ELETTOSTATICA 1) Tre cariche uguali di 1, μc sono poste ai vertici di un triangolo equilatero i cui lati misurano 5 cm. Calcola intensità direzione e verso della forza che agisce su ciascuna carica. La situazione è riportata nello schema, dove per semplicità si è considerata solo la forza agente sulla carica. Essendo le cariche tutte uguali fra di loro, e il triangolo equilatero, la forza 1 avrà la stessa intensità della forza 3 e la risultante sarà quindi: da cui: cos3 1 r 3 Prima di procedere con i calcoli convertiamo le grandezze in unità del S.I. Si ha quindi: 1, μc 1, 1 5 cm,5 m C ( 1, 1 ) 3 8, 8, 1 8,5 1) Le cariche puntiformi in figura hanno i seguenti valori: q1 +, μc ; q + 5, μc e q3 -,65 μc; la distanza d è 4,5 cm. Calcola modulo e direzione della forza risultante che agisce sulla carica q1.
Per risolvere il problema dobbiamo considerare la natura vettoriale delle forze che agiscono sulla carica q1. A tale scopo osserviamo lo schema seguente (B: si tratta di uno schema puramente indicativo, che non rispecchia esattamente i valori dei vettori in gioco) : Osserviamo che la forza è repulsiva mentre 3 è attrattiva. Passiamo ora a calcolare il modulo delle forze ed 3: 1 q1 q 1 1 5, 1 5 d ( 4,5 1 ) 1 q1 q3 1 1,65 1 3 5, 8 d ( 4,5 1 ) Data la geometria del sistema si possono calcolare facilmente le componenti delle forze: x cos 4 y sin 4 45 3x 3 y 3 3 cos 5,8 sin e da queste ottenere la risultante x y + 5,8, 45 da cui:
(,) + ( 45) 4 Per calcolare l angolo β formato dal vettore rispetto alla direzione dell asse x, utilizziamo la relazione: y 1 45 tan β β tan + k18 β 66 + 18 46 x, 1) In ciascun vertice di un triangolo equilatero il cui lato è lungo 15 cm, è posta una carica puntiforme q +,7 µc. Determinare il modulo del campo elettrico nel punto medio di ciascuno dei lati del triangolo e nel centro del triangolo. La situazione è schematizzata in figura Per ovvie considerazioni di simmetria la situazione è identica in ciascun lato del triangolo; consideriamo allora il punto medio del lato che unisce le cariche q 1 e q 3. Vediamo che i campi elettrici prodotti dalle cariche q 1 e q 3.sono opposti, quindi la loro somma è nulla. imane quindi il solo contributo dovuto alla carica q. Pertanto si ha: E 1 4 πε q dove risulta: l sin 6,15,866, 13 m Si ha quindi: 1 q 1,7 1 5 E E 1,87 1 V / m (,15,866) Per quanto riguarda il centro del triangolo equilatero, per ovvie considerazioni di simmetria si deduce che il campo elettrico è nullo.
a) Two point charges of + µc and 8, µc are, m away from each other. A particle with mass, g and charge +7, µc is placed in the middle point between the two charges. ind the acceleration (modulus and direction) of the particle ignoring gravity. Iniziamo con la traduzione del testo: Due cariche puntiformi di + µc e 8, µc distano, m una dall altra. Una particella di massa, g e carica +7, µc è posta nel punto medio tra le due cariche. Trova l accelerazione (modulo e direzione) della particella, ignorando la gravità. La situazione è schematizzata in figura: el punto medio i campi elettrici prodotti dalle cariche 1 e sono entrambi diretti verso destra (perché il campo prodotto da 1 è uscente e quello prodotto da è entrante) quindi si sommano. Per determinare l accelerazione possiamo scrivere: ma a m a E m 3 Si ha poi: 1 E E + 1 1 E + In definitiva risulta: ( + ) 1 8 1 7 1 a 88 m / s 1 3 a 3 m 1 1 L accelerazione ha direzione lungo la congiungente di 1 e e verso da 1 a 1) Tre cariche, ciascuna pari a + 3,5 μc, sono poste sui vertici di un quadrato di lato cm come in figura. Determinare intensità, direzione e verso della forza risultante che agisce sulla carica 1.
Le forze che agiscono sulla carica 1 sono schematizzate nella figura seguente: Cominciamo a calcolare i moduli di 1 ed 13 Si ha: 1 13 8, 1 (,) 8, 1 ( 3,5 1 ) ( 3,5 1 ) (,),75 1,38 Passiamo ora al calcolo delle componenti: 1x 13x 13 y 13 13 1 y,75 cos 5,76 sin 5,76 da cui: x y,76 3,73 α tan,76 1 + 3,73 3,85 3,73 55,76 ) Una pallina di massa,5 g e carica +,5 μc, è immobile in equilibrio immersa in un campo elettrico. Stabilisci intensità, direzione e verso del campo elettrico. Se la pallina, carica positivamente, è in equilibrio, vuol dire che la forza peso è bilanciata dalla forza elettrica e quindi il campo elettrico è diretto verticalmente verso l alto. Per determinare l intensità del campo elettrico basta porre la condizione di equilibrio tra forza peso e forza elettrica, cioè:
5 mg 5 1,8 mg Eq E E 16 / C q,5 1 ) Utilizzando il teorema di Gauss per determinare il campo elettrico in un punto esterno ad una sfera di raggio all interno della quale è presente una distribuzione uniforme di carica avente densità volumica ρ. La situazione è schematizzata in figura: Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualunque è: φ E ( ) ε Data la simmetria radiale del campo elettrico generato dalla sfera carica, conviene considerare una sfera di raggio r concentrica a quella carica di raggio. Il flusso di E attraverso la sfera di raggio r è quindi: ϕ ( E) S E 4π r E La quantità di carica presente nella sfera più interna dipende dal volume della sfera stessa e dalla densità di carica, cioè: ρv 4 ρ π 3 3 Possiamo allora scrivere: 4π 3 3 4π ρ ρ r E E 3ε 3r ε 1) Una carica è posta all interno di una scatola a forma di parallelepipedo. Il flusso del campo elettrico attraverso ciascuna delle 6 facce (espresso in m /C) è:
Φ 1 +15 Φ + Φ 3 +46 Φ 4-18 Φ 5-35 Φ 6-54 Determinare la carica Per risolvere il problema basta applicare il teorema di Gauss: Φ ε ( E ) Φ( E) ε ella precedente espressione, ovviamente, si deve considerare il flusso totale, cioè la somma dei flussi che attraversano le singole facce del parallelepipedo. Si ha quindi: 1 8 ( 15 + + 46 18 35 54 ) 8,86 1,16 1 C ) Due cariche uguali e di segno opposto sono separate da una distanza d. a. appresentare l andamento del campo elettrico determinato dalle due cariche in ciascuna delle regioni A,B e C b. Stabilire in quale direzione si muoverebbe una particella carica negativamente, posta rispettivamente nella regione A, B e C c. Verificare che non esiste alcun punto in cui il campo elettrico si annulla b) L andamento del campo elettrico lungo la retta che congiunge le due cariche ha l andamento riportato nel seguente schema: In rosso è indicato il campo prodotto dalla carica positiva, che ha verso uscente, e in blu quello prodotto dalla carica negativa, che ha verso entrante. In verde invece è rappresentata la somma dei due campi. Si nota che nella regione A prevale il campo elettrico della carica positiva, perché quella negativa è più lontana. ella regione B i due campi si sommano e nella regione C prevale il campo della carica negativa, perché quella positiva è più lontana. c) In base allo schema del punto precedente si deduce che una particella negativa, che si muove sempre in direzione opposta a quella del campo elettrico, nella regione A si muove verso destra; nella regione B verso sinistra e nella regione C ancora verso destra. d) ella regione B certamente non vi sono punti in cui il campo si annulla. ella regione A (e simmetricamente nella regione C) i due campi elettrici hanno verso opposto ma la loro somma
non è mai zero. Infatti prevale sempre, in valore assoluto, il campo prodotto dalla carica più vicina. 1) Water has a mass per mole of 18. g/mol and each water molecule (H O) ha 1 electrons. How many electrons are there in 1 cm 3 of water? What is the charge corresponding to all these electrons? Iniziamo con la traduzione del testo: L acqua ha una massa molare di 18. g/mol e ogni molecola di acqua (H O) ha 1 elettroni. uanti elettroni sono contenuti in 1 cm 3 si acqua? ual è la carica corrispondente a tutti questi elettroni? Osserviamo preliminarmente che 1 g di acqua corrispondono a 1/18 moli, ossia a H 1 18 3 6. 1 3.31 O 1 Ogni molecola di acqua ha 1 elettroni, quin il numero di elettroni è: 3 1 O e H 3.31 1 4 Infine, per ottenere la carica corrispondente a questo numero di elettroni, basta moltiplicare per la carica di un singolo elettrone: C e e 1 4 1,6 1 3.31 1 5.3 1 5 C uesiti 3) Descrivi il fenomeno dell induzione elettrostatica illustrando un esperimento che lo evidenzi. L induzione elettrostatica è una conseguenza immediata della forza di Coulomb. Se un corpo carico viene avvicinato ad un conduttore neutro e isolato, su quest ultimo si manifesta uno spostamento di cariche elettriche: quelle di segno opposto al corpo carico vengono attratte e si avvicinano, mentre quelle dello stesso segno si allontanano. Il fenomeno si può evidenziare avvicinando una bacchetta carica ad un elettroscopio senza toccarlo: le cariche dello stesso segno di quelle presenti sulla bacchetta si allontanano e fanno divergere le foglioline dell elettroscopio. uando la bacchetta carica viene allontanata, la distribuzione delle cariche nel conduttore torna alla configurazione iniziale e le foglioline dell elettroscopio si chiudono. ) Spiega perché se strofini un pezzo di ambra con un panno di lana, è in grado di attrarre delle pagliuzze uando l ambra viene strofinata, essa si elettrizza negativamente perché strappa alcuni elettroni al panno di lana e a causa di ciò si produce un campo elettrico. Le pagliuzze, che sono costituite di materiale dielettrico, subiscono il processo di polarizzazione, ossia una deformazione delle molecole che provoca una leggera separazione delle cariche. A seguito di ciò si ha una maggiore concentrazione di carica negativa sul lato della pagliuzza più vicino all ambra e una concentrazione
positiva sul lato opposto, che è più lontano. Di conseguenza l interazione coulombiana attrattiva è maggiore di quella repulsiva e la pagliuzza viene attratta. 3) Spiega cos è il fenomeno dell induzione elettrica e come è possibile, grazie ad esso, caricare un conduttore inizialmente neutro. L induzione elettrica è il fenomeno che si verifica quando un oggetto carico è avvicinato, senza porlo in contatto, ad un conduttore neutro. Le cariche di segno opposto a quelle dell oggetto carico si avvicinano ad esso, le altre si allontanano. Se si collega a terra il conduttore mentre l oggetto carico è vicino ad esso, le cariche dello stesso segno sfuggono. imuovendo il collegamento a terra, sul conduttore restano solo le cariche di segno opposto a quelle dell oggetto carico. Enuncia il teorema di Gauss ed applicalo per determinare il campo elettrico prodotto da un piano indefinito carico. Il teorema di Gauss afferma che il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi è uguale alla carica in esso contenuta diviso la costante dielettrica del vuoto (o del mezzo); ossia: Φ ( E) s Consideriamo ora un piano carico indefinito e un opportuna superficie ideale. Data la simmetria del problema conviene considerare un cilindro che attraversa il piano, come rappresentato in figura: ε
Osserviamo che, per motivi di simmetria, il campo elettrico è diretto perpendicolarmente al piano. Per questo motivo il flusso del campo elettrico attraverso la superficie laterale del cilindro è nullo. Il flusso attraverso ciascuna delle due basi del cilindro è invece E A. Si ha quindi: Φ ( E) EA E ε Aε s introducendo la densità di carica superficiale σ si ottiene: A E σ ε