DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame 11-07 - 2014 g A l h M, J O d B M B, J B moto definita ai punti precedenti. C m Esercizio 1. Il sistema in figura, posto nel piano verticale, è costituito da un corpo di massa M e inerzia baricentrica J, il cui baricentro è incernierato al telaio in O. Nel corpo è ricavata una guida nella quale scorre un corsoio di massa M B e inerzia baricentrica J B. Il corsoio è incernierato nel suo baricentro B ad un asta di lunghezza l e massa trascurabile, il cui altro estremo A è incernierato al telaio a distanza h da O h < l. Si determini: 1.a: la velocità relativa tra corsoio e guida nota la rotazione e la velocità angolare costante della guida, nella condizione in cui l asse della guida sia allineato con l orizzontale; 1.b: la coppia motrice necessaria a mantenere il moto della guida a velocità angolare costante Ω, nella configurazione del punto precedente; 1.c: le reazioni scaricate sul telaio in O nella condizione di Esercizio 2. Un motore di inerzia J m, che fornisce una coppia motrice C m = A Bω m, muove, attraverso un riduttore T con rapporto di trasmissione τ e rendimento η, un elica di inerzia J u, che oppone una coppia resistente C u = C ω u ω u. 2.a: si calcoli la velocità angolare di regime, noti A, B e C tutti positivi; 2.b: si studi la stabilità della soluzione al punto 2.a; 2.c: si calcoli il momento torcente a monte e a valle della trasmissione, e la reazione vincolare scaricata complessivamente sui supporti dalla trasmissione. C u ω u T ω m C m m 2 m 1 Esercizio 3. Il sistema rappresentato in figura è posto nel piano verticale ed è costituito da un corpo di massa M vincolato a scorrere su di una guida orizzontale, collegato ad un telaio R Ω 2R M fisso tramite un giunto viscoelastico di rigidezza e coefficiente c di smorzamento c. Sul corpo si trovano due dischi le cui masse m 1 e m 2 possono essere pensate concentrate a distanza R e 2R dai rispettivi centri. Il disco più grande è posto in rotazione a velocità costante Ω. I due dischi sono in contatto perfetto, senza strisciamento relativo. 3.a: si scriva l equazione di moto della massa M; 3.b: si scriva l espressione della risposta a regime del sistema al forzamento indotto dalle due masse eccentriche; 3.c: si immagini di volere contenere l ampiezza del moto della massa M in risposta alla forzante dovuta alla massa m 2 con un assorbitore dinamico di massa m a = M/10. Si dimensioni la rigidezza a dell elemento elastico di collegamento fra l assorbitore e la massa M. Nel calcolo, si trascuri lo smorzamento c. N.B.: si definisca e si commenti opportunamente qualsivoglia dato ritenuto mancante.
DINAMICA DI SISTEMI AEROSPAZIALI Tema d esame 11 luglio 2014 - traccia di soluzione Esercizio 1 1.a Moto del corsoio Si fissi un sistema di riferimento con origine in O, con asse reale R rivolto verso destra ed asse immaginario I rivolto verso l alto. Rispetto a detto sistema di riferimento, l equazione di chiusura che definisce la cinematica del sistema è OB + BA = OA 1 ae iα + le iβ = he iπ/2 2 con a = OB, l = BA. Nelle condizioni di riferimento, α = π, α = Ω. Le variabili sono β, anomalia di rispetto al centro della guida. Le equazioni di vincolo equivalente sono BA, ed a, spostamento del corsoio a cos α + l cos β = 0 a sin α + l sin β = h 3a 3b con cos α = 1 e sin α = 0: a + l cos β = 0 l sin β = h 4a 4b da cui a = l cos β β = arcsin h l 5a 5b Derivando l equazione di chiusura nel tempo si ottiene ȧe iα + ia αe iα + il βe iβ = 0 6 ȧ cos α a α sin α l β sin β = 0 ȧ sin α + a α cos α + l β cos β = 0 7a 7b che specializzate nella condizione di riferimento diventano ȧ l β sin β = 0 aω + l β cos β = 0 8a 8b da cui si ricavano le relazioni cercate β = aω l cos β ȧ = l β sin β = aω tan β 9a 9b
Derivando ulteriormente nel tempo l equazione di chiusura si ottiene: äe iα a α 2 e iα + 2iȧ αe iα + ia αe iα + l βe iβ = 0 10 äe iα + a α 2 e iα+π + 2ȧ αe iα+π/2 + a αe iα+π/2 + l βe iβ+π/2 = 0 11 le cui proiezioni sono ä cos α a α 2 cos α 2ȧ α sin α a α sin α l β sin β = 0 ä sin α a α 2 sin α + 2ȧ α cos α + a α cos α + l β cos β = 0 12a 12b che a loro volta diventano ä + a α 2 l β sin β = 0 2ȧ α + l β cos β = 0 13a 13b le cui incognite questa volta sono ä e β: 2ȧ α β = l cos β = 2aΩ2 l cos β tan β ä = aω 2 l β sin β = aω 2 1 + 2 tan 2 β 14a 14b 1.b-c Coppia motrice e calcolo reazioni vincolari Per poter applicare il Teorema dell Energia Cinetica, occorre essere in grado di esprimere la potenza della forza di attrito tra il corsoio e la guida. La forza di attrito applicata in direzione parallela all asse della guida è T il cui modulo vale T = f d N. Si consideri la sola guida: si mettano in evidenza le reazioni H O e V O che essa scambia col telaio e le reazioni N, T e W che essa scambia con il corsoio. Dai bilanci di forze in direzione orizzontale e verticale si ottiene H O = T V O = N 15a 15b Si consideri ora il sottosistema costituito dalla guida e dal corsoio, mettendo in evidenza la reazione N A che l asta AB scambia con il corsoio stesso. I bilanci di forze in direzione orizzontale e verticale N A cos β + M B ä aω 2 = H O = T =f d N M B g N A sin β 2M B ȧω = V O = N combinando le due si ottiene N A M B 2ȧΩ g + ä aω2 f d N A = sin β + 1 f d cos β 16a 16b 17 la cui espressione, sostituita in una delle 16 permette di ottenere l espressione di N e quindi di H O e V O. L energia cinetica del sistema è E c = 1 2 M ȧ2 B + a 2 Ω 2 + 1 2 JΩ2 + 1 2 J BΩ 2 18 la cui variazione nel tempo è de c dt = M B ä + aω 2 ȧ = ä + aω 2 a α Ω 19
La potenza delle forze attive è Π = M B g aω f d N ȧ + Cm Ω = M B gaω T a α Ω + C mω 20 Ricordando che ȧ = a Ω = a tan βω si ha α C m = M B ä + aω 2 a tan β M B ga + f d Na tan β 21 Esercizio 2 2.a Velocità di rotazione a regime Bilancio di potenze a valle della trasmissione A regime η C m ω m J m ω m ω m = τ 3 C ω m ω 2 m + τ 2 J u ω m ω m 22 ηc m = τ 3 C ω m ω m 23 η A Bω m = τ 2 C ω m ω m 24 La coppia motrice è positiva per ω m < A/B e la potenza resistente è negativa se ω m > 0. Il moto è quindi diretto. La velocità di rotazione a regime è ω m0 = ηb + ηb 2 + 4τ 3 CAη 2τ 3 25 C 2.b Stabilità della soluzione di regime Si riprenda l equazione di moto del sistema η A Bω m J m ω m = τ 3 C ω m ω m + τ 2 J u ω m 26 e si linearizzi il termine non lineare C u ω m : C u ω m C u ω m0 + dc u dω m ω m ω m0 = τ 3 C ω m0 ω m0 + 2τ 3 C ω m0 ω m ωm0 27a Quindi l equazione di moto linearizzata è ηjm + τ 2 J u ωm = η A B ω m + ω m0 τ 3 C ω m0 ω m0 2τ 3 C ω m0 ω m 28 ηjm + τ 2 J u ωm = ηb ω m 2τ 3 C ω m0 ω m 29 La soluzione tipo è ω m = Ωe λt : ηjm + τ 2 J u λωe λt = ηb 2τ 3 C ω m0 Ωe λt 30 la soluzione dell omogenea associata è λ = ηb 2τ 3 C ω m0 ηj m + τ 2 J u < 0 31 quindi la soluzione di regime è stabile.
2.c Momento torcente e reazioni vincolari Momento torcente a monte della trasmissione M t,m = C m J m ω m Per il momento torcente a valle si scrive il bilancio di potenza sull albero di uscita della trasmissione M t,v ω u = η C m J m ω m ω m quindi 32 33 M t,v = η τ C m J m ω m 34 Reazione scaricata sui supporti: M s = M t,m M t,v = 1 η C m J m ω m 35 τ Esercizio 3 3.a Equazione di moto Il sistema è a due gradi di libertà: lo spostamento x della massa M, la rotazione θ 2 della massa m 2. La rotazione θ 1 della massa m 1 è legata a θ 2 dal vincolo di puro rotolamento fra i dischi: Rθ 1 = 2Rθ 2 Le rotazioni dei dischi sono però imposte: θ 2 = Ωt e quindi θ 1 = 2Ωt. Le velocità angolari delle due masse sono quindi θ 2 = Ω θ 1 = 2Ω 36 37a 37b Il sistema può essere trattato come un sistema ad un grado di libertà costituito dalla massa M a cui vengono applicate le forzanti dovute all inerzia delle masse eccentriche: M + m 1 + m 2 ẍ + cẋ + x = F e,1 + F e,2 38 i termini forzanti valgono F e,1 = 4m 1 Ω 2 R sin 2Ωt F e,2 = m 2 Ω 2 2R sin Ωt 39a 39b L equazione di moto è quindi M + m 1 + m 2 ẍ + cẋ + x = 4m 1 Ω 2 R sin 2Ωt + m 2 Ω 2 R sin Ωt 40 3.b Risposta al forzamento Il sistema è lineare, come evidenziato dalla struttura della sua equazione di moto. La risposta a regime al forzamento si può quindi ottenere per sovrapposizione degli effetti. Risposta al forzamento F e,1 Posto F e,1 = 4m 1 Ω 2 RRe e i2ωt, la soluzione ha la forma x 1 t = Re X 1 e i2ωt che sostituita nell equazione di moto porta a 4Ω 2 M + i2ωc + X 1 = 4m 1 Ω 2 R da cui X 1 = 4m 1 Ω 2 R 4Ω 2 M + i2ωc + con M = M + m 1 + m 2. 41 42 43
Risposta al forzamento F e,2 Posto F e,2 = m 2 Ω 2 2RRe e iωt, la soluzione ha la forma x 2 t = Re X 2 e iωt che sostituita nell equazione di moto porta a Ω 2 M + iωc + X 2 = m 2 Ω 2 2R 44 45 da cui X 2 = m 2 Ω 2 2R Ω 2 M + iωc + La risposta a regime del sistema sarà la somma di x 1 t e x 2 t: 46 xt = x 1 t + x 2 t = X 1 sin 2Ωt + X 1 + X 2 sin Ωt + X 2 47 3.c Assorbitore dinamico Il sistema ora è formato dalla massa M, dalle due masse eccentriche m 1 ed m 2 e dall assorbitore, di massa m a, collegato alla massa M tramite un elemento elastico di rigidezza a. Lo smorzatore di costante c viene qui trascurato. I gradi di libertà non vincolati in questo caso sono due: lo spostamento x della massa M e quello x a dell assorbitore, entrambi assoluti. Le equazioni di moto diventano M ẍ + + a x x a = F e,1 + F e,2 a x a x + m a ẍ a = 0 48a 48b Si vuole ridurre l ampiezza di vibrazione della massa M indotta dal forzamento dovuto alla massa m 2. In questo caso la risposta a regime sarà { } { } xt X = sin Ωt 49 x a t X A che sostituita nelle equazioni di moto porta a Ω 2 M + + a X a X A = m 2 Ω 2 2R 50a Ω 2 m a X A + a X A a X = 0 con le sostituzioni ω = M e ω a a = e dividendo la prima equazione per e la seconda per a si ottiene m a Ω2 ω 2 + 1 + a X a X A = m 1 Ω 2 2R = F e,20 ωa 2 X A X = 0 dove F e,20 = m 2Ω 2 2R. Dalla seconda si ricava l ampiezza X A 50b 51a 51b X A = X ω 2 a che sostituita nella prima porta a ω 2 + a X a X = F e,20 ωa 2 52 53
la funzione di trasferimento fra l ampiezza dello spostamento della massa M e l ampiezza del forzamento dovuto a m 2 è, dunque X F e,20 = ω 2 + a ω a 2 ω 2 a a 54 che evidenzia come nel caso in cui sia ω 2 a = Ω 2 l ampiezza dello spostamento di M, a rigore, si annulli. Dal momento che m a = M/10, il valore di a che garantisce questa condizione è a = m a Ω 2 = MΩ2 10 55