3 ESERCIZIO 1 Esercizio 8.7 8.7 Una massa M=2Kg scivola su una superficie orizzontale liscia con v 1 =4 m/s. Essa va a finire contro una molla comprimendola fino a fermarsi completamente. Dal punto in cui comincia a comprimere la molla in poi vi è un attrito di modulo 15N, e la costante elastica della molla è =10000N/m. Di quanto si è compressa la molla? IlsistemaèisolatoL att = E mecc e L att = F att xmentre E mecc = E f E i = 1 2 ( x)2 1 2 mv2 L equazionecheotteniamoè F att x = 1 2 ( x)2 1 2 mv2 ovvero5000 x 2 +15 x 16 = 0cherisoltafornisceilvalore x = 0.055 m = 5.5 cm 2 Problema 8.17P 8.17 Un blocco di massa M=2Kg è poggiato contro una molla sul piano inclinato in figura, con pendenza 30 e privo di attrito. La molla, avente costante elastica =19.6 N/cm è dapprima compressa di 20 cm quindi lasciata libera. Quanto si allontanerà il blocco sul piano inclinato? =19.6 N/cm = 1960 N/m IN: E = U el + U grav + E ; E = 0 U grav = 0 U el = 1 2 x2 FIN: E = 0; U el = 0; U grav = mgh mgh = 1 2 l2 h = l2 2mg e l = h sin30 = 2h = 2 1960(0.20)2 2 2 9.8 = 4 cm=0.04 m 3 Esercizio ESERCIZIO Un blocco di massa 5Kg viene fatto salire lungo un piano inclinato con velocità iniziale di 8m/s. Il blocco si ferma dopo 3 m lungo il Esercizi cap4 lavoro energia momenti, punto materiale 1
5 ESERCIZIO 34E piano, che è inclinato di 30. Determinare la variazione di energia cinetica, energia potenziale, il lavoro della forza di attrito, ed il coefficiente µ d. L att = E mecc E i = 1 2 Mv2 e E f = Mgh h=ssin30 = s 2 =1.5 m E = 1 2 = Mv2 =-160J E p = Mgh=73.5 J L att = (73.5 160) J=-86.5JL att = F att s = µ d Ns = µ d Mgcosθ s µ d = Latt 4 Esercizio 18P (8.25 ed VI) Mgcos30 s = 86.5 5 9.8 3 3 2 = 0.68 8.25 -VIed Una molla può essere compressa di 2.0 cm da una forza di 270N. Un blocco di massa 12 Kg, inizialmente fermo in cima al piano inclinato privo di attrito ed inclinato di 30 sull orizzonte, viene lasciato cadere. Il blocco si arresta dopo aver compresso la molla di 5.5 cm. (a) In questo momento di quanto si è spostato sul piano inclinato? (b) A quale velocità il blocco arriva quando tocca la molla? Il primo dato permette il calcolo di : F = x 270 = 0.02 = 13500 N/m mgh = 1 2 x2 h = x2 2mg = 13500 0.0552 24 9.8 = 0.174 m a) il cammino sul piano è s = h sin30 = 0.347 m b) per questa risposta possiamo considerare come in-fine il momento in cui si tocca la molla e quello in cui è compressa: la quota iniziale sarà h = xsin30 = 2.25 cm mgh + 1 2 mv2 = 1 2 x2 v = 1.7m/s 5 Esercizio 34E 8.34 Una pallottola da 30g, con velocità iniziale di 500 m/s, penetra per 12 cm in una parete in muratura prima di fermarsi. (a) Quale variazione ha subito l energia meccanica della pallottola? (b) Assumendo che la parete esercita una forza costante, calcolarne il valore. a)l = E = 1 2 mv2 = 30 10 3 25 104 2 = 3750 J Assumendo costante la forza si ha b) F = L s = 3750 0.12 = 31250 N Esercizi cap4 lavoro energia momenti, punto materiale 2
7 ESERCIZIO 42P 6 Esercizio 40P 8.17 Un pacco di massa 4.0 Kg scivolando affronta una salita inclinata di 30 con energia cinetica iniziale di 128 J. Se il coefficiente di attrito dinamico è 0.3, di quanto sale sul piano inclinato? L att = mgh 1 2 mv2 = mgh 128 con L att = µ d mgcos30 = 0.3 4 9.8 0.86 = 10.18 J s = +128 mg/2+10.18 = 4 m 7 Esercizio 42P 8.42 Una bambina che pesa 267 N scende per uno scivolo lungo 6.1 m che forma un angolo di 20 con il piano orizzontale. Il coefficiente di attrito dinamico è 0.1. (a) Trovare quanta energia è dissipata in energia termica dalla forza di attrito. (b) quale sarà la sua velocità all arrivo se parte dall alto con una velocità di 0.457 m/s? L att = EeL att = µ d Mgcosθ ss=6.1me t = 0.1 267cos20 6.1 = 153 J 1 2 mv2 fin (mgh+ 1 2 mv2 in ) = 153... Problema 4.15 Mazzoldi Un punto materiale di massa m=2.5g è attaccato ad un estremo di una molladicostanteelastica=120n/melunghezzaariposor 0 = 30cm; l altro estremo è fissato al punto O. Il sistema si trova su un piano orizzontale e ruota con velocità angolare costante ω = 4rad/s attorno a d O. Calcolare il raggio della circonferenza descritta da m e discutere il caso in cui r 0 0 F el O M Facciamo il diagramma delle forze: x: F = R = ma, con l accelerazione che è in verso negativo rispetto l asse x ed è centripeta per cui (R R 0 ) = m v2 R = mω2 R R R 0 = mω 2 R ( Mω 2 )R = R 0 (1) da cui R = R 0 = 120 (0.3) Mω 2 120 2.5 16 = 0.45m Per l ultima domanda, riprendiamo l eq. (1) e facciamo tendere a 0 il termine R 0 si Esercizi cap4 lavoro energia momenti, punto materiale 3
8 ESERCIZIO 18P-13 VI ottiene R = mω 2 R ω 2 = M ovvero qualunque raggio è possibile purchè la velocità angolare soddisfa la relazione trovata che porta al valore ω = 6.93rad/s Mazzoldi - Esercizio 4.27 Un punto materiale di massa m è sospeso tramite un filo verticale ed è collegato al suolo da una molla di costante elastica =70N/m, che è in condizioni di riposo. Si taglia il filo. Calcolare: a) la massima distanza percorsa dal punto b) la posizione in cui si raggiunge la massima velocità c) la massima velocità raggiunta d) Prima di tagliare il filo, il periodo di oscillazione se sposto il punto dalla posizione di equilibrio Diagramma delle forze iniziale: +T mg = 0 mg = T = 4.9N Conservazioneenergia: mgh = mgh + 1 2 (h h ) 2 x = h h mgx = 1 2 x2 x = 2mg = 0.14 m Percalcolarelavelocitàoccorreindicareunaposizionegenerica: mgh = mgh + 1 2 (h h ) 2 + 1 2 mv2 mgx = 1 2 x2 + 1 2 mv2 v 2 = 2mgx x 2 Per trovare la condizione dobbiamo studiare v=v(x) e il massimo si trova quando dv dx = 0 dv dx = 2mg 2x = 0 x = mg = 7 cm c) dalla precedente sostituendo si ha v 2 = 2mg( mg (mg )2 = (mg)2 per cui la velocità risulta v=0.83m/s Se spostiamo all equilibrio il corpo si ha T mg x = ma il moto è oscillatorio con pulsazione dato da ω 2 = m per cui il periodo di osccilazione è T = 2π m = 0.53s 8 Esercizio 18P-13 VI Un oscillatore armonico semplice è formato da un blocco di massa 2.0 Kg attaccato da una molla avente =100N/m. Per t=1s posizione e velocità del blocco sono x=0.129 m e v=+3.415 m/s. (a) Qual è l ampiezza delle oscillazioni? (b) Quali erano posizione e velocità a t=0? Il moto è oscillatorio con x(t) = x M cos(ωt+φ) ed ω = M = 100 2 = 7 rad/s x(t=1 s)=0.129 mev(t) = ωx M sin(ωt+φ)epert=1sabbiamov(t=1s)=+3.415m/s (dato dalla traccia) 0.129 = x M cos(7+φ) +3.415 = 7x M sin(7+φ) Esercizi cap4 lavoro energia momenti, punto materiale 4
9 ESERCIZIO 26P 3.415 0.129 = 7 tan(7 + Φ) che porta a 7 + Φ = 1.31 Φ = 8.31 rad e x M = 0.5 m 9 Esercizio 26P Un blocco di peso 14N, che può scivolare senza attrito su una rampa inclinata di 40, è sostenuto da una molla fissata alla cima della rampa, di lunghezza a riposo l=0.45 m e costante elastica =120N/m. (a) A quale distanza dalla cima si assesta il blocco in equilibrio? (b) Se spostiamo di poco il blocco esso si mette ad oscillare: qual è il periodo di oscillazione? x : +F el Mgsinθ = 0 y : N = Mgsinθ e F el = (l l 0 ) (il segno è già messo quando indichiamo le componenti) (l l 0 ) = Mgsinθ e quindi l = l 0 + Mgsinθ = 0.45+ 14sin40 120 = 0.525 m Per la risposta b) se spostiamo l oggetto dalla pos. d equilibrio troveremo un eq. corrispondente ad un moto oscillatorio (indichiamo l l 0 = x): x Mgsinθ = Ma x che è l eq. dell oscill. armonico (a meno del termine costante) la cui pulsazione è ω = M ed il periodo T = 2π M = 0.686 s Un blocco è appoggiato sulla superficie orizzontale di una tavola vibrante che si muove orizzontalmente di moto armonico semplice con frequenza di 2.0 Hz. Il coefficiente di attrito statico tra blocco e piano d appoggio è 0.5. Qual è la massima ampiezza del moto armonico semplice ammissibile per evitare lo slittamento del blocco? x : +f att x m sin(ωt+φ) = 0 y : N Mg = 0 con ω = 2πf = M f att = µ s N la massima forza di attrito si realizza quando anche la forza elastica è massima (ovvero sin()=1) per cui µ s N = x M da cui x M = µs N = µs Mg nel nostro caso = (2πf)2 M = 157.9 M x M = 0.5 157.9 9.8 = 3.1 cm Esercizi cap4 lavoro energia momenti, punto materiale 5