Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 16 luglio 2006 V.a. discrete e distribuzioni discrete Esercizio 1 Dimostrare la proprietà della mancanza di memoria della legge geometrica, ovvero posto X Geom(p) e m 0, P {X = m + k X k} = P {X = m}. Sia X Geom(p). dove P {X k} = (1 p) i p = (1 p) k (1 p) i p = (1 p) k i=k i=0 } {{ } =1 P {X = m + k X k} = P {X k X = m + k} P {X = m + k} P {X k} = (1 p)m+k p (1 p) k = (1 p) m p = P {X = m} Esercizio 2 Esiste una tecnica nel lotto che consiste nel giocare i numeri che non sono stati estratti da molte settimane. I giocatori che usano questa tecnica sostengono che vi siano scarse probabilità che un numero in ritardo di 100 settimane non venga estratto nemmeno alla 101-esima settimana. In effetti la probabilità di un simile ritardo è bassa, ma qual è l errore in questo ragionamento? Una v.a. che modella il ritardo nell estrazione di un numero segue una legge geometrica. Sia X questa v.a.. Se io al tempo t calcolo la probabilità di avere un ritardo di almeno 101 giorni (P {X 101}), questa è effettivamente molto bassa. Se p è la probabilità che il numero venga estratto (1 p) = C 89,5 C 90,5 = 17 18 P {X 101} = (1 p) 101 = 0.0031104 = 1
Il problema di questo ragionamento è che quando vado a vedere la probabilità che ha il numero di uscire, non mi trovo più al tempo t, ma al tempo t + 100, quindi in realtà la probabilità che devo calcolare è condizionata dal fatto che il numero è in ritardo da 100 giorni. P {X 101 X 100} = P {X 1} = (1 p) = 0.94444 Esercizio 3 Verificare che la funzione di probabilità legata alla legge di Poisson sia una densità discreta. La funzione cui ci riferiamo è {e λ λx p λ (x) = x!, x = 0, 1, 2,..., n 0, altrimenti Questa funzione è nulla ad eccezione di un infinità numerabile di x. Quindi la prima proprietà di una densità discreta è soddisfatta. Verifichiamo la seconda proprietà ovvero che la somma delle probabilità di ogni x da 1. λ k k! = eλ p λ (k) = e λ λk k! = e λ λ k k! = e λ e λ = 1 Esercizio 4 Dimostrare che per n +, una variabile di Poisson si distribuisce come una binomiale di parametri n e λ n. lim n + ( ) n x λ x (1 λ n n )n x = n (n 1) (n x + 1) = lim n + n x λx x! ( 1 n) λ n ( 1 n) λ k = = 1 λx x! e λ 1 = p λ (x) Esercizio 5 Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ. Sapendo che P {X = 1} = P {X = 2} calcolare P {X = 4}. [0.090224] P {X = 1} = P {X = 2} e λ λ1 1! = e λ λ2 2! λ = λ2 2 λ = 2 2
P {X = 4} = e 2 24 4! = 0.090224 Esercizio 6 Si lancia una moneta equa. Assumendo che i lanci siano tra loro indipendenti, qual è la probabilità di dover aspettare 5 lanci prima di vedere la prima croce, avendo già visto l esito dei primi due lanci che hanno dato due teste? [ 1 8 ] Sia X una v.a. che indica il numero di lanci che bisogna fare prima di ottenere la prima croce (esclusa quella che ha successo). Allora X è una v.a. che si distribuisce con legge geometrica. P {X = 5 X 2} = P {X = 3} = ( ) 2 1 1 2 2 = 1 8 Esercizio 7 Una compagnia aerea dispone di due tipi di aerei, uno da 20 e uno da 10 posti. Poichè si sa che i passeggeri che prenotano poi non si presentano con probabilità 0.1, vengono sempre accettate 22 prenotazioni sui voli da 20 posti e 11 su quelli da 10. In quale dei due aerei è maggiore il rischio di lasciare a terra almeno un passeggero che ha regolarmente prenotato, per un volo in cui si è accettato il massimo di prenotazioni? [in quello da 20 posti, con proabilità 0.3392] Siano X 1 e X 2 due v.a. che contano il numero di passeggeri che si presentano su ciascun aereo. Queste si distribuiscono secondo una legge binomiale X 1 B(22, 0.9) e X 2 B(11, 0.9). Per avere che almeno un passeggero resti a terra, è necessario che il numero di prenotazioni sia maggiore rispettivamente di 20 e 10. Quindi P {X 1 > 20} = 22 k=21 P {X 2 > 10} = ( ) 22 0.9 k 0.1 22 k = 0.33920 k ( ) 11 0.9 11 = 0.31381 11 Quindi il volo più a rischio anche se di poco è quello da 20 posti. Esercizio 8 Un associazione di consumatori ha ragione di credere che un certo produttore di olio extra vergine vende solo il 27% delle bottiglie effettivamente di olio extra vergine, mentre le restanti 33% e 40% contengono rispettivamente olio semplice e olio di sansa. Per pubblicizzare la frode alimentare l associazione acquista 4 bottiglie a caso e le fa analizzare da uun istituto indipendente. Qual è la probabilità che almeno tre bottiglie siano di olio extra vergine? [0.062789] 3
Sia X una v.a. che conta il numero di bottiglie di olio extra vergine. Questa si distribuisce con legge binomiale B(4, 0.27). La probabilità che ci interessa calcolare è P {X 3}. P {X 3} = 4 k=3 ( ) 4 0.27 k 0.73 4 k = 0.062789 k Esercizio 9 Consideriamo un lago contenente 10 pesci rossi e 5 bianchi. Peschiamo con una rete 6 pesci. Sia X il numero di pesci pescati. Qual è la densità di X se i pesci sono mescolati casualmente nel lago? Qual è la probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi? [ 39 77 ] La v.a. X di distribuisce con legge ipergeometrica di parametri k=6, b=5, n=15. La probabilità di aver pescato un numero pari di pesci bianchi equivale alla somma delle probabilità di aver pescato 0, 2 e 4 pesci bianchi ovvero P {X è pari} = P {X = k} = ( 5 ( k) 10 ) 6 k ) = 39 77 k {0,2,4} k {0,2,4} Esercizio 10 Si lancia ripetutamente una moneta difettosa che mostra testa con probabilità 0.55. Assumento che i lanci siano tra loro indipendenti, a) qual è la probabilità di dover aspettare almeno 10 lanci prima di vedere la prima croce? b) Qual è la probabilità che l attesa sia tra 3 e 5 lanci? [a) 0.0046054; b) 0.25217] Sia p = 1 0.55 = 0.45 la probabilità di avere croce e sia X la v.a. che indica il numero di lanci che hanno dato testa prima di vedere la prima croce che si distribuisce con legge geometrica di parametro p. a) La probabilità di dover aspettare almeno 10 lanci è P {X 9} Ricordiamo che la probabilità che X k con X Geom(p) è per la mancanza della memoria della legge geometrica P {X k} = (1 p) k P {X 9} = 0.55 9 = 0.0046054 b) Per risolvere la seconda parte dell esercizio possiamo operare in modo classico e quindi calcolarci 4 i=2 P {X = i} (dove ricordiamo che X conta il numero di teste prima di ottenere croce e quindi se aspettiamo 3 lanci abbiamo X = 2, e se aspettiamo 5 lanci abbiamo X = 4) oppure determiniamo la funzione di ripartizione F X di X per poi calcolare F X (4) F X (1). Optiamo per la seconda soluzione perchè più veloce. F X (k) = P {X k} = 1 P {X k + 1} = 1 (1 p) k+1 P {2 X 4} = P {1 < X 4} = F X (4) F X (1) = 0.55 2 0.55 5 = 0.25217 ( 15 6 4
Esercizio 11 Vengono trasmessi 10 5 bits binari e la probabilità di errore nella trasmissione di ogni bit è 10 3, indipendentemente dagli altri. a) Calcolare la probabilità che 100 bits siano errati. b) Come possiamo approssimare questa probabilità in modo tale da rendere il suo calcolo (in generale) computazionalmente meno pesante e qual è il suo valore approssimato? [a) 0.039881; b) 0.039861] a) Sia X la v.a. che indica il numero di bits errati, questa si distribuisce con legge Binomiale di parametri 10 5 e 10 3. ( ) 10 5 P {X = 100} = (10 3 ) 100 (1 10 3 ) 105 100 = 0.039881 100 b) Per semplificare la computazione di questa probabilità possiamo fare le seguenti considerazioni. Il numero 10 5 di prove è particolarmente elevato, mentre la probabilità di successo (avere un bit errato) 10 3 è molto bassa, possiamo apprissimare la binomiale con la distribuzione di Poisson di parametro λ = p n = 10 3 10 5 = 10 2. P {X = 100} = λ100 100! e λ = 100100 e 100 = 0.039861 100! 5