Note sulle serie di Fourier

Note sulle serie di Fourier Rodica oader, a.a. 3/4 versione provvisoria (aggiornata al 3//7 Convergenza uniforme Data una funzione f : R R, periodica di periodo >, supponiamo di poter definire i coefficienti (reali di Fourier: a k = ( k f(t cos t dt, b k = ( k f(t sin t dt (ciò sarà possibile, ad esempio, se la funzione f è continua. Consideriamo allora le funzioni e le loro medie f n (t = a n + ( ( ( k k a k cos t + b k sin t, σ n (t = n + [f (t + f (t +... + f n (t]. eorema. (Fejer. Se f : R R è periodica di periodo > e continua, allora uniformemente in t R. lim σ n(t = f(t, n Prima di iniziare la dimostrazione, per semplificare le notazioni, introduciamo i seguenti coefficienti (complessi di Fourier: Si vede allora che per cui c k = c k = k i f(te t dt. (a k + ib k se k <, a se k =, (a k ib k se k >, f n (t = c k e i k t

e σ n (t = [ c e + (c e i t + c e + c e i t +...+ n + n i t +... + c e i t + c e + c e i t +... + c n e i n t +(c n e = [ (n + c e + n(c e i t + c e i t +... + (c n e n + = n + (n + k c k e i k t. n i ] ] t + c n e i n t Dimostrazione. Per semplicità, considereremo il caso =. Questa ipotesi non sarà comunque restrittiva, potendocisi sempre ricondurre con un cambiamento di variabile. Abbiamo quindi e avendo posto c k = σ n (t = n + = n + = f(te ikt dt, f n (t = (n + k c k e ikt (n + k f(sk n (t s ds, K n (x = Notiamo che, se x = (o un multiplo intero di, K n ( = ( n + k e ikx. n + + +... + n + (n + + n +... + + n + mentre, se x non è un multiplo intero di, = c k e ikt, f(se iks ds e ikt n(n + + (n + n + K n (x = [ e inx + e i(n x +... + ne ix + (n + e + n + +ne ix +... + e i(n x + e inx] = n + [ e inx ( + e ix +... + ne i(n x + (n + e + ] +e inx ( + e ix +... + ne i(n x. = n +, Essendo, per α, kα k = (n + αn + nα n+ ( α

(lo si può dimostrare per induzione, ponendo alternativamente α = e ix oppure α = e ix otteniamo: K n (x = (e inx (n + einx + ne i(n+x n + ( e ix + (n + e + +e inx (n + e inx + ne i(n+x ( e ix = e inx e ix + e i(n+x n + ( e ix = e inx n + (e = i(n+x e i(n+x n + e ix e ix = n + ( e i(n+x e ix ( sin (n+x sin ( x. Osserviamo che K n (x per ogni x. Inoltre, fissato un δ ], [, abbiamo che, se x ]δ, δ[, ( ( K n (x n + sin ( x n + sin (, δ per cui K n (x tende a uniformemente in ]δ, δ[. Osserviamo inoltre che K n (x dx = n + k n + indipendentemente da n. Ritornando a σ n (t, si ha: σ n (t = = = t t f(sk n (t s ds f(t xk n (x dx f(t xk n (x dx. e ikx dx =, Dimostriamo che σ n (t converge a f(t uniformemente. Fissiamo ε >. Essendo f continua, esiste un M > tale che t [, ] f(t M, e f è uniformemente continua su [, ], per cui esiste un δ > tale che Inoltre, esiste un n tale che t t < δ f(t f(t < ε 4. n n x [δ, δ], K n (x ε 4M, 3

e quindi: σ n (t f(t = f(t xk n (x dx = (f(t x f(tk n (x dx = δ δ... dx +... dx +... dx δ δ δ f(tk n (x dx ( ε K n (x dx + ε δ ( f(t x + f(t dx + ε K n (x dx 4 4M δ 4 δ ε 4 + M ε 4M + ε 4 = ε. Per stimare il terzo termine si è utilizzato che f(t x f(t = f(t x + f(t e che (t x + t = x δ. La dimostrazione è così completa. Ne segue immediatamente il seguente importante Corollario.. Siano f, f : R R due funzioni continue e periodiche. Se per i rispettivi coefficienti di Fourier c k e c k si ha che c k = c k per ogni k, allora f e f coincidono. Dimostrazione. Con le ovvie notazioni, avremo che σ n (t = σ n (t, per ogni n, per cui f(t f(t = lim n (σ n(t σ n (t =, per ogni t R. Ci interessiamo ora alla convergenza delle funzioni f n. Useremo la notazione ( + n α k = lim α k. n k= eorema.3. Sia f : R R una funzione continua e periodica di periodo >. Se la serie + k= c k converge, allora lim f n(t = f(t, n uniformemente in t R. Scriveremo quindi: Dimostrazione. Essendo f(t = + k= c k e i k t. ck e i k t ck, siccome la serie + k= c k converge, per il criterio di Weierstrass si ha che le f n convergono uniformemente ad una certa funzione continua f. D altra parte, per tale funzione si ha: c k = k i f(te t dt = ( lim f k i n(t e t dt n = lim n = lim n j= n f n (te k i t dt = lim n j= n c j e i j t e c j e i (j k t dt = lim c k dt = c k, n k i t dt 4

per ogni k. Per il corollario al teorema di Fejer, f e f coincidono, per cui la dimostrazione è completa. Corollario.4. Sia f : R R una funzione periodica di periodo >. Se f è di classe C, allora uniformemente in t R. f(t = + k= Dimostrazione. Integrando per parti due volte, c k = f(te ( [ = f(t = ik = ik = (ik k i t dt ] k e i t ik f (te ( [ f (t k i t dt ] k e i t ik f k i (te t dt. c k e i k t, Essendo f continua su [, ], esiste un M > per cui + f (te ik k i + f (te ik t [, ] f (t M. t dt k i t dt Quindi, c k = (k f (te k i t dt (k f (te k i t dt M (k, per cui la serie + k= c k converge, e il risultato segue dal teorema precedente. Nota. I risultati sopra dimostrati si estendono senza difficoltà alle funzioni a valori complessi anziché reali. 5

Esercizi e osservazioni. Calcolare i coefficienti di Fourier associati alla funzione f : R R periodica di periodo = definita da f(t = t per t <. Soluzione. Si ha e per ogni k numero naturale, b k = a k = a = t dt =, t cos(kt dt = [ ] t sin(kt k k t sin (kt dt = [ ] t cos(kt + k k sin(kt dt = cos(kt dt = πk.. Calcolare i coefficienti di Fourier associati alla funzione f : R R periodica di periodo = definita da f(t = t + sin(3t per t <. Soluzione. Siano a k, b k i coefficienti di Fourier della funzione f e siano α k, β k i coefficienti di Fourier della funzione -periodica g definita da g(t = t per t <. Dal Corollario al eorema di Fejer segue che a k = α k per ogni k, b k = β k per ogni k 3, mentre b 3 = β 3 +. Calcoliamo ora i coefficienti α k e β k : α k = π β k = π = ([ k t cos(kt π α = π t dt = 8 3 π, t cos(kt dt = ([ ] π k t sin(kt ] t sin(kt dt = π = 4π k + ([ ] k t sin(kt π k cos(kt dt = 4 k, ([ ] k t cos(kt + k sin(kt dt = 4π k. t sin(kt dt t cos(kt dt Osservazioni Se g : R R è una funzione periodica di periodo e integrabile sui intervalli compatti, allora per qualsiasi a R. Infatti, si ha g(xdx = a+ a g(tdt, essendo a+ a g(tdt = a+ a+ g(tdt + g(tdt g(tdt = a g(t + dt = a a g(tdt = g(tdt. g(tdt, 6

In particolare, ponendo a = si ha g(xdx = / / g(tdt. Useremo questa osservazione nel calcolo dei coefficienti di Fourier per funzioni pari e per funzioni dispari. La seguente osservazione ci permette di passare da una funzione periodica di periodo > ad una funzione di periodo e viceversa: se g : R R è una funzione periodica di periodo, la funzione h : R R definita da h(x = g( x è periodica di periodo. Infatti, ( ( ( h(x + = g (x + = g x + = g x = h(x. Convergenza in media quadratica Date due funzioni continue f, g : [, ] C, definiamo il prodotto scalare di f e g : f g = f(tg(t dt (dove z indica il complesso coniugato del numero complesso z. Si dimostra facilmente il Lemma.. Valgono le seguenti proprietà:. f f è un numero reale ;. f f = f = ; 3. g f = f g ; 4. λf + µf g = λ f g + µ f g, dove λ, µ C. Definiamo la seguente norma di f : f = f f = Lemma.. Vale la disuguaglianza di Schwarz: ( / f(t dt. f g f g. Dimostrazione. Se f =, essa è chiaramente verificata. Supponiamo quindi f. Abbiamo Ponendo λ = f g f otteniamo da cui la disuguaglianza cercata. Ne segue direttamente il λf + g = λf + g λf + g = λ f + λ f g + λ f g + g f f g + g, 7

Lemma.3. Valgono le seguenti proprietà della norma:. f ;. f = f = ; 3. λf = λ f ; 4. f + g f + g. ornando alle serie di Fourier, abbiamo che c k = f e k, dove con e k abbiamo indicato la funzione e k (t = e i k t, e Siccome facendo i conti abbiamo: f n = e k e j = f e k e k. f f n = f f n f f n = f f e k e k f = f = f j= n { se k j, se k = j, f e j e j j= n f e j f e j f e k. Ne deduciamo la disuguaglianza di Bessel: f e k f e k + f e k f. f e k Definiamo ora una funzione S n che alla funzione f associa la relativa funzione f n : S n (f = f e k e k. Notiamo che: la funzione S n è lineare; se P è un polinomio trigonometrico del tipo P (t = m j= m λ j e i k t, con m n, allora S n (P = P ; per ogni funzione f, si ha S n (f f. Infatti, per la disuguaglianza di Bessel, n n S n (f = f e k e k f e j e j = f e k f. j= n 8

eorema.4. Se f è continua, allora lim f f n =. n Dimostrazione. Supponiamo inizialmente che f( = f( per cui l estensione -periodica di f su R (che continueremo a chiamare f è continua. Fissato ε >, per il teorema di Fejer possiamo trovare un polinomio trigonometrico P = σ m tale che Ne segue che f P ε e, se n n ε si ha t [, ] f(t P (t ε. f f n = f S n (f f P + P S n (P + S n (P S n (f = f P + S n (f P f P ε, il che dimostra l enunciato. Nel caso in cui f( f( è sufficiente approssimare f con una funzione g continua, tale g( = g(, e applicare il risultato precedente (scrivere i dettagli. Corollario.5. Se f è continua, si ha la seguente identità di Parseval: f = Dimostrazione. Come abbiamo visto sopra, + k= f f n = f f e k. f e k, e il risultato segue dal teorema precedente, passando al limite per n. L identità di Parseval f(t dt = f = + k= c k = a 4 + + (a k + b k vale per funzioni integrabili secondo Riemann, in generale per funzioni di quadrato integrabile secondo Lebesgue. Facciamo ora qualche osservazione di carattere generale. Sia E uno spazio vettoriale (su K = R o su K = C su cui è definito un prodotto scalare. Due elementi di E si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo. Vale il seguente risultato. eorema.6 (di Pitagora. Se x, x,..., x m E sono due a due ortogonali, allora m m x k = x k. 9

Dimostrazione. Dalla definizione della norma e dalla linearità del prodotto scalare segue che m m m x k = x k, x j = j= e, essendo i vettori ortogonali due a due, la somma diventa m x k, x j k,j= m m x k, x k = x k. Supponiamo ora di avere un sottospazio di dimensione finita, E, di E e un elemento x di E. L elemento di E che è più vicino a x nella distanza indotta dalla norma è la proiezione ortogonale di x su E. Infatti, vale il seguente risultato. eorema.7. Sia E un sottospazio di dimensione finita di E e sia {x,..., x m } una base ortonormale di E. Per un qualsiasi elemento x E indichiamo con x l elemento di E dato da m x = x, x j x j. Allora j= (i x x è ortogonale a ogni elemento di E (x è la proiezione ortogonale di x su E ; (ii x = m j= x, x j x ; (iii x x x y per ogni y E (x è l elemento di E più vicino a x. Inoltre, dato x E, x è l unico elemento di E con queste proprietà. Dimostrazione. (i Basta verificare che x x è ortogonale ai vettori della base, (per linearità segue poi che x x è ortogonale a ogni elemento di E. Si ha m m x x, x j = x x, x k x k, x j = x, x j x, x k x k, x j (ii Per il eorema di Pitagora = x, x j x, x j =. x = x x + x x = (iii Sia y E. Per il eorema di Pitagora m m x, x j x j = x, x j. j= x y = x x + x y x x. L unicità: se sia x che x E soddisfano la proprietà (iii, x x = x x. Per la proprietà (i, x x è ortogonale a x x. Allora dal eorema di Pitagora segue che x x = x x + x x, e quindi x x =, per cui x = x. j=

3 Ulteriori risultati sulla convergenza delle serie di Fourier Consideriamo ora funzioni non necessariamente continue e le corrispondenti serie di Fourier. Intanto osserviamo che per definire i coefficienti di Fourier basta l integrabilità (per ora nel senso di Riemann della funzione f sull intervallo [, ]. Infatti, se f è integrabile secondo Riemann anche i prodotti che definiscono i coefficienti di Fourier lo sono. Inoltre, se f, g : [, ] C sono integrabili secondo Riemann si può definire il (semi-prodotto scalare f g come prima, e continua a valere la disuguaglianza di Bessel: da cui segue la convergenza della serie + k= f e k f, c k. Di conseguenza lim k c k =. Definizione 3. (cf. [Giusti]. Una funzione f si dice continua a tratti in un intervallo [a, b se è continua in [a, b tranne al più in un numero finito di punti t,..., t N nei quali esistono finiti i limiti destro e sinistro: f(t j + = lim t > t j t < t j t t j f(t e f(t j = lim t t j f(t, per j =,,..., N. Una funzione continua a tratti si dice regolare a tratti in [a, b se ha derivata continua eccetto ovviamente nei punti t,..., t N ed eventualmente in altri punti s,..., s k, sempre in numero finito, e se f (t è limitata. Osserviamo che la derivata di una funzione regolare a tratti è integrabile secondo Riemann, quindi possiamo calcolare i coefficienti di Fourier sia della f che della sua derivata. Dimostreremo il seguente risultato eorema 3.. Sia f : R C una funzione periodica di periodo > regolare a tratti in [,. Allora la serie di Fourier associata a f converge per ogni t R e si ha + k= c k e i k t = (f(t + f(t+. La convergenza è uniforme su ogni intervallo chiuso in cui la funzione f è continua. In particolare, se f è continua e regolare a tratti la serie di Fourier converge a f uniformemente. Iniziamo con delle osservazioni di carattere algebrico. Lemma 3.3. Per ogni n N D n (t := Dimostrazione. Si ha e i k t = e in t n = ei(n+ t e in t e i t e i k t = sin((n + t sin( π t per ogni t (,. e i(k+n t = e in t e il t = e in l= = ei(n+ t e i(n+ t e i πt πt e i t ei(n+ t e i t = sin((n + t sin πt.

Mettendo insieme i termini di indice k e k nella sommatoria che definisce D n si ottiene: ( k D n (t = + cos t. La funzione D n è pari e essendo / D n (tdt = ( k cos t dt = per tutti k. Calcoliamo ora f n. Si ha f n (t = c k e i kt = / = = / / / f(s / D n (tdt =, / f(se i ks e i kt ds / e i k(t s ds = f(t + τ sin((n + τ sin( π τ dτ. / / f(s sin((n + (t s sin( π ds (t s Nell ultima uguaglianza, posto s = t + τ, si è tenuto conto che sin( α = sin(α. Dimostrazione.. convergenza puntuale. Sia t [,. Abbiamo f n (t dove f(t + f(t+ = = + τ f(t D n (τdτ + /(f(t (( g(τ sin n + τ dτ, / / f(t+τ f(t sin( π τ τ < g(τ = τ = f(t+τ f(t+ sin( π τ < τ / Usando il teorema di Cauchy deduciamo che per τ abbastanza piccolo g(τ = f (t + ξ π πξ cos( per un certo ξ tra e τ. (f(t + τ f(t+d n (τdτ Quindi g è una funzione limitata in un intorno di e dunque in tutto l intervallo [, ]. Essendo g continua eccetto in un numero finito di punti, risulta integrabile (secondo Riemann. Applichiamo il risultato sulla convergenza a zero dei coefficienti di Fourier di una funzione integrabile alle funzioni g(τ sin( πτ / = / / e g(τ cos( πτ (( g(τ sin n + τ / g(τ sin ( πτ cos e otteniamo che dτ ( nτ dτ + / g(τ cos / ( πτ sin( nτ dτ

per n.. convergenza totale se f è regolare a tratti e continua. Segue dalla disuguaglianza di Bessel per la derivata di f. Si ha f(t = f( + t f (sds per ogni t R. Siano γ k i coefficienti di Fourier di f ; integrando per parti si ottiene γ k = f (te kπ i t dt = ikπ f(te kπ i t dt = ikπ c k. Dalla disuguaglianza di Bessel per f deduciamo che + k= γ k < +. Siccome c k = k c k k k c k + k, si ha + k= c k < + e quindi la serie di Fourier di f converge totalmente. Essendo f regolare a tratti e continua, dal primo passo della dimostrazione segue la convergenza puntuale della serie di Fourier di f alla funzione f. Si può allora concludere che la convergenza verso la funzione f è uniforme. 3. convergenza uniforme su ogni intervallo chiuso di continuità. Supponiamo per semplicità che = e che f abbia un solo punto a [, di discontinuità. Siano f(a e f(a+ i limiti laterali di f in a. Il salto della funzione f in a è f(a+ f(a. Modifichiamo la funzione f nel punto a ponendo f(a = (f(a + f(a+ e continuiamo a chiamare f questa nuova funzione. Consideriamo la funzione φ : R R periodica di periodo definita da: { π t t (, φ(t = t =. La serie di Fourier associata alla funzione φ + sin(kt k converge uniformemente a φ su ogni intervallo [α, β] (,. Infatti, la serie converge puntualmente e su [α, β] la somma della serie coincide con la funzione φ. Per verificare che la successione φ n delle somme parziali è di Cauchy rispetto alla norma uniforme notiamo che φ n (t φ m (t = k=m+ = sin t = [ sin t + sin(kt = k sin t k=m+ k k=m+ ( (( cos k m + cos ((m + n k=m+ t sin(kt sin t k (( cos k + t = t (( n cos n + t (( cos k + ( t k + ] k Fissiamo δ > e mostriamo che la successione φ n è di Cauchy rispetto alla norma uniforme su [δ, δ]. Sia ɛ >. Dall espressione calcolata prima segue che φ n (t φ m (t [ sin δ m + + n + n k=m+ ( k ] k + m sin δ per ogni t [δ, δ]. 3

Quindi, scegliendo m ɛ sin δ, per ogni m, n m si ha φ n (t φ m (t ɛ per ogni t [δ, δ]. Per concludere la dimostrazione in questo caso particolare, consideriamo la funzione g : R R periodica di periodo definita da g(t = f(t f(a+ f(a φ(t a per t [,. Essendo g continua e regolare a tratti, la sua serie di Fourier converge uniformemente, quindi la serie di Fourier della funzione f converge uniformemente in ogni intervallo [α, β] (,. Funzioni a variazione limitata Definizione 3.4. Sia f : [a, b] R una funzione e siano c, d tali che a c d b. variazione totale di f su [c, d], indicata con Vc d (f, è definita da { n } Vc d (f = sup f(x i f(x i : c = x < x < < x n = d, n N. i= Per brevità indichiamo la variazione di f su [a, b] con V(f. Si dice che la funzione f è a variazione limitata se V(f < +. Esempio. La variazione totale della funzione f : [, ] R definita da f(x = se x e f(x = 4 se < x, è uguale a 3. Esempio. Se la funzione f è monotona su [a, b] allora V(f = f(b f(a. Dalla definizione di estremo superiore segue la proprietà di additività della variazione rispetto al dominio: V b a(f = V c a(f + V b c (f, per ogni c [a, b]. Se f, g : [a, b] R, α R si ha Vale il seguente risultato. V(f + g V(f + V(g V b a(αf = α V(f. eorema 3.5. Se f : [a, b] R è una funzione a variazione limitata allora esistono due funzioni crescenti g, h : [a, b] R tali che f = g h. Dimostrazione. Poniamo g(x = Va x (f. Quindi h = Va x (f f. La funzione g è crescente. Infatti, se x < x, essendo la variazione un estremo superiore tra tutte le partizioni dell intervallo, Va x (f è maggiore del numero corrispondente a una qualsiasi partizione del tipo a = ξ < ξ < < ξ n = x < ξ n = x, per cui Va x (f f(x f(x + Va x (f. Verifichiamo ora che anche la funzione h è crescente: per x < x abbiamo h(x h(x = Va x (f f(x (Va x (f f(x f(x f(x (f(x f(x. La Di conseguenza una funzione a variazione limitata ammette limite destro e limite sinistro in un qualsiasi punto dell intervallo di definizione. Inoltre l insieme degli eventuali punti di discontinuità è al più numerabile. 4

Già con il primo esempio abbiamo visto che la variazione limitata non implica la continuità. Il seguente esempio mostra che la continuità non implica la limitatezza della variazione. Esempi.. Sia f : [, ] R la funzione così definita: f( =, per ogni n numero naturale f( n =, f( n = n, e f è lineare su [ n, n ] e su [ n+, n ]. { x sin. La funzione f(x = x se x è continua ma non è a variazione limitata, per se x = esempio su [, ]. Il teorema sulla convergenza delle serie di Fourier (eorema 3. si può estendere alle funzioni a variazione limitata. eorema 3.6. Sia f : R R una funzione periodica di periodo a variazione limitata su [, ]. Allora la serie di Fourier associata a f converge per ogni t R e si ha + (a k cos(kt + b k sin(kt = ( lim f(s + lim f(s. s t s t + a In particolare, se f è continua in t, f n (t f(t al tendere di n all infinito. Inoltre, se f è continua su (a, b la convergenza è uniforme su ogni intervallo [c, d], con a < c < d < b. In particolare, se f è continua su R la convergenza è uniforme su R. 4 Esercizi. Calcolare le serie di Fourier associate alle seguenti funzioni f : R R periodiche di periodo e discuterne la convergenza a. f(x = x per x [, [ b. f(x = x per x [ π, π[ c. f(x = x per x [ π, π[ d. f(x = sin x per x [ π, π[ e. f(x = sin x per x [ π, π[ f. f(x = x + cos(3x per x [ π, π[ g. f(x = per x [ π, [, f(x = per x [, π[ h. f(x = cos (3x per x [, ].. Sia f : R R la funzione periodica di periodo π, tale che f(x = x per x [ π, π [. a. Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f e studiarne la convergenza. b. Disegnare il grafico di f [,] e calcolare la variazione totale di f [,]. c. + n= (n+ =? 3. Sia f : R R la funzione periodica di periodo, tale che f(x = x+cos(x per π < x π. a. Calcolare V π π(f. 5

b. Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f e studiarne la convergenza. 4. Sia f : R R la funzione dispari periodica di periodo con f(x = x(π x per x < π. a. Scrivere la serie di Fourier associata alla funzione f e studiarne la convergenza. b. Disegnare il grafico di f [,+]. c. V (f =? d. Mostrare che (Si ha f(x = 8 π n= sin(kx k dispari k. 3 n dispari (n + 6 = π6 96 e n= n 6 = π6 945. 5. Sia f la funzione definita su [ π, π] da f(t = t. Usando la serie di Fourier di f (es. [c.] dimostrare che n = π e 8 n = π 6. (la serie è π 4 cos(nt π n dispari n Usare l identità di Parseval per trovare n= n= (n + 4 e n= n 4 (π 4 /96, π 4 /9 6