Problema 1 Sia f la funzione definita sull insieme R dei numeri reali da ( ) f = + ln 4+ e sia Γ la sua e + 1 rappresentazione grafica nel sistema di riferimento Oy. 1. Si determini il limite di f() per che tende a + e a. Si calcoli f() + f( ) e si spieghi perché dal risultato si può dedurre che il punto A(0; 1 + ln 4) è centro di simmetria di Γ. Facilmente si trova Non c è nessuna difficoltà di calcolo, non c è neanche indeterminazione. Noi sappiamo che la condizione f ( ) + f ( a ) = b, indica il fatto che la funzione y f ( ) = è simmetrica rispetto a C (a; b). Ciò si dimostra facilmente a partire dalle leggi della simmetria ' = a centrale: y ' = b y. Quindi per la funzione data dovrebbe accadere f ( ) f ( ) ( 1 ln 4) che seppure scritto in forma diversa è proprio quello che abbiamo ottenuto. + = +,. Si provi che, per tutti i reali m, l equazione f() = m ammette una e una sola soluzione in R. Sia α la soluzione dell equazione f() = 3; per quale valore di m il numero α è soluzione dell equazione f() = m? Essendo la funzione ovviamente continua, i risultati dei due limiti ci permettono di potere applicare certamente il teorema di esistenza degli zeri in un conveniente intervallo chiuso anche alla funzione y = f() m, che quindi ha sempre almeno uno zero. Per provare che tale zero è unico basta
calcolare la derivata prima: ovviamente sempre positiva, quindi la funzione è crescente, perciò lo zero è unico. Sia f ( α ) = 3, per quanto visto nel punto precedente ( α) ( α) ( ) ( α) ( ) ( α) ( ) f + f = 1+ ln 4 f = 1+ ln 4 f = 1+ ln 4 3= ln 4 1 3. Si provi che, per tutti gli reali, è: ( ), che è e f = + + ln 4. Si provi altresì che la retta r di e + 1 equazione y = + ln 4 e la retta di equazione y = + + ln 4 sono asintoti di Γ e che Γ è interamente compresa nella striscia piana delimitata da r e da s. La richiesta equivale a mostrare l uguaglianza + ln 4 + = e + 1 + + ln 4 Determiniamo gli asintoti obliqui. e e e = = e + 1 e + 1 e + 1 e + 1 + 1 e e + 1 Quindi quanto richiesto (ovviamente ln = ln 4). Per dimostrare che la funzione è contenuta fra i suoi asintoti, dobbiamo mostrare che si ha sempre
La disuguaglianza è banale poiché equivale a 0< < e + 1 e il denominatore è maggiore di 1. β 4. Posto I( β ) = f ( ) ln 4 d, si calcoli lim I( β) risultato ottenuto? 0 β +. Qual è il significato geometrico del Viene richiesto il calcolo di un integrale generalizzato, esteso a un intervallo infinito. Anche in questo caso è molto semplice: β I( β ) = f ( ) ln 4 d= d e + 1 0 0 Per rendere il calcolo ancora più semplice possiamo usare l espressione di f() suggerita nel punto β β e e + 1 precedente: I( β) = f ( ) ln 4 d= d= ln( e + 1 ). 0 0 0 β β Quindi Che rappresenta l area della porzione di piano determinata dall asse y, da = β, da r e da Γ, cioè la regione evidenziata in figura
Problema Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli reali, π f = g = sin 3 da: ( ) 16, ( ) 1. Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oy. Si considerino i punti del grafico g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell intervallo [ 10; 10] e se ne indichino le coordinate. Le funzioni si disegnano senza troppi problemi, essendo una cubica simmetrica rispetto all origine e una sinusoide di periodo π 4 π =.
Ecco i grafici Per calcolare i punti a tangente orizzontale di g π π che si annulla per = + kπ = 1+ k, che sono le ascisse dei punti cercati. Le ordinate sono
Cioè 1 se k è dispari ed 1 se k è pari. Quelli cercati sono perciò:. L architetto rappresenta la superficie libera dell acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e g sull intervallo [0; 4]. Si calcoli l area di R. Dobbiamo calcolare l area colorata in figura: Basta quindi
3. Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y = 15 e y = 5, l architetto progetta di collocare dei fari per illuminare la superficie dell acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un approssimazione a meno di 10 1 ). Dobbiamo risolvere La prima equazione ha la soluzione = 1, che permette di abbassare di grado l equazione calcolando precisamente le altre due soluzioni, una sola accettabile. Per calcolare un valore approssimato basta approssimare il valore, senza bisogno di procedimenti numerici, basta calcolarlo con una calcolatrice scientifica. L altra soluzione è più complessa, anche se Derive ne ottiene un espressione esatta, ma poco leggibile. Consideriamo l equazione ( ) 3 f = 5 16+ 5= 0. Aiutandoci con il grafico già tracciato possiamo utilizzare un metodo di bisezione aiutato. Cerchiamo intanto in [0, 1].
Poiché 5/16 = 0,315 e 3/8 = 0,375. L approssimazione cercata è 0,3. Allo stesso modo si trova l altra soluzione, 3,8. 4. In ogni punto di R a distanza dall asse y, la misura della profondità dell acqua nella piscina è data da h() = 5. quale sarà il volume d acqua nella piscina? Quanti litri d acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri? Il quesito è molto interessante e deve essere opportunamente interpretato. Consideriamo le zone della piscina che hanno la stessa profondità, sono tutte quelle che hanno la stessa ascissa, ossia i segmenti simili a quelli tracciati in figura.
Quindi il volume si può trovare come somma delle aree di infiniti rettangoli di base (5 ) e altezza f() g(). Quindi si ottiene Quindi circa 186 000 litri di acqua. QUESTIONARIO 1. Silvia, che ha frequentato un indirizzo sperimentale di liceo scientifico, sta dicendo ad una sua amica che la geometria euclidea non è più vera perché per descrivere la realtà del mondo che
ci circonda occorrono modelli di geometria non euclidea. Silvia ha ragione? Si motivi la risposta. Silvia non ha ragione, poiché la geometria non euclidea è solo un modo di vedere il mondo, esattamente come la geometria euclidea. La richiesta è alquanto vaga e sicuramente non alla portata della cultura media dei giovani (e forse anche di molti docenti). Un piccolo omaggio al prof. Mauro Cerasoli, che da molti anni dice che geometria non euclidea sostanzialmente non significa niente, perché di geometrie non euclidee non ci sono solo quelle che negano il quinto postulato, ma in sostanza tutte quelle che negano uno o più degli altri postulati, per esempio quelle che di solito si chiamano non archimedee.. Si trovi il punto della curva y= più vicino al punto di coordinate (4; 0). Determiniamo il minimo della distanza fra il generico punto della curva ( ; ) funzione da minimizzare è ( ) ( ) radicando, problema equivalente a quello richiesto. e (4;0). Quindi la 4 + = 7+ 16. È più semplice minimizzare il Facilmente si prova che per tale valore si ha un minimo, che vale
In figura mostriamo la situazione 3. Sia R la regione delimitata, per [ 0, π], dalla curva y sin( ) = e dall asse e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all asse y. Si calcoli il volume di W. La regione R è quella in figura Ruotando attorno all asse delle ordinate si ottiene una figura simile alla seguente Per potere applicare la ben nota formula del calcolo dei volumi però la rotazione deve avvenire attorno all asse delle ascisse, pertanto dobbiamo effettuare una simmetria attorno alla prima bisettrice della funzione data.
Ovviamente in questo modo non otteniamo una funzione, ma due, e ciò dipende dal fatto che sin() non è invertibile per [ 0, π]. Quindi dobbiamo considerare due funzioni inverse: ( ) 1 = ( ), ( ) = π 1 ( ) f sin f sin 1 entrambe definite per [ 0,1]. Il volume cercato è perciò 4. Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. si trovi n. Se si osserva che scegliere in un insieme di n oggetti k di essi equivale anche a scegliere i rimanenti n n n k (che poi altri non è che la ben nota formula di simmetria = ), allora è ovvio che se k n k scegliere 4 oggetti è lo stesso che sceglierne 3 (cioè quelli non scelti prima) vuol dire che gli oggetti n n sono 7. Gli amanti del calcolo a ogni costo risolveranno = 4 3. 5. In una delle sue opera G. Galilei fa porre a Salviati, uno dei personaggi, la seguente questione riguardante l insieme N dei numeri naturali ( i numeri tutti ). Dice Salviati: «.. se io dirò, i numeri tutti, comprendendo i quadrati e i non quadrati, esser più che i quadrati soli, dirò
proposizione verissima: non è così?». Come si può rispondere all interrogativo posto e con quali argomentazioni? Anche questo quesito non è alla portata culturale dello studente medio. Per completezza ricordiamo che il passo è tratto da Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, opera del 1638, scaricabile gratuitamente da http://it.wikisource.org/wiki/discorsi_e_dimostrazioni_matematiche_intorno_a_due_nuove_scienze in particolare il passo citato si trova nella Scienzia nuova prima, intorno alla resistenza de i corpi solidi all'essere spezzati. Giornata prima. Sappiamo che questo si può considerare se non la prima, forse la più importante osservazione sulla equipotenza di un insieme con un proprio sottoinsieme proprio, fatto che viene considerato, successivamente da Dedekind, come quello che caratterizza gli insiemi infiniti. Anche in questo caso il quesito è molto vago nella richiesta. 6. Di tutti i coni inscritti in una sfera di raggio 10 cm, qual è quello di superficie laterale massima? Questa è la figura Sezioniamola con un piano passane per il vertice del cono e perpendicolare al piano della base dello stesso cono, ottenendo un triangolo isoscele e un cerchio
La superficie da massimizzare è S( ) = π r a, dobbiamo quindi esprimere il raggio mediante l apotema o viceversa, tenuto conto che conosciamo la misura del raggio della sfera. Nella figura DC è il raggio della sfera, AF il raggio di base del cono, BC l apotema. Una relazione che lega le tre grandezze si può trovare mediante il II teorema di Euclide: ( ) BF = CF EF = CD+ DF EF Quindi chiamando la misura di DF, avremo: ( ) ( ) BF = 10+ 10 = 100. Ricaviamo l apotema del cono con il I teorema di Euclide: BC = CE CF = 0 ( 10+ ) Perciò la funzione da massimizzare è ( ) S( ) = π 100 0 10+ anche in questo caso possiamo determinare il massimo solo dei radicandi, eliminando anche i fattori numerici: S '( ) = ( 100 ) ( 10+ ) Facilmente si verifica che è un massimo. Quindi il cono di massima superficie
7. Un test di esame consta di dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l unica risposta corretta fra quattro alternative. Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risposte risultino corrette? Il problema è di tipo bernoulliano di prove ripetute indipendenti, in cui i due eventi hanno rispettive probabilità 0,5 di successo e 0,75 di insuccesso. Quindi la probabilità cercata è la complementare (il procedimento di calcolo è più semplice) di al più un insuccesso. Cioè: 8. In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è citato così spesso? Si torna al problema citato così spesso dagli ispettori che preparano la maturità (forse solo da loro, che avranno probabilmente una passione smodata). In particolare era la quarta richiesta del secondo problema del 006/07 per il corso ordinario e come questione n.1 dello stesso anno per i corsi P.N.I. Ci adattiamo riportando quasi identica la risposta da noi data a quelle domande. Il problema consiste nel costruire con riga e compasso un quadrato che abbia area uguale a quella di un dato cerchio. Ossia, scegliendo opportunamente l unità di misura in modo che il raggio del cerchio sia unitario e quindi la sua area sia pari a π, equivale a costruire un segmento di lunghezza π. Dal punto di vista algebrico è stato provato che con riga e compasso si possono costruire segmenti la cui misura è un numero razionale o irrazionale quadratico, ma in generale non irrazionale cubico, per esempio non può costruirsi 3 e perciò non può risolversi il problema della duplicazione del cubo. In particolare non possono costruirsi segmenti la cui misura è rappresentata da un numero trascendente. Nel 188 Lindemann ha appunto provato che π è trascendente, pertanto il problema non risolubile. 9. Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell ipotenusa.
Nello spazio il luogo dei punti equidistanti dagli estremi di un segmento è sempre l asse del segmento, che in questo caso non è una retta, ma ovviamente un piano. Quindi dobbiamo intersecare i tre piani assiali, come mostrato in figura Tal piani ovviamente contengono gli assi dei lati sul piano cui appartiene il triangolo. Quindi si incontrano nel circocentro che per un triangolo rettangolo, come dovrebbe sapersi è proprio il punto medio dell ipotenusa. Che il luogo spaziale è la perpendicolare a tale punto segue proprio dalle proprietà dei piani assiali. 10. Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f e l altro ancora di f. quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Osserviamo che la curva III assume il minimo e il massimo per le stesse ascisse per le quali la curva II incontra l asse, quindi la II può essere la derivata della III. Allo stesso modo, la II assume il minimo nella stessa ascissa in cui la I incontra l asse, quindi la II può essere la derivata della I. Inoltre l origine appare anche come il flesso di III. Ciò ci porta a dire che la risposta corretta è D). Del resto sappiamo anche che derivare una funzione pari o dispari cambia la parità della funzione e quindi anche questo ci conforta nella risposta, dato che la III è dispari, la II pari e la I dispari.