1 R 3 = R 3 3R 2 0 3 2 0 0 0 2 2 X 1 + 2X 2 + 3X 3 = 1 3X 2 2X 3 = 0 2X 3 = 2 pertanto l unica soluzione del sistema è ( 2, 2, 1) R 3 3 3 2 X 3 + 2X 4 = 3 0 0 1 2 3 2X 1 + 4X 2 2X 3 = 4, Ā = 2 4 2 0 4 2X 1 + 4X 2 X 3 + 2X 4 = 7 2 4 1 2 7 2 4 1 2 7 R 3 = R 1 2 4 2 0 4 0 0 1 2 3 2 4 1 2 7 R 2 = R 2 R 1 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 2 4 1 2 7 R 3 = R 3 + R 2 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 2X 1 + 4X 2 X 3 + 2X 4 = 7 X 3 2X 4 = 3 0 = 0,, X 4 = u, X 2 = t, X 3 = 3 2u, X 1 = 5 2u 2t, 4

pertanto il sistema ammette le 2 soluzioni: (5 2u 2t, t, 3 2u, u) R 4, t, u R 3 X 1 + X 2 + 2X 3 + X 4 = 0 1 1 2 1 0 X 1 + X 2 + X 3 + 2X 4 X 5 = 0, Ā = 1 1 1 2 1 X 1 + X 2 + 3X 4 2X 5 = 0 1 1 0 3 2 X 1 + X 2 + 3X 3 + X 5 = 0 1 1 3 0 1 { X1 + X 2 + 2X 3 + X 4 = 0 X 3 + X 4 X 5 = 0 R 2 = R 2 R 1 R 3 = R 3 R 1 R 4 = R 4 R 1 R 3 = R 3 2R 2 R 4 = R 4 R 2 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0, X 4 = u, X 5 = v, X 2 = t, X 3 = u v, X 1 = t 3u + 2v, pertanto il sistema ammette le 3 soluzioni: ( t 3u + 2v, t, u v, u, v) R 5, t, u, v R 4 X 1 5X 2 8X 3 + X 4 = 3 3X 1 + X 2 3X 3 5X 4 = 1, Ā = 3 1 3 5 1 X 1 7X 3 + 2X 4 = 5 1 0 7 2 5 11X 2 + 20X 3 9X 4 = 2 0 11 20 9 2 R 2 = R 2 3R 1 R 3 = R 3 R 1 R 3 = R 3 R 2 R 4 = R 4 + R 3 pertanto il sistema non ammette soluzioni 0 16 21 8 8 0 5 1 1 8 0 11 20 9 2 0 16 21 8 8 0 11 20 9 0 0 11 20 9 2 0 16 21 8 8 0 11 20 9 0 0 0 0 0 2 X 1 5X 2 8X 3 + X 4 = 3 16X 2 + 21X 3 8X 4 = 8 11X 2 20X 3 + 9X 4 = 0 0 = 2, 5

Teorema 06 (Teorema di Rouchè Capelli) Un sistema di m equazioni in n incognite AX = b, dove A M m,n (K), b M m,1 (K), X = (X 1,, X n ) t, è compatibile se e solo se rg(a) = rg(a b) In tal caso il sistema possiede n r, dove r = rg(a) Proof Sia A = (a ij ) Allora la n upla (x 1,, x n ) K n è soluzione di AX = b se e solo se a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 x 1 a m1 + x 2 a m2 + + x n a mn = Pertanto il vettore colonna b è combinazione lineare dei vettori colonna di A Questa ultima condizione è equivalente a rg(a b) = rg(a) Se il sistema è compatibile e r = rg(a), allora possiamo supporre che le prime r righe di A siano linearmente indipendenti ed applicando Gauss Jordan è possibile trasformarlo in un sistema a gradini con r equazioni Allora, dal Teorema 02, esso ammetterà n r soluzioni Teorema 07 (Teorema di Cramer) Un sistema di n equazioni in n incognite AX = b, dove A GL n (K), b M m,1 (K), X = (X 1,, X n ) t, è compatibile ed ammette l unica soluzione (x 1,, x n ) K n, dove b m x i = n k=1 b ka ki, 1 i n det(a) 6