Lavoro ed energia Sia dato un coro su cui agisce una forza. Suoniamo che inizialmente il coro sia fermo, dalla relazione F = ma doo un certo intervallo di temo in cui la forza agisce sull oggetto, il coro avrà ercorso un certo sazio s. La forza quindi ha svolto la sua azione rovocando uno sostamento sul coro. Nel momento in cui la forza non agisce iù sul coro, quest ultimo rosegue il suo moto di moto rettilineo uniforme (in accordo con il rinciio d inerzia) oure si ferma se il iano del moto resenta attrito. L azione che la forza imrime sul coro viene definito lavoro comiuto dalla forza (sul coro). Definizione: si definisce lavoro di una forza F su un coro il rodotto scalare tra la forza e lo sostamento che essa determina sul coro stesso, cioè r r L = F s = Fs cosα dove α raresenta l angolo comreso tra la direzione della forza e la direzione dello sostamento. L unità di misura del lavoro è il Joule si ricava dalla relazione dimensionale: [ N m] = [ J ] Una forza comie un lavoro di un Joule se rovoca su un coro uno sostamento di metro quando essa ha l intensità di un Newton. Osservazione. Se la forza e lo sostamento sono concordi l angolo α vale zero cos ( 0) =. Se la forza e lo sostamento sono discordi l angolo α vale 80 cos( 80) = 3. Se la forza e lo sostamento sono erendicolari l angolo α 90 cos ( 90) = 0 Nel rimo caso lo sostamento è concorde alla forza che ertanto comie un lavoro ositivo. Nel secondo caso lo sostamento è discorde alla forza che ertanto comie un lavoro negativo. Nel terzo caso lo sostamento è erendicolare alla forza che ertanto non comie un lavoro. Nel caso in cui forza e sostamento non siano aralleli (concordi o discordi), soltanto una arte della forza comirà un lavoro, infatti solo una comonente della forza (e non la sua totalità) rovocherà lo sostamento, quindi quest unica comonente arallela a Infatti: s comie un lavoro.
F r α s La forza (nella sua totalità) non genera sostamento, quindi il lavoro da essa comiuto è r r L = F s = Fs cosα Poiché 0 < α < 90 si ha che 0 < cosα <, quindi il lavoro in questo caso assume un valore minore del rodotto Fs. Osservazione Se una lo sostamento di un coro avviene erendicolarmente ad una forza, quest ulitma non comie lavoro. Precisiamo meglio questo concetto. Se andando a scuola abbiamo lo zaino in salla, esso si sosta arallelamente al suolo e quindi tale sostamento è erendicolare risetto al forza di gravità. direzione forza eso sostamento Poiché lo sostamento e la forza eso sono erendicolari, quest ultima non comie lavoro sullo zaino, ciò non significa che lo studente che trasorta o zaino non faccia fatica, infatti egli si oone alla forza attrattiva della forza eso sostenendo la cartella (rinciio di azione e reazione). Cioè se sostamento e forza sono erendicolari non vuol dire che er forza nessuno debba alicare una forza. Osservazione Se su un oggetto agiscono iù forze, abbiamo visto che la risultante dell azione delle forza è data dalla somma delle singole forze, cioè F ris = F Analogamente il lavoro risultante comiuto da singole forze su un oggetto è data dalla somma dei singoli lavori comiuti da ognuna delle forze agenti.
F r F r 3 F r L = L + Tale risultato si uò esrimere anche dove sris è la risultante degli sostamenti. + = L L3 F s F s F3 s3 L ris L ris cioè = F + = L ris s ris + Definizione: si definisce otenza il raorto tra il lavoro comiuto da una forza e l intervallo di temo in cui essa lo comie, cioè P = L unità di misura della otenza si misura è il Watt, esso si ricava dalla relazione: J s Una forza ha la otenza di watt se in un secondo comie un lavoro ari ad Joule. = L t [ W ] Energia cinetica e otenziale Consideriamo il seguente esemio. Suoniamo di avere un meccanismo che roduca energia in seguito alla forza con cui si colisce un suorto. Raresentiamo schematicamente tale macchina. Consideriamo alcune ossibilità
Situazione : oggetto avente massa uguale lasciato cadere da altezze diverse L oggetto di massa m viene lasciato cadere da un altezza h, esso 0 0 quando colisce il suorto rodurrà un energia E che verrà segnalata dal contatore a sinistra 0 0 L oggetto di massa m viene lasciato cadere ora da un altezza h > h, esso quando colisce il suorto rodurrà un energia E > E. La velocità di imatto del coro in questo caso è maggiore risetto alla rima situazione, quindi er un oggetto che cade da un altezza h e oi da h > h si ha: altezza h velocità di imatto v energia rodotta E altezza h velocità di imatto v energia rodotta E confrontando i dati abbiamo altezza h > h velocità di imatto v > v energia rodotta E > E
Conclusione Se un oggetto viene lasciato cadere da un altezza h esso roduce un energia E quando colisce il suorto con una velocità v. All aumentare dell altezza aumenta la velocità di imatto e l energia rodotta. Situazione : oggetti avente masse diverse lasciati cadere da altezze uguali L oggetto di massa m 0 0 viene lasciato cadere da un altezza h, esso quando colisce il suorto rodurrà un energia E che verrà segnalata dal contatore a sinistra L oggetto di massa 0 0 m viene lasciato cadere da un altezza h, esso quando colisce il suorto rodurrà un energia E > E. La velocità di imatto del coro in quest ultimo caso è maggiore risetto alla rima situazione, quindi er oggetti diversi che cadono da una stessa altezza h si ha: massa m velocità di imatto v energia rodotta E massa m velocità di imatto v energia rodotta E
confrontando i dati abbiamo Conclusione massa m > m velocità di imatto v > v energia rodotta E > E Se oggetti aventi masse diverse vengono lasciati cadere da una stessa altezza h essi roducono un energie E ed E diverse quando coliscono il suorto con una velocità v,v della massa aumenta la velocità di imatto e l energia rodotta.. All aumentare Con questo esemio abbiamo voluto illustrare il fatto che la velocità di imatto roduce energie diverse, ma l energia rodotta diende dalla velocità e dalla massa del coro e dall altezza. Possiamo concludere che l energia rodotta diende rorio da queste due caratteristiche: altezza e massa che determinano la velocità di imatto che genera energia. L energia quindi che diende da massa e altezza viene trasortata dalla velocità del coro che colisce il suorto. Osservazione Poiché negli esemi trattati agisce al forza eso e vi è uno sostamento di un coro, la forza eso roduce su di esso un lavoro. Definizione: si definisce energia cinetica l energia osseduta dai cori in movimento, essa vale Ec = mv L unità di misura dell energia cinetica è il Joule, infatti m m = kg s s m = kg m = N m = s kg [ ] [ J ] Osservazione (equivalenza tra lavoro ed energia cinetica) Un coro che viene lasciato cadere da fermo arte con velocità nulla, quindi v = 0 0 0 E = c0 Un istante rima che esso raggiunga il suolo ha velocità massima, quindi v max E max = mv Su di esso comie lavoro la forza eso tale lavoro serve er far aumentare la velocità del coro dal valore iniziale al valore finale. Poiché sia il lavoro sia l energia cinetica si misurano in Joule, raresentano la stessa caratteristica er il coro da due unti di vista diversi. max
Riensando all esemio della macchina visto in recedenza abbiamo: lavoro velocità Più lavoro comie la forza eso sull oggetto maggiore sarà la velocità acquisita dal coro che ertanto è in grado di rodurre iù energia. All aumentare del lavoro, cioè dello sazio di caduta, aumenta la velocità finale del coro. velocità lavoro Nell aumentare la roria energia nel moto di caduta il coro utilizza e converte il lavoro che la forza eso comie su di esso. Maggiore sarà la velocità finale del coro tanto iù lavoro è necessario da arte della forza eso er raggiungere tale risultato. La relazione tra energia cinetica e lavoro è data dal Teorema dell energia cinetica Il lavoro comiuto dalla forze agenti su un coro è uguale alla variazione di energia cinetica L = mv f mv i oure L = Ec Cioè un coro utilizza il lavoro che viene comiuto su di esso er modificare la roria velocità, oure ossiamo dire in maniera equivalente er modificare la velocità di un coro è necessario un lavoro ari alla variazioni di energia cinetica. Definizione: si definisce energia otenziale l energia osseduta dai cori in relazione alla loro osizione e alla forza cui sono sottoosti. E = mgh energia otenziale gravitazionale kx E = energia otenziale elastica L unità di misura dell energia otenziale è il Joule, infatti (caso gravitazionale): m kg m = = s [ N m] [ J ] Riensiamo semre all esemio della macchina er rodurre energia. Se l oggetto è aoggiato sul iano, esso non roduce energia.
Se alziamo l oggetto e lo lasciamo cadere, esso roduce energia in quantità direttamente roorzionale alla massa del coro e alla sua altezza. Cioè il movimento che realizziamo er alzarlo fa si che l oggetto si carichi di energia che restituisce al momento dell imatto con il macchinario. Più lo alziamo iù il coro si carica di energia che ermette di ottenere una velocità di imatto maggiore quando esso viene rilasciato. Quando alziamo il coro ero, viene comiuto un lavoro contrario alla forza eso, infatti esso viene sostato arallelamente a contro la forza eso. F ma in senso discorde. Pertanto il lavoro che esso riceve è un lavoro Quando oi viene rilasciato la forza eso agisce concordemente allo sostamento e ne fa aumentare la velocità da zero al valore massimo. Quindi un bilancio energetico ermette di affermare: viene comiuto un lavoro contrario alla forza eso, cioè il coro viene caricato di energia, acquista quindi la caacità di rilasciare questa energia comiendo un lavoro il lavoro comiuto sul coro viene utilizzato er aumentare l energia cinetica Possiamo concludere: quando il coro cade erde l energia acquistata e la cede comiendo lavoro; quando il coro viene sostato verso l alto, acquista caacità di comiere lavoro. Relazione tra forza eso e lavoro. Un coro quando cade allora erde energia otenziale (assa da unti con energia otenziale maggiore a unti con energia otenziale minore), il lavoro comiuto dalla forza eso è ositivo (forza eso e sostamento sono concordi). Un coro quando viene sostato verso l alto acquista energia otenziale (assa da unti con energia otenziale minore a unti con energia otenziale maggiore) ), il lavoro comiuto dalla forza eso è negativo (forza eso e sostamento sono discordi). Generalizzando il risultato ottenuto ossiamo affermare che la variazione di energia otenziale e lavoro ertanto è data dalla seguente relazione generale: L = E Per far acquistare energia otenziale ad un coro si deve comiere un lavoro contro una forza. Se un coro cede energia otenziale essa viene utilizzata er comiere lavoro. Relazione tra lavoro ed energia otenziale
Forze conservative Definizione: una forza si dice conservativa se: il lavoro che essa comie diende dal unto iniziale e dal unto finale ma non dalla traiettoria seguita oure (equivalente) il lavoro che essa comie su una qualsiasi traiettoria chiusa è nullo. Osservazione La distanza tra il unto finale e il unto iniziale è lo sostamento resente tra i due unti. Per forza conservativa il lavoro non diende dalla traiettoria, cioè scomonendo la traiettoria in comonente orizzontale e verticale, si ha che F A B Indicando con F il verso della forza, il lavoro è ositivo lungo gli sostamenti orizzontali e nullo lungo gli sostamenti verticali. Il lavoro diende quindi solo dagli sostamenti orizzontali (quelli aralleli alla forza F) che messi uno di seguito all altro danno come risultato lo sostamento che orta il unto da A a B nel verso della forza. Nel caso di una traiettoria chiusa il lavoro di una forza conservativa è nullo, oiché il unto iniziale e il unto finale coincidono quindi lo sostamento è nullo. A B Distanza AB = 0
Viceversa è ossibile affermare che: se il lavoro comiuto da una forza lungo una traiettoria diende soltanto dal unto iniziale e dal unto finale, essa è conservativa oure se una forza comie lavoro nullo lungo una traiettoria chiusa, essa è conservativa. Osservazione(forze non conservative) Una forza non è conservativa se il lavoro che essa comie diende dalla traiettoria oure se lungo un cammino chiuso comie un lavoro non nullo. L attrito è una forza non conservativa, esso infatti si oone semre al moto e alle forze. Princiio di conservazione dell energia meccanica. Definizione: si definisce energia meccanica di un coro la somma della sua energia otenziale e della sua energia cinetica Consideriamo semre l esemio della macchina che roduce energia quando viene colito il suorto. 0 0 Quando l oggetto è fermo nella sua osizione iniziale l energia cinetica è nulla ( v = 0 ), mentre l energia otenziale è massima in quanto è massima l altezza.
0 0 Non aena l oggetto inizia a cadere l energia otenziale inizia a diminuire, quindi la forza eso comie un lavoro ositivo ( L = E ) il cui risultato è quello di far aumentare la velocità del coro. 0 0 Quando l oggetto colisce il suorto l energia otenziale è nulla ( h = 0) e l energia cinetica è massima. Questo esemio vuole mettere in luce come l energia osseduta inizialmente venga utilizzata er colire il suorto. Ad altezze diverse corrisondono energie rodotto diverse e quindi diverse velocità di imatto. Dall analisi del comortamento dell energia cinetica e otenziale in relazione al lavoro ossiamo dire che: L = E L = Ec L energia otenziale ceduta in seguito alla caduta del coro equivale al lavoro comiuto dalla forza eso che serve a sua volta er far aumentare la velocità del coro e quindi la sua energia cinetica.
L energia otenziale osseduta inizialmente viene quindi convertita in energia cinetica, durante la caduta inoltre le due energie sono tali che la variazione (negativa) di energia otenziale corrisonde alla variazione (ositiva) di energia cinetica. Infatti dalle relazioni L E L = E si ha = e c E c + E = 0 Cioè la variazione di energia meccanica er un coro non varia. Varia l energia otenziale e l energia cinetica ma non la loro somma. Il lavoro uò essere considerato il mezzo attraverso il quale l energia assa da un coro all altro e da una forma all altra. Teorema di conservazione dell energia meccanica er forze conservative L energia meccanica totale osseduta da un coro è costante ed è data dalla somma dell energia cinetica e dell energia otenziale. E + E = E c Osservazione La forza di gravità e la forza elastica sono forze conservative, ertanto in assenza di attrito ossiamo scrivere: tot. teorema di conservazione dell energia meccanica er la forza gravitazionale mv + mgh = dove h è l altezza risetto ad un livello fissato (risetto al quale l energia otenziale è nulla). teorema di conservazione dell energia meccanica er la forza elastica mv + kx = dove k è la costante elastica della molla e x è l allungamento risetto al osizione di equilibrio. E tot E tot Princiio di conservazione dell energia Un sistema si dice isolato se non uò avere scambi di materia o interazioni con l esterno. Poiché l energia non si crea e non si distrugge, l energia osseduta da un sistema isolato rimane semre costante. Abbiamo visto che nel caso di forze conservative ciò corrisonde alla conservazione del energia meccanica. Nel caso di forze non conservative il rinciio di conservazione dell energia vale ugualmente, infatti si ha che:
quando su un coro agiscono forze non conservative la sua energia meccanica diminuisce, essa viene ertanto dissiata; l energia meccanica dissiata non è ersa ma viene convertita in altra forma di energia, in articolare nel caso della resenza di attrito l energia meccanica viene convertita in energia termica. Possiamo scrivere allora: E + E + E = E c Cioè l energia totale di un sistema isolato si conserva ed è data dalla somma dell energia cinetica, dell energia otenziale e dell energia meccanica dissiata da forze non conservative. d tot