Laboratorio di Fisica I A.A. 2018/2019 29/11/2018 Esperienza N.2 Taratura di una bilancia dinamometrica Gruppo n.2 Bozzotta Riccardo Di Paola Guido Greco Federico Marino Francesco Pennino Pietro Sacco Giuseppe Indice 1 Introduzione e scopo dell esperienza 2 Strumentazione 3 Procedimento 4 Curva di risposta 5 Curva di taratura 6 Conclusioni
1 Introduzione e scopo dell esperienza Tale esperienza è finalizzata alla taratura di una bilancia dinamometrica, assumendo che lo strumento segua le legge di Hooke, nella quale x ( ) rappresenta l allungamento della molla rispetto alla posizione di riposo e il segno meno è dovuto al fatto che la forza è di richiamo (diretta sempre in verso opposto rispetto all allungamento). Ponendo il dinamometro in posizione verticale, per qualunque massa appesa è possibile trovare una posizione di equilibrio in cui la forza peso e la forza di richiamo si bilanciano ( (1.1)), dalla quale è possibile notare la diretta proporzionalità fra l allungamento e la massa, condizione indispensabile per la taratura del dinamometro utilizzando una scala lineare. Nella descrizione dell esperienza, essendo l accelerazione di gravità costante nel sistema di laboratorio, ci si riferirà solo al concetto di massa. 2 Strumentazione Allo scopo dell esperienza sono necessari i seguenti strumenti: Bilancia dinamometrica (con supporto); Carta millimetrata; Campioni di peso; Supporto per i campioni di peso; Bilancia digitale (il cui errore assoluto strumentale è 1 ). 3 Procedimento La linearità della legge 1.1 ci permette di scegliere arbitrariamente una qualsiasi posizione di equilibrio come origine della scala graduata. È quindi consigliabile tarare lo strumento dopo aver appeso il supporto per i campioni di peso; d ora in avanti, per comodità, l insieme delle due parti verrà considerato come un unico strumento. Dopo aver così apposto l origine della carta millimetrata in corrispondenza alla posizione di equilibrio ottenuta, è possibile tarare lo strumento confrontando i diversi allungamenti ottenuti posizionando masse diverse.
1- L errore assoluto strumentale della bilancia digitale è dato dalla somma fra l errore di lettura (LSD: 0.1g) e l errore di precisione (0.2% sul valore misurato). Riportiamo di seguito la tabella con i dati raccolti. Tabella 1 Il primo valore ottenuto è stato scartato a causa della sua inattendibilità ( Si vede tuttavia che, già dalla misurazione successiva, è presente un andamento di tipo lineare (sebbene, per le prime misurazioni, l errore relativo sia comunque elevato) e dunque la minima misurazione accettabile risulta essere quella di 2.00g 2 che d ora in poi considereremo quindi come soglia. È da notare comunque come questo valore possa dipendere sia dalle proprietà della molla che dalla scelta di considerare il supporto per i campioni di peso come parte integrante dello strumento. Inoltre nel nostro caso specifico non è stato possibile notare la non linearità della curva di risposta al di sotto della soglia per il valore molto basso di quest ultima. Si nota sin dai primi valori come lo strumento sia sensibile ad una variazione minima di massa pari a 2.00g, la quale rappresenta la soglia di sensibilità, che abbiamo verificato essere costante per tutto il campo di misura. Il valore della portata è stato assunto come il valore più grande della massa misurato (dell ordine di 200g) oltre il quale, nonostante la legge seguisse ancora un andamento di tipo lineare, non è consigliato spingersi per evitare di danneggiare irreversibilmente lo strumento (questo è infatti il valore massimo rappresentato nella curva di taratura, sebbene nella curva di risposta sia presente un ulteriore valore maggiore, poi scartato per le motivazioni già descritte). La risoluzione è invece la differenza fra la portata e la soglia (valore del campo di misura) divisa per il numero di divisioni che intercorrono fra i due valori: (2.1) 4 Curva di risposta A partire dai dati raccolti nella tabella 1 è stato possibile costruire la curva di risposta M(G): nella quale per G si intendono i valori veri della massa e per M la grandezza misurata, nel nostro caso l allungamento della molla.
2- Questo valore è stato così approssimato in base alla regola che ci dice di approssimare i valori delle misurazioni all ultima cifra decimale del corrispondente errore (in questo caso l errore di precisione, ricavato moltiplicando l errore relativo di precisione, ricavato dalla formula 3.2, per il valore stesso della misura) analogamente per i valori di: soglia di sensibilità, portata, risoluzione. Misure Massa (g) ( 1 2.0 0.1 1.0 2 3.1 0.1 1.5 3 4.1 0.1 2.0 4 5.2 0.2 2.5 5 9.9 0.2 5.0 6 15.20 0.13 7.5 7 20.40 0.14 10.0 8 25.20 0.15 12.5 9 30.2 0.2 15.0 10 35.3 0.2 17.5 11 40.50 0.18 20.0 12 50.7 0.2 25.0 13 61.0 0.2 30.0 14 71.0 0.2 35.0 15 80.8 0.3 40.0 16 100.7 0.3 50.0 17 125.9 0.4 62.0 18 150.9 0.4 74.0 19 176.2 0.5 87.0 20 201.3 0.5 99.0 21 211.4 0.5 104.0
Tracciando le rette di massima (verde) e minima (viola) pendenza, dal grafico della curva di risposta è stato possibile ricavare il valore della sensibilità dello strumento, la quale è definita come segue: Sono stati scelti due diversi punti per retta (preferibilmente lontani fra loro all interno del grafico, in modo da poterne ridurre l errore di lettura) per il calcolo della sensibilità: retta di massima pendenza: retta di minima pendenza: dalle quali Il valore migliore della sensibilità è stato calcolato come il valore centrale dell intervallo di dispersione tra i coefficienti angolari delle rette di massima e minima pendenza (2.2) il cui corrispondente errore assoluto è l intervallo di semidispersione (2.3).
Soglia portata Sensibilità Soglia di risoluzione sensibilità 2.00g 200.0g 0.493 m/kg 2.00g 2.03g/div 5 Curva di taratura A partire dalla curva di risposta è stato possibile tracciare la curva di taratura facendone il grafico inverso G(M(G)): nel quale G (il valore della massa misurato tramite il dinamometro) è stato misurato in funzione dell allungamento (M(G)). Il grafico della curva di taratura, contrariamente a quanto fatto per la curva di risposta, è stato realizzato tracciando le rette (parallele) di massima (arancione) e minima (azzurro) intercetta poiché altrimenti, con il metodo delle rette di massima e minima pendenza, il punto di intersezione tra le due avrebbe errore nullo. Il motivo per il quale si sceglie di utilizzare due rette parallele fra loro è perché l errore assoluto è costante per tutti i valori ottenuti. Nel nostro caso questo è valido esclusivamente per gli errori dell allungamento, mentre è possibile considerare trascurabili quelli delle masse. Nell eventualità in cui gli errori relativi fossero costanti le rette tracciate sarebbero state convergenti o divergenti.
Dal grafico è possibile calcolare, da una delle due rette, il loro coefficiente angolare. I due punti sono stati scelti nella retta di massima intercetta e hanno valori: k risulta dunque avere un valore di 2.04g/mm=2.04m/kg, corrispondente all incirca a 1/s. Dal grafico è stato ricavato l errore assoluto di precisione come (3.1) (il quale valore va approssimato a 2g, essendo un errore, dove e rappresentano le intercette delle rispettive rette con l asse y. A partire da questo è stato calcolato l errore relativo percentuale di precisione: (3.2) Inoltre l errore di lettura è per definizione la metà della risoluzione (3.3). Tabella 3 deltaprec, epsilonpr, deltalett 2g 1% 1g 6 Conclusioni Una volta portata a termine la taratura della bilancia dinamometrica è stato possibile misurare la massa di un oggetto e confrontare questo valore con quello fornito dalla bilancia digitale e notare che, considerando le due misure con i corrispettivi errori, la loro discrepanza è risultata non significativa.