RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

UNIVERSITA DEL SALENTO INGEGNERIA CIVILE RICHIAMI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ ing. Marianovella LEONE

INTRODUZIONE Per misurare la sicurezza di una struttura, ovvero la sua affidabilità, esistono due approcci fondamentali: Misura di tipo deterministico Metodo delle Tensioni Ammissibili, Metodo del Calcolo a Rottura Misura di tipo probabilistico Metodo probabilistico, Metodo semiprobabilistico agli Stati Limite Le misure di tipo probabilistico sono più complesse ma allo stesso tempo più realistiche, dal momento che tengono conto delle variabilità e delle incertezze dei parametri da cui la sicurezza della struttura dipende. Tra i metodi di tipo probabilistico quello che maggiormente interessa è il Metodo Semiprobabilistico agli Stati Limite, metodo su cui attualmente si basa la Normativa Italiana.

INTRODUZIONE Il metodo è detto semiprobabilistico poiché che si basa su una relazione di tipo deterministico, ovvero: Domanda S d R d Richiesta S d ed R d hanno carattere probabilistico. Il metodo infatti considera la resistenza dei materiali ed i valori delle azioni agenti sulla struttura come variabili aleatorie, ovvero grandezze cui non si può assegnare un unico valore (deterministico) ma che, se misurate, assumono di volta in volta un valore differente, casuale.

VARIABILE ALEATORIA DISCRETA O CONTINUA Vi sono due tipi di variabile aleatoria: Variabile aleatoria discreta, capace di assumere solo un numero finito di valori: ad es. il risultato del lancio di un dado può assumere sei valori possibili. Variabile aleatoria continua, capace di assumere qualsiasi valore all interno di uno o più intervalli assegnati: ad es. il valore della resistenza a compressione dei cubetti di calcestruzzo

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA DISCRETA Si consideri una variabile casuale di tipo discreto ad es. il risultato del lancio di un dado. Si supponga di effettuare n=7 lanci con i risultati riportati in tabella. Si indica con a l evento per cui il risultato del lancio è 3 ed n a il numero di volte in cui tale evento si verifica, nel nostro caso n a = 2. Si definisce frequenza relativa all evento a f a = n a /n = 2/7 La somma delle frequenze relative a tutti gli eventi possibili è ovviamente pari a 1. a f a = 1 N. Lanci Risultati 1 3 2 6 3 2 4 3 5 1 6 5 7 4 fa 2 7 (3) 1 7 (6) 1 7 (2) 1 7 (1) 1 7 (5) 1 7 (4) 7 7 1

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA DISCRETA Al crescere del numero n di lanci, la frequenza relativa esprime in termini numerici la tendenza di ciascun evento a verificarsi, ovvero la probabilità che l evento a si verifichi e cioè: p(a) lim (n n a / n) Se l evento a è CERTO n a coincide con n e la probabilità è pari a 1 Se l evento a è IMPOSSIBILE n a è nullo e la probabilità è pari a 0

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 Intervallo 22-24 25-27 28-30 31-33

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 Intervallo 22-24 n i rotture nell intervallo Frequenza f i relativa 3 31 9 28 25-27 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 28-30 31-33

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 Intervallo n i rotture nell intervallo Frequenza f i relativa 22-24 0 Fa=0/12=0 25-27 28-30 31-33

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 Intervallo n i rotture nell intervallo Frequenza f i relativa 22-24 0 Fa=0/12=0 25-27 1 Fa=1/12=0,083 28-30 31-33

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 Intervallo n i rotture nell intervallo Frequenza f i relativa 22-24 0 Fa=0/12=0 25-27 1 Fa=1/12=0,083 28-30 7 Fa=7/12=0,583 31-33

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Per poter estendere il concetto di probabilità al caso delle variabili aleatorie continue, occorre dividere il campo di variabilità della grandezza in un numero finito di intervalli e contare il numero di volte in cui ciascuno dei valori cade all interno dell intervallo considerato. Consideriamo i risultati di 12 prove di compressione su altrettanti cubetti: N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 Intervallo n i rotture nell intervallo Frequenza f i relativa 22-24 0 Fa=0/12=0 25-27 1 Fa=1/12=0,083 28-30 7 Fa=7/12=0,583 31-33 4 Fa=4/12=0,333

FREQUENZA RELATIVA PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA RESISTENZA A COMPRESSIONE (MPa)

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Si definisce densità δ i il rapporto tra la frequenza relativa f i e l estensione dell intervallo adottato d i. i Il passaggio dalle frequenze relative alla probabilità per le variabili aleatorie continue si ottiene facendo tendere ad infinito il numero n di prove e a zero l ampiezza d i degli intervalli in cui è stato suddiviso il campo di variabilità della resistenza a compressione. Si definisce funzione densità di probabilità f(x) come: f i d i f( x) lim n di0 i

PROBABILITÀ: VARIABILE ALEATORIA CONTINUA Accanto alla funzione densità di probabilità si definisce la funzione probabilità cumulata F della variabile aleatoria x con riferimento ad un certo valore a : F( a) a f( x) dx Che rappresenta la funzione che associa ad ogni possibile valore della variabile aleatoria x la probabilità che essa assuma valori compresi tra (limite inferiore del campo di variabilità) ed a. In altre parole: F(a) = p ( x < a )

INTERPRETAZIONE GRAFICA Se f(x) è la funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria x, essa può essere rappresentata graficamente f(x) f( x) dx 1 x

x INTERPRETAZIONE GRAFICA Se f(x) è la funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria x, essa può essere rappresentata graficamente f(x) f( x) dx 1

INTERPRETAZIONE GRAFICA Se f(x) è la funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria x, essa può essere rappresentata graficamente f(x) f( x) dx 1 P( X x0) F( x0) Probabilità che la variabile aleatoria assuma valori compresi tra ed X 0 x0 x

INTERPRETAZIONE GRAFICA Se f(x) è la funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria x, essa può essere rappresentata graficamente f(x) f( x) dx 1 P( X x3) 1 F( x3) Probabilità che la variabile aleatoria assuma valori compresi tra X 3 + x3 x

INTERPRETAZIONE GRAFICA Se f(x) è la funzione densità di probabilità di una variabile aleatoria x, essa può essere rappresentata graficamente f( x) dx 1 f(x) P( x1 X x2) F( x2) F( x1) Probabilità che la variabile aleatoria assuma valori compresi tra X 1 ed X 2 x1 x2 x

DEFINIZIONE DI FRATTILE Assegnato un valore P * della probabilità, esisterà uno ed un solo valore x k della variabile x per il quale vale P* P( x xk) F( xk) Si definisce frattile della probabilità P * il valore x k della variabile aleatoria x che soddisfa tale uguaglianza. f(x) Si definisce frattile superiore al p% quel valore della variabile aleatoria cui corrisponde la probabilità p% di non essere superato x 0 = frattile superiore al 5% x0 5% x

DEFINIZIONE DI FRATTILE Assegnato un valore P * della probabilità, esisterà uno ed un solo valore x k della variabile x per il quale vale P* P( x xk ) F( xk ) Si definisce frattile della probabilità P * il valore x k della variabile aleatoria x che soddisfa tale uguaglianza. f(x) Si definisce frattile inferiore al p% quel valore della variabile aleatoria cui corrisponde la probabilità p% di non essere minorato x 0 = frattile inferiore al 95% 95% x0 x

DEFINIZIONE DI MEDIA, MEDIANA E MODA Fra tutti i valori che una variabile casuale può assumere ce ne sono alcuni che sono più frequenti di altri, in qualche modo tipici e vengono generalmente posti al centro dell intervallo di variabilità. I parametri media, mediana e moda forniscono una valutazione significativa di tali valori tipici.

DEFINIZIONE DI MEDIA, MEDIANA E MODA Con riferimento ad una variabile aleatoria continua x, con una funzione di densità di probabilità f(x), la media μ della popolazione indicata anche come valore atteso vale: E(x) xf (x) dx La mediana x 50 è il valore per il quale la funzione F(x) di probabilità cumulata assume il valore 0,5 (ossia 50%) La moda è il valore associato al punto di massimo della funzione f(x) di densità di probabilità I valori di media, mediana e moda coincidono nel caso di distribuzioni f(x) simmetriche

DEFINIZIONE DI VARIANZA E DEVIAZIONE STANDARD Con riferimento ad una variabile aleatoria continua x, caratterizzata da una funzione di densità di probabilità f(x) e media μ, si definisce varianza la quantità: 2 2 ( x ) f ( x) dx La deviazione standard si definisce come 2

TEORIA DEI CAMPIONI Ci si pone spesso davanti al problema di determinare conclusioni valide per un ampio gruppo di individui o di oggetti; in questi casi, invece di esaminare l intero gruppo, detto POPOLAZIONE, esame che può comportare diverse difficoltà e diventare anche impossibile, si può far ricorso all esame di una piccola parte della popolazione: questa piccola parte viene chiamata un CAMPIONE. ES: Desideriamo trarre conclusioni circa la statura (o il peso) di 12.000 studenti adulti (la popolazione) esaminando solo 100 studenti (il campione) estratti dalla popolazione ES: Desideriamo trarre conclusioni circa la percentuale dei bulloni difettosi costruiti da una certa fabbrica durante i sei giorni di una settimana, esaminando ogni giorno 20 bulloni prodotti in diverse ore della giornata lavorativa. In questo caso la popolazione sono i bulloni prodotti nella settimana lavorativa mentre il campione sono i 120 bulloni scelti. LA POPOLAZIONE PUO ESSERE FINITA O INFINITA, IL NUMERO SARA DETTO GRANDEZZA DELLA POPOLAZIONE E DI SOLITO E DENOTATO CON N. IL CAMPIONE E GENERALMENTE FINITO ED IL NUMERO SARA DETTO GRANDEZZA DEL CAMPIONE

TEORIA DEI CAMPIONI LA MEDIA CAMPIONARIA: non è altro che la media aritmetica delle osservazioni campionarie, cioè del campione. Se un campione di osservazioni è sufficientemente rappresentativo dell intera popolazione, la media calcolata sul campione sarà molto vicino a quella vera della popolazione stessa. N. Prelievi Rci N. Prelievi Rci 1 29 7 29 2 32 8 30 3 31 9 28 4 30 10 32 5 30 11 33 6 29 12 27 29 32 31 30 30 29 29 30 28 32 33 27 E 12 30

TEORIA DEI CAMPIONI ESEMPIO Supponiamo che la popolazione sia composta da 2066 intervistati a cui chiediamo l età. L età media calcolata su tutta la popolazione di intervistati è 22,7 anni. Supponendo di non conoscerla, si vuole stimare l età media estraendo a caso un campione di dieci intervistati. Le osservazioni sono le seguenti: 27; 22; 26; 22; 23; 28;29; 27; 25; 22 La loro età media è = (27+22+26+22+23+28+29+27+25+22)/10=25,1. Questo campione può dirsi sufficientemente rappresentativo dell intera popolazione di intervistati? Il campione oltre a essere troppo piccolo, non contiene nessun intervistato di età inferiore a 20 anni e comprende un numero sproporzionato rispetto alla realtà di persona con età superiore a 26anni. QUESTA MEDIA CAMPIONARIA NON È QUINDI UNA BUONA STIMA DELLA MEDIA DELLA POPOLAZIONE!!

TEORIA DEI CAMPIONI Cosa fare per ottenere un campione maggiormente rappresentativo? Aumentando il campione si ha modo di aumentare le probabilità che la composizione del campione rispecchi quelle che è la strutta della età reale della popolazione. Portando il campione a 500 unità, la forma della sua distribuzione assume effettivamente un profilo che ricorda quella dell intera popolazione (ovviamente su scala diversa). L età media campionaria in questo caso è 22,9 anni: molto vicina a quella reale.

TEORIA DEI CAMPIONI LA MEDIA DELLE MEDIE CAMPIONARIE È UNA BUONA STIMA DEL VALORE MEDIO DELLA POPOLAZIONE Esempio: Quelle che seguono sono le medie di venti diversi campioni da 10 unità ciascuno: la media campionaria è diversa per ogni campione. 22,7 23,5 23,1 21,9 23,3 22,5 22,8 22,8 22,5 22,8 21,7 22,7 21,7 22,4 22,3 22,8 23,2 23,5 23,1 22,8 La media delle medie campionarie approssima bene quella dell intera popolazione. La stima della media della popolazione sarà: 22,9

MODELLI DI DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI 1) Distribuzione uniforme o rettangolare La legge di distribuzione della probabilità, nell intervallo di definizione [a,b] è data da f(x) = 1 / (b-a) Si ha cioè una densità di probabilità uniforme E semplice calcolare il valore della media, ovvero E( x) xf( x) dx ( ba)/2 La distribuzione è simmetrica pertanto media e mediana coincidono; non ha senso invece definire il parametro moda.

MODELLI DI DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI 2) Distribuzione Normale o Gaussiana La variabile x può assumere un qualsiasi valore tra - e + f(x) f 1 ( x ) 1 2 2 ( x) e 2 2 x xf ( x) dx 2 ( x ) f ( x) dx

MODELLI DI DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI 3) Distribuzione Esponenziale f ( t) e F( t) t 0 t f ( t) dt 0 t t 0 e t dt (1 e t ) 1,2 1 0,8 PDF 0,6 0,4 0,2 0 0 1 2 3 4 5 tempo

MODELLI DI DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI 4) Distribuzione di Weibull f ( t) ( t ) 1 e t

MODELLI DI DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI 5) Distribuzione LogNormale Distribuzioni lognormali con uguale valore dello scarto quadratico medio s(y) e diverso valore (maggiore per la distribuzione b) della media m(y)