SOFTWARE PER TOMOGRAFIA ACUSTICA 2D DI ELEMENTI STRUTTURALI

SOFTWARE PER TOMOGRAFIA ACUSTICA 2D DI ELEMENTI STRUTTURALI M. Camplani +, B. Cannas +, S. Carcangiu +, G. Concu*, A. Fanni +, A. Montisci + *2C Technologies s.r.l., Spin-off Accademico, Dip. Ing. Strutturale, Università degli Studi di Cagliari, Piazza d Armi, 09123, Cagliari, tel. 0706755415, fax. 0706755418, gconcu@unica.it +Dip. Ing. Elettrica ed Elettronica, Università degli Studi di Cagliari, Piazza d Armi, 09123, Cagliari, tel. 0706755889, fax. 0706755900, massimo.camplani@diee.unica.it, cannas@diee.unica.it, s.carcangiu@diee.unica.it, fanni@diee.unica.it, amontisci@diee.unica.it SOMMARIO Il presente lavoro illustra i principi e le modalità di funzionamento del software TomoTool, strumento per la tomografia acustica 2D di elementi strutturali. Il software è il risultato di una ricerca effettuata dalla società 2C Technologies s.r.l e dal Dipartimento di Ingegneria Elettrica ed Elettronica dell Università di Cagliari, su mandato della società BOVIAR s.r.l., attuale proprietaria del software stesso. TomoTool gestisce ed elabora i dati acquisiti utilizzando un qualsiasi dispositivo per prove soniche e ultrasoniche, realizzando la tomografia delle velocità di propagazione dei segnali sonici/ultrasonici. Attraverso una procedura user-friendly, che guida l utente a partire dalle fasi di disposizione dei trasmettitori e ricevitori per l esecuzione delle misure, il software fornisce come risultato finale una mappa contenente la distribuzione delle velocità di propagazione dei segnali nella sezione oggetto di indagine, di immediata interpretazione. Il problema tomografico viene risolto applicando diversi algoritmi, selezionati tra quelli più robusti per la risoluzione di problemi inversi mal condizionati. Il software ottimizza il modello di inversione dei dati, restituendo accurati modelli di velocità sonica/ultrasonica, e rilevandone i gradienti nella sezione tomografica analizzata. L adozione di differenti algoritmi di inversione consente un analisi di sensitività che aiuta l utente nell interpretazione della soluzione e nella valutazione della presenza di difetti. Keywords: metodo ultrasonico, tomografia, software/ ultrasonic technique, tomography, software.

Introduzione La tutela dei manufatti appartenenti al patrimonio edilizio presuppone una serie di indagini per acquisire dati sugli aspetti costitutivi dell'opera, sullo stato di conservazione e sugli eventuali processi di alterazione e degrado. Tale raccolta di informazioni deve essere effettuata in maniera sistematica in modo da consentire una diagnosi accurata dei danni che si sono creati e dei meccanismi che provocano il deperimento delle opere, al fine di intervenire con i rimedi più efficaci ed appropriati al caso. Quanto più la diagnosi si basa su dati certi e ricerche approfondite, tanto più è possibile attuare misure preventive e limitare le azioni sulla struttura muraria. L'attuale tendenza è senza dubbio quella di impiegare il massimo dello sforzo nella prevenzione, il che implica la capacità di monitorare l'eventuale degrado. Inoltre, poiché prolungato nel tempo, tale monitoraggio deve prevedere l'impiego di tecniche il più possibile non invasive. I fattori precedentemente illustrati favoriscono lo sviluppo di nuove tecniche non distruttive di controllo e di indagine diagnostica, volte a ottenere un numero sempre più elevato di informazioni sullo stato delle strutture e, in via mediata, uno strumento più preciso per un eventuale corretto progetto di restauro. Metodi non distruttivi efficaci ai fini sopra indicati includono le tecniche soniche e ultrasoniche, basate sullo studio dei fenomeni legati alla propagazione di vibrazioni elastiche nel materiale in esame [1, 2]. Tali tecniche sono frequentemente impiegate in virtù delle modalità rapide ed efficaci con cui consentono la formulazione di un giudizio qualitativo sulla struttura esaminata. Le misure soniche e ultrasoniche forniscono infatti informazioni strettamente relazionabili ai parametri elastici e fisico-meccanici della struttura, cruciali per le indagini di stabilità e per la valutazione della durabilità dell'opera. I principali vantaggi associati ai metodi sonici e ultrasonici sono da identificarsi nella rapidità dell'acquisizione e nell'apprezzabile profondità di penetrazione d'indagine, grazie alla possibilità di impiegare segnali con frequenze appartenenti ad un intervallo piuttosto ampio. Essi si rivelano quindi interessanti nell'ambito di analisi su manufatti realizzati in materiali eterogenei, quali gli elementi in calcestruzzo, caratterizzati da una forte attenuazione, ma anche su opere murarie lapidee, quali gli elementi portanti di antica fattura, caratterizzati da un elevato spessore. Le misure soniche e ultrasoniche sono generalmente condotte impiegando il metodo di trasmissione diretta, basato sulla propagazione di onde di compressione di frequenza appropriata attraverso la struttura in esame. Il parametro generalmente misurato è la velocità di propagazione delle onde, calcolata su una media di stime locali di velocità derivante dall acquisizione del tempo di transito del segnale lungo il percorso. Tale metodo di prova, di rapida acquisizione ed elaborazione, rende tuttavia impossibile discriminare un alterazione estesa lungo il percorso sorgente ricevitore da una anomalia confinata solo in una parte di esso, in quanto il comportamento dell elemento nello spessore viene descritto, per ogni traiettoria congiungente sorgente e ricevitore, mediante un unico valore di velocità. Ciò non permette l identificazione di tutte le disomogeneità, e consente una valutazione solo approssimativa delle condizioni interne della struttura (in muratura, calcestruzzo, o altri materiali) e una grossolana localizzazione di cavità interne e di fessure in profondità. La tomografia sonica/ultrasonica rappresenta un miglioramento della semplice tecnica di trasmissione, in quanto consente di eseguire dei test su percorsi dell'onda non perpendicolari a quelli della propagazione diretta [3-6]. Con tale tecnica è possibile, quindi, ricostruire una immagine 2D della distribuzione dei parametri analizzati nella

struttura, o in una sua sezione, in modo da poter identificare loro variazioni e correlarle a difetti, malformazioni, fessurazioni, etc. [7, 8]. La tomografia di velocità Una perturbazione elastica che si propaga tra due punti di un dato mezzo impiega un certo tempo t viaggiando con una velocità media v. Facendo tendere a zero la distanza tra i due punti è possibile definire una velocità puntuale v p ed una lentezza puntuale s = 1/v p, quest ultima definita come l inverso della velocità puntuale. Il comportamento fisico di una data sezione del mezzo può allora dirsi definito quando la lentezza s, considerata come funzione della posizione s = s(x,y) è nota per qualunque punto (x,y) appartenente alla sezione stessa. La funzione s(x,y) può essere approssimata dividendo la sezione del mezzo in N celle rettangolari in ciascuna delle quali la velocità, e quindi la lentezza, è assunta costante. Il problema tomografico consiste nella ricostruzione della distribuzione delle lentezze nelle N celle partendo dalla conoscenza di M tempi di propagazione delle onde misurati lungo una serie di percorsi congiungenti generiche coppie di punti sorgente-ricevitore distribuite sul contorno della sezione (Figura 1). A C A B C D EX lij RXi RXn B D Figura 1- Schematizzazione del problema tomografico Il raggio-percorso dell onda dipende dalla distribuzione delle velocità. Tuttavia, alla luce della elevata indeterminatezza riguardo il tragitto effettivo che l onda percorre da punto sorgente a punto ricevitore, nel software realizzato si è scelto di fare ricorso alla tomografia lineare, considerando i raggi-percorso rettilinei. Infatti, le considerazioni che usualmente si fanno nella tomografia non lineare per correggere l ipotesi di linearità dei raggi, e cioè supporre valida la legge di Snell e quindi prevedere una deviazione dei raggi ai confini delle celle a velocità media costante, possono risultare eccessivamente semplificative rispetto alla realtà fisica. Dunque, piuttosto che introdurre ulteriori errori al modello schematizzando in modo non appropriato il comportamento fisico del mezzo, si è ritenuto ingegneristicamente più corretto assumere l ipotesi di raggi-percorso rettilinei. Nella tomografia lineare i valori delle lentezze nelle N celle in cui è stata discretizzata la sezione si ottengono risolvendo il seguente sistema di equazioni: Ls = t

nel quale: t = [t 1,t 2, t M ] è il vettore dei tempi di propagazione misurati; s = [s 1,s 2, s N ] è il vettore delle lentezze; L = [l 11,l 12, l NM ] è la matrice dei coefficienti, nella quale il generico elemento l ij rappresenta la lunghezza dell i-esimo raggio-percorso all interno della j-esima cella. Dunque la soluzione al problema tomografico consiste nel calcolare il vettore delle lentezze s tale che: s = L -1 t Per evitare instabilità nell inversione della matrice L è opportuno far si che il numero di equazioni M sia abbondantemente maggiore del numero di incognite N. In genere la matrice L risulta non quadrata, mal condizionata e di rango deficitario, per cui non è possibile calcolarne direttamente l inversa. Il problema tomografico deve dunque essere risolto impiegando algoritmi di inversione adatti al trattamento di problemi inversi mal condizionati. Il software TomoTool TomoTool si configura come uno strumento software per la tomografia lineare 2D di elementi strutturali. Esso gestisce ed elabora i dati acquisiti utilizzando un qualsiasi dispositivo per prove soniche e ultrasoniche, e realizza la tomografia della velocità di propagazione dei segnali sonici/ultrasonici. Il software procede secondo i seguenti passi fondamentali: 1. definizione della sezione tomografica 2. determinazione della geometria del problema tomografico 3. risoluzione del problema tomografico 4. restituzione dei risultati. Definizione della sezione tomografica Nella fase di impostazione del problema è richiesto all utente di immettere i dati della sezione investigata, ovvero: - la forma (rettangolare o circolare) - le dimensioni (base x altezza o diametro) - l orientamento (orizzontale o verticale) - la quota dal terreno. La situazione, frequente nella pratica operativa, in cui gli elementi oggetto di indagine non siano completamente accessibili, ha condotto alla progettazione dell algoritmo risolutore in modo da poter gestire tomografie di sezioni nelle quali uno o più lati non sono accessibili, consentendo all utente la massima flessibilità di azione. A tal fine, in questa fase è richiesto all utente di indicare quali lati della sezione non siano accessibili (Figura 2). Determinazione della geometria del problema tomografico Il passo successivo alla definizione dei parametri geometrici della sezione è la suddivisione del dominio piano bidimensionale in un certo numero di celle nelle quali si ipotizza costante la velocità di propagazione dell onda. La scelta della geometria, del numero di celle, della loro dimensione e disposizione, rappresenta un problema delicato, in quanto la convergenza e il buon condizionamento del sistema lineare espressione del problema tomografico sono intimamente legati a questa

scelta, che deve essere valutata anche in funzione della numerosità delle misure che si possono o vogliono effettuare. La risoluzione della tomografia è condizionata ovviamente dalla discretizzazione della sezione: quanto più la mesh è fitta tanto più è elevata la risoluzione dell analisi, e cioè la tomografia è in grado di discriminare difetti di dimensioni più piccole. In pratica la dimensione della cella della mesh coincide con la dimensione minima del difetto apprezzabile attraverso la tomografia. È allora evidente che si sarebbe portati a realizzare discretizzazioni molto fitte in modo da aumentare la risoluzione dell analisi; tuttavia, poiché il numero di celle coincide con il numero di incognite del problema, al fine della soluzione del sistema tomografico lineare sarà necessario disporre di un numero di equazioni, e cioè di misure di tempi di transito, sufficientemente maggiore del numero di incognite. Pertanto aumentare la risoluzione dell analisi comporta necessariamente aumentare in modo non proporzionale il numero di misure da effettuare. Il software richiede all utente di inserire la risoluzione desiderata, funzione della stima del difetto atteso per la tipologia di elemento strutturale oggetto dell indagine. In funzione del valore della risoluzione e della geometria della sezione, l algoritmo risolutore calcola la diposizione delle sorgenti e dei ricevitori ottimale per conseguire la risoluzione scelta con il minor numero di misure possibile, e suggerisce tale disposizione all utente mediante la generazione di un documento guida per l esecuzione delle misure e l'acquisizione dei dati (Figura 3). Figura 2- Interfaccia grafica per la definizione della sezione tomografica

Rx 12 Ex 12 Rx 11 Ex 11 Rx 10 Ex 10 Rx 9 Ex 9 Rx 8 Ex 8 Ex 13 Rx 7 Rx 13 Ex 7 Ex 14 Rx 6 Rx 14 Ex 6 Ex 1 Rx 1 Ex 2 Rx 2 Ex 3 Rx 3 Ex 4 Rx 4 Ex 5 Rx 5 Position of the emitter tranducers Position of the receiver tranducers Figura 3- Esempio di configurazione di misura suggerita dal software Qualora la geometria della sezione sia particolarmente sfavorevole, per esempio sezioni molto allungate con accessibilità solo sui lati corti, può verificarsi il caso in cui il sistema tomografico lineare non sia risolvibile a causa dell impossibilità di disporre sorgenti e ricevitori in modo da effettuare un numero di misure superiore al numero di celle/incognite. Risoluzione del problema tomografico L inversione della matrice dei coefficienti L, ovvero la risoluzione del sistema lineare tomografico, è stata affrontata mediante l implementazione nel software TomoTool di diversi algoritmi di inversione, scelti tra i principali algoritmi utilizzati nella analisi tomografica in ambito medico e industriale, e tra i più robusti algoritmi per la risoluzione di problemi inversi mal condizionati. Nel software sono stati implementati sia algoritmi iterativi, quali ART (Algebraic Reconstruction Technique) [9] e SIRT (Simultaneous Iteration Reconstruction Technique) [10], sia algoritmi non iterativi quali SVD (Singular Value Decomposition) e SVDT (Truncated SVD). Gl algoritmi iterativi partono da una soluzione iniziale per la lentezza e la modificano iterativamente minimizzando la differenza tra i tempi di transito misurati e quelli calcolati nella precedente iterazione. Il problema tomografico è un problema particolarmente complesso dal punto di vista matematico. L inversione del sistema tomografico relativo ai segnali acquisiti su strutture reali presenta un grado di complessità ancora maggiore per via dei fattori aleatori (operatore, accoppiamento acustico trasduttori-materiale, in generale rumore) legati all esecuzione delle misure. Per questi motivi il software effettua una comparazione della performance dei quattro algoritmi implementati mediante il calcolo del residuo: R = t L ŝ / t in cui ŝ è la distribuzione delle lentezze calcolata dall algoritmo, evidenziando per l utente la soluzione fornita dall algoritmo con l errore minore.

Restituzione dei risultati Il software restituisce la distribuzione della velocità nella sezione tomografica analizzata calcolata mediante gli algoritmi risolutivi implementati. Il risultato è fornito anche in forma grafica come mappa di velocità ricostruita nelle due dimensioni, nella quale i gradienti di velocità sono associati a fasce di colore, al fine di evidenziare in modo ottimale le anomalie presenti nell oggetto e facilitare l interpretazione da parte dell utente. Esempio Si riporta a titolo d esempio l applicazione dell analisi tomografica con TomoTool su una struttura campione realizzata in laboratorio. La struttura ha dimensioni 90x62x38cm, ed è costituita di blocchi di trachite di dimensioni 20x38x12cm (Figura 4a). In posizione centrale è presente un vuoto dovuto all assenza del relativo blocco di trachite. Tale vuoto è assunto come difetto da identificare, per tanto la tomografia è stata effettuata su una sezione trasversale orizzontale intercettante l anomalia (Figura 4b). La Figura 5 mostra le mappe di velocità ottenute mediante i quattro algoritmi implementati. EMITTER TRANSDUCER RECEIVER TRANSDUCERS Figura 4- a) Vista frontale della struttura campione. b) Sezione tomografica Width Thickness 3100m/s 3000m/s 2900m/s 2800m/s 2700m/s 2600m/s 2500m/s 2400m/s 2300m/s 2200m/s 2100m/s 2000m/s 1900m/s 1800m/s 1700m/s 1600m/s Width Thickness 3400m/s 3300m/s 3200m/s 3100m/s 3000m/s 2900m/s 2800m/s 2700m/s 2600m/s 2500m/s 2400m/s 2300m/s 2200m/s 2100m/s 2000m/s 1900m/s 1800m/s 1700m/s 1600m/s Thickness 3800m/s 3600m/s 3400m/s 3200m/s 3000m/s 2800m/s 2600m/s 2400m/s 2200m/s 2000m/s 1800m/s 1600m/s Width 1400m/s Width 1200m/s Figura 5- Mappe tomografiche. Da sinistra alto a destra basso: SVD, SVDT, ART, SIRT Thickness 3200m/s 3100m/s 3000m/s 2900m/s 2800m/s 2700m/s 2600m/s 2500m/s 2400m/s 2300m/s 2200m/s 2100m/s 2000m/s 1900m/s 1800m/s 1700m/s 1600m/s

Come si evince dalla stessa Figura 5, tutti gli algoritmi identificano il vuoto. L analisi del residuo ha consentito di definire quale mappa fornisca il risultato con l errore minore. Conclusioni Nel presente lavoro si sono illustrate le principali caratteristiche del software TomoTool, basato sulla tecnica tomografica, per la diagnostica non distruttiva di strutture murarie. Il software elabora i dati acquisiti mediante prove non distruttive di tipo sonico/ultrasonico, effettuando l inversione tomografica dei tempi di propagazione delle onde elastiche soniche/ultrasoniche che attraversano la struttura da analizzare. I dati elaborati dal software vengono restituiti sotto forma di mappa colorata isoparametrica, che consente all utente l immediata interpretazione delle informazioni e l identificazione della posizione e delle dimensioni di eventuali anomalie, difetti e discontinuità presenti all interno della struttura studiata. La stima di difetti è possibile poiché le onde soniche/ultrasoniche mal si propagano all'interno di "bolle" d'aria dovute a fessurazioni, cavità, assenza di malta tra i mattoni, etc. Il nucleo fondamentale dell analisi effettuata dal software sui dati sonici/ultrasonici consiste nella risoluzione del problema tomografico, ovvero nella ricostruzione della distribuzione di lentezze/velocità nella sezione tomografica a partire dall acquisizione dei tempi di transito delle onde effettuata mediante trasduttori posizionati esclusivamente sul contorno della sezione. Il problema tomografico viene affrontato e risolto nel software TomoTool mediante l implementazione di diversi algoritmi di inversione, sia iterativi (ART, SIRT) sia non iterativi (SVD, SVDT), scelti tra gli algoritmi più robusti per il trattamento di problemi inversi mal posti. Poiché l inversione del sistema tomografico relativo a segnali acquisiti su strutture reali presenta un grado di complessità ancora maggiore per via dei fattori aleatori (operatore, accoppiamento acustico trasduttorimateriale, in generale rumore) legati all esecuzione delle misure, il software effettua una valutazione ed una comparazione della performance dei quattro algoritmi implementati, evidenziando per l utente la soluzione fornita dall algoritmo maggiormente efficace. Particolare attenzione è dedicata alla scelta della geometria delle traiettorie: il software TomoTool guida l utente nella gestione della fase di esecuzione delle misure, progettando e suggerendo la disposizione delle sorgenti e dei ricevitori in modo tale da garantire la copertura ottimale della sezione tomografica, e cioè la risolvibilità del sistema lineare tomografico con il minore numero possibile di misure. Ringraziamenti Gli autori desiderano ringraziare la società BOVIAR s.r.l., finanziatrice della ricerca e attuale proprietaria del software TomoTool. Bibliografia 1. F. Cianfrone - Indagini Microsismiche ed Ultrasoniche, Atti del Seminario sul tema: Sperimentazione su Strutture; Attualità e Affidabilità delle Metodologie di Indagine, Venezia, 1993 2. G. Concu - Indagine sonica e ultrasonica: evoluzione nel tempo e sviluppi futuri Convegno Nazionale su Sperimentazione su Materiali e Strutture, Venezia, 2006 3. A.C. Kak, M. Slaney - Principles of Computerized Tomographic Imaging, IEEE, Inc., New York: IEEE Press, 1988

4. G.T. Herman - Image Reconstruction from Projections: The fundamentals of Computerized Tomography, Academic Publishers, New York, 1980 5. J.G. Berryman - Non linear inversion and tomography Lecture notes, Earth Resource Laboratory, MIT, 1991 6. S. Ivansson - Seismic Borehole Tomography Theory and Computational Methods, Proc. IEEE, 74, 328-338, 1986 7. M. Camplani, B. Cannas, S. Carcangiu, G. Concu, A. Fanni, A. Montisci, M.L. Mulas - Acoustic Tomography for non destructive testing of stone masonry, ICCSA 2008, Part II, LNCS 5073, 596-605, 2008 8. B. Cannas, S. Carcangiu, G. Concu, M. Di Mauro, A. Fanni, A. Montisci, M.L. Mulas - A comparison of tomographic reconstruction algorithms for acoustic non destructive testing of stone masonry, 1 st International Symposium on Life-Cycle Civil Engineering, Varenna, 2008 9. R. Gordon - A tutorial on ART, IEEE Trans. Nuclear Science, NS-21, 78-93, 1974 10. D.P. Jansen, D.A. Hutchins, P.J. Ungar, R.P. Young - Acoustic tomography in solids using a bent ray SIRT algorithm, Nondestructive Testing and Evaluation, 6, 131-148, 1991