2 a Esercitazione: soluzioni A cura di Monica Bonacina Corso di Microeconomia A-K, a.a. 202-203 La maggior parte dei quesiti riportati di seguito è tratta da temi d esame. De nizioni. Si de niscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e gra ci. Def. Elasticità incrociata. Soluzioni. L elasticità incrociata misura la variazione percentuale della quantità domandata di un bene (ad esempio il bene ) conseguente ad un aumento di un punto percentuale del prezzo di un altro bene (ad esempio il bene ). Def. 2 Bene inferiore. Soluzioni. Un bene inferiore è un bene il cui consumo diminuisce all aumentare del reddito. Def. 3. Vincolo di bilancio intertemporale. Soluzioni. Il vincolo di bilancio intertemporale può essere espresso sia in valore attuale che in termini futuri. In valore attuale stabilisce l uguaglianza fra il valore attuale della spesa per beni di consumo ed il valore attuale dei redditi che il consumatore guadagna nell arco di tempo considerato: +i C + C 0 = +i M + M 0 dove C 0 è il consumo nel periodo presente, C quello nel consumo futuro, M 0 è il reddito guadagnato nel periodo presente, M quello nel periodo futuro ed i il tasso di interesse. Similmente il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri stabilisce l uguaglianza fra il valore futuro della spesa per beni di consumo ed il valore futuro dei redditi del consumatore nell arco di tempo considerato:. C + ( + i) C 0 = M + ( + i) M 0 Ragazzi, se avete bisogno di contattarmi, la mia mail è monica.bonacina@unibocconi.it!
2 Vero/Falso. Si stabilisca se gli enunciati sono veri, falsi, o incerti. Si fornisca una spiegazione (anche gra ca se opportuno) e si argomenti compiutamente la risposta. Vero/Falso 4 Se la funzione di domanda di un bene è perfettamente anelastica, signi ca che esiste un perfetto sostituto di quel bene. Soluzioni. FALSO. Una curva di domanda perfettamente anelastica indica che il consumatore non è disposto a rinunciare all acquisto del bene qualunque sia suo prezzo; dunque non esistono sostituti del bene. Vero/Falso 5 Se il bene è un bene inferiore, una diminuzione della pressione scale (ovvero una riduzione delle tasse sul reddito) non servirà a stimolarne la domanda. Soluzioni. VERO. La diminuzione della tassa sul reddito genera un incremento del reddito disponibile per acquisto di beni di consumo (il consumatore diventa relativamente più ricco). Nel caso di beni inferiori, all aumentare del reddito diminuisce la domanda. Quindi, il provvedimento non stimola la domanda del bene, anzi ne produce una riduzione. Vero/Falso 6 Se l elasticità dei cioccolatini rispetto al reddito è pari a 3 e il reddito si riduce del 0% allora la quantità domandata di cioccolatini deve crescere del 30%. Soluzioni. FALSO. Sostituendo i valori del testo nella formula dell elasticità dei cioccolatini (bene ) rispetto al reddito (M), " reddito = = M=M ( M=M = 0% e " reddito = 3) si ottiene che la quantità domandata deve diminuire del 30% ( = = 30%). Vero/Falso 7 Un soggetto dispone di 24 ore di tempo libero T (in ascissa) e di nessuna una unità di bene di consumo (in ordinata); supponiamo che il salario orario sia w, e che il prezzo del bene di consumo sia p. Allora il suo vincolo di bilancio è = 24 (w=p)t. Soluzioni. FALSO. Sostituendo nella forma generale del vincolo di bilancio si ottiene. p = w(24 T ) = w p 24 w p T Vero/Falso 8 Un consumatore ha la seguente funzione di utilità per Mango (M) e Papaia (P): U(M; P ) = M a P b, con a e b positivi e (a+b)<. Allora l elasticità della domanda di Mango rispetto al prezzo del Mango è -(a+b). Soluzioni. FALSO. Nel caso di preferenze di tipo Cobb-Douglas, l elasticità della domanda di ciascun bene rispetto al proprio prezzo è pari ad uno (in valore assoluto). 2
Vero/Falso 9 Se e sono perfetti complementi, allora l elasticità della domanda di bene rispetto al prezzo di è nulla. Soluzioni. FALSO. Nel caso di beni perfetti complementi un aumento del prezzi di comporta una contrazione della domanda di (perchè il consumatore desidera consumarli congiuntamente). Vero/Falso 0 Nello scegliere come allocare il tempo disponibile tra tempo libero e tempo dedicato al lavoro, un individuo razionale deciderà sempre di lavorare di più in seguito ad un aumento del salario. Soluzioni. INCERTO. Se il consumatore riceve un salario orario più elevato potrebbe anche decidere di lavorare meno ore perchè può guadagnare lo stesso reddito (e dunque permettersi lo stesso consumo) raggiunto in precedenza impegnando meno ore. Vero/Falso In seguito ad un aumento del tasso di interesse un risparmiatore potrebbe decidere di indebitarsi. Soluzioni. FALSO. In seguito all aumento del tasso di interesse il risparmiatore potrebbe ridurre il suo livello di risparmio (che, come evidenziato dal gra co sottostante potrebbe passare da S = M 0 C0 a S0 = M 0 C0 < S) ma non è possibile che il paniere ottimo appartenga al tratto di vincolo di bilancio caratterizzato da un consumo presente superiore al reddito presente. C Nuovo paniere ottimo iniziale M Paniere delle dotazioni iniziali +i C* 0 C** 0 M 0 C 0 Vero/Falso 2 Le preferenze di Guido per consumo presente (C 0 ) e consumo futuro (C ) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: U(C 0 ; C ) = min(c 0 ; C ). I prezzi dei due beni sono entrambi pari ad. Guido sa che il suo reddito di quest anno è M 0 = 20, mentre il reddito del prossimo anno è M = 40. Qualunque sia il tasso di interesse (i), Guido deciderà di risparmiare. Soluzioni. FALSO. Il paniere ottimo di Guido, stanti le preferenze del consumatore, si caratterizzerà per un livello di consumo presente pari al livello di consumo futuro (infatti dalla funzione di utilità si evince che la retta dei vertici è C 0 = C ). Dato che il reddito prsente di Guido è inferiore al reddito futuro ( M 0 < M ) ci aspettiamo che Guido si indebiti. 3
Vero/Falso 3 In seguito ad una riduzione del tasso di interesse un soggetto mutuatario (che è indebitato) potrebbe decidere di risparmiare. Soluzioni. FALSO. In seguito alla contrazione del tasso di interesse il debitore deciderà sicuramente di aumentare il suo livello di indebitamento (come si evidenzia nel gra co sottostante). C Paniere delle dotazioni iniziali iniziale M Nuovo paniere ottimo M 0 +i C* 0 C** 0 Nuovo vincolo di bilancio C 0 Vero/Falso 4 Un consumatore spende 5 euro in cappuccini qualunque sia il loro prezzo. Dunque l elasticità della domanda di cappuccini al prezzo per questo consumatore è unitaria. Soluzioni. VERO. Se la curva di domanda si caratterizza per un valore unitario dell elasticità in seguito ad un aumento del prezzo del bene dell %, la quantità domandata si ridurrà esattamente dell %; quindi la spesa totale nel bene restarà invariata. Vero/Falso 5 Un valore negativo dell elasticità della domanda di al prezzo di ci indica che i beni e sono sostituti. Soluzioni. FALSO. Se in seguito ad un aumento del prezzo del bene la domanda di bene si riduce signi ca che i beni e sono complementi. Se i beni fossero sostituti in seguito ad un aumento del prezzo di aumenterebbe la domanda di bene ; quindi l elasticità della domanda di al prezzo di sarebbe positiva. Vero/Falso 6 La curva di Engel non può mai essere inclinata negativamente. Soluzioni. FALSO. La curva di Engel descrive come varia la domanda di un bene al variare del reddito. La pendenza della curva di Engel è positiva (ad indicarci che i consumo aumenta se il reddito aumenta) se il bene considerato è un bene normale; è negativa se il bene considerato è un bene inferiore. Vero/Falso 7 Il paniere ottimo di Paolo si caratterizza per un livello di consumo futuro maggiore del consumo presente; quindi Paolo è un risparmiatore. 4
Soluzioni. INCERTO. Paolo sarà un risparmiatore se il suo panire ottimo di consumo conterrà un livello di consumo presente, C 0, inferiore al reddito presente, M 0 ; Paolo si indebiterà se il suo panire ottimo di consumo conterrà un livello di consumo presente, C 0, speriore al reddito presente, M 0. Vero/Falso 8 La domanda di vasi in ceramica è Q D =000-P; quindi un aumento dell % nel prezzo dei vasi in ceramica ridurrà le vendite dell %. Soluzioni. INCERTO. La domanda considerata si caratterizza per un elasticità unitaria quando Q*=500, P*=500 (ovvero in corrispondenza del punto medio). Se il prezzo dei vasi di ceranmica è maggiore di 500 ci troviamo lungo il tratto elastico della curva di domanda; quindi un amento dell % nel prezzo comporterà una contrazione più che proporzionale nelle vendite. Se il prezzo dei vasi di ceranmica è inferiore a 500 ci troviamo lungo il tratto inelastico della curva di domanda; quindi un amento dell % nel prezzo comporterà una contrazione meno che proporzionale nelle vendite. L elasticità della curva di domanda non è costante. Vero/Falso 9 Se in seguito ad un aumento nel prezzo del bene, non si riduce la quantità complessivamente domandata di, possiamo concludere che non esistono sostituti perfetti di. Soluzioni. VERO. Se un aumento nel prezzo del bene non comporta contrazioni nella quantità domandata signi ca che non esistono sostituti di questo bene. Vero/Falso 20 Un soggetto sa che il suo reddito di quest anno è M 0, mentre il reddito del prossimo anno è M. Quel soggetto può consumare il bene C 0 quest anno e il bene C nel prossimo anno. Se i prezzi dei due beni sono entrambi pari a e il tasso di interesse è i, allora il vincolo di bilancio si può scrivere come C = M 0 + M ( + i) C 0 ( + i). Soluzioni. FALSO. Il vincolo di bilancio intertemporale espresso in termini futuri sarà C = M 0 ( + i) + M C 0 ( + i). 3 Esercizi. Si risolvano i seguenti esercizi. Esercizio Gustavo spende tutto il suo reddito settimanale per acquistare caramelle (bene ) e cioccolatini (bene ). Il suo reddito settimanale è pari a M ed i prezzi dei due beni sono rispettivamente pari a p x e p y. La funzione di utilità di Gustavo è: U(; ) = a b. () Derivate analiticamente e rappresentate in un opportuno gra co il paniere ottimo di Gustavo supponendo che p x = 4, p y = 4 e M = 80. (2) Per un generico valore del reddito (M) e dei prezzi dei due beni ( p x e p y ), scrivete la curva di domanda di Gustavo per il bene. (3) De nite il concetto di elasticità della domanda di un bene rispetto al prezzo e calcolate l elasticità della domanda di caramelle rispetto al proprio prezzo e rispetto al prezzo del bene. Discutete i risultati ottenuti. (4) Se il prezzo del bene aumentasse dell %, di quanto varierebbe il consumo di caramelle? Argomentate. Soluzioni. () Il vincolo di bilancio di Gustavo è p x + p y = M! = M p y p x p y! = 20 5
ed il paniere ottimo di Gustavo si ottiene risolvendo il seguente sistema vincolo di bilancio condizione di tangenza CdI e VdB () La pendenza del vincolo di bilancio (in valore assoluto) è p x =p y = 4=4 = mentre la pendenza della curva di indi erenza (in valore assoluto) è pari al saggio marginale di sostituzione dove in quanto MRS = MUx MU y = a b MU x = @U(; ) @ = a a b e MU y = @U(; ) @ = b a b Quindi sostituendo vincolo di bilancio = 20 condizione di tangenza CdI e VdB! a b = px p y da cui = b e gra camente = a+b 20 a a+b 20 M/p y * Curva di indifferenza Vincolo di bilancio * M/p x (2) Se la funzione di utilità è di tipo Cobb-Douglas, la curva di domanda per il bene si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello nell eq. () ottenuto per valori generici di reddito e prezzi dei beni. Formalmente ( vincolo di bilancio = M condizione di tangenza CdI e VdB! p y a b = px p y p x p y sostituendo poi il valore di (ovvero del bene di cui NON vogliamo calcolare la curva di domanda) ottenuto dal vincolo di bilancio ( = (M=p y ) (p x =p y )) nella condizione di tangenza tra vincolo di bilancio e curva di indi erenza otteniamo a b = px p y! a (M=p y) b (p x=p y) = px p y! = a M a+b p x che è esattamente la domanda del bene. Notate che la domanda di Gustavo per bene dipende dalle preferenze di Gustavo (attraverso i parametri a e b), dal reddito e dal prezzo del bene (ma non dal prezzo del bene ). 6
(3) L elasticità della domanda di un bene al proprio prezzo è de nita come la variazione percentuale della quantità domandata del bene rispetto ad una variazione di prezzo dell %: " = p x p x ' @ p x @p x dove ( @=@p x ) è la pendenza della curva di domanda. Stante la forma della curva di domanda di abbiamo che " = @ @p x p x = a M a+b p 2 x ricordando poi che =[a/(a+b)]m/p x e sostituendo otteniamo " = a M p x a a+b p 2 x = a+b p x M p x p 2 a M x a+b px = L elasticità incrociata di rispetto a p y misura la variazione percentuale della quantità domandata di bene conseguente ad un aumento di un punto percentuale del prezzo di. " incrociata = @ p y @p y Dal momento che la domanda di bene non dipende dal prezzo del bene, l elasticità incrociata sarà pari a zero: qualunque variazione nel prezzo di non comporta alterazioni nel consumo di. (4) Se il prezzo del bene aumentasse dell %, il consumo di caramelle non subirebbe variazioni. L aumento del prezzo provocherebbe una rotazione verso l interno del vincolo di bilancio (con perno in corrispondenza dell intercetta orizzontale). Il consumo di bene si ridurrebbe mentre non varierebbe il consumo ottimo di bene. Esercizio 2. Il signor Rossi ha a disposizione 24 ore, che può fruire come tempo libero oppure impiegare per lavorare onde ottenere un reddito per consumare altri beni. Le preferenze di Rossi relativamente alle ore di tempo libero (T, misurato in ascissa) e altri beni (, misurati in ordinata) sono descritte dalle seguente funzione: U(T; ) = T 0:6 0:6. Il prezzo degli altri beni è p = euro, mentre il salario orario è pari a w = 9 euro. () Calcolate e fornite una rappresentazione gra ca del paniere ottimo scelto da Rossi speci cando pendenza ed intercette del vincolo di bilancio. Stante la forma della funzione di utilità, discutete della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Supponete che il salario orario raddoppi (w0 = 8 euro). Discutete le conseguenze di tale aumento sulla decisione ottima di Rossi. In particolare: quanto lavorava prima e quanto lavora adesso? (3) Supponete che la funzione di utilità di Rossi sia U(T; ) = T 0:8 0:4. Senza fare calcoli, argomentate come varierebbe la scelta ottima di Rossi rispetto a quanto trovato al punto, a parità di prezzi e di salario (p = euro e w = 9 euro). Soluzioni. () Si tratta di un problema da a rontare con gli strumenti standard della teoria del consumatore: i due beni oggetto di consumo sono il tempo libero (T) ed il paniere contenente tutti gli altri beni di consumo ; le preferenze di Rossi sono di tipo Cobb-Douglas, per cui le curve di indi erenza sono decrescenti e convesse. Dato che Rossi ha a disposizione 24 ore e che T indica il numero di ore destinate a tempo libero, L = 24 T indica le ore destinate ad attività lavorativa. Il vincolo di bilancio di Rossi è ottenuto come segue: p = wl 7
la spesa in beni di consumo deve eguagliare il reddito a disposizione. Ricordando poi che L=24-T si ottiene p = w(24 T )! = w p (24 T )! = 26 9T Se Rossi gode interamente delle sue 24 ore nella forma di tempo libero non ottiene alcun reddito e dunque non consuma alcuna quantità degli altri beni: l intercetta orizzontale è dunque il punto (24;0). Se Rossi lavorasse tutto il giorno, 24 ore, guadagnerebbe un reddito pari a 9 24 = 26; dunque l intercetta verticale è (0;26). In ne la pendenza del vincolo di bilancio, in valore assoluto, è w/p=9. Data la funzione di utilità, si deduce che il saggio marginale di sostituzione è MRS = MU T MU = 0:6(T 0:6 0:6 ) 0:6(T 0:6 0:6 ) = 0:6(T 0:4 0:6 ) 0:6+0:4 0:6 0:6(T 0:6 0:4 ) = 0:6T = 0:6+0:4 T ed è quindi crescente in e decrescente in T. Ne deduciamo che il consumatore manifesta una preferenza per la varietà ovvero che il paniere ottimo di Rossi si caratterizzerà per la presenza sia di bene T che di bene. I beni non sono né perfetti sostituti né perfetti complementi. Il paniere ottimo si ottiene risolvendo il sistema costituito dal vincolo di bilancio e dalla condizione di tangenza fra vincolo e curva di indi erenza. Formalmente vincolo di bilancio = 26 9T = 26 9T condizione di tangenza CdI e VdB!! = 9T da cui T*=2 ed *=08. T = w p 24w/p * Curva di indifferenza 9 Vincolo di bilancio T* 24 T (2) L aumento del salario incide certamente sul vincolo di bilancio. Non si modi- ca l intercetta orizzontale, ma cambiano pendenza (w /p=8) ed intercetta verticale (T=0; =432). Il nuovo vincolo di bilancio è p = w 0 (24 T )! = w0 p (24 T )! = 432 8T Il paniere ottimo si ottiene risolvendo un sistema analogo a quello precedente ma con il nuovo vincolo e la nuova pendenza del vincolo di bilancio. Formalmente vincolo di bilancio = 432 8T condizione di tangenza CdI e VdB!! = 26 T = 2 T = w0 p La scelta ottima di tempo libero di Rossi non muta, ma avendo un maggiore reddito il consumatore può permettersi più elevati livelli di consumo. Rossi consuma 2 ore 8
di tempo libero, cioè lavora 24 2 = 2 ore, sia prima sia dopo il raddoppio del salario. (3) In questa nuova funzione di utilità l esponente del tempo libero è maggiore a quello degli altri beni (in particolare il primo è il doppio del secondo), indicando che il contributo del tempo libero alla soddisfazione di Rossi è maggiore di quello degli altri beni. Il tempo libero è ora per Rossi relativamente più prezioso degli altri ben; ci aspettiamo quindi che Rossi ora scelga di consumare più tempo libero - a parità di prezzo degli altri beni e di salario - e meno bene. Esercizio 3 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra ci. Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene di consumo sono complementi perfetti. () Rappresentate il vincolo di bilancio del individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune curve di indi erenza dell individuo, spiegando il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti passando da p a p0 > p. Come si modi ca la scelta ottima dell individuo? Soluzioni. () Il vincolo di bilancio del nostro individuo è costituito da tutte le combinazioni dei bue beni (tempo libero e consumo) che egli si può permettere tenendo conto della sua dotazione di tempo (24 ore), del salario orario (w) e del prezzo del bene (p). Il vincolo di bilancio è p = w(24 T )! = w p (24 T ) e si caratterizza per una pendenza (in valore assoluto) pari a w/p, un intercetta orizzontale T=24 ed una verticale =24w/p. Gra camente 24w/p w/p Vincolo di bilancio 24 T (2) Se i beni sono complementi perfetti, l utilità dell individuo non aumenta se viene aumentata la quantità di uno solo dei due beni. L usuale forma della funzione di utilità per questo caso è U(T; ) = min fat; b g dove T è la quantità di tempo libero, quella di bene di consumo, ed a,b sono parametri non negativi. Gra camente si tratta di curve di indi erenza dalla tipica forma a "L" il cui vertice giace lungo la retta at = b! = a b T ; (2) infatti partendo da una combinazione appartenente alla retta dei vertici ed aumentando la disponibilità di uno solo dei due beni non modi chiamo la soddisfazione 9
del consumatore: ciò signi ca che il tratto orizzontale a destra di, e quello verticale sopra, ciascuno di questi punti costituiscono la curva di indi erenza relativa a quel punto. In altri termini, ogni curva di indi erenza è un angolo retto che ha vertice in uno dei punti appartenenti alla retta in (2). La scelta ottima dell individuo si trova nel punto di intersezione tra vincolo di bilancio e retta dei vertici: 24w/p Retta dei vertici a/b * Curva di indifferenza w/p Vincolo di bilancio T* 24 T (3) Se il prezzo del bene aumenta, il vincolo di bilancio ruota verso l interno facendo perno in corrispondenza dell intercetta orizzontale. L intercetta orizzontale non si modi ca, perché non dipende dal prezzo del bene mentre l intercetta verticale diminuisce 24w/p Vincolo di bilancio nuovo (segmento continuo) e vecchio (tratteggiato) 24w/p w/p 24 T La nuova scelta ottima si caratterizza per un livello di consumo e tempo libero inferiori 0
a quelle iniziali. 24w/p Retta dei vertici a/b Vecchio paniere ottimo * ** Curva di indifferenza nuovo paniere ottimo w/p Vincolo di bilancio T** T* 24 T Esercizio 4 Luca rma un contratto di lavoro per due anni. Il contratto prevede una retribuzione di 000e il primo anno (M = 000) e di 00e il secondo anno (M 2 = 00). Luca può prendere e dare a prestito ad un tasso d interesse di mercato pari al 0% (r = 0%). Indichiamo con C il consumo presente e con il consumo futuro (i prezzi dei beni di consumo sono costanti e uguali ad ). () Scrivete il vincolo di bilancio intertemporale di Luca e rappresentatelo in un opportuno gra co indicando chiaramente le intercette, la pendenza ed il paniere delle dotazioni iniziali. (2) Le preferenze di Luca sono espresse dalla seguente funzione di utilità intertemporale: U(C ; ) = min f; C ; g. Determinate i livelli ottimali di consumo nei due periodi e dite se Luca è risparmiatore o mutuatario. (3) Ipotizzate che il tasso d interesse aumenti e che il nuovo tasso sia pari al 20% (r0 = 20%). Attraverso un opportuno gra co discutete l e etto di tale aumento sulla scelta ottima di Luca e sulla sua decisione di prendere o dare a prestito. Soluzioni. () Per calcolare il vincolo di bilancio intertemporale di Luca è necessario riportare tutte le variabili (reddito e consumo) alla stessa data. Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Luca è P V (M) = M + M 2 +r e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] di Luca è P V (C) = p C + p 2 +r = C + +r essendo p = p 2 = ; dunque il vincolo di bilancio intertemporale del nostro consumatore (espresso in valore attuale) è da cui P V (M) = P V (C)! M + M 2 +r = C + +r = ( + r) C + M ( + r) + M 2! = ; C + 2200 La pendenza del vincolo di bilancio di Luca è, in valore assoluto Gra camente
M 2 +M (+r) Dotazioni iniziali 2200 Dotazioni iniziali M 2 D 00 D M M +M 2 /(+r) C 000 2000 C (2) Le preferenze di Luca indicano che consumo presente e consumo futuro sono perfetti complementi (curve di indi erenza ad "L"); quindi il paniere ottimo per il consumatore si collocherà all intersezione tra vincolo di bilancio (VdB) intertemporale e retta dei vertici (RdV). Formalmente V db RdV ) C2 = ; C + 2200 2; 2C = 2200 C ) ) = 000 ; C = ; C = C2 = 00 Gra camente 2200 Retta dei vertici =, C 00 D 000 2000 C Dal momento che il paniere ottimo del nostro consumatore coincide con il paniere delle sue dotazioni, ne consegue che Luca non è nè risparmiatore nè mutuatario infatti il isparmio (S) di Luca nel primo periodo è S = M C = 000 000 = 0 Quanto sopra si veri ca in quanto il paniere delle dotazioni appartiene alla retta dei vertici. (3) Il tasso di interesse raddoppia (aumentano gli interessi che un mutuatario deve versare per debito contratto, e che un risparmiatore ottiene per l investimento e ettuato), dunque prendere a prestito diventa meno vantaggioso. Ma Luca non è nè mutuatario nè risparmiatore, per lui i consumi nei due periodi sono beni perfettamente complementari, ed il paniere ottimo inizialmente scelto è ancora raggiungibile; quindi ci aspettiamo che non modi chi la sua scelta di consumo. Ma proviamolo formalmente. Il vincolo di bilancio intertemporale (in valori attuali) diventa M + M 2 +r 0 = C + +r 0! = ( + r 0 ) C + M ( + r 0 ) + M 2 2
sostituendo i valori di reddito e tasso di interesse = ; 2C + ; 2 (000) + 00 = ; 2C + 2300 Gra camente, il vincolo di bilancio ruota facendo perno in corrispondenza del paniere delle dotazioni. I consumatori risparmiatori diventano più ricchi mentre quelli debitori diventano più poveri a seguito dell aumento del tasso di interesse 2300 2200 Panieri ora accessibili Retta dei vertici =, C 00 Panieri ora non più accessibili 000 96,7 2000 C Consumatori risparmiatori Consumatori mutuatari Il paniere ottimo si trova nel punto di intersezione tra retta dei vertici e (nuovo) vincolo di bilancio (VdB ) V db 0 RdV ) C2 = ; 2C + 2300 C ) = 000 ; C = C2 = 00 Luca continua a scegliere di non indebitarsi (e di non risparmiare) e consuma integralmente il reddito detenuto in ogni periodo. Gra camente 2300 2200 Retta dei vertici =, C 00 000 96,7 2000 C Esercizio 5 La signora Ant Myrmex ha un reddito pari a 0 (M = 0) nel 200, e sa già che nel 20 non guadagnerà alcun reddito (M 2 = 0). Il pane del 200 (C, in ascissa) e quello del 20 ( ) hanno prezzo pari a ; il tasso di interesse è del 0% (r = 0%); le preferenze di Ant sono rappresentate dalla seguente funzione 3
di utilità: U(C ; )=C 0:3 C 0:3 2. () Rappresentate gra camente il vincolo di bilancio intertemporale di Ant, indicando i valori di intercetta, l inclinazione ed il paniere delle dotazioni. (2) Individuate la scelta ottima di Ant. Dite anche quanto risparmia, o di quanto si indebita Ant nel 200. (3) Supponete che il tasso di interesse raddoppi. Senza fare troppi conti discutete in che direzione si modi cano le quantità ottime di pane presente e futuro scelte da Ant; di conseguenza, dite qual è l elasticità della domanda di pane presente al tasso di interesse. Soluzioni. () Il valore attuale dei redditi [PV(M)] di Ant è P V (M) = M + M 2 +r = 0 e similmente il valore attuale dei consumi [PV(C)] è P V (C) = p C + p 2 +r = C + ; essendo p = p 2 = ; dunque il vincolo di bilancio intertemporale della nostra consumatrice (espresso in valore attuale) è P V (M) = P V (C)! = 2 ; C 2 Vincolo di bilancio Paniere delle dotazioni, 0 C (2) Dal momento che Ant si caratterizza per preferenze di tipo Cobb-Douglas, e dunque manifesta una preferenza per la varietà, sappiamo già che il paniere ottimo conterrà sia pane presente che pane futuro. La scelta ottima è ottenuta risolvendo il sistema vincolo di bilancio condizione di tangenza CdI e VdB! ( C2 = 2 ; C MRS = p(+r) p 2! C2 = 2 ; C C = ; da cui C = 55 e C 2 = 60; 5. Dato che C < M, Ant risparmia nel 200 una somma pari a 55 in modo da assicurarsi un consumo anche nel secondo periodo. (3) E possibile dimostrare che il consumo del 200 non dipende dal tasso di interesse. Consideriamo la condizione di ottimo nel caso geneale di reddito nullo nel secondo periodo ( M 2 = 0), reddito positivo nel primo periodo ( M > 0) e tasso di interesse generico r, si ottengono le due seguenti curve di domanda per pane nel 200 e nel 20 vincolo di bilancio condizione di tangenza CdI e VdB! C2 = ( + r)m ( + r)c 4 C = ( + r) C! = M 2 = ( + r) M 2
Dato che la domanda di consumo presente non varia al variare del tasso di interesse, l elasticità è uguale a zero. Dato che reddito e consumo nel primo periodo non variano, la consumatrice non modi ca la sua scelta di risparmio ma un aumento del tasso di interesse fa aumentare il montante del risparmio (ossia il valore futuro di quanto ho risparmiato) e dunque fa aumentare il suo consumo futuro. Esercizio 6 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra ci. Un individuo dispone di un reddito M da destinare all acquisto degli unici due beni disponibili nell economia considerata: (in ascissa) e (in ordinata). I prezzi dei due beni sono rispettivamente p x e p y con p x = p y. Il nostro individuo è sempre disposto a cedere una unità di bene in cambio di 2 unità aggiuntive di bene. () Fornite una rappresentazione gra ca delle curve di indi erenza dell individuo (3 curve) e discutete della relazione che sussiste tra i beni considerati. (2) Rappresentate il vincolo di bilancio dell individuo (esplicitandone inclinazione ed intercette) ed individuate la sua scelta ottima. (3) Come cambierebbe la scelta ottima del nostro individuo se il reddito raddoppiasse? Sulla base dei risultati ottenuti dite a quanto ammonta l elasticità della domanda di bene rispetto al reddito. Soluzione. () Dato che il consumatore è sempre disposto a scambiare un bene per l altro, ed sono per lui beni sostituti. Il rapporto di sostituzione ( a 2) ci dice che MRS=2/=2; quindi le curve di indi erenza sono rette con pendenza -2. [rappresentazione gra ca in aula] (2) Il vincolo di bilancio del nostro consumatore è da cui M = p x + p y = px p y + M p y Nota bene!!dato che il testo ci dice che p x = p y sappiamo che p x =p y = ovvero la pendenza del vincolo di bilancio è minore della pendenza della curva di indi erenza. Questo implica che il tasso al quale il mercato è disposto a cedere una unità di bene per una maggior quantità di bene è minore del tasso al quale il nostro consumatore è disposto a cedere un unità di bene per una maggior quantità di. Dato che il bene è per il mercato più prezioso di quanto non lo sia per il consumatore, il consumatore "ci guadagna" se rinuncia a consumare bene e spende tutto il suo reddito nell acquisto di bene. [rappresentazione gra ca in aula]. La scelta ottima è quindi = M=p x ; = 0. (3) Se il reddito raddoppiasse, il consumatore potrebbe permettersi un quantitativo doppio di bene. Il nuovo paniere ottimo conterrebbe = 2 ; = 0. Dal momento che la variazione di reddito ha portato aumenti proporzionali nel consumo del bene, l elasticità della domanda di bene al reddito è pari a. Esercizio 7 Nota: il seguente esercizio va svolto solo in termini gra ci. Un individuo dispone di 24 ore di tempo libero, di cui può godere oppure a cui può rinunciare lavorando. Se lavora, la paga oraria è w; con il reddito ottenuto può comprare un bene il cui prezzo è p. Per il nostro individuo tempo libero e bene di consumo sono complementi perfetti. () Rappresentate il vincolo di bilancio dell individuo, esplicitandone inclinazione e intercette. (2) Rappresentate alcune curve di indi erenza dell individuo, spiegando bene il perché di quella forma. Individuate la scelta ottima dell individuo. (3) Supponete che il prezzo del bene di consumo aumenti passando a p > p. Come si modi ca la scelta ottima dell individuo? 5
Soluzione. () Il vincolo di bilancio del nostro individuo è = wt p w p N! = w p (24) w p N dove è il bene che l individuo acquista ed N il tempo libero. 24w/p Vincolo di bilancio Retta dei vertici =N * Curva di indifferenza Paniere delle dotazioni iniziali w/p N* 24 N (2) Tempo libero e bene di consumo sono perfetti complementi; il consumatore desidera consumarli congiuntamente in un rapporto sso (:) quindi le sue curve di indi erenza avranno la tipica forma a "L". Le preferenze possono essere dunque rappresentate dalla funzione di utilità U(N,)=min(N,) che si caratterizza per una retta dei vertici =N. La scelta ottima dell individuo, paniere E*, si ottiene risolvendo il seguente sistema tra vincolo di bilancio e retta dei vertici = w p (24) N = w p N = w! p (24) N = w p! = 24w p+w N = 24w p+w (3) In seguito ad un aumento del prezzo del bene di consumo il consumatore contrarrà il livello di consumo sia di tempo libero che di bene di consumo. Il nuovo paniere ottimo di consumo, E**, si caratterizza infatti per **<* e N**<N*. 6
24w/p 24w/p Curve di indifferenza Retta dei vertici =N * ** N** N* w/p 24 N Nuovo paniere ottimo Paniere delle dotazioni iniziali 7