Fisica ed Igegeria Sismica Ua critica alla Meccaica delle Vibrazioi Ua possibile rilettura dell equazioe di Plack Quatizzazioe dell eergia gravitazioale Prima parte 18/09/005
La Verità, per defiizioe, dovrebbe essere la più semplice ed iocete delle Bugie. (C. S.) Abstract Se Ω è la pulsazioe del forzate ed ω quella del sistema oscillate, è oto che, secodo la correte Meccaica delle Vibrazioi, si ha u uica codizioe di risoaza, caratterizzata dall idetità Ω = ω, ell ipotesi che sia ullo l attrito itero detto sistema. E possibile dimostrare che la precedete idetità è solo ua delle ifiite e umerabili codizioi di risoaza che possoo verificarsi ella realtà sperimetale e che la codizioe più geerale è data ivece dalla relazioe ω =Ω = i cui è u qualsiasi umero itero aturale. ( 1,,3... ) I questa sede esamieremo le immediate implicazioi che ciò comporta i igegeria sismica ed i fisica teorica.
1. Itroduzioe Uo dei più importati feomei fisici attraverso il quale ua qualsiasi forma di eergia può passare da u sistema ad u altro è il cosiddetto feomeo della risoaza. Così, ad esempio, la luce, feomeo emietemete oscillatorio, più essere assorbita dalla materia o attraversarla idisturbata, oppure u oda sismica può pericolosamete scuotere ua struttura fio a produre il collasso, oppure lasciarla completamete idee. Si verifica l ua o l altra delle dette situazioi a secoda che il sistema che riceve l azioe va o o i risoaza co la causa estera che agisce sullo stesso. Da qui la fodametale importaza di studiare a fodo il detto feomeo. I proposito è ferma, radicata e geerale covizioe che esso si verifica solamete quado la frequeza del forzate Ω coicide co quella ω del sistema i studio e quidi, i asseza di attrito itero, si ha l uica codizioe ω = Ω. (1.1) Ma è molto semplice ed immediato ivece vedere che la relazioe precedete è solo ua delle ifiite e umerabili codizioi di risoaza che possao aversi ella quotidiaa e macroscopica realtà. Ifatti si può dimostrare, sia i modo molto ituitivo che aaliticamete, che, i geerale, è valida la relazioe ω =Ω 1,,3... (1.) ( ) dove deve essere rigorosamete u umero itero. Cosidereremo vari sistemi oscillati che hao u solo grado di libertà (Sigle Degree Of Freedom (SDOF)). L estesioe a sistemi cotiui, che verrà trattata successivamete, è immediata. La fig. 1 riporta u pedolo, privo di attrito, il cui periodo è dato dalla ota relazioe (1.3) fig. 1 l τ = π. (1.3) g La fig. riporta il caso di u elastico al quale è sospesa ua massa m. Se detta massa oscilla itoro alla posizioe di equilibrio il periodo è dato dalla relazioe 3
fig. dove m è la massa e k è la costate elastica della molla. m τ = π (1.4) k La fig. 3 riporta il caso di u portale co traverso ifiitamete rigido (deformata alla Griter 1 ) per il quale vale acora la (1.4) e dove fig. 3 1E I k =, (1.5) 3 h E è il modulo di elasticità dei ritti, I il mometo d ierzia degli stessi ella direzioe dello spostameto ed h la loro altezza. 1 Co questa ipotesi, per pura semplicità, si evita il calcolo dello spostameto del telaio dovuto alla deformabilità del traverso, ipotesi che può comuque essere rimossa. 4
E forse opportua la seguete precisazioe. Come si vede dalla (1.4), il periodo dei sistemi ora cosiderati è idipedete dalla elogazioe iiziale dell oscillatore. La fig. 4 riporta lo schema geerico del detto oscillatore armoico. fig. 4 I tal caso la forza di richiamo agete sulla massa è direttamete proporzioale allo spostameto e cioè essa è data dall equazioe F = kx. (1.6) Duque la massa è soggetta ad ua forza di richiamo che è tato più forte quato più il puto di parteza dista dall origie. Si sarebbe allora tetati di pesare che il periodo τ di tale oscillatore fosse tato più piccolo quato maggiore è l elogazioe iiziale della molla e ciò cotrariamete a quato ivece si deduce dalla (1.4). Ma occorre osservare che se è vero che la forza è tato più grade quato più grade è l elogazioe è pur vero che, ad ua grade elogazioe iiziale, corrispode ache uo spazio maggiore che la massa deve percorrere. Quidi, sebbee la massa vega ad essere assoggetta ad ua maggiore velocità media, dovrà comuque percorrere uo spazio maggiore, da qui l idipedeza del periodo dall elogazioe e la validità della (1.4). No è così el caso particolare del pedolo di fig. 1. La diretta proporzioalità tra forza di richiamo ed arco di parteza, corrispodete all agolo α, è valida fio a quado è lecito cofodere α (espresso i radiati) co il valore di seα e cioè quado siα α. Quado ciò accade ricadiamo el famoso isocroismo delle piccole oscillazioi (Galilei) e quidi possiamo affermare che il periodo del pedolo è acora idipedete dall elogazioe iiziale. L aalisi che segue cosidererà solo oscillatori armoici e quidi lieari. Ciò comporta che cosiderado, i questa sede, solo oscillatori la cui forza di richiamo segue la legge di Hooke, parafrasado Galilei, possiamo dire che per essi è sempre valido l isocroismo delle oscillazioi, piccola o grade che sia la loro elogazioe iiziale o itermedia. Ciò detto, vogliamo adesso rederci ituitivamete coto della validità della (1.), per poi procede aaliticamete. La massa m, sospesa i A, impiega il tempo τ per descrivere il percorso ABA, lo stesso avverrà per gli altri sistemi rappresetati elle precedeti figure. Se, el mometo i cui la detta massa rioccupa la posizioe A, applichiamo ua forza per u breve tempo, così come si vede i fig. 1, e ripetiamo cotiuamete questa operazioe ogi qual volta detta massa si ritrova i A, provochiamo il cosiddetto feomeo della risoaza e quidi le 5
ampiezze di oscillazioe del pedolo aumeterao idefiitamete. Se allora idichiamo co T il periodo co il quale applichiamo i detti impulsi abbiamo l ovvia idetità che, i termii di pulsazioe, può ache essere scritta ella forma T = τ (1.7) π π = =Ω= ω, (1.8) T τ da qui la classica ed uica codizioe di risoaza. Ma è altresì evidete che o siamo affatto costretti ad applicare i detti impulsi ogi qual volta la massa rioccupa cosecutivamete la posizioe A per provocare l aumeto illimitato dell ampiezza di oscillazioe. Ifatti se, co opportue e variabili pause, applichiamo i detti impulsi ogi qual volta è vera l idetità ( 1,,3... ) T = τ = (1.9) dove deve essere ovviamete e rigorosamete u umero itero, ache i questo caso più geerale riusciamo a produrre il feomeo della risoaza. Ifatti solo se è u umero itero l azioe che provocherà il ostro impulso sarà sempre cocorde o i assoaza co il aturale moto della massa oscillate e quidi la ostra azioe o potrà mai provocare u idesiderato arresto del moto della massa, cosa che sicuramete avverrebbe se detti umeri o fossero iteri o, la massimo, frazioari. Dalla (1.9) si avrà evidetemete l idetità π π ω = Ω= ω =Ω. (1.10) T τ Ma la otizia data dalla (1.10) descrive solo molto empiricamete e per gradi liee il detto feomeo, é co essa possiamo compredere l importate ruolo della forza di attrito, e quat altro ecessario per descrivere l itera diamica del feomeo. Co la (1.10), di questo fodametale feomeo riusciamo solo a vedere, ed i modo molto sfocato, la puta estrema dell iceberg, metre ci sfugge ache la putuale descrizioe della eorme parte sommersa. Ivece le soluzioi aalitiche che seguoo ci cosetirao di calcolare spostameti, accelerazioi e velocità putuali della massa soggetta a vibrazioi e quidi di stabilire co certezza la cosiddetta risposta dell oscillatore. Il video allegato al presete file riporta apputo questo esempio. 6
. Sviluppi aalitici Per poter studiare rigorosamete i cocetti espressi i precedeza costruiamo u forzate che ci coseta di applicare u impulso, di durata t, che abbia ua certa pulsazioe Ω. Co uo sviluppo i serie di Fourier possiamo cosiderare il forzate a 1 1 1 F = mδ si(1 a)cos( t) si( a)cos( t) si(3 a)cos(3 t)... π π Ω Ω + Ω 1 3, (.1) dove m è la massa oscillate, δ la sua accelerazioe e ( a ) rappreseta l itervallo di a applicazioe dello stesso t =. Detto forzate, ma mao che si cosiderao più Ω termii della serie, tede ad u impulso rettagolare (v. fig. 3). fig. 3 Nel caso di u oscillatore privo di attrito abbiamo allora l equazioe dx dt a 1 1 1 + ω x= δ si(1 a)cos( t) si( a)cos( t) si(3 a)cos(3 t)... π π Ω Ω + Ω 1 3. (.) Poiché essa è lieare possiamo risolverla sommado le varie soluzioi delle segueti equazioi x x δ a + ω x = π 1δ + ω x = si 1 a 1 π cos 1 Ωt + ω = 1δ + si π cos Ω + ω = 1δ si 3 3 π cos 3 Ω.... ( ) ( ) ( ) ( ) x x a t ( ) ( ) x x a t (.1) 7
La prima equazioe ha la soluzioe La secoda, posto δ a x1() t = C11cos( ωt) + C1si( ωt) +. (.) πω δ Ξ= si( a), (.3) π ha la soluzioe la terza, posto cos( Ωt) x() t = C1cos( ωt) + Csi( ωt) +Ξ ω Ω, (.4) 1δ ϒ= si( a ), (.5) π e la quarta, posto cos( Ωt) x3() t = C31cos( ωt) + C3si( ωt) +ϒ ω Ω (.6) è 1δ Γ= si(3 a ), (.7) 3 π cos(3 Ωt) x4() t = C41cos( ωt) + C4si( ωt) +Γ ω 3 Ω (.8) per cui la soluzioe geerale risulta essere δ a cos(1 Ωt) cos( Ωt) cos(3 Ωt) xt () = Acos( ωt) + Bsi( ωt) + +Ξ +ϒ +Γ +.. + πω ω 1 Ω ω Ω ω 3 Ω (.3) Il primo ed il secodo termie della precedete soluzioe (e cioè i due termii caratterizzati dalle costati A e B da determiarsi impoedo le codizioi iiziali) dao luogo alla ota soluzioe siusoidale, alla quale si sommao gli effetti degli altri termii del secodo membro. Se si studia la fuzioe costituita da questi ultimi si hao i segueti grafici (fig. 4 e 5). Sull asse è riportato il rapporto Ω /ω, sull asse t il tempo e sull asse verticale la risposta x(t) dell oscillatore. 8
fig. 4 fig. 5 La fig. 5 riporta frotalmete il grafico della fig. 4. Dalla soluzioe (.3) e dalle dette figure si evice che si hao più codizioi di risoaza quado il rapporto Ω /ω è pari ad u umero itero. Ifatti i vari deomiatori del secodo membro della (.3) si aullao quado ω =Ω ( =± 1, ±, ± 3...) (.4) Il geerico termie della soluzioe, che è esprimibile siteticamete dalla formula δ cos( Ωt) cos( Ωt) π ω Ω ω Ω = = ( 1) si( a) = Τ, (.5) = 1 = 1 assume valori idefiiti quado è verificata la (.4). Chiaramete, co lo studio dell equazioe dell equazioe (.), seppur viee ricofermata pieamete l ituizioe della codizioe di risoaza (1.10) oché il semplice esperimeto riportato el filmato allegato, o si raggiugoo grossi risultati. Resta idetermiata la posizioe della massa proprio i prossimità delle risoaze. Ciò comporta ua idetermiazioe completa dell elogazioe, della velocità e dell accelerazioe egli itori delle risoaze alle quali viee ad essere soggetto il sistema oscillate. A meo di o voler ricorrere ad ua riormalizzazioe 3, è ecessario o trascurare la forza di attrito. 3 Ache la coppia protoe-elettroe costituisce u sistema oscillate. Ed ache per questo sistema soo valide queste cosiderazioi. I fisica, o cooscedo la posizioe putuale dell elettroe itoro al ucleo, 9
3. La risposta dell oscillatore co smorzameto I tal caso si ha l equazioe dx dx a dt 1 1 1 + γ + ω x= δ si(1 a)cos(1 t) si( a)cos( t) si(3 a)cos(3 t).. dt π π Ω Ω + Ω + 1 3.(3.1) Procediamo i modo del tutto aalogo al caso precedete. Abbiamo il seguete isieme di equazioi x + γx δ a + ω x = π x + γx 1δ + ω x = si(1 a )cos(1 Ωt ) 1 π x + γx 1δ + ω x = + si( a )cos( Ωt ) π x + γx 1δ + ω x = si(3 a )cos(3 Ωt ) 3 π..... (3.11) La prima equazioe ha la soluzioe La secoda, posto ha la soluzioe ( + ) ( ) 4 + 4 1 1 γ γ ω t t γ γ ω δ a 0() 1e e x t = C + C +. (3.1) πω 1δ Τ 1 = si(1 a ) (3.13) 1 π ( + 4 ) ( 4 ) 1 ( ) ( ω ) 1 1 γ γ ω t cos( ) si( ) γ γ ω t t t Τ ω Ω Ω + γ Ω Ω x1() t = C1e + Ce +. (3.14) Ω + γ Ω Questa equazioe, com è oto, può essere scritta ella forma ( γ+ γ 4ω ) ( 4 ) t γ γ ω t cos( t ) 1 1 x1() t = C1e + Ce + Τ1 Ω Θ1 Ω + γ Ω ( ω ) (3.15) dove γ Ω Ω ω. (3.16) Θ 1 = arcta si impoe che la probabilità di trovare la detta particella ell itero ed ifiito spazio che circoda l atomo è pari all uità! 10
La terza (o eesima equazioe), posto ha aaloga soluzioe e cioè 1δ Τ = si ( a) (3.17) π co le posizioi () ( γ+ γ 4ω ) t ( γ γ 4ω ) t cos( t ) 1 1 Τ Ω Θ 1e e x t = C + C + ( ω ) Ω + Ω γ (3.18) 1δ Ωγ Τ = ( 1) si( a) e Θ = arcta π Ω ω. (3.19) Quidi la soluzioe defiitiva risulta essere la seguete ( γ+ γ 4ω ) t ( γ γ 4ω ) t δ a Τ cos( Ωt Θ ) 1 1 = e πω = 1 x() t = Ae + B + +. (3.) Ω + Ω γ ( ω ) Detta soluzioe è composta da ua parte trasitoria 4 (termii affetti dalle costati A e B ) e da ua parte stazioaria. Quest ultima è rappresetata graficamete dalle figure 6 e 7. fig. 6 4 I effetti, dopo u certo tempo, questi termii tedoo a zero. Ciò che resta i modo persistete è il feomeo stazioario rappresetato della parte rimaete dell equazioe (3.). 11
fig. 7 Se si cosidera la soluzioe della ota equazioe e cioè d x dx γ ω x δ cos( t) dt + + = Ω (3.3) dt γ γ 4ω γ γ 4ω t + t δ cos( Ω Θ t ) 1 xt () = _ Ce + _ C e + ( ω ) Ω +Ω γ (3.4) si vede come la (3.) sia u ovvia geeralizzazioe della (3.4). Per sottolieare le differeze tra le dette soluzioi è ecessario u cofroto umerico. 1
4. Il cofroto Porremo a cofroto le risposte di u idetico oscillatore armoico smorzato, ua volta soggetto ad u forzate di tipo siusoidale ed ua volta ad u forzate di tipo impulsivo F = mδ cos( Ω t) (4.1) F 4 m 1 1 1 δ si(1 ) cos(1 ) si(3 ) cos(3 ) si(5 ) cos(5 ).. π 1 a t 3 a t 5 a t = Ω + Ω + Ω + + (4.) i quali soo etrambi rappresetati i fig. 8. fig. 8 I quest ultimo caso si ha la seguete equazioe dx dt dx 4 1 1 1 + γ + ω x= δ si( a)cos( t) si(3 a)cos(3 t) si(5 a)cos(5 t).. dt π Ω + Ω + Ω 1 3 5. (4.3) Posto 4δ Τ = si( a ) ( = 1,3,5,7,.. ), (4.31) π si ha la seguete soluzioe stazioaria cos( Ωt Θ) xt ( ) =Τ = 1,3,5,7,... Ω + γ Ω ( ω ) ( ) (4.4) La (4.4) preseta picchi di risoaza 5 ogi qual volta 5 Essi soo molto prouciati quado il termie dissipativo è molto basso. 13
ω = (m 1) ( m = 1,,3..) Ω (4.5) e cioè quado il detto rapporto è pari ad u umero itero dispari. Studiamo la risposta della parte stazioaria della (4.4) ed assumiamo i segueti valori Ω= 4, a= 0.5, δ = 10, g = γ = 0.01. (4.6) I tal caso il periodo co il quale vegoo applicati gli impulsi è T = π / Ω= π /4= 1.57 sec., metre la durata dell impulso è pari a t = a/ Ω= 0.5 sec.. Le figure. 9, 10 ed 11 permettoo di valutare il massimo spostameto dell oscillatore. fig. 9 La fig. 9 riporta solo i primi due picchi di risoaza. Per l esattezza questi picchi si sdoppiao. Come si vede meglio dalle fig. 10 ed 11, essi si hao i corrispodeza di ω = 1 4= 4 e ω = 3 4= 1. (4.7) fig. 10 14
I corrispodeza di ω = 4 si ha u ampiezza massima d oscillazioe pari a ± 6.4 uità. Dalla fig. 11 si ha, i corrispodeza di ω = 4 3= 1, che la detta ampiezza è pari a ± 3 uità. fig. 11 Calcoliamo adesso la risposta dello stesso oscillatore ipotizzado u forzate rigorosamete siusoidale. I tal caso la parte stazioaria è data dalla formula (3.4). Le figure 1, 13 e 14, che seguoo, permettoo di valutare la risposta dell oscillatore armoico smorzato soggetto al detto forzate. Si assumoo gli stessi valori del caso precedete e cioè Ω= 4, δ = 10, g = γ = 0.01. (4.8) I questo caso è evidete che il tempo di applicazioe della forza è pari all itero periodo. fig. 1 Dalla fig. 1 si evice, com è oto, l uica codizioe di risoaza 6 Ω ω. La fig. 13 permette di valutare lo spostameto della massa, che è pari a ± 3.6 uità, molto più piccolo di quello che si ha el caso precedete. 6 I effetti, la preseza u attrito o molto forte sposta lievemete le codizioi di risoaza: I questo caso l uica codizioe si ha quado ω o coicide esattamete co Ω ( ω Ω ). 15
fig. 13 La fig. 14 cosete di valutare lo spostameto che si ha i corrispodeza di ω = 1. fig. 14 Esso è pari a 0.0 uità, cotro il precedete valore pari a 3 e quidi circa 150 volte più piccolo. E opportuo, ache per quato vedremo i seguito, cosiderare l esempio di u forzate del tipo fig. 15 e quidi la corrispodete equazioe da risolvere è la seguete 8 1 1 1 + + x= cos(1 t) cos(3 t) cos(5 t).. dt π Ω + Ω + Ω + + 1 3 5 d x dx γ ω δ dt (4.9) Essa, posto questa volta 16
ha l aaloga soluzioe stazioaria 8δ Τ =, (4.91) π xt ( ) =Τ cos( Ωt Θ) ( Ω ω ) + γ Ω ( = 1,3,5,7,... ). La fig. 16, sempre per Ω= 4, δ = 10, g = γ = 0.01, poe i evideza le risoaze per ω = 4 e ω = 1. fig. 16 Le fig. 17 e 18 permettoo di valutare l etità delle ampiezze di oscillazioe. fig. 17 17
fig. 18 I defiitiva, come già osservato i precedeza, la risposta dell oscillatore soggetto a questo tipo di forzati, può essere posta ella forma (aalisi armoica) Τ xt () = Ω + γ Ω ( ω ) la quale viee rappresetata ella seguete fig. 0. fig. 0 La risoaza si verifica ogi qual volta ω Ω. La curva più alta ed estera alle altre è dovuta ad u valore molto piccolo dell attrito dell oscillatore. Ma mao che γ aumeta i picchi di risoaza tedoo ad atteuarsi fio a scomparire quasi del tutto. La fig. 1 riporta solo la curva più bassa (dissipazioe d eergia più alta) della fig. 0. 18
Se ivece si cosidera la classica equazioe fig. 1 d x dx γ ω x δ cos( t) la cui soluzioe stazioaria (aalisi armoica) è dt + + = Ω, (4.10) dt si ha il grafico di fig.. xt () = δ ( ω ) Ω +Ω γ, (4.11) fig. 19
5. Qualche cosiderazioe sperimetale Per verificare sperimetalmete il feomeo della risoaza, ormalmete si usa il dispositivo riportato i fig. 3. Esso cosiste i ua trave icerierata agli estremi ella cui mezzeria è posto u volao co ua massa eccetrica e quidi detto volao o è bilaciato. Usado variabili velocità agolari, sperimetalmete si verifica che quado la pulsazioe Ω della massa eccetrica tede a coicidere co quella ω propria della trave le ampiezze (tratteggiate i figura) aumetao sempre più fio alla rottura della trave stessa. I questo caso all oscillatore è applicato u forzate rigorosamete siusoidale. fig. 3 La fig. 4, tratta dal testo [1], riporta il caso i cui detto volao è applicato alla sommità di ua struttura da sottoporre a studio. fig. 4 E il caso di osservare che u operatore che applica u forzate del tipo di quelli esamiati i precedeza produce comuque gli effetti della multirisoaza. 0
Cosideriamo ad esempio il (progetto del) pote sullo stretto di Messia. E prevista ua campata cetrale di be ml. 3.300. Se poiamo ella mezzeria di detta campata u volao il cui asse di rotazioe sia verticale, certamete detta campata etrerà orizzotalmete i risoaza solo quado ω Ω 7, ifatti il forzate è acora rigorosamete siusoidale. Ma se la detta struttura viee ivestita da raffiche di veto co pulsazioe Ω, altrettato certamete il pericoloso feomeo della risoaza si verificherà quado è vera l idetità ω Ω ( = 1,,3..). Resta la domada se le ode sismiche possao legittimamete approssimarsi co dei forzati di tipo siusoidale o se esse soo u feomeo impulsivo. I merito [1, pag. 305], testualmete si legge: I risultati delle ricerche codotte dall Istituto di Tecologia di Pasadea soo stati oggetto di molte discussioi. I sismologhi americai ritegoo che soltato attraverso la suggestiva ipotesi che il terremoto, lugi dall essere u feomeo fisico <cotiuo>, sia costituito da ua serie di impulsi, ci si può dar coto della sua fodametale irregolarità, che la ciematica spettrale ifallibilmete ci rileva. E allora evidete che se gli accelerogrammi registrati durate le scosse telluriche vegoo letti co cotiuità allora si ha risoaza, per u sistema ad u solo grado di libertà, solo quado Ω= ω. Se ivece gli stessi vegoo assimilati ad impulsi, i tal caso si ha l acceata multirisoaza. 7 Nell ipotesi di comportameto lieare della struttura. 1
6. Ua possibile lettura del sigmogramma. Il forzate da applicare all oscillatore smorzato viee dedotto da u geerico sismogramma. Per semplicità, prediamo i cosiderazioe u esempio tratto dal testo [3]. La fig. 5 riporta le putuali accelerazioi, i fuzioe del tempo, a cui viee ad essere assoggettato u oscillatore armoico smorzato. fig. 5 E oto che la risposta viee valutata co u itegrazioe umerica 8, tramite l itegrale di Duhamel [,3,4]. I base a quato detto precedetemete ed i particolare el caso del forzate di cui alla fig. 5, si vede subito, dato che la pulsazioe di detto forzate è costate ed è pari a Ω= π / 0. = 31.41, che, co u approssimazioe alla Fourier, vao i risoaza ache quegli oscillatori co ua pulsazioe pari ad u multiplo itero dispari di essa. Certamete o coosciamo come soo itimamete composte le ode sismiche e quidi ua qualsiasi ipotesi restrittiva sulla loro atura può provocare grossi dai, ma altrettato certamete possiamo affermare che u reale oscillatore può adare i risoaza solo ogi qual volta è verificata la codizioe più geerale ( 1,, 3,.. ) ω Ω = (1.1) e quidi se trascuriamo questo fatto ci espoiamo ad imprevedibili e grossi rischi. C è, a parere dello scrivete, u clamoroso precedete fisico che suffraga quato i questa sede rilevato e riguarda il oto Problema del Corpo Nero, del tutto simile a quello sismico. 8 I cui limiti, molto forti, soo be oti.
Esso cosiste ello stabilire co quale meccaismo fisico l eergia lumiosa 9 (feomeo emietemete oscillatorio) vega assorbita dalla materia (formata da u ifiità di oscillatori armoici ai quali si assimilao gli atomi che formao la parete del Corpo Nero 10 ). Per giugere ad ua giustificazioe teorica di ua formula già ota e dedotta sperimetalmete 11, il famoso fisico tedesco M. Plack fu codotto e costretto a formulare, pea la macata giustificazioe della detta relazioe sperimetale, l icredibile 1 ipotesi che l eergia fosse formata da pacchetti idivisibili. Più esattamete Egli fu costretto ad ammettere esplicitamete che u oscillatore armoico (atomo) o può assorbire eergia co cotiuità, besì per pacchetti o pillole idivisibili. Questo postulato 13 è espresso dalla 14 15 Sua acora empirica e altrettato famosa relazioe 9 Per l esattezza eergia delle ode elettromagetiche. 10 Qui le cose soo molto più semplici. Ifatti i vari oscillatori armoici che costituiscoo la parete del Corpo Nero (atomi) possoo essere cosiderati scollegati tra loro. Ivece, el caso di ua struttura, abbiamo masse distribuite e collegate elasticamete tra loro. 11 Bisogerebbe diffidare di equazioi dedotte i tal modo. Ifatti all esperimeto può sempre sfuggire qualcosa; strumeti più precisi possoo porre i evideza effetti iimmagiabili. La formula che descrive co ua buoa approssimazioe le esperieze che si è riusciti a produrre i laboratorio (giustificata a posteriori da Plack) è la ota relazioe E λ = hc λ 5 1 hc exp( ) 1 ktλ La formula (ovviamete ach essa empirica) che meglio rappreseta gli esperimeti eseguiti è ivece quella di Prigsheim-Lummer (vedi H. Kagro, Early History of Plack s Radiatio law, Taylor & Fracis L.t.d.,Lodo (1976) E λ = hc λ 5 1. hc ktλ exp + exp 1 ktλ hc Va comuque osservato che la curva reale (vedi P. Rossi Storia della Scieza Utet Vol. III (*) pag. 94) preseta delle vistose depressioi simili agli avvallameti di fig. 0, deformazioi che o soo riprodotte da queste relazioi e che, verosimilmete, soo apputo dovute alla multirisoaza. 1 Il primo a o crederci fu proprio Plack, e siamo agli iizi del secolo scorso. Egli, com è oto, trascorse tutto il resto della sua vita alla ricerca di ua ragioevole spiegazioe di questa astrusa ipotesi. Fio ad oggi essuo è mai riuscito a tato. Poi, col passare del tempo, l icredibile viee passivamete accettato e ciò è dovuto sia all umao e misericordioso spirito di assuefazioe che alla successiva iterpretazioe, se vogliamo chiamarla così, di altri fatti sperimetali. 13 I postulati di ua Teoria che pretede di iterpretare i feomei aturali dovrebbero essere immediatamete chiari ed evideti e ciò per defiizioe stessa dei postulati: questa è la regola fodametale di ua Teoria. Ivece, molto spesso, le affermazioi di parteza, ache se corrette, soo dei veri e propri teoremi tutti da dimostrare. E o è solo ua pura questioe di compresioe goseologica (E. Mach ivocava, tra l altro, l ecoomia di pesiero) i quato si corre il grosso rischio di vedere la realtà attraverso ua lete fortemete distorta che ha, ciò che è peggio, u icogito e cogeito grado di miopia. 14 Da cui è ata l attuale Meccaica Quatistica. 15 Nel caso dei corpi elastici si ipotizza l esisteza dei fooi, i aalogia co i fotoi dell eergia elettromagetica (6.1). I proposito si osserva che la forza elastica è ricoducibile alla forza elettrica che lega gli atomi di ua sostaza. Ifatti, è possibile mostrare [6] che il modulo di elasticità di ua qualsiasi sostaza omogeea è desumibile dalla perfettibile relazioe e EYoug = [ dye/ cm ], 4 d dove e è la carica dell elettroe e d è la distaza iteratomica, quest ultima determiata co l aalisi spettroscopia della sostaza. Sussistoo ioltre aaloghe relazioi che cosetoo di determiare il coefficiete di dilatazioe termica e la velocità del suoo ella materia cosiderata, tutte ricoducibili alla 3.
E = hν ( = 1,,3...), (6.1) dove h è la costate di Plack, ν è la frequeza della radiazioe elettromagetica ed è u umero rigorosamete itero, relazioe fodate dell attuale Meccaica Quatistica. Ora questa eigmatica formula 16 (6.1) può ache essere scritta, co l itroduzioe della pulsazioe, così E h h Ω = ν = π e, posto, come di cosueto h π =, ache E = Ω. Ma da questa equazioe possiamo ricavare il rapporto E /, il quale rappreseta evidetemete u altra pulsazioe, ed allora abbiamo formula che già coosciamo. E = ω =Ω, Ma allora, (atteso che il trasferimeto di eergia tra due sistemi vibrati o può che essere regolato dal feomeo della risoaza), possiamo affermare che la presuta discotiuità dell eergia (dovuta alla preseza degli altrettato eigmatici umeri iteri) - sia ricoducibile ad ua semplice, immediata e compresibile codizioe di multirisoaza? carica dell elettroe, alla massa e alla detta distaza. I altri termii, tra gradezze macroscopiche (che attualmete determiiamo solo i laboratorio) e microscopiche esistoo degli evideti legami. 16 Co essa si arguirebbe, tra l altro, che la quotidiaa macroscopica realtà mascheri ua reale discotiuità microscopica per la piccolezza della costate di Plack. 4
7. L assorbimeto dell eergia sismica. Uo sciame di sollecitazioi sismiche (o quato altro di aalogo), sicuramete di atura radom 17, può essere costituito da u qualsiasi tipo di ode a molteplici armoiche. U complesso sistema strutturale può essere assimilato, i prima istaza, da u isieme di oscillatori armoici, o collegati tra loro. E possibile comuque imporre tra gli stessi la codizioe di cogrueza spaziale. Poiché u oscillatore armoico smorzato può adare i risoaza, come visto, solo ogi qualvolta è verificata la codizioe ( 1,,3... ) ω Ω =, è opportuo valutare le modalità di assorbimeto dell eergia sismica da parte dello stesso, ella semplicissima ipotesi che esso sia uico. Se, ad esempio, si cosidera la (3.), possiamo calcolare l eergia assorbita co la relazioe 1 1 dx = =. E mv m dt (7.1) Per essa si ha la seguete codizioe di stazioarietà δ ( 1) si( ) si( ) 1 a Ω Ωt Θ = π E = m = 1 ( Ω ω ) + γ Ω. (7.) I cocomitaza delle risoaze si ottiee Ωγ π Ω = ω Θ = arcta = Ω ω (7.3) e quidi, trascurado i prodotti multipli che geerao altre righe di assorbimeto, si ha più semplicemete Teuto coto che = = δ π max = = πγ = 1 = 1 1 si ( a)si ( Ωt / ) 1 si ( a)cos ( Ωt) E m mv. (7.4) la (7.4), posto a t = e ω =Ω Ω (7.41) 17 I effetti, se è vero che ci troviamo ell impossibilità di poter formulare co certezza delle ipotesi circa la composizioe di ua qualsiasi sollecitazioe periodica, è pur vero che u oscillatore armoico può adare i risoaza solo sotto la codizioe ω Ω. Possiamo allora dire che l oscillatore armoico smorzato fuge da filtro, lasciadosi attraversare da certe sollecitazioi e catturadoe altre. 5
V δ = (7.5) πγ diveta E ω = (7.6) si t cos ( ωt) = 1 max mv = 1 e quidi il termie geerico massimo dell eergia è dato dall espressioe avedo posto 1 1 = (7.61) E mv V Vsi ω = t. (7.7) La fig. 6, che segue 18, deucia sotto quali pulsazioi l oscillatore di pulsazioe propria ω, assorbe eergia (formula 7.). fig. 6 E opportuo osservare che le varie righe di assorbimeto si addesao itoro a particolari pulsazioi (struttura fia). Cosiderado le armoiche della (7.) si ha δ ( 1) si( ) 1 = Ω a E m π =. (7.8) = 1 ( Ω ω ) + γ Ω 18 I questa figura si è fissato Ω e si è fatto variare ω. 6
Le figure che seguoo 19, per vari valori cresceti di γ, cosetoo di avere u idea della (7.8). fig. 7 fig. 8 fig. 9 19 Nelle segueti figure si è ivece fissato il valore di ω e si è fatto variare Ω. 7
fig. 30 fig. 31 fig. 3 8
fig. 33 Le pagie che seguoo rappresetao ivece la formula δ = ( 1) si( ) 1 Ω a E m π = (7.9) = 1 ( Ω ω ) + γ Ω che tralascia i prodotti multipli, fissa il valore di Ω assumedo come variale ω. I grafici riportati i appresso rappresetao la (7.9) per i segueti valori [ ] δ = 10 a = 0.07 Ω= 5 γ.5, 10.5 (7.10) 9
30
Ache qui si otao delle righe di assorbimeto che si trasformao i siusoidi. Si può osservare come le varie righe di assorbimeto, be evideti ei primi grafici, ma mao che aumeta il valore di γ, tedoo a scomparire. Viceversa, per valori di γ sempre più piccoli, le varie righe tedoo ad assumere u uico valore eergetico. La fig. 34, che segue fig. 34 riporta, co tratto cotiuo, la (7.9) e, rappresetata per puti, la formula classica 1 E = m δ Ω ( ω ) Ω + γ Ω (7.11) 31
Come si vede dal cofroto, metre co la (7.9) si ha u ampio assorbimeto che riguarda tutte le umerabili pulsazioi dell itervallo ω [ 0, ], co la (7.11) si ha ua sola riga. Da ciò si itravede u altra uova soluzioe per il Problema del Corpo Nero. Se quidi u sigolo oscillatore armoico ha ifiite e umerabili codizioi di risoaza a cui corrispodoo diversi gradi di assorbimeto dell eergia, si può dire che o è più valido il Pricipio di Equipartizioe dell Eergia 0 che si trae dalla Meccaica Classica, o meglio esso viee ulteriormete precisato. Prediamo i cosiderazioe la fig. 3. Co essa abbiamo u oscillatore co pulsazioe propria ω, soggetto ad u forzate estero co pulsazioe Ω e quest ultima varia co la più assoluta cotiuità. Da detta figura si evice che l oscillatore assorbe ivece eergia i modo discreto. Quado Ω è ulla è pure ulla l eergia assorbita. Ma mao che Ω aumeta le pute estreme degli assorbimeti tedoo ad aumetare per poi giugere ad u valore asitotico costate. Quidi, per valori cresceti di Ω e per i prescelti valori di γ, le dette pute delle righe di assorbimeto tedoo a livellarsi. Si può duque dire che per valori elevati di Ω e solo per u particolare valore di γ si ritrova come caso limite il detto Pricipio. Ioltre, se si ammette che la radiazioe elettromagetica è rappresetabile da u forzate del tipo (3.1) e si poe, el caso dell atomo di idrogeo, C V = (7.1) 137 allora la (7.6) coicide co la relazioe di Bohr. I tal caso la (7.6) diveta E 1 C 1 max m = (7.13) 137 dove C è la velocità della luce, m è la massa dell elettroe ed 1/137 è la costate di struttura fia. Poiché è oto che π 137e = hc, (7.14) dove e è la carica dell elettroe ed h è la costate di Plack, la (7.13) diveta E 4 π me 1 max = (7.15) h che è la famosa relazioe di Bohr. Ma Egli ottiee la (7.15) co ua utrita serie di postulati i aperta cotraddizioe co acclarati fatti sperimetali, previsti dalla cosolidata meccaica classica, ed usado u espediete matematico o acora caduto del tutto i disuso. Più tardi Bohr cofidò al giovae Heiseberg [8] questi fatti ed il Suo profodo scetticismo ell impossibilità della Meccaica Classica di iterpretare i feomei microscopici. Detto i breve, si riportao i uovi e forti postulati che Egli dovette assumere per giugere a spiegare le righe dell atomo di idrogeo. 0 Secodo questo Pricipio,che geera la famosa Catastrofe Ultravioletta (Rayleigh & Jeas), risolta da Plack co l ipotesi del quato di eergia, l eergia si equipartirebbe tra tutti gli oscillatori. Esso viee ricavato i Meccaica Classica cosiderado il oto oscillatore armoico, privo di resisteza e co ua sola codizioe di risoaza. 3
Co Bohr occorre ammettere che l elettroe può ruotare itoro al ucleo solo su particolari orbite i corrispodeza biuivoca co l isieme dei umeri iteri 1. Occorre ammettere che l elettroe, pur percorredo le Sue particolari orbite circolari di raggio r, o emette radiazioi e ciò i aperto ed irrisolto cotrasto co il fatto acclarato che ua carica accelerata emette radiazioi elettromagetiche. Più precisamete, è ecessario ammettere che l azioe che subisce la detta carica da parte del ucleo o abbia u qualsivoglia valore (come avviee i Meccaica Classica) ma sia u multiplo esatto dell azioe h, che compare ella formula empirica di Plack (6.1). Occorre ammettere che esiste u postulato, detto meccaico, secodo il quale E = hν e u altro postulato, detto ottico o moco, acora i uso, secodo il quale ivece E = hν. Se ivece coeretemete si ammette sempre e solamete la (6.1), com è facile verificare, si ottiee ua relazioe diversa dalla (7.1), la quale è i etto cotrasto co i fatti sperimetali: al posto di si ha 3. E questo il baale espediete matematico. Quado Bohr sottopose la Sua teoria all Autorevole Erest Rutheford ebbe questa risposta: Dear Dr. Bohr I received your paper ad I read it with great iterest... Your ideas about the origi of the hydroge spectrum are very clever ad seem to work fie, but the mixig of Plack s ideas with the old mechaics makes it difficult to obtai a physical idea o which the whole argumet should be based. 0 March 1913 E. Rutherford Se si cosidera il termie geerico Τ xt () =Ψ = Ω + γ Ω ( ω ) (7.16) i codizioi di risoaza ( ω) ( ) Ω= si ha, per la (7.7), 1δ 1δ 1 C ( 1) si( a) si( ω t) Τ γ π π 137 1 C λ Ψ = = = = = =,(7.17) ± γ Ω ± γω ω πν π137 ν π137 dove C è la velocità della luce e λ è la lughezza d oda elettromagetica. Da ciò si ha la uova relazioe che lega l ampiezza di risoaza della carica alla lughezza d oda elettromagetica che essa geera e cioè [9] 1 Ivece i Meccaica Classica questi raggi possoo assumere co cotiuità tutti i valori del campo ei umeri reali. 33
λ = π 137 Ψ. (7.18) Questa stessa relazioe la si può otteere idipedetemete da quato detto el presete lavoro [9]. Dalla (7.18) segue che Ψ coicide co il raggio r di Bohr. Ifatti moltiplicado la (7.18) per la frequeza ν si ha λν = C = π137 Ψ ν = 137 Ψ ω = 137v (7.19) da cui segue C v = (7.0) 137 D altro cato, el caso del dipolo protoe-elettroe, si può scrivere che v = e mψ (7.1) ed uguagliado queste ultime due equazioi si ha e Ψ = 137 = R 137 e (7.) mc avedo idicato co R e il raggio classico dell elettroe. Teuto coto dell idetità (7.14), si ha che la (7.) può essere scritta Ψ = h 4π em (7.3) che coicide co la relazioe di Bohr. Teuto coto che la (7.18), itroducedo la relazioe di de Broglie, può essere scritta si ha il legame tra l oda elettromagetica e l oda di de Broglie. λ = λ db 137 (7.4) Co ciò si risolve ache il pesate ed oipresete paradosso oda-corpuscolo. Ifatti l elettroe, o i geere ua qualsiasi particella carica, ha itrisecamete il familiare aspetto corpuscolare, quado è libera. Nel caso i cui essa fa parte di u dipolo, è costretta, dal feomeo della risoaza, a vibrare i perfetta sitoia co l oda elettromagetica e pertato acquisisce, i dette circostaze, tutte le caratteristiche dei feomei odulatori. Si osserva ifie che se si assume 137 pari all uità l oda di de Broglie si idetifica co quella elettromagetica. Sia i elettrodiamica classica che quatistica si ammette che la frequeza di ua radiazioe elettromagetica coicide co quella del dipolo che la geera. Nulla è detto circa l evetuale legame tra l ampiezza Ψ di vibrazioe della carica e la lughezza d oda elettromagetica λ che essa geera. 34
La relazioe (7.4) può essere verificata rifacedo l esperieza che verifica la relazioe di de Broglie e misurado ache la radiazioe elettromagetica che si maifesta durate lo stesso esperimeto. Si può pertato dire che le icredibilmete mute orbite di de Broglie soo tali perché costituiscoo apputo i mometi i cui l oda elettromagetica viee assorbita dalla materia. Duque è possibile specializzare la soluzioe della (3.1) el caso dell atomo di idrogeo, determiado i valori da attribuire alle gradezze γ, ω, δ e t. Co ciò è poi fialmete possibile descrivere co la massima precisioe tutte le caratteristiche meccaiche che itervegoo ella fase di iterazioe tra l oda e l atomo (variabili ascoste). E quidi viee iterpretata ache la relazioe di idetermiazioe di Heiseberg i quato è adesso più che compresibile l esisteza di quelle variabili ascoste ipotizzate da Eistei, streuo avversario della casualità delle leggi della fisica (Iddio o gioca a dadi). Se, per esempio, la posizioe (7.1) δ δ 1 δ 1 δ 1 C si( a) = si( a) = si( Ω t) = si( ω t) = πγ πγ πγ πγ 137 viee ulteriormete precisata poedo e δ C γ = (7.5) si ha quato segue. Dalla (7.5) si deduce che 1 1 si( ω t) =, (7.6) π 137 δ Vω C ω ω = = = C γ =, (7.7) γ γ 137 γ 137 quidi lo smorzameto è miore della pulsazioe. Dalla (7.6) si ha che la durata dell impulso elettromagetico è pari a 1 T t = (7.8) 137 dove T idica il periodo dell oscillatore. Pertato la durata dell impulso estero è 74 più piccola del tempo che impiega l elettroe a percorrere la sua orbita. E da osservare che co le attuali coosceze [11], a differeza di quato si rileva dalla (7.18), si sa solo che la lughezza d oda elettromagetica è molto più grade del raggio classico dell elettroe [11, p. 7] e cioè che C e λ = (7.9) ν mc o 35
e che, a differeza della (7.7), γ ω. (7.30) Questi soo i primi risultati che si ottegoo se si vuole iterpretare l empirica relazioe di Plack come ua più che coerete codizioe di risoaza, sebbee più geerale di quella da sempre tacitamete ipotizzata i fisica teorica. Fi qui abbiamo dato dei cei al dipolo elettromagetico. I modo del tutto aalogo può essere cosiderato ache il dipolo gravitazioale (sistema biario M + m) [7], co ua evidete ed immediata geeralizzazioe ache della (7.18). Ifatti quest ultima può essere scritta i forma più geerale λ = π C Ψ (7.31) V avedo idicato co V la velocità media della carica o della massa i fase di assorbimeto. Se l oda gravitazioale che colpisce il dipolo ha ua velocità pari a quella della luce, allora la (7.10) si specializza. I tal caso si ha che la lughezza d oda fodametale Ψ= π Ψ= πgm / C è pari alla semilughezza della circofereza di Schwarzschild 3. Potrebbe essere questa ua strada per risolvere l attuale problema della quatizzazioe dell eergia gravitazioale. Ma forse sarebbe opportuo prima ricodurre la gravità ad iterazioi già ote! Per completezza, occorre rilevare che ache se si cosidera la o liearità del campo elettrico [5] (oscillatore o lieare o kepleriao 4 ) e cioè l equazioe d x dx ω x γ δ exp ( i t) + + = Ω (7.3) dt dt x 1 ε p si ritrovao le multirisoaze del sigolo oscillatore. Ifatti la soluzioe stazioaria della (7.3) è del tipo [7] = Τω x( t) = exp( iωt). (7.33) = 1 ( Ω ω + iγ Ω) 3 Si oti come ruolo del raggio classico dell elettroe della (7.14) vega assuto da quello di Schwarzschild. 4 Co il quale si ha u altra soluzioe del problema del Corpo Nero. 36
8. Bibliografia [1] E. Perri INGEGNERIA ANTISISMICA, UTET (1966) [] M. Como G. Lai ELEMENTI DI COSTRUZIONI ANTISISMICHE, Cremoese Editore (1979) [3] C. Gavarii INGEGNERIA ANTISISMICA, ESA, Roma (1980) [4] M. Ferraioli Corso di Costruzioi i Zoa Sismica Valutazioe umerica dell itegrale di Duhamel II a Uiversità di Napoli - Facoltà d Igegeria Aprile 004 [5] C. Satagata Resoace Frequecies ad Plack s Formula, [6] C. Satagata Ususpectable Coectio from.., (005) [7] C. Satagata Vibratios mechaics: Atoms, uclei ad resoaces, Joural of Iformatio & Optimizatio Scieces Vol. 3 (00), N 3, pp. 585-619 [8] W. Heiseberg Traditio i der Wisseschaft, R. Piper & Co., Verlag, Müche (1977) [9] C. Satagata New Quatum Relatios, (005) [10] C. Satagata Quatum Cotets of Classical Oscillators (Edizioi Teresa Musco October 199) [11] W. Hitler The Quatum Theory of Radiatio (Oxford at the Claredo Press) 37