Sistemi di inferenza Consentono di derivare formule da altre formule: formalizzazione del ragionamento. Un sistema di inferenza è costituito da: un insieme di assiomi un insieme di regole di inferenza, che consentono di derivare formule da altre formule. A derivabile da S nel sistema X: S X A Proprietà fondamentale: S X A sse S = A 1
Assiomi: Ø Il calcolo di deduzione naturale NK Regole di inferenza: una regola di introduzione e una regola di eliminazione per ogni connettivo logico + regole per Regole di inferenza: Derivazione: A 1,..., A n C A 1 A 2 1 A 3 2 D 1 C A 4 A 5 3 D 2 A 1,..., A 5 : ipotesi da cui dipende la conclusione C Alcune regole consentono di scaricare ipotesi: C dipende da A 1, A 3, A 4. A 1 [A 2 ] 1 A 3 2 D 1 C A 4 [A 5 ] 3 D 2 2
Le regole di NK proposizionale connettivo Regola di introduzione Regola di eliminazione Nome Regola Nome Regola (I ) A A (E ) A A A (I ) A A A (E ) [A] [].. A C C C (I ) [A]. A (E ) A A 3
connettivo Regola di introduzione Regola di eliminazione Nome Regola Nome Regola (I ) [A]. A (E ) A A (E 1 ) A (E 2 ) [ A]. A 4
Regole che non scaricano ipotesi Regole di introduzione e eliminazione della congiunzione A A (I ) La regola è corretta: in qualsiasi interpretazione in cui sono vere entrambe le premesse, è vera anche la conclusione. A A (E ) A (E ) Entrambe le regole sono corrette: in qualsiasi interpretazione in cui è vera la premessa, è vera anche la conclusione di ciascuna regola. Regole di introduzione della disgiunzione (indebolimento): A A (I ) A (I ) Entrambe le regole sono corrette: in qualsiasi interpretazione in cui è vera la premessa, è vera anche la conclusione di ciascuna regola. 5
Regola di eliminazione dell implicazione (Modus Ponens o MPP): A A (E ) C è il sole Se c è il sole, allora fa caldo Fa caldo La regola è corretta: sia M una qualsiasi interpretazione tale che M = A e M = A. Poiché queste due ipotesi non sono compatibili con M =, si deve avere M =. Regola di eliminazione della negazione: da A e A segue l assurdo. A A (E ) Poiché A A, questa regola è un caso particolare di E. Prima regola di eliminazione del falso A (E 1) Ex falso quodlibet = dal falso segue qualunque cosa. La regola è corretta: se la regola non fosse corretta, esisterebbe un interpretazione M tale che M = e M = A. Poiché nessuna interpretazione soddisfa, la regola è corretta. 6
Ragionamento per assurdo Regola di introduzione della negazione [A]. A (I ) Se dall ipotesi che A sia vero si deriva un assurdo, allora A è falso. La conclusione A deriva dalla sottoderivazione di da A. Seconda regola di eliminazione del falso [ A]. A (E 2) Se dall ipotesi che A sia falso si deriva un assurdo, allora A è vero. La conclusione A deriva dalla sottoderivazione di da A. La conclusione ( A o A) dipende da tutte le ipotesi da cui dipende nella sottoderivazione, tranne (eventualmente) quella indicata tra parentesi quadre (A o A), che viene scaricata. Quindi: Se da un insieme di ipotesi S A si deriva, allora da S si può derivare A: S, A S A Se da un insieme di ipotesi S A si deriva, allora da S si può derivare A: S, A S A 7
Esempio Se Antonio non va alla stazione, non incontra Anna. Ma Antonio incontra Anna. Quindi va alla stazione. Ragionamento: assumiamo (per assurdo) che Antonio non vada alla stazione. Allora dall ipotesi se Antonio non va alla stazione, non incontra Anna si avrebbe che Antonio non incontra Anna. Ma questo contraddice il fatto che invece Antonio incontra Anna (assurdo). Quindi l ipotesi che Antonio non vada alla stazione è falsa: Antonio va alla stazione. La conclusione (Antonio va alla stazione) non dipende dall ipotesi (scaricata con la riduzione all assurdo) Antonio non va alla stazione. Antonio va alla stazione = p Antonio incontra Anna = q p q, q p q [ p] p q q (E ) (E ) p (E 2) 8
Rappresentazioni alternative delle derivazioni Scrittura lineare ipotesi riga formula regola da... 1 1. p q ipotesi 2 2. q ipotesi 3 3. p ipotesi 1, 3 4. q E (1, 3) 1, 2, 3 5. E (2, 4) 1, 2 6. p E 2 (5) - scarica 3 La prima colonna della riga n indica i numeri di riga delle formule da cui dipende la formula della riga n stessa. Quando si applicano regole che non scaricano ipotesi, la conclusione dipende dall unione delle formule da cui dipendono le premesse. Righe 1, 2, 3: regola di assunzione: in qualunque punto della derivazione si può assumere una qualsiasi formula, che dipende da se stessa. 9
Scatole di derivazione riga formula regola da... 1. p q ipotesi 2. q ipotesi Π 3. p ipotesi 4. q E (1, 3) 5. E (2, 4) scatola E 2 Le formule di ogni (sotto)derivazione dipendono da tutte le ipotesi della (sotto)derivazione stessa + tutte le ipotesi delle derivazioni che la includono. 6. p E 2 (Π) 10
Regola di eliminazione della disgiunzione: ragionamento per casi A [A]. C C I casi sono due: A oppure. Se vale A allora vale C; anche se vale vale C. Quindi C vale comunque. La conclusione C deriva da: la formula A (che a sua volta dipende da un insieme di ipotesi S 0 ) la sottoderivazione di C che dipende da A (ed eventualmente altre ipotesi S 1 ) la sottoderivazione di C che dipende da (ed eventualmente altre ipotesi S 2 ) []. C La conclusione C di (E ) dipende da S 0 S 1 S 2 : tutte le ipotesi da cui dipende A ; tutte le ipotesi da cui dipende C nella prima sottoderivazione, eccetto (eventualmente) A; tutte le ipotesi da cui dipende C nella seconda sottoderivazione, eccetto (eventualmente). S 0 A S 1, A C S 2, C S 0, S 1, S 2 C 11
Esempio 1. Almeno uno tra Antonio e Giorgio è colpevole; 2. Antonio non lavora mai senza la complicità di Giorgio. Giorgio è colpevole Ragionamento: se vale (1) allora si hanno 2 casi: Caso 1: Antonio è colpevole. Ma se vale (2), in questo caso anche Giorgio è colpevole. Caso 2: Giorgio è colpevole. In tutti e due i casi Giorgio è colpevole. Quindi Giorgio è colpevole comunque. Antonio è colpevole = p Giorgio è colpevole = q p q, p q q p q [p] p q q q (E ) [q] (E ) La conclusione q dipende solo da p q e p q. Si noti che la foglia (ipotesi) q è una derivazione di q da q. 12
Scrittura lineare ipotesi riga formula regola da... 1 1. p q ipotesi 2 2. p q ipotesi 3 3. p ipotesi 2, 3 4. q E (2, 3) 5 5. q ipotesi 1, 2 6. q E (1, 4, 5) - scarica 3 e 5 Scatole di derivazione riga formula regola da... 1. p q ipotesi 2. p q ipotesi Π 1 3. p ipotesi 4. q E (2, 3) scatola E Π 2 5. q ipotesi scatola E 6. q E (1, Π 1, Π 2 ) 13
Regola di introduzione dell implicazione (Prova Condizionale) Per dimostrare che se A, allora segue da S, assumiamo che siano vere A e tutte le formule in S, e dimostriamo che allora vale [A]. A Se S, A, allora S A Esempio 1. Se A. non ha incontrato. la notte scorsa, allora. è colpevole; 2. Se è colpevole, allora il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte. Se A. non ha incontrato. la notte scorsa, allora il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte Ragionamento: assumiamo (1) e (2). Assumiamo inoltre che A non abbia incontrato la notte scorsa. Per (1) allora è colpevole. E per (2) il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte. Quindi SE... ALLORA... 14
Formalizzazione e derivazione A non ha incontrato la n.s. = A è colpevole = il delitto è avvenuto dopo la m. = C A, C A C (transitività dell implicazione) [A] A (E ) C C A C (I ) (E ) Scrittura lineare: ipotesi riga formula regola da... 1 1. A ipotesi 2 2. C ipotesi 3 3. A ipotesi 1, 3 4. E (1, 3) 1, 2, 3 5. C E (2, 4) 1, 2 6. A C I (5) - scarica 3 15
Osservazioni 1. Le regole possono consentire di scaricare ipotesi, ma non ci obbligano a farlo. A,, C D Ad esempio, sarebbe comunque corretto: A,, C A D 2. Un albero di derivazione può contenere più occorrenze di una stessa ipotesi A. Applicando una regola di inferenza che lo consente, si possono scaricare solo alcune occorrenze di A (una o più) tutte le occorrenze di A nessuna occorrenza di A: questo può accadere, ad esempio, quando la premessa della regola non dipende da A... 3. Infatti la formula scaricata potrebbe anche non comparire tra le ipotesi da cui dipende la premessa. La formulazione corretta (ad esempio) della regola I sarebbe: S S {A} A Ed infatti possiamo derivare che A con una sola applicazione di I : A (I ) A 16
Cavalieri e furfanti A dice: Io sono un furfante oppure è un cavaliere. Cosa sono A e? Formalizzazione: A è un cavaliere = A ( A è un furfante = A) è un cavaliere = ( è un furfante = ) Sappiamo che: se A è un cavaliere allora quello che dice è vero, e se è un furfante quello che dice è falso. Quello che A dice è: A. Ipotesi: Problemi: 1) A A 2) A ( A ) a) A A, A ( A ) A? b) A A, A ( A ) A? c) A A, A ( A )? d) A A, A ( A )? Importante: l unico modo (generale) per dimostrare che una formula F non è derivabile da un insieme S di formule in un sistema di inferenza corretto consiste nel dimostrare che S = F: Sistema corretto: se S A allora S = A se S = A allora S A. 17
Derivazioni A A, A ( A ) A [ A] A (I ) [ A] A ( A ) ( A ) (I) A (E 2) (E ) Sia Π la derivazione mostrata sopra. Allora quella che segue è una derivazione di:. A A, A ( A ). Π. A Π. A A A (E ) A [ A] (1) A (I) (E 2) [3] [] (2) [ ] (3) (E ) A (E 1) (E ) [1,2] Sarebbe utile (e sensato) poter derivare: Ma questa non è una regola del sistema A A 18
Utili regole derivate Regola derivata: se esiste una derivazione A 1,..., A n, allora si può utilizzare come regola derivata. Modus Tollens (MTT): A 1 A A... A n Se A. è un furfante, A. mente; A. non è un furfante Giustificata dal fatto che A, A A. non mente [A] (1) A (E ) A (I )[1] (E ) Osservazione: numeriamo ciascuna ipotesi che viene scaricata e indichiamo il numero corrispondente in apice al nome della regola che la scarica. 19
Doppia Negazione (DN): A A Giustificate dal fatto che A A e A A (1) [ A] A (E ) A (E 2) [1] e A A A [ A] (E ) A (I ) Esempio 1. Se A. non ha incontrato. la notte scorsa (A), allora. è colpevole () 2. Se il delitto è avvenuto dopo la mezzanotte (C), allora. non è colpevole Se A. non ha incontrato. la notte scorsa, allora il delitto non è avvenuto dopo la mezzanotte A, C A C 1 1. A ipotesi 2 2. C ipotesi 3 3. A ipotesi 1,3 4. E, da 1 e 3 1,3 5. DN, da 4 1,2,3 6. C MTT, da 2 e 5 1,2 7. A C I, da 6, scarica 3 20
Eliminazione di : A A A A A (1) [A] A (E ) (I 2) [3] (2) [] [ ] (3) (E ) [1,2] (E ) Terzo escluso: A A [ A] (1) A A (I ) [ (A A)] (2) (E ) A (E 2) [1] A A (I ) [ (A A)] (3) (E ) A A (E 2) [2,3] 21
Correttezza e completezza Sia NK che il sistema Hilbertiano sono corretti e completi rispetto alla semantica della logica proposizionale: Se S A allora S = A: correttezza Se S = A allora S A: completezza Esercizio: Dimostrare la correttezza delle regole di NK che consentono di scaricare ipotesi. Sostituibilità nelle derivazioni: Se S A allora S[/p] A[/p] Chiusura deduttiva di S: T (S) = {A S A} T (S) è anche chiamata la teoria di S e le formule di S sono gli assiomi della teoria Esercizi: vedi libro di testo, pagina 59 e seguenti. 22