Istituzioni di Matematiche quarta parte

Istituzioni di Matematiche quarta parte anno acc. 2012/2013 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 1 / 22

index Derivate 1 Derivate 2 Teoremi sulle funzioni derivabili 3 Formula di Taylor Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 2 / 22

Rapporto incrementale Derivate Sia f : I R, con I R intervallo, e sia x 0 I. Si chiama rapporto incrementale di f in x 0 di incremento h = x il rapporto per x = x 0 + h. f x = f (x 0 + h) f (x 0 ) = f (x) f (x 0), h x x 0 Il rapporto incrementale di f in x 0 di incremento h = x rappresenta il coefficiente angolare della retta che congiunge i punti P = (x 0, f (x 0 )) e Q = (x, f (x)) del grafico di f. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 3 / 22

Derivata in un punto Derivate Si dice che f è derivabile in x 0 se esiste finito il f (x 0 + h) f (x 0 ) f (x) f (x 0 ) lim = lim. h 0 h x x0 x x 0 f (x) f (x Se f è derivabile in x 0, il numero reale lim 0 ) x x0 x x 0. viene detto derivata di f in x 0 e denotato indifferentemente con uno dei seguenti simboli f (x 0 ), (Df )(x 0 ), df dx (x 0), df dx x 0, ( df dx ) x 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 4 / 22

Derivate ESEMPIO 1 - Vediamo se f (x) = x 2 è derivabile in x = 3. Dobbiamo stabilire se esiste finito Risulta x 2 9 lim x 3 x 3. x 2 9 lim x 3 x 3 = lim (x + 3) = 6. x 3 Quindi la derivata di f in 3 esiste e vale 6. ESEMPIO 2 - Vediamo se g(x) = x è derivabile in x = 0. Il limite x 0 lim x 0 x 0 non esiste (esistono il limite da destra e da sinistra, e valgono rispettivamente +1 e 1), quindi g non è derivabile in x 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 5 / 22

Derivate Significato geometrico di derivata L esistenza della derivata di f in x 0 corrisponde al fatto che il grafico di f in P = (x 0, f (x 0 )) ammetta una retta tangente (intesa come limite di rette secanti) e che tale retta tangente non sia verticale. Se la derivata esiste, f (x 0 ) è il coefficiente angolare della retta tangente in P, pertanto la retta tangente ha equazione y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). ESERCIZIO - Stabilire se il grafico Γ f di f (x) = x 2 + 1 ammette tangente in A = (1, 2) e, in caso affermativo, determinare l equazione della retta tangente a Γ f in A. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 6 / 22

Funzione derivata Derivate Sia f : A R, sull insieme A dei punti in cui f è derivabile, si può definire una funzione f : A R che ad ogni x A associa il valore della derivata di f in x, cioè f : x f (x). La funzione f viene detta funzione derivata di f. ESEMPIO - La funzione f (x) = x 2 è definita su A = R ed è derivabile in tutti i punti di R, infatti, per ogni x 0 A, si ha x 2 x 0 lim x x 0 x x 0 Quindi si ha A = R e f (x) = 2x. 2 = lim x x0 (x + x 0 ) = 2x 0. Se funzione derivata f è a sua volta derivabile, la sua derivata viene detta derivata seconda: (f ) = f. Analogamente si definisce la derivata terza, ecc. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 7 / 22

Derivate Derivate delle funzioni elementari Le funzioni elementari sono derivabili in tutto il loro insieme di definizione. Le derivate sono le seguenti: f = costante, f = 0 f = x α, f = αx α 1 f = e x, f = e x f = a x, f = a x log(a) f = logx, f = 1 x f = log a x, f = 1 xlog(a) f = sinx, f = cos(x) f = cosx, f = sin(x) f = tanx, f = 1 + (tan(x)) 2 f = arctanx, f = 1 1+x 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 8 / 22

Regole di derivazione Derivate Regole di derivazione per funzioni somma, prodotto, ecc. FUNZIONE SOMMA Se f e g sono derivabili in un punto x lo è anche la funzione somma f + g e vale: (f + g) (x) = f (x) + g (x) FUNZIONE PRODOTTO Se f e g sono derivabili in un punto x lo è anche la funzione prodotto fg e vale: (fg) (x) = f (x)g(x) + f (x)g (x) FUNZIONE QUOZIENTE Se f e g sono derivabili in un punto x lo è anche la funzione quoziente f g e vale: ( f g ) (x) = f (x)g(x) f (x)g (x) (g(x)) 2 Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 9 / 22

Derivate FUNZIONE COMPOSTA Se la funzione f è derivabile in x e la funzione g è derivabile in f (x) allora la funzione g f è derivabile in x e vale: (g f ) (x) = g (f (x))f (x) FUNZIONE INVERSA Se la funzione f è derivabile in x con derivata non nulla allora la funzione f 1 è derivabile in y = f (x) e vale: (f 1 ) (y) = 1 f (x). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 10 / 22

Derivate ESERCIZIO - Usare le regole di derivazione per calcolare le derivate delle funzioni 1 f (x) = cos(x)2 x 2 f (x) = sin(x 2 ) + log 2 (x) 3 f (x) = 3 x 2 + 1 4 f (x) = sinx x 3 5 f (x) = cos(log(x 4 )) TEOREMA - Se f è derivabile in x 0 allora è continua in x 0. Non è invece vero il viceversa. Ad esempio, la funzione f (x) = x è continua in 0, ma non è ivi derivabile. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 11 / 22

index Teoremi sulle funzioni derivabili 1 Derivate 2 Teoremi sulle funzioni derivabili 3 Formula di Taylor Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 12 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Massimi e minimi relativi Un punto x 0 si dice punto di massimo relativo (rispett. punto di minimo relativo) per una funzione f, se esiste un intorno U(x 0 ) tale che f : U(x 0 ) R abbia in x 0 un massimo (assoluto), cioè x U(x 0 ) si abbia f (x) f (x 0 ) (rispett. f (x) f (x 0 )) (si veda la figura a sinistra). Nel caso x 0 sia agli estremi dell insieme di definizione (si veda la figura a destra) si ottiene un analoga definizione considerando intorni destri o sinistri, cioè, ad esempio, se f è definita in [a, + ) il punto (a, f (a)) è di massimo relativo se esiste un intorno destro U + (a) di a tale che x U + (a) si abbia f (x) f (a). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 13 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Teorema di Fermat TEOREMA (di Fermat) - Sia f definita in un intorno di x 0 e supponiamo che x 0 sia un punto (interno) di massimo o minimo relativo per f. Se f è derivabile in x 0, allora f (x 0 ) = 0. OSSERVAZIONE - Non è vero il viceversa. Infatti può essere f (x 0 ) = 0 senza che x 0 sia massimo o minimo. Questo accade, ad esempio, nel caso della funzione y = x 3 in x 0 = 0. OSSERVAZIONE - La funzione f (x) = x ha un minimo relativo (ed anche assoluto) in 0, ma in 0 la funzione non è derivabile. OSSERVAZIONE - I punti di massimo e minimi relativo vanno cercati tra i punti interni all insieme di definizione E in cui la derivata è nulla o non esiste, e tra i punti di E non interni ad E. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 14 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Teorema di Rolle TEOREMA (di Rolle) - Sia f : [a, b] R, con f continua in [a, b], derivabile in (a, b) e con f (a) = f (b). Allora esiste almeno un punto c (a, b) tale che f (c) = 0. Il teorema garantisce l esistenza di un punto (c, f (c)) del grafico in cui la retta tangente è orizzontale Tutte le ipotesi del teorema di Rolle (continuità in [a, b], derivabilità in (a, b), f (a) = f (b)) sono necessarie, come mostrano i seguenti esempi. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 15 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Teorema di Lagrange e sue conseguenze TEOREMA (di Lagrange) - Sia f : [a, b] R, con f continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora esiste almeno un punto c (a, b) tale che f (c) = f (b) f (a) b a Il teorema garantisce l esistenza di un punto (c, f (c)) del grafico in cui la retta tangente è parallela alla retta che congiunge A = (a, f (a)) con B = (b, f (b)). COROLLARI Ipotesi - Negli enunciati seguenti si suppone sempre che le funzioni f, g coinvolte siano definite e continue in [a, b] e derivabili in (a, b). Se f (x) = 0, x (a, b), allora f = k, con k R, cioè (nelle ipotesi scritte sopra) le uniche funzioni derivabili con derivata ovunque nulla sono le costanti. Se f (x) = g (x), x (a, b), allora x [a, b] si ha f (x) = g(x) + q, con q R, cioè (nelle ipotesi scritte sopra) due funzioni con la stessa derivata differiscono per una costante. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 16 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Se f (x) > 0, x (a, b), allora f è strettamente crescente, in particolare f è iniettiva, quindi invertibile. Se f (x) < 0, x (a, b), allora f è strettamente decrescente, in particolare f è iniettiva, quindi invertibile. L ipotesi che l insieme di definizione di f sia un intervallo è necessaria: ad esempio la funzione definita da f (x) = 1 x se x (, 0) e f (x) = 1 x 3 se x (0, + ), ha derivata sempre negativa (pari a 1 x 2 ) però non è (globalmente) decrescente (lo è su (, 0) e su (0, + ), ma non su (, 0) (0, + )) e nemmeno iniettiva (perché, ad esempio f ( 1) = f ( 1 2 ) = 1). ESERCIZIO - Stabilire in quali intervalli la funzione f (x) = xe 1 x strettamente crescente. è Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 17 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Ricerca dei punti di massimo e di minimo relativo Sia f continua in (a, b). Se f è anche derivabile in (a, b), salvo al più in x 0, allora se f (x) > 0 in (a, x 0 ) e f (x) < 0 in (x 0, b) allora x 0 è un punto di massimo; se f (x) < 0 in (a, x 0 ) e f (x) > 0 in (x 0, b) allora x 0 è un punto di minimo. ESERCIZIO - Cercare i punti di massimo e di minimo relativo della funzione definita da f (x) = xe 1 x. ESERCIZIO - Cercare i punti di massimo e di minimo relativo della funzione definita da f (x) = x 2 2 x. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 18 / 22

Teoremi sulle funzioni derivabili Studio della concavità - Flessi TEOREMA - Sia f derivabile in un intervallo I. f è strettamente concava verso l alto (rispett. verso il basso) in I se e solo se, per ogni punto P del grafico di f la retta tangente al grafico di f in P sta al di sotto (rispett. al di sopra) del grafico di f. TEOREMA - Sia f derivabile in un intervallo I. f è strettamente concava verso l alto (rispett. verso il basso) in I se e solo se la funzione derivata prima f è strettamente crescente (rispett. decrescente) in I. TEOREMA - Sia f derivabile due volte in un intervallo I. Se f (x) > 0 x I, (rispett. f (x) < 0 x I) allora f è strettamente concava verso l alto (rispett. verso il basso) in I. Un punto x 0 interno all insieme di definizione di f si dice punto di flesso se f cambia concavità in x 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 19 / 22

index Formula di Taylor 1 Derivate 2 Teoremi sulle funzioni derivabili 3 Formula di Taylor Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 20 / 22

Formula di Taylor Polinomio di Taylor Sia f una funzione definita in un intorno di x 0 e derivabile n volte in x 0. Il polinomio P n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) 2 viene detto polinomio di Taylor di ordine n centrato in x 0. (x x 0 ) 2 + + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! TEOREMA - Sia f una funzione derivabile n volte in x 0. Esiste un intorno I(x 0 ) tale che, x I(x 0 ), la funzione R n (x) = f (x) P n (x) sia un infinitesimo di ordine superiore a (x x 0 ) n (cioè lim x x 0 R n (x) (x x 0 ) n = 0). ESERCIZIO - Calcolare il polinomio di Taylor di f (x) = 2 + 3x x 2 + 3x 3 di ordine 2 centrato in 0. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 21 / 22

Formula di Taylor Polinomi di Mc Laurin Il polinomio di Taylor di ordine n di una funzione f centrato in 0 viene detto polinomio di Mc Laurin di ordine n di f, o sviluppo di Mc Laurin di ordine n di f. ESEMPI sin(x) = x x3 3! + x5 x2n+1 5! + + ( 1)n (2n+1)! + R 2n+1(x) cos(x) = 1 x2 2! + x4 x2n 4! + + ( 1)n (2n)! + R 2n(x) arctan(x) = x x3 3 + x5 x2n+1 5 + + ( 1)n (2n+1) + R 2n+1(x) e x = 1 + x + x2 2! + + xn n! + R n(x) log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 + + ( 1)n 1 xn n + R n(x). ESERCIZIO Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin di ordine 4 di f (x) = x 2 2 + 2cosx. Calcolare lim x 0 x 2 2 + 2cosx x 4. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Istituzioni di Matematiche 22 / 22