Elementi di Geometria Lezione 03
I triangoli I triangoli sono i poligoni con tre lati e tre angoli. Nelle rappresentazioni grafiche (Figura 32) i vertici di un triangolo sono normalmente contrassegnati da tre lettere maiuscole A,, per cui i tre lati sono contraddistinti da A, A, ed i tre angoli con A, A, e A o anche con a, b, g. Ogni vertice si dice opposto al lato a cui il vertice non appartiene, A è opposto a, è opposto a A, è opposto a A. Lo stesso si dice anche degli angoli che si trovano in quel vertice. In uno stesso triangolo esiste una corrispondenza fra gli angoli e i lati opposti ad essi. Più precisamente se due lati di un triangolo sono uguali anche gli angoli ad essi opposti sono uguali, se sono diversi a lato maggiore si oppone angolo maggiore, al lato minore si oppone l angolo minore. Elementi dei triangoli Oltre ai lati ed agli angoli in un triangolo si definiscono altri elementi evidenziati nella Figura 33. Essi sono le altezze, le mediane e le bisettrici. Non a caso questi nomi sono al plurale perché in ogni triangolo di ognuno di questi elementi ce ne sono tre. Si definisce altezza di un triangolo il segmento perpendicolare da un vertice al lato opposto. Poiché in ogni triangolo ci sono tre vertici si hanno anche tre altezze indicate nella figura con AH 1, H 2, H 3. Si può dimostrare, ma noi ci limiteremo ad affermarlo, che le tre altezze passano tutte per uno stesso punto O interno al triangolo che si chiama ortocentro. Il segmento che unisce un vertice con il punto medio del lato opposto si chiama mediana e anche in questo caso in ogni triangolo ci sono tre mediane, indicate in figura con AM 1, M 2, M 3. Esse sono generalmente diverse dalle altezze, tranne in qualche caso che vedremo in seguito. Anche le tre mediane si incontrano in un unico punto G interno al triangolo che si chiama baricentro. Già sappiamo che la bisettrice di un angolo è una semiretta con origine nel vertice che divide l angolo in due parti uguali. iascuno dei tre angoli del triangolo ha dunque una
bisettrice, indicate in figura con le lettere b 1, b 2 b 3, e anch esse si incontrano in un unico punto I che prende il nome di incentro. Anche le bisettrici sono generalmente diverse dalle altezze e dalle mediane. lassificazione secondo i lati A seconda delle relazioni fra i suoi lati un triangolo può essere (Figura 34): equilatero se ha tutti e tre i lati uguali isoscele se ha due lati uguali scaleno se ha tutti i lati disuguali A seconda del tipo un triangolo gode di alcune proprietà, come riassunto in Figura 35: Un triangolo equilatero, oltre ai lati, ha uguali fra loro anche gli angoli. Inoltre sono uguali e coincidono le altezze, le mediane e i segmenti di bisettrice interni al triangolo e, pertanto, anche l ortocentro, il baricentro e l incentro coincidono. Un triangolo isoscele, oltre a due lati, ha uguali fra loro i due angoli opposti a tali lati. Inoltre l altezza, la mediana e la bisettrice che partono dal vertice comune ai due lati uguali coincidono, ma le altre relative agli altri vertici sono diverse e i loro punti di incontro non coincidono. Il triangolo scaleno non presenta alcuna peculiarità. lassificazione secondo gli angoli A seconda del tipo di angoli un triangolo può essere (Figura 36): acutangolo, quando tutti i suoi angoli sono acuti ottusangolo, quando uno dei suoi angoli è ottuso rettangolo, quando uno dei suoi angoli è retto
In particolare nel triangolo rettangolo i lati assumono una denominazione particolare e, più precisamente, i due lati che formano l angolo retto si chiamano cateti e il lato opposto all angolo retto si chiama ipotenusa. Da come abbiamo esposto questa classificazione si deduce che in un triangolo non ci possono essere due angoli ottusi o due angoli retti. Infatti, come dimostreremo subito, la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a 180 e due angoli ottusi hanno già da soli una somma superiore a 180, mentre due angoli retti hanno una somma proprio uguale a 180 per cui in entrambi i casi il terzo angolo non potrebbe esistere. Per dimostrare che la somma degli angoli interni di un triangolo è uguale 180 facciamo riferimento alla Figura 37. Sia A un triangolo qualsiasi di cui indichiamo con a l angolo nel vertice A, con b l angolo nel vertice e con g l angolo con vertice in. Portiamo una retta r parallela al lato passante per il punto A e notiamo che le due rette parallele (r e la retta su cui giace il lato ) sono tagliate da due trasversali di cui una è il lato A e l altra il lato A del triangolo. I due angoli in A consecutivi a a, cioè i due angoli b e g sono rispettivamente alterni interni di b e di g e quindi sono uguali ad essi. Perciò la somma degli angoli interni del triangolo è uguale alla somma dei tre angoli consecutivi a, b e g situati nel vertice A, la cui somma è 180 perché il primo e l ultimo lato dei tre angoli consecutivi giacciono sulla stessa retta r. Relazioni fra i lati Un importante relazione che lega i lati di un triangolo è che un lato è sempre minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Per dimostrare questo teorema, dobbiamo ricordare alcune nozioni già viste in precedenza e cioè: come si effettua la somma e la differenza di due segmenti che in un triangolo ad angolo maggiore si oppone lato maggiore
che in un triangolo isoscele gli angoli opposti ai lati uguali sono uguali on riferimento quindi alla Figura 38, sia A un triangolo qualsiasi. Dimostriamo, per primo, che uno dei suoi lati 13, per esempio A, è minore di A+. Portiamo sul prolungamento di A un segmento uguale. Il segmento A è dunque uguale alla somma di A+. Dimostreremo quindi che A è minore di A. ongiungiamo con e notiamo che il triangolo, per come è stato costruito, ha i lati e uguali, quindi è un triangolo isoscele in cui gli angoli a adiacenti ai lati uguali sono uguali. Inoltre, il lato è esterno al triangolo A perché congiunge il vertice con un punto esterno al triangolo, per cui l angolo a nel vertice (e quindi anche quello nel vertice ) è minore di b+a. Poiché nel triangolo A all angolo a nel vertice si oppone il lato A mentre all angolo a+b nel vertice si oppone il lato A e all angolo minore si oppone lato minore, deve essere A minore di A, ossia minore di A+, come volevasi dimostrare. Questo teorema è un esempio di una dimostrazione razionale di un fatto che sembra ovvio. Infatti è nel subconscio di tutti che, dovendosi spostare da un punto A ad un punto, la via più breve è quella diretta A e nessuno si sognerebbe di seguire il percorso A e poi, ma se si dovesse spiegare perché bisognerebbe ricorrere alla razionalità della geometria per farlo. 13 Per maggiore validità della dimostrazione scegliamo il lato maggiore.
A a Vertici: A Lati: Angoli: A A Â Aˆ ĈA opposto a A g b A opposto a A opposto a A lato maggiore si oppone angolo maggiore A lati uguali si oppongono angoli uguali Figura 32 Triangolo A A A M 3 H 2 G O H 3 M 2 b 2 b 3 I H 1 M 1 b 1 O = Ortocentro G = aricentro I = Incentro Figura 33 Altezze Mediane isettrici
A A A Equilatero Isoscele Scaleno A = = A A = A A A Figura 34 lassificazione secondo i lati Equilateri Tutti i lati uguali Tutti gli angoli uguali Altezze mediane e bisettrici uguali Altezze mediane e bisettrici coincidenti Isosceli Due lati uguali Due angoli uguali Un altezza coincidente con mediana e bisettrice Scaleni Tutti i lati diversi Tutti gli angoli diversi Altezze, mediane, bisettrici diverse, non coincidenti Figura 35 Proprietà dei triangoli
A A A ateto ateto Tutti gli angoli acuti Un angolo ottuso Un angolo retto Acutangolo Ottusangolo Triangolo Rettangolo Figura 36 lassificazione secondo gli angoli r // A r A trasversale g a b b=b b alterni interni A trasversale g b g=g alterni interni a+b+g=a+b +g b a+b +g =180 Figura 37 Somma degli angoli interni
= A =A+ a A<A isoscele a=a A b a esterno a<a+b A opposto a a+b A opposto a a A<A A<A+ Figura 38 Relazione fra i lati A < A +