Impianti e Sistemi Aerospaziali

Politecnico di Milano Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Impianti e Sistemi Aerospaziali Laboratorio 1: Meccanica dei Fluidi Andrea Sportillo 776818

1.PREMESSA La presente relazione si pone il problema di analizzare le grandezze e i parametri di dunzionameto di un circuito idraulico semplificato, pressurizzato da una pompa volumetrica a portata costante. Lo schema si presenta in questo modo: L impianto trasferisce fluido per mezzo della pompa tra due serbatoi a pressione differente. 2.INDICE

3.ELENCO DEI SIMBOLI Pressione Pa MPa Corsa c mm Potenza W W Rendimento η -- Lunghezze L m Diametri D m Rugosità media e mm Viscosità cinematica liquido υ St Densità liquido ρ Kg/m^3 Tensione di vapore liquido Pc MPa Angolo piattello α rad && Modulo di comprimibilità liquido β MPa 4.DESCRIZIONE DEL PROBLEMA E METODO DI SOLUZIONE Si vogliono analizzare i seguenti parametri di funzionamento dell impianto: a) velocità e portate nei tubi di aspirazione e mandata; b) pressioni in ingresso e uscita della pompa; c) coefficiente di perdita di carico equivalente della mandata ; d) potenza idraulica generata e quella meccanica richiesta; Tali quantità saranno espresse in funzione del numero di giri della pompa, in un intervallo compreso tra: 0<rpm<4000. Infine, si richiede di: e) verificare il fenomeno di cavitazione in aspirazione; f) calcolare l angolo del piattello della pompa nel caso in cui i cilindri siano disposti nel tamburo rotante lungo una circonferenza di diametro D=60 mm.

5.DATI Pressione serbatoio A Pa 0,25 Mpa Pressione serbatoio B Pb 0,8 MPa Numero di pistoncini pompa np 9 -- Diametro pistoncini pompa Dp 0.0127 m Corsa pistoncini pompa c 22,5 mm Rendimento volumetrico pompa ηv 0,96 -- Rendimento meccanico pompa ηm 0,88 -- Lunghezza tratto di aspirazione Li 1 m Diametro tratto di aspirazione Di 0,013 m Lunghezza tratto di mandata Lm 4 m Diametro tratto di mandata Dm 0,01 m Coefficiente di perdita concentrata k 4 -- Rugosità media e 8/100 mm Viscosità cinematica liquido υ 0,00008 St Densità liquido ρ 950 Kg/m^3 Tensione di vapore liquido Pc 0,015 MPa Diametro piattello pompa D 0.06 m Modulo di comprimibilità liquido β 1500 MPa Risoluzione: a) E necessario ricavare il volume trattato dalla pompa:!"#$ = &' ";!*+* =,'!"#$; dove Ap rappresenta l area del cielo dei pistoncini, e si ricava come: &' = -.'/ 4 ; Ora si possono ricavare le portate della pompa in funzione del numero dei giri: Osservazione: la portata in mandata è soggetta ad un rendimento volumetrico, dovuto soprattutto a perdite per trafilamento (necessarie alla lubrificazione dei

meccanismi della pompa stessa) e in piccola parte anche alla comprimibilità β del fluido stesso; la portata in aspirazione invece viene assunta come ideale, dunque è direttamente calcolabile per mezzo della seguente formula: 1# = 2'3!*+*; dove rpm esprime il numero dei giri all albero della pompa. Si avrà dunque: 13 = 45 2'3!*+* = = 45 1#; Una volta calcolate le portate è possibile ricavare le velocità nei tratti di aspirazione e mandata: 5# = 78 9: ;8 ; * 53 = 7< 9: ;< ;* dove Ai e Am sono le aree delle sezioni, rispettivamente, di aspirazione e di mandata: &# = = >8? ; &3 = = ><? ; *NOTA: Le portate sono espresse in <! necessario dividere per 60 secondi. <8", dunque per ottenere velocità in < # è b) La pressione in ingresso alla pompa è si può determinare calcolando la differenza tra la pressione del serbatoio A e le perdite di carico distribuite che si hanno lungo il tratto di aspirazione: $#, = $% ' (#.# 1 2 +5/ ; "+, 5 = 5#; in questa relazione l unico parametro da determinare è il fattore di attrito '.

Tale valore dipende dal tipo di moto a cui è soggetto il fluido nel tubo: -per,- < 2000 il moto è LAMINARE e il fattore si può ricavare come: '= 64,- ; -per 2000 <,- < 4000 il moto è in FASE DI TRANSIZIONE e per,- > 4000 è TURBOLENTO, e il fattore può essere calcolato per mezzo del diagramma di Moody, oppure per mezzo di tabelle relative alle perdite di carico; La pressione in uscita dalla pompa può essere determinata sommando la pressione e le perdita di carico concentrate e distribuite che si hanno nel tratto di mandata del fluido: $ = $' $3 = 4 2 +5/ + ' ($ %$ 1 2 +*+ ; -./ * = *$; $2 = $3 + 64 +' ($ %$ 7 1 2 +*+ ; dove il valore ' è calcolato in base al tipo di regime a cui è sottoposto il fluido, in analogia con quanto scritto per la pressione in aspirazione. c) Il coefficiente di perdita equivalente nel tratto di mandata si può esprimere in due modi: $ = 9- < + ; 8 $ = 64+' ($ %$ 7 1 2 + <+ = + ; < 9- = $ < + ; ; : 9- = 64+' ($ %$ 7 1 2 + 1 = + ; dove $ è la differenza di pressione tra la pompa e il serbatoio B, e rappresenta la perdita di carico dovuta alla serie (analogia elettrica) tra le perdite distribuite e concentrate.

d) La potenza idraulica esprime la potenza che la pompa riesce a trasmettere al fluido e può essere espressa come: =B = <$ $; dove questa volta $ esprime l incremento di pressione a cavallo della pompa; siccome: allora: <$ = C* <B; =B = C* <B $; La potenza meccanica necessaria è allora espressa come: <$ $ =$ = ; C con C =C* C$ detto rendimento globale; dunque: <B $ =$ = C$ ; OSSERVAZIONE: il modulo della potenza meccanica è negativo in quanto si suppone che tale potenza sia assorbita dal sistema pompa. e) Il fenomeno di cavitazione si ha per valori della pressione inferiori o uguali al valore della tensione di vapore del fluido usato nella pompa, dunque è necessario fare un confronto tra la pressione in ingresso alla pompa e la tensione di vapore del fluido nelle condizioni di funzionamento dell impianto: se $B/ $- allora il fluido evapora. f) L angolo di inclinazione del piattello rotante di una pompa assiale è strettamente correlato alla corsa di pistoncini e quindi anche al volume trattato dalla pompa stessa. La relazione che li lega è la seguente: FG.G = /2 =2 - = =/2 =2 % tanb;

Quindi risolvendo per B si ottiene la relazione che collega l angolo al volume trattato: 6.CALCOLI E RISULTATI B=tan CD FG.G /2 =2 % ; Ora verranno presentate numericamente le grandezze in funzione del numero di giri, sfruttando i procedimenti e le formule appena presentate. Per il calcolo sono stati sfruttati due noti programmi: Excel e Matlab. Di seguito verranno visualizzati alcuni significativi valori ottenuti grazie al foglio di calcolo, accompagnati da grafici realizzati per mezzo dello script Matlab (riportato alla fine della presente relazione). Le caratteristiche della pompa sono le seguenti: Calcolo cilindrata: Ap 0,00012661 $ + Vcil 2,84878 10 CO $ E Vtot 2,5639 10 CF $ E

Valori della portata: RPM Portata Aspirazione[$ E /min] Portata Mandata[ $ E /min] 1000 0,0256391 0,024613536 2000 0,0512782 0,049227072 3000 0,0769173 0,073840608 4000 0,1025564 0,098454144 I valori della portata in uscita dalla pompa sono inferiori a quelli di aspirazione a causa di un rendimento volumetrico della pompa reale (come già detto in precedenza).

Valori della velocità: RPM Velocità in aspirazione [ $ G] Velocità in mandata [ $ G] 1000 5,443545648 3,09219161 2000 10,8870913 6,184383221 3000 16,33063694 9,276574831 4000 21,77418259 12,36876644 La velocità del liquido in aspirazione è notevolmente più bassa perché è necessario ridurre le perdite di carico (che sono funzione quadratica della velocità); per fare ciò si aumenta la sezione del tubo di aspirazione, sfruttando l equazione di continuità: $I = + = * ; *= $I + = ;

I valori della pressione: RPM Re Λ Pressione aspirazione (i) 1000 523,4170673 0,12227343 203647,6902 2000 1046,834135 0,061136715 157295,3804 3000 1570,251202 0,04075781 110943,0706 4000 2093,668269 0,030624455 64250,50601 RPM Re Lam Pressione uscita 1000 653,2245 0,097975505 1360252,428 2000 1306,449 0,048987752 2024278,843 3000 1959,6735 0,032658502 2792079,244 4000 2612,898 0,034085987 4459982,871 I valori di λ sono calcolati nel seguente modo: -se laminare ( Re<2000) : '= O JK ; -se in transizione ( 2000<Re<4000): è stata fatta una approssimazione tramite interpolazione lineare, seguendo la retta (sotto evidenziata in rosso) sul diagramma di Moody, con equazione: '=0,03+N0,05 0,03P N,- 2000P N5000 2000P ;

Il moto turbolento non è stato contemplato in quanto il numero di Reynolds non supera mai 4000.

Il valore del coefficiente di perdita di carico equivalente nel tratto di mandata vale: RPM K equivalente 1000 3,3292E+12 2000 1,81876E+12 3000 1,31529E+12 4000 1,3593E+12 I valori della potenza genarata e assorbita dalla pompa: RPM Potenza Idraulica [W] Potenza meccanica[w] 1000 474,4681624 561,633715 2000 1531,76653 1813,170608 3000 3299,607148 3905,784976 4000 7212,956991 8538,06462

Il fenomeno della cavitazione in aspirazione non si verifica mai, in quanto la pressione rimane bel al di sopra del valore della tensione di vapore. Infine si è valutato il valore dell angolo del piattello rotante alla quale sono collegati i pistoncini che sorrono dento il tamburo: essendo una pompa a portata costante, tale angolo rimane costante, Script Matlab utilizzato: B=20,556 = =0,3588 a%s; %Laboratorio 1---> Meccanica dei fluidi clear all;close all; %Dati Dp=((2.54e-2)/2);% diametro pistoni[m] c=22.5e-3;%corsa pistoni[m] rpm=0:100:4000;%range di giri al minuto[rpm] np=9;%numero pistoni rv=.96;%rendimento volumetrico rm=0.88;%rendimento meccanico Dm=10e-3;%diametro mandata[m] Di=13e-3;%diametro aspirazione[m] v=80e-6;%viscosità cinematica[st] Li=1;%lunghezza aspirazione[m] Lm=4;%lunghezza tubo di mandata[m] rho=950;%densità fluido[kg/m^3] Pa=0.25e6;%pressione serbatoio A[Pa] k=4;%coeff. perdita di carico concentrata Pb=0.8e6;%pressione serbatoio B[Pa] d=0.06%diametro piattello pompa[m] %Calcolo la cilindrata Ap=pi*(Dp.^2)/4; Vcil=Ap*c; Vtot= np*ap*c; %Calcolo la portata %- portata in asirazione pari al quella ideale Qi=Vtot*rpm; %- portata in mandata con rendimento rv Qm=rv*Qi; %Disegno i grafici

hold on; plot (rpm, Qi, 'r'); plot(rpm, Qm, 'b'); legend('in aspirazione', 'in mandata'); title('portata(rpm)'); grid on; hold off; %calcolo le velocità in funzione dei giri Am=(pi*(Dm)^2)/4; Ai=(pi*(Di)^2)/4; vm=(qm/60)/am; vi=(qi/60)/ai; % Disegno i grafici delle velocità figure; hold on; plot(rpm, vi, 'r'); plot(rpm,vm, 'b'); grid on; title('velocità(rpm)'); legend('in aspirazione', 'in mandata'); hold off; % Calcolo le perdite di carico %In aspirazione: Re=(vi*Di)/v; disp(re'); lam=zeros(1,41); for i=1:41 % (41 valori perchè tra sono rpm tra 0 e 4000 con passo 100) if(re(i)<2000) % Se Laminare lam(i)=64/re(i); elseif(re(i)>=2000)% Se Turbolento %interpolazione lineare lam(i)= 0.03+(.05-.03).*((Re(i)-2000)/3000); end end % Calcolo la pressione in aspirazione Pin=Pa - lam.*(li/di).*0.5.*rho.*vi.^2; % Grafico aspirazione figure; hold on; plot (rpm,pin,'r'); title('pressione(rpm))'); grid on; % In mandata:

Re1=(Dm.*vm)/v; lam1=zeros(1,41); for i=1:41; if(re1(i)<2000) % Se Laminare lam1(i)=64/(re1(i)); else % Se Turbolento % interpolazione lineare lam1(i)= 0.03+(.05-.03).*((Re1(i)-2000)/3000); end end %Formula Pressione in uscita dalla pompa Pp= Pb+(k+lam1.*(Lm/Dm)).*(1/2).*rho.*(vm.^2); disp(lam1') % -Grafico pressione in mandata hold on; plot(rpm, Pp, 'b'); legend('in aspirazione', 'in mandata'); grid on; hold off; %Calcolo il coefficiente di perdita di carico equivalente in mandata Ke=((Pp-Pb))./((Qm./60).^2); % -Grafico del coeff. equivalente figure; plot(rpm, Ke, 'b'); title('kequivalente(rpm)'); legend('in mandata'); grid on; %Calcolo la potenza idraulica generata Wid=(Qm/60).*(Pp-Pin); % Grafico figure; hold on; plot(rpm,wid, 'g'); grid on; % Calcolo la potenza meccanica assorbita; Wre=((Qi/60).*(Pp-Pin))/rm;% è assorbita, quindi è negativa! % Grafico plot(rpm,wre, 'y'); title('potenza '); legend('idraulica generata','meccanica assorbita'); grid on; hold off; %Calcolo l'angolo del piattello della pompa alfa=atan(vtot/(np*ap*d))%alfa in radianti alfa=alfa*180/pi %alfa in gradi