Esercitazione 3 del 14 marzo 019 Dott.ssa Sabrina Pedrini Domande a risposta multipla 1) Scendendo lungo la curva di domanda: a. Il livello di utilità del consumatore diminuisce. b. Il livello di utilità del consumatore aumenta. c. Il livello di utilità del consumatore rimane costante. d. Il livello di utilità del consumatore inizialmente aumenta, poi diminuisce. ) Lungo la curva di domanda individuale di caffè, quale dei seguenti valori rimane costante? a. Il prezzo del caffè. b. L utilità marginale del caffè. c. La quantità domandata di caffè. d. Il reddito del consumatore. 3) L effetto di sostituzione è la variazione del consumo di un bene: a. associata al cambiamento del suo prezzo, tenendo il livello di utilità costante. b. associata al cambiamento del suo prezzo, e facendo variare il livello di utilità. c. associata al cambiamento del potere di acquisto del consumatore, tenendo il prezzo del bene costante. d. associata al cambiamento del potere di acquisto del consumatore, tenendo il livello di utilità costante. 4) Nel problema di scelta ottima del consumatore, se i prezzi di entrambi i beni si dimezzano: a. la posizione del vincolo di bilancio non cambia b. la pendenza del vincolo di bilancio non cambia c. la scelta ottima del consumatore rimane inalterata d. la pendenza del vincolo di bilancio raddoppia 5) Quali delle seguenti caratteristiche non appartiene ai beni perfetti sostituti? a. Saggio marginale di sostituzione costante b. Panieri ottimi rappresentati usualmente da soluzioni d angolo c. Curve di indifferenza a gomito d. Curve di indifferenza rappresentate da rette parallele Soluzioni: 1b, d, 3a, 4b, 5c. Esercizio 1 Le preferenze di un consumatore per lo zucchero di barbabietola (bene ) e lo zucchero di canna (bene y) sono rappresentate dalla seguente funzione di utilità: I prezzi dei beni sono p = 5 e = 10 e il reddito a disposizione dell'individuo è pari a 0. Determinare la scelta ottimale dell'individuo. p y (, y) = 3 y U +
Soluzione Poiché la funzione di utilità è lineare, il saggio marginale di sostituzione tra i due beni è costante e pari a: Questo significa che le curve di indifferenza sono lineari e quindi che il punto di ottimo sarà una soluzione d'angolo, il che significa che il consumatore acquisterà solo uno dei due beni. Per sapere quale dei due e in che quantità, occorre considerare la pendenza delle curve di indifferenza (che indica in che proporzione l'individuo è disposto a scambiare un bene con l'altro) e quella del vincolo di bilancio (che indica il rapporto in cui i due beni sono scambiati sul mercato). Un SMS pari a 3 significa che il consumatore è disposto a cedere 3 unità di y per una di. Invece sul mercato il bene y è scambiato contro due unità di (la pendenza del vincolo di bilancio, cioè il rapporto p p y 1, è pari a ). U SMS, y = = 3 U Di conseguenza il consumatore preferirà spendere il suo reddito solo nell'acquisto del bene, acquistandone una quantità pari a y = R p = 4 y E 4 In sintesi per i beni perfetti sostituti sia SMS che pendenza del vincolo di bilancio sono costanti. Possono verificarsi tre situazioni diverse: 1) SMS > p/ py ) SMS < p/ py 3) SMS = p/ py
Per trovare l equilibrio del consumatore non c è bisogno di risolvere nessun sistema ma basta confrontare SMS e p/ py. Le rette di indifferenza sono più inclinate di quella ce rappresenta il vincolo di bilancio: per l individuo vale di più di quanto vale sul mercato e sceglierà solo. ) Le rette di indifferenza sono meno inclinate del vincolo di bilancio: per l individuo vale meno rispetto a quanto vale sul mercato e sceglierà solo y. Graficamente: 3) Le rette di indifferenza sono inclinate quanto il vincolo di bilancio. La retta coincide con il vincolo: per l individuo vale tanto quanto per il mercato e tutti i panieri sulla retta di bilancio danno la stessa soddisfazione e sono di equilibrio. Esercizio Un consumatore ha a disposizione un reddito pari a R = 30 e le sue preferenze sono descritte dalla funzione di utilità U(,y) = y. Il SMS è pari a y/. a) Determinare l equazione di una generica curva di indifferenza b) Determinare il paniere di consumo ottimale in corrispondenza dei prezzi p = e py = 5. c) Si supponga che il prezzo py diminuisca, così che ora p'y = 4. Calcolare la nuova scelta ottima del consumatore. Soluzione a) La curva di indifferenza rappresenta l insieme delle combinazioni di e y che danno al consumatore lo stesso livello di utilità U. Essendo la funzione di utilità in oggetto U(,y) = y e definendo con un dato (generico) livello di utilità, allora le combinazioni (,y) che generano tale
livello di utilità dovranno essere tali per cui U(;y)=y. L equazione della generica curva di indifferenza in un grafico in cui y è misurato sull asse verticale è dunque: b) Per determinare l ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema che combina la condizione di tangenza e il vdb, dove la condizione di tangenza è determinata dall'uguaglianza tra SMS (=y/) e valore assoluto della pendenza del vdb (=/5). Il sistema a due equazioni e due incognite è: Dalla prima equazione otteniamo y=(/5) che sostituita all'interno del vdb ci permette di ottenere le grandezze di equilibrio. Quindi il paniere ottimo del consumatore è dato da (80,3). c) Se il prezzo del bene y passa da 5 a 4, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione del sistema (nel sistema si fa notare che il SMS è sempre pari, per definizione, al rapporto tra le utilità marginali rispettivamente del bene misurato sull asse delle ascisse e di quello misurato sull asse delle ordinate): U /U y = p/py da cui y/=1/ 30= +4y da cui procedendo come nel punto precedente si ottiene il paniere (80; 40). Come utile esercizio a casa, provate a disegnare il vecchio e il nuovo vincolo di bilancio in un grafico, mostrando i due panieri ottimali come punti di tangenza con due generiche curve di indifferenza. Esercizio 3 Un consumatore ha la seguente funzione di utilità U(;y)= +y con prezzi p= e py=3 per i due beni. 1) Si calcoli e si rappresenti la curva di indifferenza di livello 0. ) Si determini il reddito necessario e la conseguente scelta ottimale per raggiungere questo livello di utilità. Svolgimento La curva di indifferenza di livello 0 è data dalla retta di equazione 0 = +y ovvero
y= 10 (1/). Ha intercetta verticale 10, intercetta orizzontale 0 e pendenza -1/. Si tratta di beni perfetti sostituti quindi la scelta ottimale dipende dalla pendenza relativa di vincolo di bilancio e curva di indifferenza. Il rapporto dei prezzi è /3 per cui il vincolo risulta più inclinato della curva di indifferenza (il cui SMS è ½). Il consumatore acquisterà quindi solo il bene sull asse verticale, ossia y. In particolare, la quantità di bene y sull asse verticale che consente di raggiungere il livello di utilità 0 è proprio l intercetta verticale della curva di indifferenza di livello 0 trovata nel punto 1), ossia y*=10, mentre *=0. Per acquistare un tale paniere è necessario un reddito pari a R=py y*= 30. Esercizio 4 Un consumatore ha una funzione di utilità data da U(,y)=min(;3y) ed un reddito R=40. I prezzi dei due beni sono p= e py=5. 1) Si rappresentino graficamente il vincolo di bilancio e la mappa di curve di indifferenza. In particolare si consideri la curva di indifferenza di livello 1. ) Si calcoli la scelta ottimale del consumatore. 3) Si supponga che il prezzo del bene y aumenti fino a py =7. Si calcoli e si rappresenti nel grafico precedente la nuova scelta ottimale del consumatore. Svolgimento 1) Il vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/py= 8 e intercetta orizzontale R/p= 0 e pendenza in valore assoluto p/py= /5. Le curve in indifferenza sono a forma di L con cuspidi lungo il raggio di equazione y=(/3). Si tratta di beni perfetti complementi. La curva di livello 1 presenta una cuspide per =1/=6 e y=1/3=4. ) La scelta ottima del consumatore si trova intersecando il raggio lungo il quale giacciono le cuspidi delle curve di indifferenza ed il vincolo di bilancio. Occorre quindi risolvere il sistema formato da y=/3 e +5y=40 da cui =15/ e y=5. La curva di indifferenza raggiunta ha livello 15. 3) Il nuovo vincolo di bilancio ha intercetta verticale R/py'=0/7. Ora il sistema da risolvere è formato da y=/3 e +7y=40 da cui =6 e y=4. La curva di indifferenza raggiunta ha livello 1.
Esercizio 5 La funzione di utilità di Gianna, associata al consumo di cibo C e vestiario V, è data da U(C,V)=C V a) Si supponga che il cibo abbia un prezzo unitario pari a 1 Euro e che il vestiario costi 3 Euro. Gianna ha un reddito pari a 1 Euro. Si scriva e rappresenti graficamente il vincolo di bilancio di Gianna. b) Qual è la quantità di cibo e vestiario che massimizza l'utilità di Gianna? A quanto ammonta l'utilità totale associata a tale paniere di consumo ottimo? Qual è il saggio marginale di sostituzione tra cibo e vestiario quando l'utilità è massimizzata? c) Si supponga che Gianna acquisti 3 unità di cibo e 3 unità di vestiario con il suo reddito di 1 Euro. Il saggio marginale di sostituzione tra cibo e vestiario sarà maggiore o minore di quello che avete calcolato al punto (b)? Perché? d) Si definiscano i concetti di effetto di sostituzione e di effetto di reddito. Si rappresentino su un grafico i due effetti a seguito dell'aumento del prezzo del cibo di cui al punto d). Soluzione a) Il vincolo di bilancio è dato da: C + 3V = 1 V 4 1C 3 1 C b) La condizione di ottimo è SMS=./ 0./ 1 = 3 0 3 1 UM 5 = 6. 65 = CV7 ; UM 8 = 6. 68 = VC7./ 0./ 1 = 7589 785 9 = 8 5 8 5 = ; < V = ; < C (Nota: per le funzioni Cobb-Douglas è sufficiente ricordarsi la formula del SMS a meno che non sia esplicitamente richiesto il calcolo delle utilità marginali) Sostituiamo nel vincolo e procediamo con la soluzione del sistema che mette in relazione condizione di ottimo nel rispetto del vincolo di bilancio C + 3 > ; < C? = 1 C = 1 C = 6 quindi V = 1 3 6 = L utilità totale associata al paniere ottimale è
U(6,) = 6 7 7 = 36 + 4 = 40 Il saggio marginale di sostituzione quando l utilità è massimizzata è quello in corrispondenza del paniere ottimale: SMS = U 5 U 8 = J p 5 p 8 J U 5 U 8 = V C = 6 = 1 3 = Jp 5 p 8 J c) Il saggio marginale di sostituzione in corrispondenza del punto B(3,3) è pari a 1; pertanto in questo caso il saggio marginale di sostituzione risulta maggiore. In questo punto la pendenza della curva di indifferenza è maggiore rispetto alla pendenza del vincolo di bilancio e alla pendenza della curva di indifferenza nel punto ottimo: è possibile aumentare l utilità dell individuo scambiando vestiti con cibo. Gianna sarebbe infatti disposta a rinunciare a 1 unità di vestiario per ricevere 1 unità addizionale di cibo, ma ai prezzi di mercato, per ottenere 1 unità aggiuntiva di cibo è sufficiente rinunciare a ; unità di vestiti; Gianna scambia quindi vestiti per cibo fino ad < arrivare al paniere ottimo A. V SMS M > O p C p V O SMS M > SMS P 3 B A 3 6 C d) Effetto di sostituzione: variazione di C associata alla variazione del proprio prezzo, a parità di utilità, ossia di potere d acquisto; Effetto di reddito: variazione di C dovuta alla variazione del potere d acquisto, a prezzi relativi invariati. L aumento del prezzo del cibo modifica la pendenza del vincolo di bilancio: il vincolo diventa più ripido. Il cibo è un bene normale: la riduzione del potere d acquisto comporta una riduzione della quantità domandata.
V B D A ET: effetto totale causato dalla variazione di p 5 ES e ER: componenti dell effetto totale 5 ER ET ES 6 C 5 1C 3 C Esercizio 6 Le preferenze di un consumatore sono determinate dalla funzione di utilità U = 1/ 1/ (, y) y a. determinare la scelta ottimale del consumatore quando p =, p y=1 e R=1000. b. determinare il nuovo paniere ottimale quando il prezzo del bene y aumenta a p y=5. c. determinare gli effetti di reddito e di sostituzione per il bene y. d. indicare quale relazione sussiste tra i beni e y. e. si calcoli la variazione compensativa Soluzione a) Per determinare l ottimo del consumatore occorre risolvere il sistema y = 1 1000 = + y Partendo quindi dalla prima equazione che rappresenta l eguaglianza tra il SMS e il rapporto tra i prezzi otteniamo y=. Sostituendo y= nella seconda equazione che rappresenta il vincolo di bilancio. Otteniamo: *=50 y*=500 che è l ottimo del consumatore dati i prezzi correnti (punto E). b) Se il prezzo del bene y passa da 1 a 5, il nuovo ottimo del consumatore si ricava dalla soluzione del sistema
" y $ = # 5 % $ 1000 = + 5y dalla quale si ricava =50 y =100 che è il nuovo punto di equilibrio E. c) L effetto prezzo, ovvero l effetto della variazione del prezzo di y sulla quantità domandata del bene y stesso, è quindi EP=y -y*=100-500=-400 Quindi l effetto prezzo è negativo: all aumentare del prezzo, la quantità domandata di y diminuisce. Tale bene rispetta quindi la legge di domanda. Vogliamo scomporre l effetto prezzo totale in effetto sostituzione ed effetto reddito, in modo da distinguere quanta parte della variazione della quantità domandata è dovuta esclusivamente alla variazione dei prezzi relativi e quanto invece è dovuto al fatto che il reddito reale del consumatore è diminuito a seguito dell aumento del prezzo. Per fare ciò, immaginiamo di dare all individuo, successivamente all aumento del prezzo di y, una compensazione di reddito tale da consentirgli di raggiungere lo stesso livello di utilità che raggiungeva nel punto E (prima dell aumento del prezzo p y da 1 a 5). Occorre dunque calcolare le coordinate del punto Ec, cioè del punto di tangenza tra la curva di indifferenza passante per E e il vincolo di bilancio fittizio con pendenza pari al nuovo rapporto tra i prezzi. Per trovare il punto Ec dobbiamo risolvere il seguente sistema " U(Ec) = U(E) $ # SMS y, = p $ % p y La prima equazione esprime il fatto che il livello di utilità associato a Ec deve essere lo stesso di quello associato ad E; la seconda condizione stabilisce che la curva di indifferenza passante per Ec sia tangente al vincolo di bilancio fittizio la cui pendenza è pari al nuovo rapporto tra i prezzi. Calcoliamo innanzitutto il valore dell utilità nel punto E 1 1 U( E) = 50 *500 = (50*500) = 500* 50 = 15000 Quindi il sistema da risolvere per determinare il punto Ec diviene: 1 1 ì ïy í y ï = î 5 1 = 15000 Dalla prima equazione (elevando entrambi i membri alla seconda) si ricava y = 15000 e, sostituendo nella seconda equazione:
15000 = 5 Da questa si ricava X C =559 e per sostituzione y C =4 Le coordinate del punto Ec sono quindi Ec=(559,4). Possiamo ora scomporre l effetto prezzo in effetto reddito ed effetto sostituzione. 1) Effetto sostituzione L effetto sostituzione misura l effetto sulla quantità domandata derivante dal fatto che a seguito dell aumento del prezzo di y è cambiato il prezzo relativo dei due beni. L effetto sostituzione si misura nel passaggio da E C ad E: ES=y C y* = 500-4 = -76 Se quindi, a seguito dell aumento del prezzo di y il consumatore viene compensato in modo da mantenere inalterato il livello di utilità, la variazione della quantità domandata di y sarà negativa: aumentando il prezzo relativo di y, il consumatore sarà portato a diminuire la sua domanda per tale bene, poiché è diventato relativamente più costoso rispetto al bene. ) Effetto reddito L effetto reddito di una variazione di prezzo misura come varia la quantità domandata y a seguito esclusivamente della diminuzione del reddito reale a disposizione del consumatore (a parità di prezzi relativi). L effetto reddito è quindi misurato dal passaggio da E ad E C. ES=y ** y C = 100-4 = -14 L effetto reddito è negativo in quanto un aumento del prezzo del bene y diminuisce il potere di acquisto del reddito a disposizione del consumatore e quindi la quantità domandata del bene stesso. In questo esercizio poiché l effetto sostituzione e l effetto reddito sono entrambi negativi, l effetto prezzo derivante dalla somma dei due effetti sarà negativo: all aumentare del prezzo di y, la quantità domandata di y diminuisce, sia perché è aumentato il prezzo relativo di questo bene, sia perché è diminuito il reddito reale a disposizione del consumatore. d) Poiché all aumentare del prezzo di y il consumo del bene non varia (resta 50 in entrambi gli equilibri), i due beni sono indipendenti. y ES 500 E 4 Ec
ER 100 E 50 559 e) La variazione compensativa è la differenza tra il reddito che occorrerebbe al consumatore per raggiungere il punto E C e quello necessario per raggiungere E (quello originario), ovvero quello che gli è sufficiente per ottenere lo stesso livello di utilità inziale ai nuovi prezzi. Dobbiamo quindi scrivere il vincolo di bilancio con i nuovi prezzi e sostituirvi i valori del paniere E C lasciando come unica incognita il reddito R: R(Ec) = 559 + 5 4 = 38 38 è quindi il reddito necessario all individuo per acquistare il paniere Ec ai nuovi prezzi. Quindi la variazione compensativa necessaria a consentire al consumatore di raggiungere lo stesso livello di utilità precedente all aumento dei prezzi sarà R(Ec)-R(E)=38-1000=138 Nel caso di un aumento di prezzo, la compensazione necessaria a lasciare il consumatore sulla stessa curva di indifferenza deve essere positiva, perché il suo reddito reale diminuisce. Osserviamo la variazione della quantità domandata nel passaggio da Ec a E (a seguito cioè di una diminuzione del reddito reale): æ Dy ö ç = è DR ø y( Ec) - y( E') R( Ec) - R( E') = 4-100 > 0 138 In generale il segno positivo dell equazione indica che il bene y è NORMALE (cioè ad un aumento del reddito a disposizione corrisponde un aumento della quantità domandata del bene). Nei termini dell esercizio proposto, il fatto che il bene y sia normale significa che quando il prezzo del bene y cresce, il reddito reale diminuisce e quindi l effetto reddito è negativo (se p y aumenta, considerando esclusivamente la diminuzione di reddito reale che questo aumento comporta, si avrà una diminuzione della quantità domandata del bene y). Nota che il fatto di osservare il segno positivo nell equazione D y / DR indica solo che il bene è normale. Se il prezzo di un bene normale diminuisce, il reddito reale aumenta e l effetto reddito è positivo. Se però il prezzo di un bene normale (come in questo esercizio per il bene y) aumenta, significa che il reddito reale si riduce (minore potere d acquisto) e quindi l effetto reddito è negativo. Esercizio 7 Il signore Bonaparte predilige far colazione bevendo sempre una tazza di cappuccino (X) per ogni croissant (Y) mangiati; quindi le preferenze del nostro consumatore possono essere rappresentate dalla seguente funzione di utilità U(X,Y)= min{x;y}. Il reddito settimanale che il signor Bonaparte destina alla colazione è pari a 10 euro. Il prezzo di una tazza di cappuccino è pari a 1 euro mentre il prezzo di un croissant è pari a 0,5 euro (p=1;py=0,5). Indicate sull asse orizzontale il bene X. 1. Di che tipo di preferenze si tratta? Argomentate la risposta e date una rappresentazione grafica della mappa di curve di indifferenza (almeno tre curve).. Calcolate il paniere ottimo consumato dal signor Bonaparte e fornitene una rappresentazione grafica. Quante volte alla settima il signor Bonaparte può fare colazione bevendo cappuccino e mangiando croissant?
3. Se volesse fare colazione tutti i giorni della settimana mangiando croissant e bevendo cappuccino, quale dovrebbe esser il suo reddito? Supponete che il bar presso il qual il signor Bonaparte è solito far colazione decida di incentivare le vendite con una riduzione del 50% dei prezzi di tutti i prodotti offerti. I nuovi prezzi di cappuccino e croissant sono p =0,5;p y=0,5. 4. Scrivete e rappresentate graficamente il nuovo vincolo di bilancio del signor Bonaparte specificando pendenze ed intercetta. 5. Fornite una rappresentazione grafica del nuovo paniere ottimo di consumo del signor Bonaparte. 6. Se in risposta alla contrazione dei prezzi il consumatore decidesse di dimezzare il reddito destinato alla colazione, che paniere ottimo vi aspettereste di ottenere? Argomentate la risposta. Svolgimento 1. Cappuccino e croissant sono per il signor Bonaparte perfetti complementi in quanto egli desidera consumarli sempre in rapporto fisso; in particolare il rapporto al quale il signor Bonaparte consuma i due beni è :1. Nel grafico sottostante la rappresentazione della mappa di curve di indifferenza.. Dal momento che si tratta di beni perfetti complementi sappiamo che il paniere ottimo del consumatore si trova al punto di intersezione tra vincolo di bilancio e retta dei vertici delle curve di indifferenza. L equazione del vincolo di bilancio di Bonaparte è py Y + px = R da cui Y = 0 X. La pendenza pari a -, l intercetta verticale è (X = 0,Y = 0) e l intercetta orizzontale è (X = 10,Y = 0). L equazione della retta passante per gli spigoli è Y = X; per trovare il paniere ottimo del consumatore devo risolvere il sistema che mette in relazione Y = 0 X e Y = X da cui X = 5, Y = 10. Il consumatore può quindi fare colazione a cappuccino e croissant 5 volte alla settimana. Graficamente il paniere ottimo è
3. Far colazione tutti i giorni a cappuccino e croissant significa riuscire a consumare un paniere contenente X = 7, Y = 14. Tale paniere costerebbe al signor Bonaparte pyy + px =( ½)14 + 17 = 14 dunque solo se il signor Bonaparte disponesse di 14 euro, potrebbe permettersi di far colazione tutti i giorni a cappuccino e croissant. 4. La contrazione dei prezzi rende il consumatore relativamente più ricco in quanto può permettersi panieri che inizialmente non erano a lui accessibili. Dal momento che entrambi i prezzi sono dimezzati, non cambia il rapporto relativo tra gli stessi (p /p y = p/py = ) dunque il nuovo vincolo di bilancio è parallelo a quello vecchio ma più lontano dall origine (sia l intercetta verticale che quella orizzontale aumentano, la prima è (0,40) e la seconda (0,0)). Formalmente, a seguito della promozione il vincolo di bilancio del signor Bonaparte diventa p y Y + p X = R Y = 40 X da cui la seguente rappresentazione grafica (in giallo i panieri divenuti ora accessibili). 5. Graficamente il nuovo paniere ottimo di Bonaparte è 6. Se il consumatore decidesse di ridurre del 50% il reddito destinato alla colazione, stante la contrazione del 50% dei prezzi di cappuccino e croissant, tornerebbe a consumare lo stesso paniere trovato al punto. Una variazione nella medesima percentuale di prezzi e reddito non modifica la scelta ottima del consumatore in quanto non modifica il suo vincolo di bilancio.