Esercizio 945. Un esempio di forza non energetica (forza di Lorentz) Nel piano Oxy di una terna cartesiana ortogonale

Esercizio 945. Un esempio di forza non energetica (forza di Lorentz Nel piano Oxy di una terna cartesiana ortogonale inerziale Oxyz = Oê 1 ê ê un asta rettilinea AC, di lunghezza a, ha l estremo A vincolato a scorrere lungo l asse Ox; l estremo C può invece ruotare liberamente attorno ad A. Una particella elettrizzata, di carica elettrica q e massa trascurabile, è fissata all asta nell estremo C. L intero sistema è infine immerso in un campo di induzione magnetica uniforme e costante Bê, con B > costante, diretto parallelamente all asse coordinato Oz. L asta risente pertanto di una forza di Lorentz applicata nell estremo C. Usare i parametri adimensionali s R e ϕ R mostrati in figura per: (a determinare la componenti generalizzate della forza di Lorentz; (b provare la natura non energetica di tale sollecitazione. Soluzione (a Componenti generalizzate della forza di Lorentz in C La forza magnetica agente sulla carica q in C è data dalla ben nota legge di Lorentz: F = q Ċ Bê. La posizione dell estremo C rispetto ad Oxyz è individuata dal vettore posizione: C O = A O + C A = asê 1 + a sin ϕ ê 1 a cos ϕ ê = a(s + sin ϕ ê 1 a cos ϕ ê dal quale si deducono la velocità istantanea di C: e le derivate parziali prime: C s = aê 1 Ċ = a(ṡ + cos ϕ ϕ ê 1 + a sin ϕ ϕ ê C ϕ = a(cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê che torneranno poi utili nel calcolo delle componenti generalizzate. La forza di Lorentz assume pertanto la forma: F = q [ a(ṡ + cos ϕ ϕ ê 1 + a sin ϕ ϕ ê ] Bê = qba [ sin ϕ ϕ ê 1 (ṡ + cos ϕ ϕê ]. A questo punto il calcolo delle componenti generalizzate è immediato: D s = F C s = qba sin ϕ ϕ D ϕ = F C ϕ = qba[ sin ϕ ϕ cos ϕ sin ϕ(ṡ + cos ϕ ϕ ] = qba sin ϕ ṡ. Stefano Siboni 5156

(b Carattere non energetico della forza di Lorentz La natura non energetica della sollecitazione si verifica facilmente ricorrendo alla definizione. La potenza della forza di Lorentz è infatti data da: π = D s ṡ + D ϕ ϕ = qba sin ϕ ϕ ṡ qba sin ϕ ṡ ϕ = e risulta quindi identicamente nulla per qualsiasi valore dei parametri lagrangiani s, ϕ R e delle velocità generalizzate ṡ, ϕ R. Esercizio 946. Un altro esempio di forza non energetica (forza di Lorentz Nel piano Oxy di una terna cartesiana ortogonale inerziale Oxyz = Oê 1 ê ê un asta rettilinea AC, di lunghezza a, ha l estremo A vincolato a scorrere lungo l asse Oy; l estremo C può invece ruotare liberamente attorno ad A. Una particella elettrizzata, di carica elettrica q e massa trascurabile, è fissata all asta nell estremo C. L intero sistema è infine immerso in un campo di induzione magnetica uniforme e costante Bê, con B > costante, diretto parallelamente all asse coordinato Oz. L asta risente dunque di una forza di Lorentz applicata nell estremo C. Usare i parametri adimensionali s, θ R mostrati in figura per: (a determinare la componenti generalizzate della forza di Lorentz; (b provare la natura non energetica di tale sollecitazione. Soluzione (a Componenti generalizzate della forza di Lorentz Sull estremo C dell asta agisce la forza di Lorentz: F = qċ Bê. Il punto di applicazione ha vettore posizione: C O = A O + C A = sê + a sin θ ê 1 a cos θ ê = a sin θ ê 1 a(s + cos θ ê e velocità istantanea: Ċ = a cos θ θ ê 1 + a( ṡ + sin θ θ ê, in modo che la forza magnetica risulta: F = q [ a cos θ θ ê 1 + a( ṡ + sin θ θ ê ] Bê = qba [ ( ṡ + sin θ θ ê 1 cos θ θ ê ]. Stefano Siboni 5157

Per il calcolo delle componenti generalizzate occorre ricavare preliminarmente le derivate parziali prime del punto di applicazione rispetto ai parametri lagrangiani: C s = ê C θ = a(cos θ ê 1 + sin θ ê. Le componenti generalizzate della forza di Lorentz sono allora: D s = F C s = qba cos θ θ D θ = F C θ = qba[ ( ṡ + sin θ θ cos θ cos θ θ sin θ ] = qba cos θ ṡ. (b Carattere non energetico della sollecitazione La potenza della sollecitazione risulta identicamente nulla: π = D s ṡ + D θ θ = qba cos θ θ ṡ qba cos θ ṡ θ = per qualsiasi valore di s, θ, ṡ, θ R. La natura non energetica della sollecitazione è così dimostrata. Esercizio 947. Geometria delle masse Nel piano Oxy di una terna solidale Oxyz = Oê 1 ê ê si considera il sistema rigido illustrato in figura, composto da un asta rettilinea OA, di lunghezza a, e da una piastra quadrata P = BCDE, di lato a, saldate ortogonalmente tra loro nel punto medio A del lato BE. Le densità di asta e piastra si scrivono rispettivamente: λ(p = µ P O P OA a σ(q = µ a (Q A ê Q P, in termini di una massa caratteristica µ. Determinare del sistema: (a la massa e la posizione del baricentro relativa a Oxyz; (b la matrice d inerzia rispetto a Oxyz; (c il momento d inerzia relativo alla retta OC; (d il momento d inerzia relativo alla retta BE. Soluzione (a Massa e baricentro del sistema Massa dell asta L asta OA si colloca lungo l asse Oy ed ammette quindi un ovvia parametrizzazione in Stefano Siboni 5158

termini dell ordinata y: P O = yê, y [, a], che consente di esprimere la relativa densità lineare nella forma: λ(y = µ y, y [, a], a mentre l elemento infinitesimo di lunghezza si riduce a: ds = P (y dy = ê dy = dy. La massa dell asta è quindi fornita dall integrale su OA della densità λ: m OA = λ ds = OA µ a y dy = µ a [ y ] a = µ. Baricentro dell asta L asta giace lungo l asse Oy, che ne costituisce un evidente asse di simmetria. Il baricentro di OA sarà dunque ubicato lungo lo stesso asse ed individuato da un vettore posizione della forma: G OA O = y OA ê, con ordinata: y OA = 1 m OA OA y λ ds = 1 µ y µ a y dy = 1 a y dy = 1 a [ y ] a = 4 a. Si ha pertanto: G OA O = 4 aê. Massa della piastra La parametrizzazione della piastra nelle coordinate x, y si scrive: Q O = xê 1 + yê, (x, y [, a] [a, 4a] e poichè A O = aê consente di esprimere la densità areale di P nella forma: σ(x, y = µ a (xê 1 + yê aê ê = µ (y a, (x, y [, a] [a, 4a]. a Poichè l elemento infinitesimo di area risulta da = dy, la massa della piastra è data dal- Stefano Siboni 5159

l integrale doppio: m P = σ da = P = µ a 4a a dξ ξ = µ a dy µ (y a = a [ ξ ] a ξ= = µ a a a = 4µ, nel quale si è introdotto il cambio di variabile y = a + ξ, ξ [, a]. Baricentro della piastra Anche per determinare il baricentro G P della piastra conviene valersi delle proprietà di simmetria. L asse Oy è infatti un asse di simmetria di P, dal momento che per ogni punto Q(x, y P il punto simmetrico Q ( x, y rispetto ad Oy appartiene anch esso a P ed inoltre: σ(q = σ( x, y = µ (y a = σ(x, y = σ(q. a Ne deriva che: G P O = y P ê. L ordinata del baricentro relativa a Oxyz si ricava dalla definizione: y P = 1 y σ da = 1 m P 4µ P = 1 4a a in modo che risulta: 4a a ( ξ + aξ dξ = 1 a dy y µ 1 (y a = a 4a [ ξ + aξ ] a ξ= G P O = 1 aê. dξ (a + ξξ = = 1 a ( 8 a + 4a = 1 a Massa del sistema La massa del sistema è la somma delle masse di asta e piastra, in quanto il punto di intersezione A tra le due parti costituisce un insieme di misura nulla sia per gli integrali curvilinei su OA che per quelli doppi su P: m = m OA + m P = µ + 4µ = 6µ. Baricentro del sistema Per il baricentro G del sistema il teorema distributivo porge l espressione: 1 [ G O = moa (G OA O + m P (G P O ] = m OA + m P = 1 [ µ 4 6µ aê + 4µ 1 ] aê = 1 ( 8 6 + 4 aê = 1 6 48 aê = 8 aê. Stefano Siboni 516

(b Matrice d inerzia relativa a Oxyz del sistema Matrice d inerzia in Oxyz dell asta Siccome l asta giace lungo l asse Oy la sua matrice d inerzia relativa ad Oxyz è del tipo: [L OA O ] = xx L OA xx LOA con il momento d inerzia relativo all asse Ox espresso da: L OA xx = OA y λ ds = y µ a y dy = µ a [ y 4 4 ] a = 4µa, per cui: O ] = µa 4. 4 [L OA Matrice d inerzia in Oxyz della piastra Si è già riconosciuto che la retta Oy rappresenta un asse di simmetria della piastra. Ne deriva che Oy è anche un asse principale d inerzia in O di P. Il piano di giacitura e perciò di simmetria Oxy consente poi di affermare che anche Oz costituisce un asse principale d inerzia in O della piastra. Dalla simmetria dell operatore d inerzia in O di P segue infine che anche Oy deve essere un asse principale d inerzia in O di P. In definitiva, il riferimento Oxyz è una terna principale d inerzia in O della piastra e la matrice d inerzia di P rispetto a tale terna risulta: L P [L P xx O] = L P yy, L P xx + L P yy dove si è sfruttata la collocazione della piastra nel piano coordinato Oxy per concludere che il momento d inerzia rispetto all asse Oz deve essere la somma di quelli relativi agli assi Ox ed Oy. Il momento d inerzia relativo all asse Ox si ricava ricorrendo alla definizione: L P xx = y σ da = P = µ a a a 4a a dy y µ a (y a = µ a (ξ + 4aξ + 4a ξ dξ = µ [ ξ 4 a 4 + 4aξ = µ ( a 4a 4 + a4 + 8a 4 = µa ( 1 + dξ (ξ + a ξ = + a ξ ] a = = 68 µa = 16 µa, Stefano Siboni 5161

ed in modo analogo si procede per il momento d inerzia rispetto ad Oy: L P yy = x σ da = P = µ a x 4a a dy x µ (y a = a ξ dξ = µ a [ x ] a [ ξ ] a = µ a a a = 4 µa. Il momento d inerzia rispetto all asse Oz è la somma di quelli relativi agli assi Ox ed Oy, collocati nel piano di giacitura della piastra: L P zz = L P xx + L P yy = 16 µa + 4 µa = 14 µa. La matrice d inerzia della piastra diventa pertanto: [L P O] = µa 16/ 4/. 14/ Matrice d inerzia in Oxyz del sistema La matrice d inerzia relativa ad Oxyz del sistema si determina sommando delle matrici d inerzia di asta e piastra, calcolate rispetto allo stesso riferimento: [L O ] = [L OA O ] + L P O = µa 4 + µa 16/ 4/ = 4 14/ = µa 148/ 4/. 15/ (c Momento d inerzia del sistema rispetto alla retta OC Rispetto alla terna solidale Oxyz la posizione del vertice C è individuata dal vettore: C O = aê 1 + 4aê. La retta OC passa evidentemente per l origine ed ammette il versore direttore: ˆn = C O C O = aê 1 + 4aê aê 1 + 4aê = ê1 + 4ê ; 17 rispetto ad essa il momento d inerzia del sistema si scrive: I OC = I Oˆn = ˆn L O (ˆn = 1 17 (1 4 [L O ] 1 17 1 4 = Stefano Siboni 516

= 1 [ 1 L xx + 4 ] 1 [ ] L yy + 1 4 L xy = Lxx + 16 L yy 8 L xy = 17 17 = 1 ( 148 17 µa + 16 4 µa = 1 1 17 µa = 1 51 µa. (d Momento d inerzia del sistema rispetto alla retta BE La retta BE è parallela all asse coordinato Ox della terna solidale, ma non passa per il baricentro G si ricordi che G O = (8/aê. Per calcolare il momento d inerzia rispetto a BE conviene considerare l asse Ox e la retta Gx, entrambe parallele a BE, per poi applicare due volte il teorema di Huygens-Steiner. Per Gx ed Ox si ha: I Ox = I Gx + my G mentre per le rette Gx e BE vale la relazione: 148 ( 8, µa = I Gx + 6µ a I BE = I Gx + m(y G y B I BE = I Gx + 6µ ( 8 a a. Ricavato I Gx dalla prima equazione e sostituito il valore nella seconda si ottiene così: I BE = 148 ( 8 ( 8 µa 6µ a + 6µ a a = ( 148 = 6 64 9 + 6 4 µa 148 18 + 8 = µa = 8 9 µa. Esercizio 948. Campo posizionale conservativo Rispetto ad un riferimento cartesiano ortogonale Oxyz = Oê 1 ê ê si consideri il campo vettoriale F : R R definito da: F (x, y, z = (y + zê 1 + (z + xê + (x + yê, (x, y, z R. (a Dire se F è conservativo ed in tal caso determinarne un potenziale. (b Calcolare l integrale del lavoro di F lungo la curva γ di parametrizzazione (x, y, z = sin uê 1 + cos uê + ( sin u + cos uê, u [, π]. Soluzione (a Carattere conservativo del campo e determinazione del potenziale Il campo posizionale è definito in R, dominio convesso (dunque stellato e semplicemente connesso, dove risulta di classe C 1 (in effetti si tratta di un campo C. L esistenza del potenziale risulta dunque equivalente alla irrotazionalità, che è immediato verificare. Si ha infatti: ê 1 ê ê F = = (1 1ê x y z 1 +(1 1ê +(1 1ê = (x, y, z R. y + z z + x x + y Stefano Siboni 516

Un potenziale può essere determinato integrando il campo lungo una qualsiasi curva che collega un punto fissato del dominio, per esempio l origine, con un punto arbitrario (x o, y o, z o R ; la scelta più semplice è certamente offerta dal segmento Γ congiungente (,, con (x o, y o, z o, di parametrizzazione: (x, y, z = (tx o, ty o, tz o t [, 1], lungo il quale l integrale del campo (integrale del lavoro diventa: U(x o, y o, z o = F = (F x + F y dy + F z dz = = Γ Γ [ (y + z + (z + xdy + (x + ydz ] = = Γ 1 [ t(yo + z o x o + t(z o + x o y o + t(x o + y o z o ] dt = = 1 [ (yo + z o x o + (z o + x o y o + (x o + y o z o ] = xo y o + y o z o + z o x o. A meno di una costante additiva arbitraria il potenziale del campo è dunque dato da: come peraltro si verifica immediatamente. U(x, y, z = xy + yz + zx (x, y, z R, (b Integrale del lavoro lungo la curva γ La determinazione dell integrale del lavoro di F lungo γ non richiede alcun calcolo, una volta appurato il carattere conservativo del campo. Basta osservare che la curva di parametrizzazione (x, y, z = sin uê 1 + cos uê + ( sin u + cos u, u [, π], è chiaramente una curva chiusa, dal momento che le sue tre componenti sono tutte funzioni periodiche di uguale periodo π. Poichè gli estremi iniziale e finale di γ coincidono l integrale del lavoro su γ del campo si annulla: γ F = U(, 1, 1 U(, 1, 1 =. Si ricorda che l annullarsi dell integrale del campo su un qualsiasi percorso chiuso è una condizione necessaria e sufficiente per il carattere conservativo del campo stesso in effetti questa proprietà può essere usata come definizione più generale di campo posizionale conservativo. Stefano Siboni 5164

Esercizio 949. Sistema scleronomo non conservativo a 1 g.d.l. Nel piano Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê un asta MN, di massa m e lunghezza a, è vincolata a scorrere con il proprio punto medio P lungo l asse Ox, rimanendo ortogonale a tale asse. Un asta rettilinea omogenea OA, di massa m e lunghezza a, è libera di ruotare attorno all asse fisso Oz con l estremo A che scorre lungo MN. La terna Oxyz ruota con velocità angolare costante ω > attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Una molla ideale di stiffness k = mω collega P con O. Resistenze viscose con uguale costante di frizione β agiscono in A OA e in N. Il sistema è pesante e a vincoli ideali. Si usi l angolo θ R in figura per determinare del sistema: (a l espressione dell energia cinetica; (b gli equilibri ordinari; (c le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari, considerando tutte le sollecitazioni applicate; (d le equazioni di Lagrange; (e i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β = e g/aω =. Soluzione (a Energia cinetica Energia cinetica dell asta OA L asta omogenea OA ruota di un angolo θ attorno all asse fisso Oz, che passa per uno dei suoi estremi. L energia cinetica è quindi data dall espressione: T OA = 1 IOA Oz ωoa 1 = ma θê = ma 6 θ. Energia cinetica dell asta M N L asta MN è vincolata a scorrere con il proprio punto medio P lungo l asse Ox, asse al quale si mantiene inoltre costantemente perpendicolare. Si tratta dunque di un moto puramente traslatorio; l energia cinetica si ottiene moltiplicando per m/ il modulo quadrato della velocità di qualsiasi punto dell asta, ad esempio dello stesso punto P : T MN = m P, dove: P O = a sin θ ê 1 = P = a cos θ θ ê 1 Stefano Siboni 5165

e pertanto: T MN = m a cos θ θ ê1 = ma cos θ θ. Da sottolineare che per ricavare il risultato non è necessario assumere che l asta MN sia omogenea, informazione che infatti non è stata né fornita né utilizzata. Energia cinetica del sistema L energia cinetica del sistema viene definita additivamente, ossia sommando i contributi già calcolati delle due aste: T = T OA + T MN = ma 6 θ + ma cos θ θ = ma ( 1 6 + 1 cos θ θ. (949.1 Si osservi che, come ci si aspetta per un sistema scleronomo ad 1 grado di libertà, l espressione ottenuta è una forma quadratica definita positiva della velocità generalizzata θ, dal momento che: ma ( 1 6 + 1 cos θ > θ R. (b Equilibri ordinari Nella terna di riferimento Oxyz, rotante uniformemente rispetto ad un riferimento inerziale e dunque non galileiana, il sistema risulta sottoposto a sollecitazioni posizionali conservative e a sollecitazioni dissipative: le prime sono costituite dalle resistenze viscose di uguale costante β agenti in A ed in N, mentre le seconde consistono nel peso, nelle forze centrifughe e nell interazione elastica fra i punti P ed O. Le forze di Coriolis agiscono sempre ortogonalmente al piano vincolare Oxy e la loro componente generalizzata risulta perciò identicamente nulla: Q Cor θ = P m P ωê P P θ = P m P ωê P θ θ P θ = P = e priva di effetti sia statici che dinamici. Di tutte le altre sollecitazioni si devono determinare gli appropriati potenziali. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale del sistema è la somma dei potenziali gravitazionali delle due aste: U g = U OA g + U MN g, di cui il secondo, quale che sia la distribuzione di massa lungo MN, risulta certamente costante per via del moto traslatorio lungo la direzione orizzontale Ox: U g = U OA g + costante = mgê A O + costante. D altre parte è: A O = a(sin θ ê 1 cos θ ê, Stefano Siboni 5166

per cui, omessa la costante additiva: U g = 1 mga cos θ. (949. Potenziale elastico Alla molla ideale di costante elastica k = mω tesa fra il punto P e l origine O va associato il potenziale elastico: U el = k P O = mω a sin θ ê 1 = ma ω sin θ. (949. Potenziale centrifugo Al potenziale centrifugo del sistema concorrono entrambe le aste: U cf = U OA cf + U MN cf. Il contributo dell asta OA si determina direttamente dalla definizione del potenziale, con una integrazione sull ascissa curvilinea s [, a] lungo l asta misurata dall origine: U OA cf = ω IOA Oy = ω (s sin θ m a ds = mω a sin θ s ds = ma ω 6 sin θ. Per l asta MN l intera massa m si colloca a distanza P O dall asse di rotazione Oy della terna di riferimento; pertanto: U MN cf = ω IMN Oy = ω m P O = mω (a sin θ = ma ω sin θ. Ne deriva l espressione per il potenziale centrifugo del sistema: U cf = ma ω 6 sin θ + ma ω sin θ = ma ω sin θ. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale, elastico e centrifugo definisce il potenziale del sistema: U(θ = U g + U el + U cf = 1 mga cos θ ma ω sin θ + ma ω sin θ = = 1 mga cos θ + ma ω sin θ θ R. 6 Componenti generalizzate delle resistenze viscose Resistenze viscose di uguale costante di frizione β > sono applicati nei punti A OA ed N individuati dai vettori posizione: A O = a(sin θê 1 cos θê N O = a sin θê 1 + aê Stefano Siboni 5167

con velocità istantanee relative a Oxyz: e funzione di Rayleigh: A = a(cos θê 1 + sin θê θ Ṅ = a cos θ θê 1 R = β A β Ṅ = β a θ β a cos θ θ dalla quale si deduce la componente generalizzata richiesta: D θ = R θ = βa θ βa cos θ θ = βa (1 + cos θ θ. (949.4 Si osservi che la sollecitazione ha natura completamente dissipativa, in quanto: e π = implica: π = D θ θ = βa (1 + cos θ θ (θ, θ R βa (1 + cos θ θ = = θ =. Le resistenze viscose non hanno effetto alcuno sugli equilibri del sistema come peraltro evidente dall equazione (949.4, che mostra come D θ si annulli per θ = ma sono però in grado di influire sulle caratteristiche di stabilità di tali equilibri. Equilibri ordinari Il sistema è scleronomo, dissipativo e a vincoli bilaterali ideali. I suoi equilibri, tutti ordinari, vanno identificati con i punti stazionari del potenziale e dunque si ricavano annullando la derivata prima di U: U (θ = 1 mga sin θ + ma ω sin θ cos θ, ossia risolvendo l equazione trigonometrica: 1 mga sin θ + ma ω sin θ cos θ =, che effettuato un semplice raccoglimento a fattor comune si riduce a: ma ω ( sin θ cos θ g aω ( = sin θ cos θ g aω =. Le soluzioni di equilibrio si ottengono annullando i singoli fattori a primo membro: (i per sin θ = risultano le configurazioni di equilibrio: θ = θ = π Stefano Siboni 5168

definite incondizionatamente; (ii per cos θ g aω = si hanno invece gli equilibri: ( g θ = arccos aω := θ θ = θ, definiti e distinti dai precedenti per g aω < 1, essendo in tal caso θ (, π/. (c Stabilità degli equilibri ordinari La coesistenza di sollecitazioni posizionali conservative e completamente dissipative consente di studiare la stabilità degli equilibri isolati ricorrendo alla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet, basata sui criteri di Barbašin e Krasovskii: i massimi relativi propri del potenziale risultano asintoticamente stabili, mentre in ogni altro caso si ha instabilità. In questi stessi casi l assenza di attrattività segue facilmente dalla dissipazione dell energia meccanica. Nella fattispecie tutti gli equilibri sono isolati, in quanto in numero finito, e possono dunque essere analizzati. Si calcola preliminarmente la derivata seconda del potenziale: U (θ = 1 mga cos θ + ma ω ( cos θ sin θ = ma ω ( per poi discuterne il segno in ciascuna configurazione di equilibrio. g aω cos θ + cos θ sin θ Equilibrio θ =, sempre definito Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale non presenta segno definito: U ( = 1 mga + ma ω = ma ω ( 1 g aω e costringe a considerare tre diversi casi: per g/aω > 1 si ha U ( < e l equilibrio viene riconosciuto come un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità asintotica segue dalla forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet; se g/aω < 1 risulta invece U ( > e l equilibrio è un minimo relativo proprio del potenziale, instabile e non attrattivo; qualora sia infine g/aω = 1 ricorre un caso critico di stabilità, perchè U ( = e la natura dell equilibrio non risulta evidente. In effetti, le derivate successive del potenziale si scrivono: U ( (θ = ma ω ( g aω sin θ sin θ U (4 (θ = ma ω ( g aω cos θ 4 cos θ = ma ω ( sin θ sin θ ( cos θ 4 cos θ = ma ω Stefano Siboni 5169

ed in θ = diventano: U ( ( = U (4 ( = ma ω <. Nell intorno di θ = il potenziale ammette quindi lo sviluppo di Taylor: U(θ = U( + 1 4! U (4 ( θ 4 = U( ma ω θ 4 + o(θ 4 (θ 4 dal quale appare evidente che l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile per la forma forte di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio θ = π, sempre definito In questo caso la derivata seconda del potenziale è comunque positiva: U (π = 1 mga + ma ω > ed implica che l equilibrio sia un minimo relativo proprio del potenziale. L esclusione del massimo assicura l instabilità dell equilibrio, mentre l attrattività viene esclusa dalla dissipazione dell energia meccanica. Equilibrio θ = θ, con cos θ = g/aω, definito per g/aω < 1 In questa configurazione la derivata seconda del potenziale risulta sempre negativa: U (θ = ma ω = ma ω ( g aω cos θ + cos θ sin θ = ( cos θ cos θ + cos θ sin θ = ma ω sin θ < in quanto θ (, π/. Laddove definito, l equilibrio costituisce perciò un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile. Equilibrio θ = θ, con cos θ = g/aω, definito per g/aω < 1 In questo equilibrio la derivata seconda del potenziale risulta uguale a quella calcolata nella configurazione simmetrica precedente: U ( θ = U (θ <. Anche questo equilibrio, quando definito, è asintoticamente stabile per la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. (d Equazioni di Lagrange Le equazioni di Lagrange si riducono all unica equazione: d ( L dt θ L θ = D θ Stefano Siboni 517

in cui figura la lagrangiana del sistema: L = T + U = ma ( 1 6 + 1 cos θ θ + 1 mga cos θ + ma ω sin θ 6 e la componente generalizzata delle resistenze viscose vale D θ = βa (1 + cos θ θ. Ne seguono le espressioni parziali: L θ = ma( 1 + cos θ θ d ( L dt θ = ma ( 1 + cos θ θ ma cos θ sin θ θ L θ = ma cos θ sin θ θ 1 mga sin θ + ma ω sin ϕ cos θ dalle quali si deduce l equazione del moto richiesta: ma ( 1 +cos θ θ ma cos θ sin θ θ + 1 mga sin θ ma ω sin θ cos θ = βa (1+cos θ θ. (e Piccole oscillazioni per β = e g/aω = Per g/aω = sono definiti soltanto gli equilibri θ = e θ = π, il primo massimo relativo proprio del potenziale, mentre nel secondo la derivata seconda di U risulta strettamente positiva. Se β = le forze dissipative vengono rimosse ed il sistema diventa posizionale conservativo: la stabilità degli equilibri va discussa in termini dei teoremi di Lagrange- Dirichlet e di inversione parziale. Ne segue che il solo equilibrio stabile ricorre per θ =, in forza del teorema di Lagrange-Dirichlet. Si studiano pertanto le piccole oscillazioni nell intorno di θ =. Dalla (949.1 si ricava la matrice dell energia cinetica: che in θ = diventa: A(θ = ma ( 1 + cos θ A( = 4 ma. La derivata seconda del potenziale in θ = vale invece: U ( = ma ω ( 1 g aω = ma ω (1 = ma ω. La pulsazione normale delle piccole oscillazioni è quindi data da: = Ω A( + U ( ossia: Ω = U ( A( = ma ω 4ma = ω = ω. Stefano Siboni 5171

La corrispondente equazione delle piccole oscillazioni è quella di un semplice oscillatore armonico: θ + Ω θ = ed il modo normale di oscillazione si scrive: ω θ = a cos(ωt + α = a cos( t + α t R, con a > e α costanti reali arbitrarie l ampiezza a deve intendersi piccola. Esercizio 95. Geometria delle masse e oscillatore armonico forzato smorzato Una terna cartesiana ortogonale Oxyz, di base associata ê 1 ê ê, ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse orizzontale Oz di una terna inerziale Ox y z che ha l asse Oy diretto verticalmente verso l alto. Nel piano Oxy di Oxyz sono fissati un asta rettilinea OA, di lunghezza a, e una piastra quadrata P = BCDE, di lato a, saldate ortogonalmente tra loro nel punto medio A del lato BE (vedi figura. Le densità di asta e piastra si scrivono rispettivamente: λ(p = µ P O P OA a σ(q = µ a (Q A ê Q P, in termini di una massa caratteristica µ. Determinare: (a la massa e la posizione rispetto a Oxyz del baricentro del sistema; (b la matrice d inerzia in Oxyz del sistema; (c il momento d inerzia del sistema rispetto alla retta OD; (d il momento d inerzia del sistema relativo alla retta BE; (e se un punto materiale pesante P, di massa µ, scorre senza attrito lungo l asse Ox, collegato ad O da una molla ideale di stiffness k e soggetto ad una resistenza viscosa di costante β, l equazione pura del moto di P scritta nella terna Oxyz e la corrispondente soluzione stazionaria. Soluzione (a Massa e baricentro del sistema Massa dell asta L asta OA si colloca lungo l asse Oy ed ammette quindi un ovvia parametrizzazione in termini dell ordinata y: P O = yê, y [, a], Stefano Siboni 517

che consente di esprimere la relativa densità lineare nella forma: λ(y = µ y, y [, a], a mentre l elemento infinitesimo di lunghezza si riduce a: ds = P (y dy = ê dy = dy. La massa dell asta è quindi fornita dall integrale su OA della densità λ: m OA = λ ds = OA µ a y dy = µ a [ y ] a = µ. Baricentro dell asta L asta giace lungo l asse Oy, che ne costituisce un evidente asse di simmetria. Il baricentro di OA sarà dunque ubicato lungo lo stesso asse ed individuato da un vettore posizione della forma: con ordinata: y OA = 1 Si ha pertanto: m OA OA y λ ds = 1 µ G OA O = y OA ê, y µ a y dy = 1 a G OA O = 4 aê. y dy = 1 a [ y ] a = 4 a. Massa della piastra La parametrizzazione della piastra nelle coordinate x, y si scrive: Q O = xê 1 + yê, (x, y [, a] [a, 4a] e poichè A O = aê consente di esprimere la densità areale di P nella forma: σ(x, y = µ a (xê 1 + yê aê ê = µ (y a, (x, y [, a] [a, 4a]. a Poichè l elemento infinitesimo di area risulta da = dy, la massa della piastra è data dal- Stefano Siboni 517

l integrale doppio: m P = σ da = P = µ a 4a a dξ ξ = µ a dy µ (y a = a [ ξ ] a ξ= = µ a a a = 4µ, nel quale si è introdotto il cambio di variabile y = a + ξ, ξ [, a]. Baricentro della piastra Anche per determinare il baricentro G P della piastra conviene valersi delle proprietà di simmetria. L asse Oy è infatti un asse di simmetria di P, dal momento che per ogni punto Q(x, y P il punto simmetrico Q ( x, y rispetto ad Oy appartiene anch esso a P ed inoltre: σ(q = σ( x, y = µ (y a = σ(x, y = σ(q. a Ne deriva che: G P O = y P ê. L ordinata del baricentro relativa a Oxyz si ricava dalla definizione: y P = 1 y σ da = 1 m P 4µ P = 1 4a a in modo che risulta: 4a a ( ξ + aξ dξ = 1 a dy y µ 1 (y a = a 4a [ ξ + aξ ] a ξ= G P O = 1 aê. dξ (a + ξξ = = 1 a ( 8 a + 4a = 1 a Massa del sistema La massa del sistema è la somma delle masse di asta e piastra, in quanto il punto di intersezione A tra le due parti costituisce un insieme di misura nulla sia per gli integrali curvilinei su OA che per quelli doppi su P: m = m OA + m P = µ + 4µ = 6µ. Baricentro del sistema Per il baricentro G del sistema il teorema distributivo porge l espressione: 1 [ G O = moa (G OA O + m P (G P O ] = m OA + m P = 1 [ µ 4 6µ aê + 4µ 1 ] aê = 1 ( 8 6 + 4 aê = 1 6 48 aê = 8 aê. Stefano Siboni 5174

(b Matrice d inerzia relativa a Oxyz del sistema Matrice d inerzia in Oxyz dell asta Siccome l asta giace lungo l asse Oy la sua matrice d inerzia relativa ad Oxyz è del tipo: [L OA O ] = xx L OA xx LOA con il momento d inerzia relativo all asse Ox espresso da: L OA xx = OA y λ ds = y µ a y dy = µ a [ y 4 4 ] a = 4µa, per cui: O ] = µa 4. 4 [L OA Matrice d inerzia in Oxyz della piastra Si è già riconosciuto che la retta Oy rappresenta un asse di simmetria della piastra. Ne deriva che Oy è anche un asse principale d inerzia in O di P. Il piano di giacitura e perciò di simmetria Oxy consente poi di affermare che anche Oz costituisce un asse principale d inerzia in O della piastra. Dalla simmetria dell operatore d inerzia in O di P segue infine che anche Oy deve essere un asse principale d inerzia in O di P. In definitiva, il riferimento Oxyz è una terna principale d inerzia in O della piastra e la matrice d inerzia di P rispetto a tale terna risulta: L P [L P xx O] = L P yy, L P xx + L P yy dove si è sfruttata la collocazione della piastra nel piano coordinato Oxy per concludere che il momento d inerzia rispetto all asse Oz deve essere la somma di quelli relativi agli assi Ox ed Oy. Il momento d inerzia relativo all asse Ox si ricava ricorrendo alla definizione: L P xx = y σ da = P = µ a a a 4a a dy y µ a (y a = µ a (ξ + 4aξ + 4a ξ dξ = µ [ ξ 4 a 4 + 4aξ = µ ( a 4a 4 + a4 + 8a 4 = µa ( 1 + dξ (ξ + a ξ = + a ξ ] a = = 68 µa = 16 µa, Stefano Siboni 5175

ed in modo analogo si procede per il momento d inerzia rispetto ad Oy: L P yy = x σ da = P = µ a x 4a a dy x µ (y a = a ξ dξ = µ a [ x ] a [ ξ ] a = µ a a a = 4 µa. Il momento d inerzia rispetto all asse Oz è la somma di quelli relativi agli assi Ox ed Oy, collocati nel piano di giacitura della piastra: L P zz = L P xx + L P yy = 16 µa + 4 µa = 14 µa. La matrice d inerzia della piastra diventa pertanto: [L P O] = µa 16/ 4/. 14/ Matrice d inerzia in Oxyz del sistema La matrice d inerzia relativa ad Oxyz del sistema si determina sommando delle matrici d inerzia di asta e piastra, calcolate rispetto allo stesso riferimento: [L O ] = [L OA O ] + L P O = µa 4 + µa 4 = µa 148/ 4/ 15/ 16/ 4/ 14/. = (c Momento d inerzia del sistema rispetto alla retta OD Rispetto alla terna solidale Oxyz la posizione del vertice D è individuata dal vettore: D O = ê 1 + 4aê. La retta OD passa evidentemente per l origine ed ammette il versore direttore: ˆn = D O D O = ê 1 + 4aê aê 1 + 4aê = ê 1 + 4ê ; 17 rispetto ad essa il momento d inerzia del sistema si scrive: I OD = I Oˆn = ˆn L O (ˆn = 1 1 ( 1 4 [L O ] 1 4 = 17 17 = 1 [ ( 1 L xx + 4 ] 1 [ ] L yy + ( 14 L xy = Lxx + 16 L yy 8 L xy = 17 = 1 17 ( 148 µa + 16 4 µa = 1 17 17 1 µa = 1 51 µa. Stefano Siboni 5176

(d Momento d inerzia del sistema rispetto alla retta BE La retta BE è parallela all asse coordinato Ox della terna solidale, ma non passa per il baricentro G si ricordi che G O = (8/aê. Per calcolare il momento d inerzia rispetto a BE conviene considerare l asse Ox e la retta Gx, entrambe parallele a BE, per poi applicare due volte il teorema di Huygens-Steiner. Per Gx ed Ox si ha: I Ox = I Gx + my G 148 ( 8, µa = I Gx + 6µ a mentre per le rette Gx e BE vale la relazione: I BE = I Gx + m(y G y B I BE = I Gx + 6µ ( 8 a a. Ricavato I Gx dalla prima equazione e sostituito il valore nella seconda si ottiene così: I BE = 148 ( 8 ( 8 µa 6µ a + 6µ a a = ( 148 = 6 64 9 + 6 4 µa 148 18 + 8 = µa = 8 9 µa. (e Equazione del moto di P e sua soluzione stazionaria in Oxyz Nella terna di riferimento rotante, non inerziale, il punto materiale P appare vincolato a scorrere senza attrito lungo l asse Ox e soggetto all azione della forza elastica k(p O = kxê 1, del peso µgê, della resistenza viscosa βp = βẋê 1, della forza centrifuga µω (P O = µω xê 1 e della forza di Coriolis µωê P = µωê ẋê 1, oltre che della reazione Φ dovuta al vincolo. Il postulato delle reazioni vincolari porge allora l equazione: µẍê 1 = kxê 1 µgê βẋê 1 + µω xê 1 µωê ẋê 1 + Φ che proiettata lungo il versore ê 1, essendo Φ ê 1 =, conduce all equazione pura del moto: µẍ = kx µgê ê 1 βẋ + µω x, in cui si osserva come la forza di Coriolis non giochi alcun ruolo in quanto ortogonale all asse vincolare. L equazione si scrive in una forma più esplicita notando che ê ê 1 = sin(ωt: µẍ + βẋ + (k µω x = µg sin(ωt. Si tratta di una equazione differenziale del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e non omogenea, analoga a quella di un oscillatore armonico smorzato con forzante sinusoidale. Si osservi che l equazione non è necessariamente uguale a quella di un oscillatore, dato che la costante k µω potrebbe risultare negativa o nulla nel caso la velocità angolare ω fosse sufficientemente grande. La soluzione stazionaria è comunque data da: x = A sin(ωt + α Stefano Siboni 5177

con ampiezza A e fase α opportune. Sostituendo l espressione precedente nell equazione pura della dinamica si ottiene infatti: (k µω A sin(ωt + α + βωa cos(ωt + α = µg sin(ωt, ossia: [ k µω βω A sin(ωt + α + (k µω + β ω in modo che l ampiezza risulta: µg = (k µω + β ω sin(ωt (k µω + β ω cos(ωt + α ] = A = µg (k µω + β ω, mentre la fase è individuata dal sistema di equazioni trigonometriche: sin α = βω (k µω + β ω k µω cos α = (k µω + β ω. La soluzione stazionaria potrebbe quindi anche esprimersi nella forma equivalente: x = µg (k µω + β ω [ (k µω sin(ωt + βω cos(ωt ] t R. (95.1 Osservazione. Stabilità della soluzione stazionaria Si è visto che la soluzione stazionaria sinusoidale (95.1 risulta definita qualsiasi sia il segno del coefficiente k µω. Il significato dell equazione del moto e della relativa soluzione stazionaria appaiono però assai diversi a seconda del segno assunto da k µω : (i se k µω > l equazione è quella di un oscillatore armonico smorzato e forzato, con la forza di richiamo elastica kx parzialmente attentuata dalla forza centrifuga µω x; (ii per k µω = il sistema non costituisce un oscillatore perchè le sole forze attive applicate sono la resistenza viscosa e la forzante sinusoidale; (iii se infine k µω < la forza (k µω x esercita un azione repulsiva sul punto materiale, anzichè attrattiva. Il sistema non è un oscillatore armonico smorzato con forzante sinusoidale, ma un repulsore. In queste tre circostanze la soluzione stazionaria presenta natura assai diversa. La differenza fra una soluzione generica e la soluzione stazionaria sinusoidale è infatti data dalla soluzione generale dell equazione omogenea associata: µẍ + βẋ + (k µω x = Stefano Siboni 5178

che si ricava ovviamente dall equazione caratteristica: µλ + βλ + k µω = ed ha però un andamento diverso secondo il segno di k µω : (i se k µω > le radici dell equazione caratteristica o sono reali negative, eventualmente coincidenti, o complesse coniugate con parte reale negativa: λ 1, λ = β ± β 4µ(k µω µ in modo che la soluzione generale dell omogenea associata tende esponenzialmente a zero mantenendosi limitata per ogni t. La soluzione stazionaria risulta perciò stabile ed attrattiva; (ii per k µω = le radici dell equazione caratteristica sono una nulla ed una negativa: con soluzione generale: λ 1 = λ = β µ, c 1 + c e β µ t anch essa limitata per t ma non convergente a zero per t + (a meno che non sia c 1 =. Nella fattispecie la soluzione stazionaria è stabile ma non attrattiva; (iii se k µω < le radici dell equazione caratteristica sono reali e di segno opposto: λ 1 = β + β 4µ(k µω µ ed individuano una soluzione generale della forma: > λ = β β 4µ(k µω µ c 1 e λ 1t + c e λ t che con c 1 tende a + per t +. La soluzione stazionaria risulta così instabile e non attrattiva, di fatto priva di qualsiasi interesse fisico. Esercizio 951. Sistema scleronomo posizionale conservativo a 1 g.d.l. Nel piano Oxy di una terna Oxyz = Oê 1 ê ê un asta MN, di massa m e lunghezza a, è vincolata a scorrere con il proprio punto medio P lungo l asse Ox, rimanendo ortogonale a tale asse. Un asta rettilinea omogenea OA, di massa m e lunghezza a, ruota liberamente attorno all asse fisso Oz con l estremo A che scorre lungo MN. La terna Oxyz ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse verticale Oy rispetto ad un riferimento inerziale. Una molla ideale di stiffness k = mω collega P con O. Il sistema è pesante e a vincoli ideali. Si usi l angolo ϕ R in figura per determinare del sistema: Stefano Siboni 5179 <

(a l espressione dell energia cinetica; (b gli equilibri ordinari; (c le proprietà di stabilità degli equilibri ordinari; (d le equazioni di Lagrange; (e gli eventuali equilibri di confine qualora fosse ϕ [ π/, π/]. Soluzione (a Energia cinetica Energia cinetica dell asta OA L asta omogenea OA ruota di un angolo ϕ attorno all asse fisso Oz, che passa per uno dei suoi estremi. L energia cinetica è quindi data dall espressione: T OA = 1 IOA Oz ωoa 1 = ma ϕê = ma 6 ϕ. Energia cinetica dell asta M N L asta MN è vincolata a scorrere con il proprio punto medio P lungo l asse Ox, asse al quale si mantiene inoltre costantemente perpendicolare. Si tratta dunque di un moto puramente traslatorio; l energia cinetica si ottiene moltiplicando per m/ il modulo quadrato della velocità di qualsiasi punto dell asta, ad esempio dello stesso punto P : T MN = m P, dove: e pertanto: P O = a sin ϕ ê 1 = P = a cos ϕ ϕ ê 1 T MN = m a cos ϕ ϕ ê 1 = ma cos ϕ ϕ. Da sottolineare che per ricavare il risultato non è necessario assumere che l asta MN sia omogenea, informazione che infatti non è stata né fornita né utilizzata. Energia cinetica del sistema L energia cinetica del sistema viene definita additivamente, ossia sommando i contributi già calcolati delle due aste: T = T OA + T MN = ma 6 ϕ + ma cos ϕ ϕ = ma ( 1 6 + 1 cos ϕ ϕ. (951.1 Si osservi che, come ci si aspetta per un sistema scleronomo ad 1 grado di libertà, l espressione ottenuta è una forma quadratica definita positiva della velocità generalizzata ϕ, in quanto: ma ( 1 6 + 1 cos ϕ > ϕ R. Stefano Siboni 518

(b Equilibri ordinari Nella terna di riferimento Oxyz, rotante uniformemente rispetto ad un riferimento inerziale e dunque non galileiana, il sistema risulta sottoposto soltanto a sollecitazioni posizionali conservative: il peso, le forze centrifughe, l interazione elastica fra i punti P ed O. Le forze di Coriolis agiscono sempre ortogonalmente al piano vincolare Oxy e la loro componente generalizzata risulta perciò identicamente nulla: Q Cor ϕ = P m P ωê P P ϕ = P m P ωê P ϕ ϕ P ϕ = P = e priva di effetti sia statici che dinamici. Di tutte le altre sollecitazioni si devono determinare gli appropriati potenziali. Potenziale gravitazionale Il potenziale gravitazionale del sistema è la somma dei potenziali gravitazionali delle due aste: U g = U OA g + U MN g, di cui il secondo, quale che sia la distribuzione di massa lungo MN, risulta certamente costante per via del moto traslatorio lungo la direzione orizzontale Ox: D altre parte è: U g = U OA g per cui, omessa la costante additiva: + costante = mgê A O A O = a(sin ϕ ê 1 cos ϕ ê, + costante. U g = 1 mga cos ϕ. (951. Potenziale elastico Alla molla ideale di costante elastica k = mω tesa fra il punto P e l origine O va associato il potenziale elastico: U el = k P O = mω a sin ϕ ê 1 = ma ω sin ϕ. (951. Potenziale centrifugo Al potenziale centrifugo del sistema concorrono entrambe le aste: U cf = U OA cf + U MN cf. Il contributo dell asta OA si determina direttamente dalla definizione del potenziale, con una integrazione sull ascissa curvilinea s [, a] lungo l asta misurata dall origine: U OA cf = ω IOA Oy = ω (s sin ϕ m a ds = mω a sin ϕ s ds = ma ω 6 sin ϕ. Stefano Siboni 5181

Per l asta MN l intera massa m si colloca a distanza P O dall asse di rotazione Oy della terna di riferimento; pertanto: U MN cf = ω IMN Oy = ω m P O = mω (a sin ϕ = ma ω sin ϕ. Ne deriva l espressione per il potenziale centrifugo del sistema: U cf = ma ω 6 sin ϕ + ma ω sin ϕ = ma ω sin ϕ. Potenziale del sistema La somma dei potenziali gravitazionale, elastico e centrifugo definisce il potenziale del sistema: U(ϕ = U g + U el + U cf = 1 mga cos ϕ ma ω = 1 mga cos ϕ + ma ω 6 sin ϕ + ma ω sin ϕ = sin ϕ ϕ R. Equilibri ordinari Il sistema è scleronomo, posizionale conservativo e a vincoli bilaterali ideali. I suoi equilibri, tutti ordinari, vanno identificati con i punti critici del potenziale e dunque si ricavano annullando la derivata prima del potenziale: U (ϕ = 1 mga sin ϕ + ma ω ossia risolvendo l equazione trigonometrica: sin ϕ cos ϕ, 1 mga sin ϕ + ma ω sin ϕ cos ϕ =, che effettuato un semplice raccoglimento a fattor comune equivale a: ma ω ( sin ϕ cos ϕ g aω ( = sin ϕ cos ϕ g aω =. Le soluzioni di equilibrio si ottengono annullando i singoli fattori a primo membro: (i per sin ϕ = risultano le configurazioni di equilibrio: ϕ = ϕ = π definite incondizionatamente; (ii per cos ϕ g aω = si hanno invece gli equilibri: ( ϕ = arccos g aω := ϕ ϕ = ϕ, Stefano Siboni 518

definiti e distinti dai precedenti per g aω < 1, essendo dunque ϕ (, π/. (c Stabilità degli equilibri ordinari Le caratteristiche di stabilità o instabilità degli equilibri ordinari possono essere analizzate ricorrendo ai teoremi classici di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale, data la natura posizionale conservativa del sistema scleronomo. A questo scopo si rende necessario calcolare la derivata seconda del potenziale: U (ϕ = 1 mga cos ϕ+ ma ω ( cos ϕ sin ϕ = ma ω e discuterne il segno in ciascuna configurazione di equilibrio. ( g aω cos ϕ+cos ϕ sin ϕ Equilibrio ϕ =, sempre definito Nella fattispecie la derivata seconda del potenziale non presenta segno definito: U ( = 1 mga + ma ω = ma ω ( 1 g aω e costringe a considerare tre diversi casi: per g/aω > 1 si ha U ( < e l equilibrio viene riconosciuto come un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità segue dal teorema di Lagrange-Dirichlet; se g/aω < 1 risulta invece U ( > e l equilibrio è instabile per il teorema di inversione parziale di Lagrange-Dirichlet; qualora sia infine g/aω = 1 ricorre un caso critico di stabilità, perchè U ( = e la natura dell equilibrio non risulta evidente. In effetti, le derivate successive del potenziale si scrivono: U ( (ϕ = ma ω ( g aω sin ϕ sin ϕ U (4 (ϕ = ma ω ( g aω cos ϕ 4 cos ϕ ed in ϕ = diventano: = ma ω ( sin ϕ sin ϕ ( cos ϕ 4 cos ϕ = ma ω U ( ( = U (4 ( = ma ω <. Nell intorno di ϕ = il potenziale ammette quindi lo sviluppo di Taylor: U(ϕ = U( + 1 4! U (4 ( ϕ 4 = U( ma ω ϕ 4 + o(ϕ 4 (ϕ 4 dal quale si evince che l equilibrio costituisce un massimo relativo proprio del potenziale, stabile per Lagrange-Dirichlet. Stefano Siboni 518

Equilibrio ϕ = π, sempre definito In questo caso la derivata seconda del potenziale è comunque positiva: U (π = 1 mga + ma ω ed implica l instabilità dell equilibrio per l inversione parziale di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio ϕ = ϕ, con cos ϕ = g/aω, definito per g/aω < 1 In questa configurazione la derivata seconda del potenziale assume la forma: U (ϕ = ma ω ( g aω cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = = ma ω ( cos ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ = ma ω sin ϕ ed ha quindi sempre segno negativo, in quanto ϕ (, π/. Laddove definito, l equilibrio costituisce perciò un massimo relativo proprio del potenziale, la cui stabilità è assicurata dal teorema di Lagrange-Dirichlet. Equilibrio ϕ = ϕ, con cos ϕ = g/aω, definito per g/aω < 1 In questo equilibrio la derivata seconda del potenziale risulta uguale a quella calcolata nella configurazione simmetrica precedente: U ( ϕ = U (ϕ <. Anche questo equilibrio, quando definito, è stabile per Lagrange-Dirichlet in quanto massimo relativo proprio del potenziale. Come commento conclusivo si può sottolineare che in tutti i casi esaminati l attrattività dell equilibrio è esclusa dalla conservazione dell energia meccanica. (d Equazioni di Lagrange Le equazioni di Lagrange si riducono all unica equazione: d ( L L dt ϕ ϕ = in cui figura la lagrangiana del sistema: L = T + U = ma ( 1 6 + 1 cos ϕ > ϕ + 1 mga cos ϕ + ma ω sin ϕ. 6 Ne seguono le espressioni parziali: L ϕ = ma( 1 + cos ϕ ϕ d ( L = ma ( 1 dt ϕ + cos ϕ ϕ ma cos ϕ sin ϕ ϕ L ϕ = ma cos ϕ sin ϕ ϕ 1 mga sin ϕ + ma ω sin ϕ cos ϕ Stefano Siboni 5184

dalle quali si deduce l equazione del moto richiesta: ma ( 1 + cos ϕ ϕ ma cos ϕ sin ϕ ϕ + 1 mga sin ϕ ma ω sin ϕ cos ϕ =. (e Equilibri di confine Qualora fosse ϕ [ π/, π/] il sistema risulterebbe scleronomo a vincoli unilaterali ideali ed ammetterebbe le configurazioni di confine ϕ = π/ e ϕ = π/. Se queste siano o meno di equilibrio per il sistema lo si può accertare facendo uso del teorema dei lavori virtuali. Configurazione ϕ = π/ In questa configurazione la componente generalizzata delle forze attive vale: Q ϕ (π/ = U (π/ = 1 mga sin ϕ + ma ω sin ϕ cos ϕ = 1 ϕ=π/ mga <, mentre la condizione necessaria e sufficiente per l equilibrio è offerta dal teorema dei lavori virtuali: α ϕ Q ϕ (π/ α ϕ ossia: Q ϕ (π/. La condizione è palesemente violata, per cui la configurazione ϕ = π/ non costituisce in nessun caso un equilibrio di confine del sistema. Configurazione ϕ = π/ Nella fattispecie si ha: Q ϕ ( π/ = U (π/ = 1 mga sin ϕ + ma ω sin ϕ cos ϕ = 1 ϕ= π/ mga >. Il teorema di lavori virtuali porge però la condizione di equilibrio: vale a dire: α ϕ Q ϕ ( π/ α ϕ, Q ϕ (π/. Neppure in questo caso la condizione di equilibrio risulta soddisfatta: si deve perciò concludere che il sistema non ammette alcun equilibrio di confine. Stefano Siboni 5185