Dottorato di Ricerca in Ingegneria Meccanica e Gestionale Relazione finale primo anno

Dottorato di Ricerca in Ingegneria Meccanica e Gestionale Relazione finale primo anno Giovanni Caramia Politecnico di Bari Tutor: prof. Ing. Pietro De Palma Attività svolte Il dottorando Giovanni Caramia, regolarmente iscritto al primo anno del Dottorato di Ricerca in Ingegneria Meccanica e Gestionale XXVII ciclo, presso il Politecnico di Bari, ha svolto la sua attività di ricerca dal 1 Gennaio 2012 al 15 Dicembre 2012 presso il Politecnico di Bari sotto la guida del prof. P. De Palma. In questo periodo ha partecipato a diversi corsi, seminari e conferenze, come specificato nella documentazione SAT allegata. Di seguito si procede a una breve descrizione tecnica del lavoro svolto in questo periodo. 1 Introduzione La cavitazione è uno dei principali fenomeni analizzati dalla fluidodinamica, caratterizzato dall insorgere di zone prive di liquido (bolle o cavità), quale conseguenza di repentine diminuzioni di pressione dovute a brusche variazioni nella configurazione del flusso, quali per esempio cambi di direzione o attraversamenti di orifizi molto sottili [1, 2]. Esempi della presenza di bolle di gas o di vapore nei sistemi a fluido sono: iniezione di bolle di gas per ridurre l attrito fluidodinamico nelle condotte per il trasporto di petrolio; processi di ebollizione che costituiscono un passaggio fondamentale nei sistemi di produzione di energia; reattori chimici in cui le bolle vengono impiegate per aumentare la superficie di contatto tra le fasi; negli oceani, le bolle generate dalle onde che si infrangono sequestrano la CO2 presente in atmosfera; 1

sistemi di iniezione, in cui le bolle hanno un ruolo dannoso (motori a combustione interna o ink-jet); camere a bolle nella fisica delle alte energie per tracciare le particelle. I fenomeni fisici connessi alla dinamica delle bolle possono essere molto diversi: dal semplice problema della risalita di una bolla in una colonna di liquido fermo al collasso di una bolla, fenomeno estremamente violento e complesso, che coinvolge la formazione di urti su scale molto piccole ed è capace di generare pressioni altissime che possono condurre alla emissione di energia sotto forma di luce (sonoluminescienza). Tale energia viene usata in molte applicazioni tecnologiche (anche medicali) ed è anche impiegata da alcune specie di gamberetti per uccidere le proprie prede. L estrema instabilità osservata in questo tipo di transizione di fase, rende la cavitazione oggetto di studio nel campo della termodinamica di base [1, 2, 3, 4] e dell ingegneria. I flussi con cavitazione sono fortemente influenzati dalle dinamiche di formazione dell interfaccia liquido-vapore che, a sua volta è determinata dall equilibrio tra la pressione all interno della bolla, sostanzialmente corrispondente alla tensione di vapore, e la pressione all esterno della bolla. Le difficoltà nella simulazione numerica di flussi con cavitazione per mezzo di solutori basati sulle equazioni di Navier-Stokes sono dovute alla necessità di determinare l evolvere dell interfaccia tra i due fluidi: in letteratura sono disponibili vari modelli, come per esempio il modello bubble-tracking di Gavaises et al. [5], oppure il modello che prevede la modellizzazione di un unico fluido con caratteristiche specifiche [6]. Normalmente questi modelli aggiungono alle equazioni di Navier-Stokes il termine relativo alle forze che agiscono sull interfaccia la cui posizione viene determinata attraverso criteri semi empirici di calcolo della distribuzione della pressione e delle altre variabili termodinamiche nello spazio e nel tempo [7, 8]. 2 Motivazioni e Background Gli enormi successi raggiunti nella miniaturizzazione di dispositivi elettronici hanno reso possibile ottenere superfici dettagliatamente strutturate fino ad arrivare a scale micro e nanometriche. Sempre più diffuse sono quindi, al giorno d oggi, applicazioni che fanno uso di queste superfici in campi che vanno dalla medicina alla robotica. Al fine di comprendere appieno le proprietà di questi dispositivi è necessario cercare di descrivere dettagliatamente i fenomeni fisici che determinano tali proprietà. Il diffondersi di questi dispositivi ha portato al proliferare di studi relativi all interazione di queste superfici con il generico fluido che le lambisce: studi per la maggior parte di tipo sperimentale [9], ma anche di tipo teorico [10] così come studi basati simulazioni numeriche [11]. Queste superfici presentano un comportamento, rispetto al fluido che le lambisce, diverso dal caso di superficie completamente liscia o leggermente rugosa soprattutto per quel che riguarda l attrito. Mentre per un flusso di gas ad elevati numeri Knudsen, effetti di rarefazione possono portare ad uno scorrimento del flusso sulla superficie, per un liquido si potrebbe pensare che la velocità in corrispondenza della superficie sia uguale a quella della superficie stessa: questa assunzione è detta condizione di non scorrimento. Nel passato ci sono stati lunghi dibattiti circa la velocità di un liquido newtoniano in corrispondenza di 2

una superficie e la condizione di non scorrimento è sempre stata accettata grazie al fatto che non si sono mai trovate evidenze sperimentali che la contraddicessero: la cosiddetta condizione di scorrimento non è mai stata osservata. Grazie a recenti esperimenti si è riusciti invece ad osservare, su scala sub-micrometrica una violazione della condizione di non scorrimento. Conseguenza di questi esperimenti è la oramai acclarata influenza che l uso di queste superfici ha su proprietà quali attrito, logoramento e adesione nel caso di componenti meccanici interagenti. Un decennio di ricerche teoriche e sperimentali ha dimostrato l effetto che l uso di queste superfici micro e nano strutturate ha sulla lubrificazione: diminuzione dell attrito, incremento della durata, della capacità di carico di componenti meccanici [12] e utensili in generale [13]. Nessuno dei calcoli fino ad ora presentati descrive esaurientemente il moto del fluido tra due superfici in moto relativo l una con l altra. 3 Obiettivi Il presente lavoro di tesi ha lo scopo di sviluppare modelli per descrivere la dinamica delle bolle e analizzare i meccanismi di drag reduction nei sistemi a fluido. Infatti, per i corpi in moto relativo rispetto ad un liquido, il flusso vicino la parete può essere sostituito da uno strato di gas o vapore fornendo una interessante possibilità di riduzione della resistenza fluidodinamica. Naturalmente, il problema consiste nel determinare in quali condizioni tale strato di gas o vapore è stabile, l entità della riduzione della resistenza, il costo (in termini energetici) dell operazione nel suo complesso. A questo proposito, un interessante prospettiva fornita dalla possibilità di micro-(nano-) strutturazione delle superfici che le moderne tecnologie consentono di effettuare per progettare superfici che possano stabilizzare le bolle vicino la parete e accrescere l effetto della riduzione della resistenza. Durante il primo anno di attività si è pensato di effettuare simulazioni numeriche utilizzando il codice di calcolo commerciale Fluent per investigare l influenza del fenomeno della cavitazione sulle caratteristiche macro e microscopiche del flusso all interno di un meato; la geometria analizzata rappresenterà un pattino dotato di cavità di forma rettangolare che vede scorrere ad una certa velocità una superficie liscia vedi fig.3. Varie geometrie saranno analizzate soprattutto in termini di forze scambiate tra fluido e solido. Le diverse geometrie differiranno tra loro sia per numero di cavità per unità di lunghezza, sia per diversa forma. In particolare si vuole analizzare il rapporto fra il numero e la posizione delle cavità e il coefficiente d attrito. 4 Metodologia 4.1 Equazione di Reynolds L equazione di Navier-Stokes per un fluido Newtoniano in coordinate cartesiane (x 1, x 2, x 3 ) è l asserzione della conservazione della quantità lungo le direzioni dei tre assi coordinati x i ρ v x i t + v v xi = p x i + η 2 v xi + ρg xi (1) 3

per i = 1, 2, 3. Essendo t il tempo, v = (v x1, v x2, v x3 ) il vettore velocità e g = (g x1, g x2, g x3 ) il vettore accelerazione di gravità. Le seguenti assunzioni sono normalmente considerate nel caso di meati sottili flusso stazionario; condizioni stazionarie; forze d inerzia trascurabili; pressione costante nel meato; fluido newtoniano; densità del fluido costante; velocità nulla a parete; viscosità costante nel meato. Queste assunzioni costituiscono la base della teoria della lubrificazione. Ancora, sotto queste ipotesi l equazione di Navier-Stokes può essere riarrangiata con l equazione di continuità, ottendo così la cosiddetta equazione di Reynolds per il calcolo della pressione all interno del meato. Considerando un sistema di riferimento cartesiano, lo spessore h(x, y) del meato sia molto inferiore alla sua profondità nella direzione z, e siano U e V le componenti della velocità lungo le direzioni individuate dai due assi coordinati x e y; combinando ora l equazione di continuitá per un flusso bidimensionale incomprimibile divv = v x x + v y y = 0 (2) con l equazione di Navier-Stokes, si ottiene l equazione di Reynolds: p x (h3 η x ) + p y (h3 η y ) = 6(U h x + V h y ) (3) Sotto le ipotesi summenzionate questa equazione fornisce l andamendo della pressione p(x, y) all interno del meato. Sebbene in molti casi, questa questa equazione sia in grado di fornire una soluzione in buon accordo con i risultati sperimentali, come vedremo nel seguito, le ipotesi che sono alla sua base non sono nel caso preso in esame accettabili. 4.2 Approcci alla modellazione dei flussi multifase 4.2.1 Approccio euleriano-lagrangiano In questo caso la parte fluida è trattata seguendo un approccio euleriano come un continuo descritto dalle equazioni di Navier-Stokes, mentre la fase dispersa è trattata secondo un approccio lagrangiano, monitorando il percorso di particelle, bollicine o goccioline attraverso il liquido. Ovviamente la fase dispersa può scambiare quantità di moto, massa o energia con la fase liquida. Questo approccio si semplifica molto quando le interazioni 4

tra le particelle possono essere trascurate, e questo richiede che la fase dispersa occupi una bassa frazione di volume rispetto al totale, pur essendo la massa della fase dispersa molto superiore alla fase fluida. Le traiettorie delle particelle considerate vengono calcolate singolarmente a intervalli specificati durante il calcolo del moto della fase fluida. Questo rende il modello appropriato per la modellazione di atomizzatori, combustione di combustibile liquido o solido, e flussi con particelle cariche, ma non appropriato per la modellazione di miscele liquido-liquido, o qualsiasi altra applicazione in cui la frazione di volume della seconda fase non può essere trascurata. 4.2.2 Soluzione dell equazione di Boltzmann In questo tipo di approccio, invece di risolvere le equazioni di Navier-Stokes, viene risolta l equazione di Boltzmann per simulare il flusso di un fluido mediante modelli di collisione, come ad esempio il metodo Bhatnagar-Gross-Krook (BGK). Simulando l interazione di un limitato numero di particelle, il comportamento del flusso viscoso emerge automaticamente dal movimento intrinseco delle particelle stesse e dai processi di collisione che ne conseguono. I metodi reticolari di Boltzmann, spesso abbreviati con la sigla LBM, dal termine inglese Lattice Boltzmann methods, sono un insieme di tecniche di simulazione relativamente nuove per sistemi fluidodinamici complessi. Al contrario dei tradizionali metodi, che risolvono numericamente le equazioni di conservazione di propriet macroscopiche (come la massa, il momento e l energia), nei modelli lattice Boltzmann il fluido è costituito da particelle fittizie, e queste particelle operano consecutivamente processi di propagazione e collisione, spostandosi su una griglia reticolare discreta. A causa di questa natura particellare e dei processi dinamici locali, gli LBM hanno diversi vantaggi in pi rispetto ai convenzionali metodi CFD, specialmente se si trattano bordi complessi, se si aggiungono interazioni microscopiche e se si parallelizza l algoritmo. Una diversa interpretazione dell equazione di Boltzmann è l equazione di Boltzmann con velocità discreta. I metodi numerici per la soluzione del sistema di equazioni differenziali parziali genera in questo caso una mappa discreta, che pu essere interpretata come le propagazioni e le collisioni delle particelle fittizie. 4.2.3 Approccio euleriano-euleriano Nell approccio euleriano-euleriano, le varie fasi sono trattate matematicamente come continui interpenetranti. Poich il volume di una fase non può essere occupato da altre fasi, viene introdotto il concetto di frazione volumetrica di fase. Si assume che le frazioni di volume siano funzioni continue di spazio e tempo e la loro somma sia pari a uno. Equazioni di conservazione per ciascuna fase sono considerate per ottenere un insieme di equazioni che hanno struttura simile per tutte le fasi. Queste equazioni sono completate da relazioni costitutive ottenute da dati empirici, o, nel caso di flussi granulari, mediante applicazione della teoria cinetica. Nell ambito di questo approccio è possibile distinguere tra: Il modello Volume of Fluid (VOF) che è una tecnica di ricostruzione della superficie superficie di separazione tra le fasi. Questo modello è progettato per due o più fluidi immiscibili in cui la posizione 5

dell interfaccia tra i fluidi è di interesse. Nel modello VOF, un unico insieme di equazioni del moto condivisa dai fluidi, e la frazione di volume di ciascuno dei fluidi in ogni cella computazionale viene tracciata in tutto il dominio. Le applicazioni del modello VOF comprendono flussi stratificati, a superficie libere, flussi di riempimento, sloshing, il moto di grosse bolle in un liquido, il movimento di un liquido dopo la rottura di una parete di contenimento, la previsione dello sfrangiamento di un getto (tensione superficiale), la ricostruzione di una qualsiasi interfacia liquido-gas. Il modello euleriano (non omogeneo) che risolve un insieme di equazioni di conservazione della quantità di moto e di continuità per ogni fase. Accoppiamento tra le varie fasi avviene attraverso la pressione e i coefficienti di scambio interfase. Il modo in cui viene gestito questo accoppiamento dipende dal tipo di fasi coinvolte; i flussi granulari (liquido-solido) sono gestiti in modo diverso rispetto ai flussi nongranulari (liquido-liquido). Per flussi granulari, le proprietà sono ottenute dall applicazione della teoria cinetica. Lo scambio di quantità di moto tra le fasi dipende dal tipo di miscela considerata. Il modello mixture (omogeneo) secondo cui un unica equazione di conservazione della quantità di moto per la miscela viene risolta in tutto il dominio, mentre l equazione di conservazione della massa viene risolta per ogni fase 4.3 Il modello mixture Il modello a miscela è un modello semplificato che può essere utilizzato in diversi modi. Esso può essere utilizzato per modellare flussi multifase in cui le fasi si muovono a velocità diverse, così come può essere utilizzato per modellare flussi multifase in cui le fasi abbiano la stessa velocità. Infine, questo modello può essere utilizzato per calcolare la viscosità di fluidi non newtoniani. Questo modello pu modellare n fasi (liquido o particolato) risolvendo le equazioni di conservazione della quantità di moto,della massa, e dell energia per la miscela, le equazioni della frazione di volume per le fasi secondarie, le espressioni algebriche per le velocità relative. Le applicazioni tipiche includono sedimentazione, separatori a ciclone, flussi con basso carico di particelle cariche, e i flussi spumeggianti in cui la frazione di volume di gas rimane comunque bassa. Il modello a miscela è un buon sostituto del modello multifase euleriano di cui sopra in diversi casi: il modello multifase euleriano può infatti non essere opportuno quando vi sia una forte presenza della fase particellare o quando le leggi di scambio di fase siano sconosciute o, comunque la loro affidabilità sia dubbia. Un modello più semplice come appunto il modello a miscela può fornire risultati attendibili come quelli forniti dal modello euleriano, a fronte però di un minore numero di variabili e quindi di un minore sforzo computazionale. Nel prosieguo si considerà la presenza di due sole fasi: liquido e vapore corrispondente. 6

4.3.1 Equazione di conservazione della massa L equazione di conservazione della massa per la miscela è: essendo ρ m la densità della miscela così definita: t (ρ m) + (ρ m v m ) = 0 (4) ρ m = aρ v + (1 a)ρ l (5) dove a è la frazione di volume di vapore, ρ l e ρ v rispettivamente la densità della fase liquida e della fase vapore. Mentre v m è la velocità della miscela così definita: v m = aρ v v v + (1 a)ρ l v l ρ m (6) L equazione di conservazione della massa per la fase vapore è: t (aρ v) + (aρ v v m ) = ṁ lv ṁ vl (7) essendo ṁ lv la portata di massa all unità di volume che passa da liquido a vapore, ed ṁ lv la portata di massa all unità di volume che passa da vapore a liquido. 4.3.2 Equazione di conservazione della quantità di moto L unica equazione di conservazione della quantità di moto considerata, quella relativa alla miscela è: t (ρ m v m ) + (ρ m v m v m ) = p + [ µ m ( v m + v m) ] T (8) in cui µ m è la viscosità della miscela così definita: 4.4 La dinamica della bolla di vapore µ m = aµ v + (1 a)µ l (9) Nel caso in cui non ci sia velocità di scorrimento tra liquido e vapore, l equazione che descrive la dinamica della bolla di vapore può essere derivata dalla equazione di Rayleigh- Plesset generalizzata [1]: dove R B d 2 R B dt 2 + 3 2 R B è il raggio della bolla ( ) 2 ( ) drb PB (t) P (t) = dt S è la tensione superficiale ρ l è la densità del liquido 7 ρ l 4ν l dr B R B dt 2S ρ l R B (10)

P B (t) è la pressione sulla superficie della bolla P (t) è la pressione lontano dalla bolla ν l è la viscosità cinematica del liquido, considerata costante Trascurando ora i termini di secondo ordine e la forza dovuta alla tensione superficiale la eq.10 può essere così semplificata: dr B dt = 2 P B (t) P (t) (11) 3 ρ l Questa equazione sarà quella usata sia per introdurre gli effetti della dinamica della bolla nel modello di cavitazione sia per descrivere la propagazione del vapore nel flusso e di conseguenza per determinarne la densità. 4.5 Il modello di Schnerr e Sauer In maniera simile a quello che altri modelli fanno, anche quello di Schnerr e Sauer [14] usa l equazione di trasporto della frazione di vapore per ottenere la quantità di massa che passa dalla fase liquida a quella di vapore. L equazione 7 di trasporto per la frazione di volume di vapore può essere scritta nella sua forma generale come t (aρ v) + (aρ v v v ) = ρ vρ l Da ρ m Dt (12) dove si è posto R = ṁ lv ṁ vl = ρ vρ l Da ρ m Dt essendo R il tasso di trasferimento di massa tra liquido e vapore. Diversamente da altri modelli quali Zwart-Gerber-Belamri [15] e Singhal et al. [16], questo modello adotta la seguente espressione per legare la frazione di volume di vapore con il numero di bolle per unità di volume di liquido: a = n b 4 3 πr3 B 4 (14) 1 + n b 3 πr3 B Seguendo un approccio simile a quello di Singhal et al., Schnerr e Sauer hanno espresso la seguente relazione per il tasso di trasferimento di massa R tra liquido e vapore andando a sostituire l espressione di a data dalla eq.14 prima nella eq.13 e poi nella eq.12: R = ρ vρ l 3 a(1 a) ρ R B (13) 2 P sat P (15) 3 ρ l per cui si è posto P B (t) = P sat = cost nella eq.11, essendo P sat la pressione di saturazione. Sempre dalla eq.14 si ottiene anche il raggio R B della generica bolla: ( a 3 1 R B = 1 a 4π n b ) 1 3 (16) 8

essendo n b la densità di bolle per unità di volume. La cosa importante da notare in questo caso, è che l espressione di R, grazie alla presenza dei termini a(1 a), assume valore nullo sia per a = 1 che per a = 0 e raggiunge il suo massimo per a = 0.5. Altro aspetto interessante di questo modello è che l unico parametro che da assumere è il numero di bolle n b per unità di volume. Così come negli altri due modelli, la eq.15 viene usata per modellare i processi di condensazione ed evaporazione: se P sat P R e = ρ vρ l 3 2 P sat P a(1 a), (17) ρ R B 3 ρ l. se P sat P 5 Test case R c = ρ vρ l 3 a(1 a) ρ R B 2 P P sat (18) 3 ρ l Presso il laboratorio di tribologia TriboLAB, ospitato dal Dipartimento di Meccanica, Matematica e Management è presente l apparato sperimentale, schematizzato nella fig.1, per la determinazione della curva di Stribeck (fig.2) che mette in relazione il coefficiente d attrito con la velocità relativa tra due superfici in moto una rispetto all altra in presenza di un fluido lubrificante. Come si può notare dalla fig.1 l apparato sperimentale è fondamentalmente costituito da un pattino posto a contatto con un disco rotante, entrambi immersi in un bagno di fluido lubrificante. Il test case sul quale si applicare la metodologia sotto descritta sarà tale da: Pin-on-disk setup Lubricant bath Ball holder Disk holder Rotating shaft Figura 1: TriboLAB. Apparato sperimentale presso il Figura 2: Esempio di curva di Stribeck. fornire risultati confrontabili con quello ottenuti per via sperimentale; individuare le grandezze caratteristiche che maggiormente influenzano il fenomeno; descrivere nel dettaglio la fluidodinamica del problema; fornire indicazioni per orientare la sperimentazione. 9

5.1 Risultati Come precedentemente accennato, l apparato sperimentale ha ispirato l implementazione del seguente modello in cui si è considerato un pattino avente lunghezza pari a 5mm. Sono state risolte le equazioni di Navier-Stokes bidimensionali, senza modellare la turbolenza con un metodo numerico accurato al secondo ordine nel tempo e nello spazio, su griglie costituite da circa 300000 celle: il numero di celle varia leggermente a seconda della geometria considerata. Nella fig. 3 è illustrato lo schema di principio del dominio di calcolo e le condizioni al contorno imposte. Nel prosieguo si indicherà col nome pattino la parte della geometria dotata di cavità, si indicherà col nome piatto la parte indicata in fig. 3 come moving wall. Avendo l apparato sperimentale sopradescritto ispirato la Per quanto riguarda le condizioni operative si fatto riferimento ai dati sperimentali. Al fine INVISCID WALL INVISCID WALL PERIODIC WALL WALL WALL PERIODIC MOVING WALL (V=0.6128 m/s) Figura 3: Schema di principio del dominio di calcolo e condizioni al contorno. di illustrare le dimensioni caratteristiche dei fenomeni analizzati, si riporta nella fig. 4 un particolare quotato della geometria studiata. Per quanto riguarda il dominio e la griglia di 11 µ m 1 µ m Figura 4: Particolare quotato. calcolo si scelto di adottare una griglia non strutturata di cui possibile notare l immagine in fig. 5. La distanza dei due bordi periodici, pari a 13mm, si è dovuta scegliere con cura vista l elevata influenza di questa sulla correttezza dei risultati. Il fluido considerato nelle simulazioni ha le seguenti caratteristiche fisiche: formula chimica c19h30 densità della fase liquida 960[kg/m 3 ] viscosità della fase liquida 0.048[kg/(m s)] densità della fase vapore 10.95[kg/m 3 ] 10

viscosita della fase vapore 7e 06[kg/(m s)] Figura 5: Dominio di calcolo. Varie geometrie sono state analizzate, in particolare si e voluta analizzare l influenza del numero e della posizione delle cavita sulle forze scambiate tra fluido e pattino. 5.2 Prima geometria La prima geometria da prendere in considerazione e quella in cui il pattino non e dotato di alcuna cavita : in questo caso non si verifica la cavitazione e le forze scambiate risultano costanti nel tempo e pari a 147.133 N nella loro componente lungo la direzione di scorrimento del piatto. Nella fig. 6 e illustrato l andamento della pressione assoluta lungo la superficie del pattino; il valore massimo della pressione riscontrato in questo caso e pari a 165123 P a mentre il valore minimo riscontrato e pari a 46571 P a ben al di sopra della pressione corrispondente alla tensione di vapore del fluido considerato e pari a 1330 P a. In questo caso quindi la differenza di pressione tra valore massimo e minimo e pari a 118552 P a. Absolute pressure 400000 160000 350000 140000 300000 120000 250000 pressure[pa] pressure[pa] Absolute pressure 180000 100000 200000 80000 150000 60000 100000 40000 50000 20000 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.001 length[m] 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 length[m] Figura 6: Pressione assoluta sulla superficie del Figura 7: Pressione assoluta sulla superficie del pattino (nessuna cavita ). pattino (una cavita a monte). 11

5.3 Seconda geometria La seconda geometria considerata prevede la presenza di una sola cavità posizionata nelle vicinanze della parte del pattino che per prima viene investita dal flusso: volendo riferirsi allo schema di principio di fig. 3, delle tre cavità visibili sul pattino, le ultime due a destra non sono presenti. Anche in questo caso non si verifica cambiamento di fase essendo il valore minimo della pressione assoluta pari a 34270 P a, ed il valore massimo raggiunto pari a 370688 P a; la conseguente differenza di pressione è pari a 338218 P a. Nella fig. 7 è illustrato l andamento della pressione assoluta lungo la superficie del pattino. Le forze scambiate risultano costanti nel tempo e pari a 146.198 N nella loro componente lungo la direzione di scorrimento del piatto. 5.4 Terza geometria La terza geometria considerata prevede la presenza di una sola cavità posizionata nelle vicinanze della parte del pattino che per ultima viene investita dal flusso: volendo riferirsi allo schema di principio di fig. 3, delle tre cavità visibili sul pattino, le prime due a sinistra non sono presenti. Diversamente dai due precedenti casi, con questa geometra, a parità di tutte le altre condizioni si verifica cavitazione con conseguente variazione nel tempo delle caratteristiche del flusso e delle forze scambiate tra fluido e pattino. Nella fig. 8 è mostrato l andamento nel tempo della componente orizzontale della forza scambiata tra fluido e pattino: in questa figura è possibile notare la stazionarietà del flusso in assenza di cavitazione nel momento in cui la pressione operativa è talmente elevata da non indurre cambiamenti di fase nel flusso. Ancora, è possibile notare un assestamento del valore medio della forza attorno ad un valore di 145 N, leggermente inferiore rispetto ai due casi precedenti, il che è,giustificabile dalla diminuzione della superficie del pattino a contatto con la fase liquida che ha una viscosità notevolmente superiore a quella della fase vapore. Nella fig. 9 è illustrata la distribuzione della frazione di volume di liquido 150 Drag 1 Volume fraction 145 0.9 140 0.8 135 0.7 Force[N] 130 125 120 Volume fraction 0.6 0.5 0.4 115 0.3 110 105 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 time[s] Figura 8: Variazione nel tempo della componente orizzontale della forza scambiata tra fluido e pattino (una cavità a valle). 0.2 0.1 0 0.00575 0.0058 0.00585 0.0059 0.00595 0.006 0.00605 Position[m] Figura 9: Distribuzione della frazione di volume di liquido (una cavità a valle). delle due fasi lungo la superficie del pattino in corrispondenza dell ultimo tempo calcolato per questo caso ossia 0.002130 s. Come si può notare, nella fig. 9 l ascissa non parte dal 12

valore corrispondente all inizio del pattino, ma da un valore successivo: si voluto riservare maggiore dettaglio alla zona in cui si verifica cavitazione dato che per valori inferiori dell ascissa la frazione di volume del liquido mantiene costantemente pari a 1. Le fig. 10 e fig. 11 illustrano rispettivamente l andamento della pressione assoluta e della frazione di volume di liquido nelle vicinanze della cavità. Figura 10: Distribuzione della pressione assoluta (una cavità a valle). Figura 11: Andamento della frazione di volume di liquido (una cavità a valle). 5.5 Quarta geometria La quinta geometria considerata prevede la presenza di tutte le cavità presenti nello schema di principio di fig. 3. Coerentemente con i precedenti casi, con questa geometra, si verifica cavitazione con conseguente variazione nel tempo delle caratteristiche del flusso e delle forze scambiate tra fluido e pattino. Nella fig. 12 è mostrato l andamento nel tempo della componente orizzontale della forza scambiata tra fluido e pattino: è possibile notare un assestamento del valore medio della forza attorno ad un valore medio di 107.6 N, inferiore rispetto ai casi precedenti, il che è,giustificabile dalla diminuzione della superficie del pattino a contatto con la fase liquida che ha una viscosità notevolmente superiore a quella della fase vapore. Nella fig. 13 è illustrata la distribuzione della frazione di volume delle due fasi lungo la superficie del pattino in corrispondenza dell ultimo tempo calcolato per questo caso ossia 0.055380 s. Nella fig. 14 è illustrato l andamento della pressione assoluta lungo la superficie del pattino; 13

Drag 600 Volume fraction 1 0.9 500 0.8 0.7 Volume fraction Force[N] 400 300 200 0.6 0.5 0.4 0.3 100 0.2 0.1 0 0 0.01 0.02 0.03 time[s] 0.04 0.05 0 0.001 Figura 12: Variazione nel tempo della compo- 0.002 0.003 Position[m] 0.004 0.005 0.006 Figura 13: Distribuzione della frazione di volume di liquido (tre cavita ). nente orizzontale della forza scambiata tra fluido e pattino (tre cavita ). Absolute pressure 160000 140000 120000 pressure[pa] 100000 80000 60000 40000 20000 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 length[m] Figura 14: Pressione assoluta sulla superficie del pattino (tre cavita ). 5.6 Forza scambiata tra fluido e pattino Nella tabella seguente e possibile notare la relazione esistente tra il numero e la posizione delle cavita presenti sul pattino, l insorgere della cavitazione e la componente orizzontale della forza scambiata tra fluido e pattino. Numero cavita - Posizione Presenza cavitazione Componente orizzontale della forza [N] 0 NO 147.1 1 a monte NO 146.2 1 a valle SI 145 3 SI 107.6 In particolare si nota che: 1. in assenza di cavita non si verifica il fenomeno della cavitazione e la forza assume il suo valore massimo, 14

2. in presenza di una cavità a monte ancora non si verifica cavitazione e la forza presenta una leggera diminuzione, 3. la presenza di una cavità a valle provoca l insorgere della cavitazione mentre la forza subisce una leggera diminuzione, 4. in presenza di tre cavità provoca l insorgere della cavitazione e una drastica riduzione del valore della forza scambiata tra fluido e pattino. La diminuzione della forza scambiata può essere facilmente spiegata guardando la fig. 13 in cui si nota che la porzione di superficie del pattino a contatto con la fase vapore è molto maggiore nel caso in cui ci sono tre cavità rispetto al caso in cui non ci siano affatto cavità: nel primo caso la miscela assume infatti caratteristiche fisiche più simili a quelle del vapore mentre nel secondo la miscela assume caratteristiche più simili a quelle del liquido. Ricordando che la viscosità della fase liquida è pari a 0.048[kg/(m s)], mentre la viscosità della fase vapore pari a 7e 06[kg/(m s)], si capisce il perché di tale diminuzione. 6 Conclusioni Fra i vari modelli disponibili per considerare un flusso bifase è stato considerato quello cosiddetto a miscela che prevede di calcolare una equazione di conservazione della quantità di moto per la miscela e due equazioni di conservazione della massa una per la miscela e una per la fase vapore. Quale modello di cavitazione si è scelto quello di Shnerr e Sauer che prevede come unica assunzione quella relativa al numero di bolle per unità di volume. Si è considerato un test case tale da potere in futuro permettere il confronto con i dati sperimentali forniti dall apparato sperimentale presente presso il TriboLAB. Si sono portate a termine simulazioni numeriche in grado di descrivere un flusso in cui il rapporto tra le lunghezze massima e minima è pari a 140000. Le stesse simulazioni hanno consentito una prima analisi del comportamento fluidodinamico del flusso considerato e, grazie all uso del modello di cavitazione, hanno consentito di mostrare l esistenza di una relazione tra la componente orizzontale della forza scambiata tra fluido e pattino e, numero e posizione delle microcavità sulla superficie del pattino. In particolare si è visto che al crescere del numero di microcavità il valore della componente orizzontale della forza diminuisce: si è pensata questa diminuzione come causata dall aumentare della percentuale in volume di vapore, e conseguente diminuzione della viscosità, in corrispondenza della superficie del pattino. 7 Sviluppi futuri Quali prossimi passi tesi ad approfondire l investigazione dei fenomeni sopra descritti si prevede di: Effettuare simulazioni tridimensionali; verificare i vantaggi dell impiego di tecniche di simulazione numerica più accurate quali: 15

VOF; Lattice Boltzman Method; approccio euleriano-euleriano; confrontare i risultati ottenuti con i dati sperimentali; condurre una campagna di simulazioni per analizzare l influenza dello spessore del meato e della geometria della microstrutturazione della superficie sulle caratteristiche del flusso; sulle forze scambiate tra fluido e pattino. Riferimenti bibliografici [1] C.E. Brennen, Cavitation and Bubble Bynamics, 1995, Oxford Univ. Press. [2] E.-A. Bujan, Cavitation in Non-Newtonian Fluids, 2011, Springer. [3] J.-P. Franc and J.-M. Michel, editors, Fundamentals of Cavitation, 2005, Kluwer Academic Publishers. [4] E. Zwaan, S. Le Gac, K.Tsuji, and c.-d. Ohl.Controlled cavitation in microfluidic systems, 2007, Phys. Rev. Lett., 98:254501. [5] M. Gavaises, D. Papoulias, A. Andriotis, and Giannadakis.Link between cavitation development and erosion damage in diesel injectornozzles, 2007, SAE Tech. Paper, 2007-01-0246. [6] W.G. Lee and R.D. Reitz, Simulation of transient cavitation processes in diesel injectors using kiva with a homogeneous equilibrium model, 2009, In International Multidimensional Engine Modeling User s Group Meeting, Detroit (MI). [7] D.D. Joseph, Cavitation and the state of stress in a flowing liquid,1998, J.Fluid Mech., 366:367-378. [8] S. Zaleski, J. Li and S. Succi, Two-dimensional Navier-Stokes simulation of deformation and breakup of liquid patches, 1995, Phis. Rev. Lett., 75:244-247. [9] Lauga E, Brenner M P and Stone H A, Microfluidics: the no-slip boundary condition, 2005, Handbook of Experimental Fluid Dynamics, Springer, chapter 15. [10] O. I. Vinogradova, Drainage of a Thin Liquid Film Confined between Hydrophobic Surfaces, 2005, Langmuir, 11 2213. [11] S. Succi, Mesoscopic Modeling of Slip Motion at Fluid-Solid Interfaces with Heterogeneous Catalysis, 2011, Lubrication Science. 16

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