ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/2019 1. Esercz: lezone 17/10/2018 Rendmento d un B.O.T. Eserczo 1. Un captale C vene chesto n prestto alla banca per acqustare un B.O.T. d durata semestrale, valore nomnale par a N e rendmento r = 2%. Sapendo che l prestto va resttuto alla banca dopo 6 mes ad nteress calcolat nel regme composto con tu par a > 0, trovare valor d per cu s possa fare arbtraggo. Soluzone. Il valore nomnale del B.O.T. è dato dalla seguente equazone: N = C 1 + 1 2 r, mentre dobbamo restture alla banca l seguente montante M = C 1 +. Dunque, per poter fare arbtraggo, deve essere N > M, ossa C 1 + 1 2 r > C 1 + da cu s ottene < 1 + 1 2 r 2 1 = 2, 01%. Eserczo 2. Supponamo che vo voglate acqustare un B.O.T. trmestrale d nomnale N = 1000e. La tassazone vgente n Itala prevede che al momento dell acqusto del ttolo, l cu valore sa detto A > 0, vo dobbate pagare una mposta par a 1 max{αn A, 0}, dove l coeffcente α é par al 12, 5%. Calcolare l rendmento netto r n ne due cas: a A = 998 euro b A = 1000, 15 euro. Infne, supposto A < N, é possble che r n dvenga negatvo? Soluzone. Caso a In tal caso, é facle vedere che αn A = 0, 25 > 0, qund l mposta, come defnta nella formula 1, é par a 0, 25 euro. Pertanto, la cfra 1
2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA pagata effettvamente é par a A + αn A = 998, 25 euro. La formula che governa tale operazone d captalzzazone é qund data da: N = A + αn A 1 + r n, 4 da cu, dopo qualche calcolo, s arrva a r n = 4 N A1 α A + αn A = 0, 70%. Caso b In tal caso, é facle vedere che αn A < 0, qund l mposta, come defnta nella formula 1, é nulla. Pertanto, la cfra pagata effettvamente concde con A e la formula che governa tale operazone d captalzzazone é ora data da: da cu N = A 1 + r n 4, r n = 4 N A 1 = 0, 06%, ossa ho un rendmento negatvo. Infne, se A < N, é facle vedere che A + αn A < N: nfatt, dopo qualche passaggo algebrco, la precedente dseguaglanza corrsponde a A1 α < N1 α, ossa A < N che era l potes nzale. Allora, sccome l potes che l nomnale sa maggore del prezzo senza rtenuta mplca anche che l nomnale sa maggore del prezzo con la rtenuta, l rendmento non sará ma negatvo quando N > A. Captalzzazone a tass non costant Eserczo 3. S mpega l captale C per un anno nel regme composto, rspettvamente a 1 = 10% annuo per prm k mes, po a 2 = 8% nel resto dell anno. Alla fne dell anno, una volta dedotte le spese, par allo 0, 5% del captale mpegato, s ottene lo stesso saldo che è generato da un analogo mpego a regme semplce al tasso dell 8, 25% fsso e senza spese. Determnare k. Soluzone. Il secondo tpo d nvestmento produce un montante par a: M 2 = C1 + t = C1 + 0, 0825 = 1, 0825 C. Il prmo tpo, che nvece prevede due dvers tass d nteresse e le spese, determna un montante netto: M 1 = M SP, dove M è l montante prodotto dall nvestmento del captale C per un anno a tass 1 per t k := k/12 e 2 per 1 t k, mentre SP = 0, 5% C = 0, 005 C sono le spese. Dunque: M 1 = C 1 + 1 tk 1 + 2 1 t k 0, 005C.
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Poché M 2 = M 1 s ha che: tk 1 + 1 = 1 + 2 1, 0875 1 + 2 da cu t k = e, facendo calcol, s trova nfne che ossa crca quattro mes e mezzo. log 1,0875 1+ 2 log 1+ 1 1+ 2 k = 4, 5, Rendte Fnanzare Eserczo 4. Un bene vene venduto a rate al prezzo d 100000e. La rateazone è così descrtta: antcpo mmedato del 30% del valore del bene; un numero n d rate costant postcpate annual par a 8000e; tasso d nteresse annuo, a regme composto, par a = 10%. Stablre: a l numero n d ann necessaro per dfetto; b a quanto ammonta l resduo, potzzando d pagarlo nell anno n + 1. Soluzone. Abbamo che l valore attuale della rendta è a Impostando l equazone S = 100000 0, 3 100000 = 70000e. S = R a n = R 1 1 + n con S, e R not e n ncognta, s rcava n attraverso l logartmo, ossa R ln n = R S ln1 + e s trova n = 21, 82. Per semplctà, ndchamo ancora con n la parte ntera per dfetto d 21, 82, dunque n = 21.
4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b Possamo vedere l resduo rferto all n + 1 esmo anno n due mod equvalent. Prmo Modo. Il resduo rferto all n + 1 esmo anno è la dfferenza d due valor attual S e S captalzzata d n + 1 perod: Res n+1 = S S 1 + n+1, dove S è l valore attuale della rendta consderata, mentre S è l valore attuale d una rendta annua, postcpata, a rata costante R, costtuta da n termn, ossa S 1 1 + n = R a n = R. Dunque 1 1 + n 2 Res n+1 = S R 1 + n+1. Secondo Modo. Il resduo rferto all n + 1 esmo anno è la dfferenza d due montant M 1 e M 2, rfert all epoca n, captalzzata d un perodo: Res n+1 = M 1 M 2 1 +. Abbamo che M 1 è l valore della rendta rferto all epoca n, qund M 1 = S 1 + n, mentre M 2 è l ncasso reale della rendta fno all n esmo anno, dunque è l montante d una rendta annua, postcpata, a rata costante R, costtuta da n termn, ossa M 2 = R s n = R 1 + n 1. Allora 3 Res n+1 = S 1 + n R 1 + n 1 1 +. Osservamo che le formule 2 e 3 sono ugual: nfatt, se raccoglamo 1+ n nel secondo membro d 3 ottenamo Res n+1 = 1 S 1 + n R 1 + n = 1 + n S R = S R 1 1 + n 1 1 + n 1 1 + n 1 + = 1 + n+1. 1 + =
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 Nel nostro caso, 1 1 + 21 Res 22 = S R 1 1, 1 21 = 70000 8000 0, 1 1 + 22 = 1, 1 22 = 6597, 25e. Eserczo 5. Una rendta è costtuta da 2e all epoca t = 1 e 3e all epoca t = 3. Sapendo che l suo valore attuale è 4e, trovare l tasso annuo. a 7, 9388291% b 8, 9388291% c 9, 9388291% d 10, 9388291% Soluzone. Poché l ncognta è l tasso, rsalamo al valore attuale come somma delle attualzzazon delle sngole rate, allora A = R 1 1 + + R 3 1 + 3. Abbamo ottenuto un equazone d terzo grado n dffcle da rsolvere algebrcamente. Dunque, per rsolvere questo tpo d problema, dobbamo provare ad una ad una dentro tale equazone tutte le soluzon a, b, c, d, fno ad ottenere un denttà. In questo caso, la soluzone corretta è = 10, 9388291%. Eserczo 6. Qual é l valore attuale d una rendta costtuta da due sole rate annue e costant, par a R = 100e l una, a tass annu 1 = 5% e 2 = 10% rfert rspettvamente al prmo e secondo anno? Soluzone. S tratta d una rendta a tass varabl, qund anche n caso d perodctá e d rate costant, non possamo sfruttare le formule delle rendte standard perché esse s basano sull potes mplcta che l tasso s mantenga costante per l ntera durata della rendta. Rcordando allora che l valore attuale A d una rendta é dato dalla somma delle sngole rate, attualzzate ad una ad una, ntanto calcolamo l valore della sola seconda rata all epoca t = 1 che chameremo A 1 R 2, ossa attualzzamo la sola seconda rata, ove peró tenamo come epoca d rfermento t = 1 e non t = 0. Sccome l tasso del secondo anno é 2, s ha che A 1 R 2 = R 1 + 2 1. Se voglamo ora conoscere l vero valore attuale che chameremo AR 2, ossa rferto all epoca t = 0, della sola seconda rata, é suffcente attualzzare d un anno A 1 R 2, qund, tenendo conto che l tasso del prmo anno é 1, s ha che AR 2 = A 1 R 2 1 + 1 1 = R 1 + 2 1 1 + 1 1. Invece, l valore attuale della sola prma rata che chameremo AR 1 é calcolable n un solo passaggo, ossa, sempre tenendo conto che l tasso del prmo anno é 1, s ha che AR 1 = R 1 + 1 1.
6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Infne, l valore attuale cercato é la somma de due valor attual collegat separatamente ad ogn sngola rata, ossa A = AR 1 + AR 2 = Inserendo dat, s trova che A = 181, 82e. R R + 1 + 1 1 + 1 1 + 2. Costtuzone d un captale montante d una rendta Eserczo 7. S vuole costture un captale d 2500 euro al tu = 3, 7% con vent versament postcpat mensl alle seguent modaltá: versament d epoca dspar a rata costante par a R, mentre quell d epoca par a rata costante par a 5 4 R. Trovare l valore d R. NOTA BENE: n pratca, s tratta d determnare l valore della rata R per cu la rendta R postcpata che permetta d godere, per la durata complessva d vent mes, d R ne mes dspar e 5 4R ne mes par, abba un montante par a 2500 euro. Soluzone. Dobbamo vedere la nostra rendta R come l unone d due rendte R 1 e R 2, ove R 1 é costtuta da 10 versament bmestral, relatv a mes dspar, da t = 1m ove m sta per mese a t = 19m, della rata R, mentre R 2 é costtuta da 10 versament bmestral, relatv a mes par, da t = 2m a t = 20m, della rata 5 4 R. Nel caso R 1, s tratta d una rendta standard, con perodctá bmestrale e tasso b : attraverso la formula classca, ne trovo l montante rferto all epoca t = 19m, denomnato M 1 19, dato da 4 M 1 19 = R 1 + b 10 1 b, ove 5 b = 1 + 1/6 1. Se ora voglo sapere a quanto ammonta l mo montante dovuto a R 1 all epoca prefssata t = 20m, devo captalzzare M 1 19 per un mese, attraverso l tasso mensle m, ossa 6 M 1 20 = M 1 19 1 + m. Tenendo conto delle Eq. 4 e 5 e del fatto che s rcava faclmente che l Eq. 6 dvene m = 1 + 1/12 1, 7 M 1 20 = R1 + 1/12 1 + 5/3 1 1 + 1/6 1.
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 Nel caso R 2, s tratta d una rendta standard, con perodctá bmestrale e tasso b : attraverso la formula classca, ne trovo l montante rferto all epoca t = 20m, denomnato M 2 20, dato da 8 M 2 20 = 5 4 R 1 + b 10 1 b = 5 4 R 1 + 5/3 1 1 + 1/6 1. Sccome 2500 = M 1 20 + M 2 20, mposto tale equazone sfruttando le Eq. 7 e 8, solando l ncognta R. Dopo un pó d algebra elementare, s arrva alla formula fnale nella forma pú semplfcata data da R = 2500 1 + 1/6 1 = [1 + 5/3 1][ 5 4 + 1 + 107, 96. 1/12 ]