25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche ü [A.a. 2012-201 : ultima revisione 4 maggio 201] Esempio n.1 Si consideri il semplice telaio di Figura 1, costituito da un traverso di luce 2L, interrotto da una cerniera in mezzeria, ed un ritto di altezza H. A sinistra il telaio e' vincolato con un bipendolo, al piede si ha una cerniera, sicche' la struttura risulta manifestamente isostatica. Il carico e' definito da una coppia di valore M agente nel nodo di destra C, e da una variazione termica assiale di valore DT agente sul ritto. Si vuole affrontare la soluzione in due fasi successive: in un primo momento si determinano le caratteristiche della sollecitazione interna, ossia momenti, tagli e sforzi normali, applicando le equazioni differenziali di equilibrio. In un secondo momento si deducono gli spostamenti assiali e trasversali, attraverso la soluzione delle equazioni di congruenza e costitutive. Si ricorda che la possibilita' di suddividere in tal modo il calcolo e' dovuta all'isostaticita' della struttura. à Prima fase : il calcolo delle c.s.i. Si identificano tre sistemi di riferimento, con origine in A,B e C, e col sistema di assi locali definito in Figura 2. In assenza di carichi distribuiti sara': M A B C T H D L L Figura 1 - Un semplice telaio zoppo M HABL H L = a + b M HBCL H L = c + d M HCDL H L = e + f (1)

462 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb N HABL H L = n 1 N HBCL H L = n 2 (2) N HCDL H L = n Le condizioni (di equilibrio) che permettono il calcolo delle costanti di integrazione sono: M HABL H = LL = 0 T HABL H = LL = T HBCL H = 0L M HBCL H = 0L = 0 M HBCL H = LL+M HCDL H = 0L+ M M HCDL H = LL = 0 N HABL H = 0L = 0 N HABL H = LL = N HBCL H = 0L N HBCL H = LL+T HCDL H = 0L T HBCL H = LL+N HCDL H = 0L () H1L H2L HL A B C H1L H2L HL H D L L Figura 2 - I tre sistemi di riferimento per i tre tratti AB, BC e CD Il sistema di nove equazioni: a L+b = 0 a = c d = 0 Hc L+dL+f+ M = 0 e H+f = 0 n 1 = 0 n 1 = n 2 n 2 + e = 0 c+n = 0 si puo' risolvere come : (4) a = M L b = M c = M L (5)

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 46 d = e = f = 0 n 1 = n 2 = 0 n = M L e quindi le c.s.i. sono fornite da : M HABL H L = M K1 L O M HBCL H L = M L (6) M HCDL H L = 0 T HABL H L = M L T HBCL H L = M L T HCDL H L = 0 N HABL H L = 0 N HBCL H L = 0 (7) (8) N HCDL H L = M L à Seconda fase : il calcolo degli spostamenti Le equazioni da utilizzare sono ora quelle che legano gli spostamenti alle caratteristiche, o piu' precisamente, le curvature ai momenti e gli allungamenti percentuali agli sforzi normali: v '' H L = M EI w ' H L = N EA λ = N EA +α T Sara' quindi, nei tre tratti AB, BC e CD: (9) v '' HABL H L = M EI K1 L O v '' HBCL H L = M EI v '' HCDL H L = 0 w ' HABL H L = 0 w ' HBCL H L = 0 M w ' HCDL H L = EAL + α T ed integrando opportunamente L (10) (11)

464 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb v HABL H L = M EI x2 2 6 L + a + b v HBCL H L = M EI 6 L + c + d v HCDL H L = e + f w HABL H L = s 1 w HBCL H L = s 2 M w HCDL H L = EAL + α T + s Questa volta le condizioni ai limiti dovranno imporre la congruenza degli spostamenti, e sara' : ossia : v HABL H = 0L = 0 φ HABL H = 0L = 0 v HABL H = LL = v HBCL H = 0L w HABL H = LL = w HBCL H = 0L v HBCL H = LL = w HCDL H = 0L w HBCL H = LL = v HCDL H = 0L φ HBCL H = LL = φ HCDL H = 0L v HCDL H = LL = 0 w HCDL H = LL = 0 (1) b = 0 a = 0 M EI L2 + a L+b = d s 1 = s 2 L M EI 6 L + c L+d = s s 2 = f M L EI 2 c = e e L+f = 0 M EA + α T L+s = 0 con soluzione : (14) b = 0 a = 0 d = M EI L2 c = M EI e = M EI L 6 M EA L α T 2 L M EA L α T

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 465 f = M EI s 1 = M EI s 2 = M EI 2 L 2 + M E A + α T L 2 L 2 M EA α TL 2 L 2 s = M EA α T L Le linee elastiche sono quindi : M EA α TL v HABL H L = M EI 2 2 6 L v HBCL H L = M EI v HCDL H L = M EI w HABL H L = M EI w HBCL H L = M EI 6 L M EI L 6 + M EI L2 M EA L α T 2 L M EAL α T 2 L 2 M EA α TL 2 L 2 M EA α TL H LL (16) w HCDL H L = α T H LL M EA K1 L O Appare in evidenza l'influenza dei vari termini flessionali ed assiali. Se ad esempio si vuol trascurare, come usuale, la deformabilita' assiale delle aste, basta far crescere la rigidezza EA all'infinito, ottenendo le formule semplificate: v HABL H L = M EI 2 2 6 L v HBCL H L = M EI v HCDL H L = M EI w HABL H L = M EI w HBCL H L = M EI 6 L M EI 2 L 2 L 2 L 6 + M EI L2 α T α T H LL α TL 2 L 2 α TL w HCDL H L = α T H LL ed in assenza di variazioni termiche : (17)

466 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb v HABL H L = M EI 2 2 6 L v HBCL H L = M EI v HCDL H L = M EI w HABL H L = M EI w HBCL H L = M EI w HCDL H L = 0 6 L M EI 2 L H LL 2 L 2 2 L 2 Una possibile deformata e' riportata di seguito: L 6 + M EI L2 A B C L L Figura - La deformata per il telaio zoppo di Figura 1 Esempio n.2 Si consideri ora il telaio di Figura 4, costituito da una maglia triangolare chiusa a tre cerniere, vincolata con un appoggio a sinistra ed un carrello a destra, sollecitata da una forza P sul tratto inferiore. La struttura e' quindi palesemente isostatica, come puo' essere confermato da un veloce computo dei tratti di cui e' composta (t = ) e del numero di incognite statiche presenti (s = 9).

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 467 H L 6 L 7 I L H 2 A G B C P D E F H 1 L 1 L 2 L L 4 L 5 Figura 4 - Una maglia chiusa a tre cerniere à Prima fase : il calcolo delle c.s.i. Si identificano i dieci sistemi di riferimento di Figura 5, che permettono di scrivere, in assenza di carichi distribuiti: H7L H8L H9L H10L H7L H8L H9L H10L H6L H1L H6L H2L HL H4L H5L H1L H2L HL H4L H5L Figura 5 - La scelta dei sistemi di riferimento per la maglia chiusa di Figura 4 M HABL H L = t 1 + m 1 M HBCL H L = t 2 + m 2 M HCDL H L = t + m M HDEL H L = t 4 + m 4 M HEFL H L = t 5 + m 5 M HGBL H L = t 6 + m 6 M HHGL H L = t 7 + m 7 M HHIL H L = t 8 + m 8 M HILL H L = t 9 + m 9 M HLEL H L = t 10 + m 10 N HABL H L = n 1 N HBCL H L = n 2 N HCDL H L = n N HDEL H L = n 4 N HEFL H L = n 5 N HGBL H L = n 6 N HHGL H L = n 7 N HHIL H L = n 8 N HILL H L = n 9 N HLEL H L = n 10 (19) (20)

468 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb Le condizioni (di equilibrio) che permettono il calcolo delle costanti di integrazione sono: in corrispondenza dell' appoggio in A : M HABL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo triplo B: (21) N HABL H = L 1 L+T HGBL H = H 1 L+N HBCL H = 0L = 0 T HABL H = L 1 L N HGBL H = H 1 L+T HBCL H = 0L = 0 M HABL H = L 1 L M HGBL H = H 1 L+M HBCL H = 0L = 0 (22) in corrispondenza della forza P: N HBCL H = L 2 L+N HCDL H = 0L = 0 T HBCL H = L 2 L+T HCDL H = 0L+P = 0 M HBCL H = L 2 L+M HCDL H = 0L = 0 (2) in corrispondenza della cerniera D: N HCDL H = L L+N HDEL H = 0L = 0 T HCDL H = L L+T HDEL H = 0L = 0 M HCDL H = L L = 0 M HDEL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo triplo E: (24) N HDEL H = L 4 L+T HLEL H = H 1 + H 2 L+N HEFL H = 0L = 0 T HDEL H = L 4 L N HLEL H = H 1 + H 2 L+T HEFL H = 0L = 0 M HDEL H = L 4 L M HLEL H = H 1 + H 2 L+M HEFL H = 0L = 0 (25) in corrispondenza del carrello in F: M HEFL H = L 5 L = 0 N HEFL H = L 5 L = 0 (26) in corrispondenza della cerniera in G: N HHGL H = H 2 L+N HGBL H = 0L = 0 T HHGL H = H 2 L T HGBL H = 0L = 0 M HHGL H = H 2 L = 0 M HGBL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo H: (27) T HHGL H = 0L+N HHIL H = 0L = 0 N HHGL H = 0L+T HHIL H = 0L = 0 M HHGL H = 0L+M HHIL H = 0L = 0 in corrispondenza della cerniera in I: (28) N HHIL H = L 6 L+N HILL H = 0L = 0 T HHIL H = L 6 L+T HILL H = 0L = 0 M HHIL H = L 6 L = 0 M HILL H = 0L = 0 (29) in corrispondenza del nodo L:

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 469 N HILL H = L 7 L T HLEL H = 0L = 0 T HILL H = L 7 L+N HLEL H = 0L = 0 M HILL H = L 7 L+M HLEL H = 0L = 0 Utilizzando le (19-20) si giunge ad un sistema di trenta equazioni, che puo' essere agevolmente risolto con l'ausilio di un qualsiasi programma di calcolo simbolico. Per semplicita' di scrittura, da ora in poi si ipotizzano le seguenti relazioni geometriche: L 1 = 2 L L 2 = L L = L L 4 = 2 L L 5 = 2 L L 6 = L L 7 = L H 1 = L H 2 = 2 L in modo da poter esprimere la soluzione in funzione del solo parametro. Si hanno quindi i momenti (1) M HABL H L = 5 P 8 M HBCL H L = 17 P L + 11 P 28 56 M HCDL H L = 45 56 P HL L M HDEL H L = 45 P 56 M HEFL H L = P L P 4 8 M HGBL H L = 9 P 14 M HHGL H L = 9 P L 7 M HHIL H L = 9 P L 7 9 P 14 + P 7 M HILL H L = P 7 M HLEL H L = P L + 9 P 7 14 e gli sforzi assiali : (2) N HABL H L = 0 N HBCL H L = N HCDL H L = N HDEL H L = 9 P 14 N HEFL H L = 0

470 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb N HGBL H L = N HHGL H L P 7 N HHIL H L = N HILL H L = 9 P 14 N HLEL H L = P 7 Il diagramma dei momenti e' riportato in Figura 6 Figura 6 - Il diagramma dei momenti per la maglia chiusa di Figura 4 ü Calcoli à Seconda fase : il calcolo degli spostamenti Le equazioni da utilizzare sono ora quelle che legano gli spostamenti alle caratteristiche, o piu' precisamente, le curvature ai momenti e gli allungamenti percentuali agli sforzi normali: u '' 2 H L = M EI u ' H L = N EA Sara' quindi, per gli spostamenti trasversali (4) u HABL 2 H L = 5 P 48 EI + c 0 + c 1 u HBCL 2 H L = 17 P L 56 EI 2 + 11 P 6 EI + c 2 + c u 2 HCDL H L = 45 56 2 P EI L 2 6 u HDEL 2 H L = 15 P 112 EI + c 6 + c 7 + c 4 + c 5

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 471 u HEFL 2 H L = P L 8 EI 2 P 48 + c 2 x 8 + c 9 u 2 HGBL H L = P 28 EI + c 10 + c 11 u HHGL 2 H L = 9 P L 14 EI 2 P 14 EI + c 12 + c 1 u HHIL 2 H L = 9 P L 14 EI 2 + P 14 EI + c 14 + c 15 u 2 HILL H L = P 14 EI + c 16 + c 17 u HLEL 2 H L = P L 14 EI 2 + P 28 EI + c 18 + c 19 e per gli spostamenti assiali: u HABL H L = d 0 u HBCL H L = u HCDL H L = 9 P 14 EA + d 1 9 P 14 EA + d 2 u HDEL H L = 9 P 14 EA + d u HEFL H L = d 4 u HGBL H L = P 7 EA + d 5 u HHGL H L = P 7 EA + d 6 u HHIL H L = 9 P 14 EA + d 7 u HILL H L = 9 P 14 EA + d 8 u HLEL H L = P 7 EA + d 9 Questa volta le condizioni ai limiti dovranno imporre la congruenza degli spostamenti, e sara' : (6) in corrispondenza dell' appoggio in A : u HABL 2 H = 0L = 0 u HABL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo triplo B: u HABL 2 H = L 1 L = u HBCL 2 H = 0L u HABL 2 H = L 1 L = u HGBL H = H 1 L u HABL H = L 1 L = u HBCL H = 0L (7) (8)

472 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb u HABL H = L 1 L = u 2 HGBL H = H 1 L φ HABL H = L 1 L = φ HBCL H = 0L φ HABL H = L 1 L = φ HGBL H = H 1 L in corrispondenza della forza in C u HBCL 2 H = L 2 L = u HCDL 2 H = 0L u HBCL H = L 2 L = u HCDL H = 0L φ HBCL H = L 2 L = φ HCDL H = 0L in corrispondenza della cerniera in D (9) u 2 HCDL H = L L = u 2 HDEL H = 0L u HCDL H = L L = u HDEL H = 0L (40) in corrispondenza del nodo triplo in E u 2 HDEL H = L 4 L = u 2 HEFL H = 0L u 2 HDEL H = L 4 L = u HLEL H = H 1 + H 2 L u HDEL H = L 4 L = u HEFL H = 0L u HDEL H = L 4 L = u 2 HLEL H = H 1 + H 2 L φ HDEL H = L 4 L = φ HEFL H = 0L φ HDEL H = L 4 L = φ HLEL H = H 1 + H 2 L in corrispondenza del carrello in F u 2 HEFL H = L 5 L = 0 in corrispondenza della cerniera in G (41) (42) u 2 HHGL H = H 2 L = u 2 HBGL H = 0L u HHGL H = H 2 L = u HBGL H = 0L (4) in corrispondenza del nodo H u HHGL 2 H = 0L = u HHIL H = 0L u HHGL H = 0L = u HHIL 2 H = 0L φ HHGL H = 0L = φ HHIL H = 0L in corrispondenza della cerniera in I (44) u 2 HHIL H = L 6 L = u 2 HILL H = 0L u HHIL H = L 6 L = u HILL H = 0L (45) in corrispondenza del nodo in L u 2 HILL H = L 7 L = u HLEL H = 0L u HILL H = 0L = u 2 HLEL H = 0L φ HILL H = 0L = φ HLEL H = 0L (46) Risolvendo il sistema di trenta equazioni, e portando la rigidezza assiale EA ad infinito, si ottengono le linee elastiche:

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 47 u HABL 2 H L = 5 P I2491 L 2 49 M 252 EI u HBCL 2 H L = P I22 950 L + 9515 L 2 714 L 77 M 252 EI u HCDL 2 H L = P I1 674 L + 7856 L 2 945 L + 15 M 252 EI u HDEL 2 H L = P I8 900 L 11 657 L 2 + 15 M 252 EI u HEFL 2 H L = P I18 106 L 7877 L 2 882 L + 147 M 252 EI u HGBL 2 H L = P I9011 L 8759 L 2 252 M 252 EI u HHGL 2 H L = P I5487 L 52 L 2 1512 L + 252 M 252 EI u HHIL 2 H L = P I22 950 L 52 L 2 + 1512 L 168 M 252 EI u HILL 2 H L = P I16 2 L + 1951 L 2 168 M 252 EI u HLEL 2 H L = P I5487 L + 1951 L 2 504 L 252 M 252 EI per gli spostamenti trasversali, e : u HABL H L = u HBCL H L = u HCDL H L = u HDEL H L = u HEFL H L 0 u HGBL H L = u HHGL H L = 825 P L 92 EI u HHIL H L = u HILL 1829 P L H L = 784 EI (48) u HLEL H L = 905 P L 1176 EI per gli spostamenti assiali. Ne segue la deformata di Figura 7.

474 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb Figura 7 - Il diagramma degli spostamenti per la maglia chiusa di Figura 4, in ipotesi di EA = ü Calcoli Esempio n. Si consideri il telaio zoppo di Figura 8, appoggiato agli estremi e con doppio bipendolo ad interrompere il traverso. Un pendolo collega i due ritti. P C D E F G H H 2 H 4 B H H 1 A Figura 8 - Un telaio zoppo con pendolo L 1 L 2 L La struttura e' isostatica, in quanto costituita da due tratti (t = 2) con sei incognite statiche (le due reazioni dei due appoggi, la coppia del doppio bipendolo, lo sforzo normale nel pendolo BG). Si identificano i sistemi di riferimento di Figura 9, in modo da poter scrivere:

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 475 H4L H5L H6L H7L HL HL x2 H4L H5L H6L H7L H8L H2L H2L H1L H1L Figura 9 - I sistemi di riferimento per il telaio zoppo con pendolo M HBAL H L = t 1 + m 1 M HCBL H L = t 2 + m 2 M HCDL H L = t + m M HDEL H L = t 4 + m 4 M HEFL H L = t 5 + m 5 M HFGL H L = t 6 + m 6 M HGHL H L = t 7 + m 7 (49) N HBAL H L = n 1 N HCBL H L = n 2 N HCDL H L = n N HDEL H L = n 4 N HEFL H L = n 5 N HFGL H L = n 6 N HGHL H L = n 7 N HBGL = n 8 (50) Si noti che per il pensolo si e' definito il solo sforzo assiale, in quanto momento e taglio sono identicamente nulli. Le condizioni di equilibrio che permettono il calcolo delle ventidue costanti di integrazione sono: in corrispondenza dell' appoggio in A : M HBAL H = H 1 L = 0 (51) in corrispondenza del nodo B: T HBAL H = 0L+T HCBL H = H 2 L+N HBGL Cos@αD = 0 N HBAL H = 0L N HCBL H = H 1 L N HBGL Sin@αD = 0 M HBAL H = 0L M HCBL H = H 2 L = 0 in corrispondenza del nodo C: (52) T HCBL H = 0L+N HCDL H = 0L = 0 N HCBL H = 0L+T HCDL H = 0L = 0 M HCBL H = 0L+M HCDL H = 0L = 0 (5)

476 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb in corrispondenza della forza P: N HCDL H = L 1 L+N HDEL H = 0L = 0 T HCDL H = L 1 L+T HDEL H = 0L+P = 0 M HCDL H = L 1 L+M HDEL H = 0L = 0 in corrispondenza del doppio bipendolo in E : N HDEL H = L 2 L = 0 N HEFL H = 0L = 0 T HDEL H = L 2 L = 0 T HEFL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo F: T HEFL H = L L+N HFGL H = 0L = 0 N HEFL H = L L T HFGL H = 0L = 0 M HEFL H = L L+M HFGL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo G: T HFGL H = H L T HGHL H = 0L N HBGL Cos@αD = 0 N HFGL H = H L+N HGHL H = 0L+N HBGL Sin@αD = 0 M HFGL H = H L+M HGHL H = 0L = 0 in corrispondenza dell' appoggio in H : M HGHL H = H 4 L = 0 Svolgendo i calcoli, e risolvendo il sistema di equazioni si ha il quadro flessionale: (54) (55) (56) (57) (58) M HBAL H L = P L 1 H 1 H 4 + P H 1 L 1 H 1 H 4 M HCBL H L = P H 1 L 1 H 1 H 4 M HCDL H L = P P H 1 L 1 H 1 H 4 M HDEL H L = P H 4 L 1 H 1 H 4 (59) M HEFL H L = P H 4 L 1 H 1 H 4 M HFGL H L = P H 4 L 1 H 1 H 4 P L M HGHL 1 H L = P H 4 L 1 H 1 H 4 H 1 H 4 ed il quadro di sforzi assiali : N HBAL H L = P N HCBL H L = P 1 L 1 Tan@αD H 1 H 4

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 477 N P N HCDL H L = N HDEL H L = N HEFL H L = N HFGL H L 0 N HGHL H L = P L 1 Tan@αD H 1 H 4 N HBGL = P Sec@αD L 1 H 1 H 4 Si assume, d'ora in poi: L 1 = L L 2 = L L = 2 L H 1 = L H 2 = L H = L H 4 = 2 L ottenendo il diagramma di Figura. (61) Figura 10 - Il diagramma dei momenti per il telaio di Figura 8 ü Calcoli à Seconda fase : il calcolo degli spostamenti Le equazioni da utilizzare sono ora quelle che legano gli spostamenti alle caratteristiche, o piu' precisamente, le curvature ai momenti e gli allungamenti percentuali agli sforzi normali: u '' 2 H L = M EI u ' H L = N EA Sara' quindi, per gli spostamenti trasversali (62) u 2 HBAL H L = P EI 6 + P EI L 2 + c 0 + c 1 u HCBL 2 H L = P EI L 2 + c 2 + c

478 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb u HCDL 2 H L = P EI L 2 + c 4 + c 5 u HDEL 2 H L = P EI L 2 + c 6 + c 7 u HEFL 2 H L = P EI L 2 + c 8 + c 9 u 2 HFGL H L = P u 2 HGHL H L = P EI e per gli spostamenti assiali: EI L 2 + c 10 + c 11 u HBAL H L = P 2 EA + d 0 u HCBL H L = P EA + d 1 u HCDL H L = d 2 u HDEL H L = d u HEFL H L = d 4 u HFGL H L = d 5 u HGHL H L = P u HBGL H L = 6 P EI L 2 + c 12 + c 1 2 EA + d 6 5 P 2 EA + d 7 (64) Anche in questa fase, si e' assunta a priori identicamente nulla la linea elastica u 2 H8L. Questa volta le condizioni ai limiti dovranno imporre la congruenza degli spostamenti, e sara' : in corrispondenza dell' appoggio in A : u HBAL 2 H = H 1 L = 0 u HBAL H = H 1 L = 0 in corrispondenza del nodo B: u HBAL 2 H = 0L = u HCBL 2 H = H 2 L u HBAL 2 H = 0L = u HBGL H = 0L Cos@αD u HBAL H = 0L = u HCBL H = H 2 L u HBAL H = 0L = u HBGL H = 0L Sin@αD φ HBAL H = 0L = φ HCBL H = H 2 L in corrispondenza del nodo in C: u HCBL 2 H = 0L = u HCDL H = 0L u HCBL H = 0L = u HCDL 2 H = 0L φ HCBL H = 0L = φ HCDL H = 0L in corrispondenza della forza in D: (65) (66) (67)

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 479 u HCDL 2 H = L 1 L = u HDEL 2 H = 0L u HCDL H = L 1 L = u HDEL H = 0L φ HCDL H = 0L = φ HDEL H = 0L in corrispondenza del doppio bipendolo in E φ HDEL H = L 2 L = φ HEFL H = 0L in corrispondenza del nodo in F u 2 HEFL H = L L = u HFGL H = 0L u HEFL H = L L = u 2 HFGL H = 0L φ HEFL H = L L = φ HFGL H = 0L in corrispondenza del nodo G: u 2 HFGL H = H L = u 2 HGHL H = 0L u 2 HFGL H = H L = u HBGL H = L p L Cos@αD u HFGL H = H L = u HGHL H = 0L u HFGL H = H L = u HBGL H = L p L Sin@αD φ HFGL H = H L = φ HGHL H = 0L dove L p e' la lunghezza del pendolo: L p = HL 1+ L 2 + L L, Cos@αD in corrispondenza dell'appoggio in H: u 2 HGHL H = H 4 L = 0 u HGHL H = H 4 L = 0 Si noti ora che le due equazioni u HBAL H = 0L = u HBGL H = 0L Sin@αD u HFGL H = H L = u HBGL H = L p L Sin@αD sono automaticamente soddisfatte, e non vanno quindi considerate. (69) (70) (71) (72) (7) (74) Risolvendo il sistema di ventidue equazioni, e portando la rigidezza assiale EA ad infinito, si ottengono le linee elastiche: u HBAL 2 H L = P HL L I152 L 2 + 2 L M 6 EI u HCBL 2 H L = P L I575 L2 12 L M 6 EI u HCDL 2 H L = P I 12 L 2 + L + M 6 EI u HDEL 2 H L = P L I64 L2 + 66 L M EI (75)

480 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb u HEFL 2 H L = P L I6 L2 20 L + M EI u HFGL 2 H L = P L I121 L2 48 L + M EI u HGHL 2 H L = P I152 L 84 L 2 + 6 L M 6 EI per gli spostamenti trasversali, e : u HBAL H L = u HCBL H L = 0 u HCDL H L = u HDEL H L = 575 P L 6 EI u HDEL 121 P L H L = EI u HFGL H L = u HGHL H L = 0 (76) u HBGL H L = 8 5 P L EI per gli spostamenti assiali. Ne segue la deformata di Figura 11. Figura 11 - Il diagramma degli spostamenti per il telaio di Figura 8, in ipotesi EA = Da essa, e dalle (74-75), e' immediato calcolare l'abbassamento in corrispondenza della forza, i due spostamenti relativi in corrispondenza del doppio bipendolo, l'allungamento del pendolo, etc. ü Calcoli

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 481 Esempio n.4 Un ultimo esempio e' illustrato in Figura 12, in cui un telaio zoppo presenta uno sbalzo di luce L 1 caricato da una forza all'estremo. Trattandosi di un telaio a tre cerniere, l'isostaticita' e' ovvia. P B C D E H 2 H 1 F A L 1 L 2 L Figura 12 - Un telaio zoppo con sbalzo La solita scelta dei sistemi di riferimento porta a scrivere: M HBCL H L = t 1 + m 1 M HCAL H L = t 2 + m 2 M HCDL H L = t + m M HDEL H L = t 4 + m 4 M HEFL H L = t 5 + m 5 N HBCL H L = n 1 N HCAL H L = n 2 N HCDL H L = n N HDEL H L = n 4 N HEFL H L = n 5 (77) (78) Le costanti di integrazione si possono determinare imponendo quindici condizioni di equilibrio, cosi' come segue: in corrispondenza dell' appoggio in A : M HCAL H = H 1 L = 0 in corrispondenza della forza in B: (79) T HBCL H = 0L+P = 0 N HBCL H = 0L = 0 M HBCL H = 0L = 0 (80) in corrispondenza del nodo C: N HBCL H = L 1 L+N HCDL H = 0L T HCAL H = 0L = 0 T HBCL H = L 1 L+T HCDL H = 0L+N HCAL H = 0L = 0 M HBCL H = L 1 L+M HCDL H = 0L+M HCAL H = 0L = 0 (81)

482 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb in corrispondenza della cerniera in D: N HCDL H = L 2 L+N HDEL H = 0L = 0 T HCDL H = L 2 L+T HDEL H = 0L = 0 M HCDL H = L 2 L = 0 M HDEL H = 0L = 0 in corrispondenza del nodo E: T HDEL H = L L+N HEFL H = 0L = 0 N HDEL H = L L T HEFL H = 0L = 0 M HDEL H = L L+M HEFL H = 0L = 0 in corrispondenza dell' appoggio in F : M HEFL H = H 1 H 2 L = 0 Si assume, d'ora in poi: L 1 = 2 L L 2 = 2 L L = 4 L H 1 = 4 L H 2 = 2 L Svolgendo i calcoli, e risolvendo il sistema di equazioni si ha il quadro flessionale: M HBCL H L = P M HCAL H L = 8 P L 5 M HCDL H L = 2 P L 5 M HDEL H L = P 5 M HEFL H L = 4 P L 5 ed il quadro di sforzi assiali : N HBCL H L = 0 N HCAL H L = 6 P 5 N HCDL H L = 2 P 5 N HDEL H L = 2 P 5 + 2 P 5 + P 5 2 P 5 (82) (8) (84) (85) (86) (87) N HEFL = P 5

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 48 P Figura 1 - Il diagramma dei momenti per il telaio di Figura 11 ü Calcoli à Seconda fase : il calcolo degli spostamenti Le equazioni da utilizzare sono ora quelle che legano gli spostamenti alle caratteristiche, o piu' precisamente, le curvature ai momenti e gli allungamenti percentuali agli sforzi normali: u '' 2 H L = M EI u ' H L = N EA Sara' quindi, per gli spostamenti trasversali u 2 HBCL H L = P EI 6 + c 0 + c 1 u HCAL 2 H L = 4 P L P 5 15 + c 2 + c u HCDL 2 H L = P L 5 2 P 0 + c 4 + c 5 u HDEL 2 H L = P 0 + c 6 + c 7 u 2 HEFL H L = 2 P L 5 + P 15 + c 8 + c 9 (91) (92) e per gli spostamenti assiali: u HBCL H L = d 0 u HCAL H L = 6 P 5 EA + d 1

484 25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb u HCDL H L = 2 P 5 EA + d 2 u HDEL H L = 2 P 5 EA + d u HEFL H L = P 5 EA + d 4 Questa volta le condizioni ai limiti dovranno imporre la congruenza degli spostamenti, e sara' : in corrispondenza dell' appoggio in A : u 2 HCAL H = H 1 L = 0 u HCAL H = H 1 L = 0 in corrispondenza del nodo C: u 2 HBCL H = L 1 L = u 2 HCDL H = 0L u 2 HBCL H = L 1 L = u HCAL H = 0L u HBCL H = L 1 L = u HCDL H = 0L u HBCL H = L 1 L = u HCAL H = 0L φ HBCL H = L 1 L = φ HCDL H = 0L φ HBCL H = L 1 L = φ HCAL H = 0L in corrispondenza della cerniera in D: u 2 HCDL H = L 2 L = u 2 HDEL H = 0L u HCDL H = L 2 L = u HDEL H = 0L in corrispondenza del nodo in E u 2 HDEL H = L L = u HEFL H = 0L u HDEL H = L L = u 2 HEFL H = 0L φ HDEL H = L L = φ HEFL H = 0L in corrispondenza dell'appoggio in F: (94) (95) (96) (97) u 2 HEFL H = H 1 H 2 L = 0 u HEFL H = H 1 H 2 L = 0 (98) Risolvendo il sistema di quindici equazioni, e portando la rigidezza assiale EA ad infinito, si ottengono le linee elastiche:

25 - La linea elastica e le strutture a telaio isostatiche.nb 485 u HBCL 2 H L = P I224 L 12 L 2 + 5 M 0 EI u HCAL 2 H L = P H4 L L I4 L 2 8 L + M 15 EI u HCDL 2 H L = P I72 L 2 6 L + M 0 EI u HDEL 2 H L = P H 4 L+L 2 H8 L+ L 0 EI u HEFL 2 H L = P I16 L 6 L + M 15 EI per gli spostamenti trasversali, e : (99) u HBCL H L = u HCDL H L = u HDEL 16 P L H L = 15 EI u HCAL H L = u HEFL H L = 0 per gli spostamenti assiali. Ne segue la deformata di Figura 14 (100) P Figura 14 - Il diagramma degli spostamenti per il telaio di Figura 12, in ipotesi EA = Anche in questo caso, lo studio della deformata puo' essere completato determinando l'abbassamento del punto di applicazione della forza, la rotazione relativa nella cerniera, etc. ü Calcoli Figure