Modelli Fenomenologici

Modelli Fenomenologici Dinamica del Modello Standard Dipartimento di Fisica e Geologia Università degli Studi di Perugia simone.pacetti@pg.infn.it Gennaio 2017

Perché? Nonostante decenni di ricerca, non si è ancora arrivati ad una tecnica che permetta di ottenere soluzioni analitiche della Cromodinamica Quantistica, la QCD. La disponibilità di sempre maggiori quantità dati e la conseguente necessità di interpretarli hanno reso necessario lo sviluppo di modelli fenomenologici della QCD. Il termine fenomenologico si riferisce al carattere descrittivo di tali modelli che, pur basandosi su processi dinamici che riproducono la QCD, non sono la QCD. L uso di questi modelli permette comunque di avere informazioni su molti aspetti della dinamica di QCD altrimenti non accessibili. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 2/35

Il confinamento Confinamento: ogni stato legato per effetto dell interazione forte, che abbia dimensioni non inferiori a Λ 1 1 fm, in condizioni di temperatura e desintà QCD nulle, deve manifestarsi come singoletto di colore. A causa del confinamento di colore, non esistono quark liberi. Gli adroni fisici sono stati legati di quark e gluoni. Si hanno due classi: i mesoni, stati legati quark-antiquark: qq; i barioni, stati legati di tre quark: qqq q 3. Il confinamento è, per ora, una congettura teorica, basata sulle osservazioni sperimentali e quindi da esse avvalorata. Se si cerca di separare il quark e l antiquark che, in uno stato di singoletto di colore, costituiscono un mesone, l interazione forte che li lega diventa più intensa al crescere della distanza. Quando l energia spesa raggiunge un valore limite, tale da separare il quark e l antiquark, si ha la creazione dal vuoto di un altra coppia quark-antiquark e la formazione di un altro mesone. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 3/35

Il modello a quark, le basi Siano {ψ α(x)} e {ψᾱ(x)} gli insiemi di funzioni d onda soluzioni delle equazioni del moto del campo di quark e antiquark, caratterizzati dagli insiemi di numeri quantici α e ᾱ, interagenti secondo un dato modello dinamico. Un generico operatore di campo dei quark ψ(x) può essere rappresentato dalla serie di Fourier in termini di {ψ α(x)} e {ψᾱ(x)} ψ(x) = α (ψ α(x)b(α)e ieαt + ψᾱ(x)d (ᾱ)e ie ᾱt ) b(α) e d (ᾱ) sono gli operatori di distruzione e creazione, E α e Eᾱ sono le energie. I quark sono fermioni a spin 1/2, si hanno quindi le relazioni di anticommutazione { b(α), b (α ) } = δ αα {b(α), b(α )} = 0 { d(ᾱ), d (ᾱ ) } = δ αα {d(ᾱ), d(ᾱ )} = 0 { b(α), d (ᾱ ) } = 0 Assumiamo che al primo ordine perturbativo l interazione descritta dal modello dinamico sia indipendente dallo spin e dal colore. Le interazioni dipendenti dal colore sono trattate come perturbazioni di ordine superiore. Al primo ordine, le funzioni d onda spaziali, di spin e di colore sono fattorizzabili. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 4/35

Il modello a quark, la notazione Numeri quantici α = ( n, s, m s, q, k ) n spaziale (0, 1,...); (s, m s) modulo e componente dello spin [(1/2, ±1/2)]; q sapore (u, d, s); k colore (1, 2, 3). Considerando solo lo stato fondamentale spaziale (n = 0) e avendo solo s = 1/2, per gli operatori di distruzione (creazione) si usa la notazione compatta b ( ) (n = 0, 1/2, m s, q, k) q ( ) k,m s d ( ) (n = 0, 1/2, m s, q, k) q ( ) k,m s Tutti gli adroni sono definiti in uno spazio di Fock definito dagli operatori di creazione e distruzione dei quark. Si definiscono adroni leggeri quelli i cui quark appartengono all insieme {u, d, s, u, d, s}. Gli adroni leggeri sono caratterizzati dai numeri quantici Spin ( S 2, S 3 ) ; Isospin ( T 2, T 3 ) ; Ipercarica Y ; Numero barionico B. La carica elettrica Q e la stranezza S si ottengono dalle relazioni Q = T 3 + Y /2 S = Y B S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 5/35

Il modello a quark, le simmetrie Si chiamano quark e antiquark di valenza di un dato adrone, i quark e gli antiquark che ne determinano i numeri quantici. I barioni, q 3, hanno tre quark di valenza e spin: S = 1/2, 3/2. I mesoni, qq, hanno un quark e un antiquark di valenza e spin: S = 0, 1. Assumendo che i tre quark leggeri abbiano massa identica, m u = m d = m s, il modello a quark possiede la simmetria SU(3) F di sapore. Quark e adroni sono organizzati in multipletti di sapore. I quark e gli antiquark sono descritti dalle rappresentazioni di tripletto 3 e 3. 3: Quarks Y d 1/2 u 3 : Antiquarks Y s 1/2-1/2 1/2-1/2 1/2 T 3 T 3-1/2 s u -1/2 d S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 6/35

Il modello a quark, i multipletti dei mesoni Le rappresentazioni dei mesoni, qq, si ottengono dai prodotti del tripletto dei quark e dell antitripletto degli antiquark 3 3 = 8 1 Tutti gli adroni dello stesso multipletto hanno lo stesso numero quantico di spin S e di parità P (funzione d onda spaziale). Si ha degenerazione, ci sono due stati dell ottetto con (T 3, Y ) = (0, 0). Nel caso dei mesoni pseudoscalari (vettori), i due stati sono π 0 e η 8 (ρ 0 e ω). Lo stato pseudoscalare (vettore) di singoletto η 1 (φ), ha anch esso (T 3, Y ) = (0, 0). Funzione d onda del mesone vettore ρ + ρ + = 1 3 u 3 k d k 0 k=1 Mesoni pseudoscalari (vettori) J P = 0 (1 ) (K ) Y = S K 0 (K 0 ) K + (K + ) π (ρ ) π 0 (ρ 0 ) η π + (ρ + 8 (ω) ) η 1 (φ) K K 0 (K 0 ) T 3 Q = 1 Q = 0 Q = +1 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 7/35

Il modello a quark, i multipletti dei barioni Le rappresentazioni dei barioni, q 3, si ottengono dai prodotti di tre tripletti di quark 3 3 3 = 10 8 8 1 I nucleoni appartengono all ottetto. I quark e gli antiquark sono tripletti e antitripletti di SU(3) C di colore. Tutti i barioni e i mesoni sono singoletti di SU(3) C di colore. Il barione a spin 3/2 più leggero è il ++, ha tre quark u di valenza, quindi la funzione d onda ++ = 1 3 ɛ ijk u 6 i u j u k 0 i,j,k=1 J P = 3/2 + Y = S + 1 0 + ++ Q = +2 Σ Σ 0 Σ + T 3 Q = +1 Ξ Ξ 0 Q = 0 Ω Q = 1 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 8/35

Il modello a quark, singoletto di colore La funzione d onda di un barione B è il prodotto delle quattro funzioni d onda: spaziale, di spin, di sapore e di colore B ijk = q i q j q k spazio q i q j q k spin q i q j q k sapore q i q j q k colore Poichè i quark sono fermioni, la funzione d onda B ijk è antisimmetrica per lo scambio di una qualsiasi coppia di quark, ad esempio B ijk = B jik Ne consegue che, se le funzioni d onda in cui B ijk è fattorizzata hanno parità definita rispetto allo scambio di una coppia di quark, un numero dispari di esse deve essere antisimmetrico. Il barione ++ ha: momento angolare totale J = S = 3/2 (L = 0); tre quark u di valenza; parità (spaziale) P = +1. Queste caratteristiche determinano la simmetria delle funzioni d onda. L = 0 = q i q j q k spazio è simmetrica; q i = q j = q k = u = q i q j q k sapore è simmetrica; S = 3/2 = q i q j q k spin è simmetrica. Ne consegue che la funzione d onda di colore deve essere antisimmetrica q i q j q k colore = 1 6 3 i,j,k=1 ɛ ijk u i u j u k S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 9/35

Il modello a quark, la base cartesiana 1 Le funzioni d onda degli adroni possono essere scritte anche in termini delle matrici di Gell-Mann {λ a} 8 a=1, generatrici del gruppo SU(3) F. Si definiscono i 8 campi cartesiani corrispondenti {φ a} 8 a=1, in relazione con i mesoni pseudoscalari secondo 1 8 λ aφ a = 2 a=1 1 2 π 0 + 1 6 η 8 π + K + π 1 2 π 0 + 1 6 η 8 K 0 K K 0 2 6 η 8 Invertendo, si ottengono i campi pseudoscalari in funzione dei campi cartesiani π ± = φ 1 iφ 2 2 π 0 = φ 3 η 8 = φ 8 K ± = φ 4 iφ 5 2 K 0 = φ 6 iφ 7 2 K 0 = φ 6 + iφ 7 2 I campi dei pioni in notazione bra-ket sono π + = 1 [u 6 k d k u k d ] k 0 π = 1 ] [d 6 k u k d k u 0 k π 0 = 1 [ u 12 k u k + u k u k + d k d k d k d ] k 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 10/35

Il modello a quark, la base cartesiana 2 Gli 8 barioni dell ottetto del prodotto 3 3 3 = 10 8 8 1, si ottengono in termini degli 8 campi cartesiani {B a} 8 a=1 Σ ± = B 1 ib 2 2 Σ 0 = B 3 Λ = B 8 p = B 4 ib 5 2 n = B 6 ib 7 2 Ξ 0 = B 6 + ib 7 2 Ξ = B 4 + ib 5 2 I campi dei nucleoni e del Λ in notazione bra-ket sono p = 1 18 n = 1 18 Λ = 1 12 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 3 i,j,k=1 [ ] ɛ ijk u i d j u i d u j k 0 [ ] ɛ ijk d i u j d i u d j k 0 [ ] ɛ ijk u i d j u i d s j k 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 11/35

Il modello a quark, le osservabili In virtù della fattorizzazione dei gradi di libertà spaziali, di spin, di sapore e di colore, i numeri quantici degli adroni si ottengono a partire da quelli dei quark costituenti. Indicando con N q l operatore che di numero del quark q e con N q l autovalore corrispondente, gli operatori: numero barionico, terza componente dell isospin, ipercarica e carica elettrica sono B = 1 ( Nu + N d + ˆN s N 3 u N d ˆN ) s T 3 = 1 ( Nu ˆN d ˆN 2 u + ˆN ) d Ŷ = 1 ( Nu + N d 2 ˆN s N 3 u N d + 2 ˆN ) s Q = 1 (2 N u N d ˆN s 2 N 3 u + N d + ˆN ) s Gli autovalori B, T 3, Y e Q si ottengono dagli autovalori N u in base alle stesse relazioni algebriche. Ad esempio il numero barionico ) B = (N u + N d + N s N u N d N s /3 L operatore di spin S = q σ msm k,m s s q k,ms 2 q=u,d,s m s,m s S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 12/35

La funzione d onda spaziale, la scala Lo stato fondamentale ha una funzione d onda spaziale isotropa: ψ(x) = ψ(r, t). Modelli diversi forniscono funzioni d onda spaziali diverse, ψ modj (x). Il vincolo sull estensione spaziale e la condizione di normalizzazione d 3 x ψ mod j (x)ψ modj (x) = 1 fanno si che tali funzioni d onda siano simili, ψ modj (s) ψ modk (x). L estensione spaziale della funzione d onda di un dato adrone viene determinata sperimentalmente. Ad esempio, nel caso del protone si considera il raggio carico quadratico medio r 2 1/2 protone = 0.8751 ± 0.0061 fm Densità di probabilità dei quark nei barioni. p(r) Il Bag model e l oscillatore armonico con α = 0.17 GeV 2, sono ottenuti usando i valori sperimentali delle osservabili degli stati fondamentali barionici. L oscillatore armonico con α = 0.049 GeV 2 si ricava usando le probabilità di decadimento dei barioni eccitati. O. A. α = 0.049 GeV 2 O. A. α = 0.17 GeV 2 Bag model r = 1 fm r (fm) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 13/35

La funzione d onda spaziale relativistica Lo spinore di Dirac dello stato fondamentale in un potenziale centrale non dipendente dallo spin. ( ) i a(r) χ Ψ(x) = e b(r) σ ˆr χ iet le funzioni a(r) e b(r) descrivono le coppie di componenti alte e basse. Il carattere relativistico del moto dei quark nell adrone è descritto dalle due componenti basse dello spinore Ψ(x). Nel caso di modelli non relativistici si pone semplicmente b(r) = 0. Il moto dei quark negli adroni leggeri è relativistico. Infatti i momenti dei quark, che si ottengono con il principio di indeterminazioni di Heisenberg, considerando il raggio adronico R = 1 fm, sono maggiori delle loro masse. p 3R 1 = 3 hc 341.78 MeV 1 fm m u 2 MeV m d 5 MeV m s 100 MeV Un ulteriore conferma dell importanza degli effetti relativistici nei modelli a quark degli adroni leggeri, è data dall entità delle differenze tra le masse degli stati eccitati e gli stati fondamentali adronici. Infatti tali differenze sono M 400 MeV, e quindi maggiori delle masse dei quark costituenti. In sistemi non-relativistici le energie di eccitazione dovrebbero essere piccole rispetto alle masse. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 14/35

Modelli a potenziale Il modello a potenziale si basa sull assunzione che i quark che costituiscono gli adroni siano non-relativistici. Usando il principio di indeterminazione di Heisenberg, dalle dimensioni spaziali degli adroni, si evince che i momenti dei quark sono non-relativistici solo per i sapori più pesanti, ovvero per i quark b, c e t. L uso dei modelli a potenziale diventa lecito anche nel caso dei quark leggeri, assumendo che l interazione forte vesta i quark con una nube di gluoni e mesoni (coppie qq) conferendo loro una massa dinamica tale da renderli non-relativistici. I sistemi formati dall insieme del quark e dalla nube di gluoni e mesoni si chiamano quark costituenti e le loro masse sono dette masse costituenti. Rappresentano i gradi di libertà dinamici del modello. Le funzioni d onda e gli spettri energetici degli adroni si ottengono risolvendo equazioni di Schrödinger non-relativistiche per i quark costituenti. Le esemplificazioni fatte portano, in alcuni casi, ad inconsistenze. Ad esempio, anche usando le masse costituenti e le equazioni non relativistiche, si possono ottenere momenti relativistici per i quark. Ciononostante, i modelli a potenziale rappresentano validi strumenti per descrivere gli spettri adronici, in termini dei quark che li costituiscono. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 15/35

Modelli a potenziale, il colore M h è la massa dell adrone, M k, k = 1,..., n, le masse costituenti e E h l energia di legame, si ha la relazione Le energie E h si ottengono dall equazione agli autovalori n ( r kj = r k r j ) Hψ h = k=1 p 2 k 2M k + k<j M h = n k=1 M k + E h V col ( r kj ) ψ h = E h ψ h Il potenziale inter-quark, che dipende dal colore, è definito come somma di potenziali a due corpi, quark-quark o quark-antiquark. I potenziali V col, che non sono calcolabili in QCD, hanno le seguenti proprietà a grande distanza sono confinanti e indipendenti dallo spin e dal sapore; a corto raggio dipendono dallo spin e dal sapore. Il potenziale a due corpi, V col, dei mesoni, interazioni qq, ha un potere legante doppio di quello dei barioni, interazioni qq. La coppia quark-antiquark in un mesone si trova nella rappresentazione di singoletto di colore, R = 1. Il potenziale è proporzionale all invariante di Casimir C 2 (1). Ogni coppia quark-quark in un barione si trova nella rappresentazione di anti-tripletto di colore, R = 3, cosicché con il tripletto del quark rimanente si possa formare un singoletto. Il potenziale è proporzionale all invariante di Casimir C 2 (3 3 ). V col C 2 (1) = 4 3 V col C 2 (3 3 ) = 2 3 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 16/35

Modelli a potenziale per i mesoni L equazione di Schrödinger per il sistema qq, considerando il moto relativo è ( p 2 ) 2M + V ( r) M 1 = Mq 1 + M 1 ψ h ( r) = E h ψ h ( r) q r = r q r q Le autofunzioni ψ h ( r) sono classificate in base al numero quantico radiale n e ai numeri quantici: di spin S, del momento angolare orbitale L, di quello totale J e della sua terza componente J 3. S = s q + s q J = L + S Per gli stati dei mesoni si usa la notazione spettroscopica 2S+1 L J (J PC ) I numeri quantici di parità e coniugazione di carica sono P = ( 1) L P qp q = ( 1) L+1 C = ( 1) L+S P q e P q sono le parità intrinseche del quark q e dell antiquark q, sono opposte in quanto i quark sono fermioni. Ci sono infiniti autostati. Le configurazioni in onda S, P e D sono L singoletto tripletto 0 1 S 0 (0 + ) 3 S 1 (1 ) 1 1 P 1 (1 + ) 3 P 0,1,2 (0 ++, 1 ++, 2 ++ ) 2 1 D 2 (2 + ) 3 D 1,2,3 (1, 2, 3 ) Si chiamano naturali gli stati con J P = 0 +, 1, 2 +,.... Si chiamano innaturali gli stati con J P = 0, 1 +, 2,.... S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 17/35

Mesoni esotici Nell ambito del modello a quark non tutte le configurazioni J PC sono realizzabili per uno stato legato qq. Gli stati mesonici relativi alle configurazioni non realizzabili si chiamano esotici. Lo stato con J PC = 1 + è esotico. La parità negativa, P = 1, implica L = 0, 2. Valori L 4 non sono permessi poiché, composti con lo spin S = 0 o S = 1, darebbero: J = L S, L S + 1,..., L + S 3, mentre si ha J = 1. Con L = 0, avendo J = 1, si deve avere S = 1, e quindi coniugazione di carica C = ( 1) L+S = ( 1) 0+1 = 1. Con L = 2, si ha S = 1 e ancora coniugazione di carica negativa, infatti C = ( 1) L+S = ( 1) 2+1 = 1. Sono esotici tutti gli stati con CP = 1 e con: J PC = 0 +, 1 +, 2 +,... { P = ( 1) J C = ( 1) J+1 Infatti, dall espressione CP = ( 1) S+1, con parità negativa si deve avere: S = 0. Se lo spin totale è nullo il momento angolare totale e quello orbitale coincidono, J = L. Infine, si ottiene la parità P = ( 1) L+1 = ( 1) J+1, opposta a quella dello stato esotico. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 18/35

Modelli a potenziale per i barioni 1 L hamiltoniano per i barioni, q 3, stati legati di tre quark. H = 1 2M 3 p k 2 + 1 V ( r kj ) 2 k=1 k<j Dove si è assunto che i tre quark abbiano la stessa massa M e si è usato il potenziale barionico opportunamente scalato per il fattore di colore 1/2. La procedura risolutiva consiste nell estrarre da V ( r kj ) la componente di oscillatore armonico e nel trattare perturbativamente la componente non armonica. V ( r kj ) = V OA (r kj ) + U( r kj ) V OA (r kj ) = k 2 r 2 kj Una volta rimosso il moto del centro di massa, si ottiene, al primo ordine dello sviluppo perturbativo della componente non armonica U( r kj ), l hamiltoniano separato nelle coordinate interne ρ e λ. ( ) ( p 2 ρ H 0 = M + 3k p 2 2 ρ2 + λ M + 3k { λ 2) ρ = ( r1 r 2 )/ 2 2 λ = ( r1 + r 2 2 r 3 )/ 6 Si tratta di due oscillatori armonici con la stessa costante elastica 3k. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 19/35

Modelli a potenziale per i barioni 2 Il numero quantico energetico N 0 dell hamiltoniano H 0 si ottiene come somma dei numeri quantici dei due oscillatori armonici. N 0 = N ρ + N λ Il momento angolare orbitale totale è la somma dei momenti orbitali interni, relativi alle coordinate ρ e λ. Lo spin totale è la somma degli spin dei tre quark costituenti. Il momento angolare totale. J = L + S = Lρ + L λ + 3 s k La funzione d onda dello stato fondamentale ( ψ 0 ( r 1, r 2, r 3 ) = (3kM)3/4 ( π 3/2 exp i P R ) exp 3kM ρ2 + ) λ 2 2 k=1 P e R sono il momento e il vettore posizione del centro di massa. I potenziali armonici non permettono di descrivere i valori sperimentali delle masse dei barioni, rappresentano comunque validi punti di partenza per formalizzare la teoria. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 20/35

Verifica sperimentale del fattore di colore È possibile verificare sperimentalmente il fattore di colore 1/2, tra i potenziali a due corpi per i mesoni e per i barioni, che si ottiene da considerazioni teoriche basate sul gruppo di simmetria del colore SU(3) C. Le differenze di massa: M M = ρ π e M B = p, tra mesoni e barioni con gli stessi quark costituenti possono essere descritte in termini dell interazione iperfine spin-spin di QCD. L hamiltoniano ha la forma del potenziale iperfine di QED. H iperfine = K M,B O col kj s k s j δ (3) ( r) k<j La dipendenza dal colore è data dalle costanti K M,B rispettivamente per mesoni e col barioni. Considerando solo quark leggeri con masse identiche, i coefficienti O kj risultano indipendenti dalla natura dell adrone. I prodotti degli spin per i mesoni e i barioni. { 3/4 S = 1/2 = 3/4 S = 3/2 { 3/4 S = 0 = 1/4 S = 1 s 1 s 2 = 2 S 2 3 s k s j = 4 S 2 9 4 8 k<j Usando i valori sperimentali dei raggi quadratici medi e delle masse. ( ) M M M (1/4 + 3/4)K col = ψ M (0) 2 M 2K col r 2 3/2 B M B (3/4 + 3/4)K col B ψ = B (0) 2 3K col B r 2 M Kcol M Kcol B 2 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 21/35

Regole di somma della QCD I gradi di libertà della QCD a bassa energia, lungo raggio, non sono i quark e i gluoni, ovvero i campi fondamentali che compaiono nella lagrangiana, bensì gli adroni leggeri. È nel regime di alta energia, a corto raggio, in cui la QCD è asintoticamente libera, che i campi fondamentali dei quark e dei gluoni possono essere usati per calcolare perturbativamente le ampiezze. Le regole di somma della QCD rappresentano una connessione tra questi due regimi basata sul formalismo delle relazioni di dispersione. Nonostante le relazioni di dispersione rappresentino un rigoroso strumento matematico, le regole di somma della QCD si basano anche su approssimazioni e procedure intuitive, che non hanno derivazioni formali nell ambito della QCD. Il grado di approssimazione che le caratterizza non ha impedito un ampio e proficuo utilizzo del regole di somma in vari ambiti della QCD. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 22/35

Le funzioni di correlazione Si definisce il tensore di correlazione della corrente J µ (x). i La corrente J µ (x) è un bilineare nei campi dei quark q(x) e q (x), contratti con una combinazione di matrici di Dirac Γ µ. d 4 x e iqx 0 T ( ) J µ (x)j ν (0) 0 J µ (x) = q(x)γ µ q (x) Il tensore di correlazione è definito da una funzione Π(q 2 ) scalare di Lorentz detta funzione di correlazione. ( q µ q ν g µν q 2) ( ) Π(q 2 ) = i d 4 x e iqx 0 T J µ (x)j ν (0) 0 La funzione di correlazione può essere ottenuta con una relazione di dispersione, come il prolungamento analitico di una funzione spettrale, che ne rappresenta la parte immaginaria sul bordo superiore di un taglio, (s 0, ), lungo il semiasse reale positivo nel piano complesso q 2. Π(q 2 ) = 1 π s 0 Im (Π(s)) s q 2 iɛ ds Im(s) s 0 Re(s) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 23/35

La rappresentazione spettarle 1 La funzione spettrale può essere ottenuta attraverso la definizione dell ordinamento temporale in termini dell integrale nel piano complesso s con kernel (s q 2 iɛ) 1. ( q µ q ν g µν q 2) ( ) Im Π(q 2 ) = 1 d 4 x e iqx 0 J µ (x)j ν (0) 0 2π Inserendo un insieme completo di stati intermedi { n }, la funzione spettrale è esprimibile come la serie delle singolarità della funzione di correlazione. ( ) Im Π(q 2 ) = (2π) 3 δ (4) (p n p) 0 J(x)J (0) 0 2 n Per assicurare la convergenza dell integrale, si usa una relazione di dispersione sottratta N volte. ( q Π(q 2 2 ) N N 1 Im (Π(s)) ) = π s 0 (s q 2 iɛ)s N ds + ( a k q 2) k k=0 In generale la funzione spettrale è una quantità misurabile. Usando, quindi, i suoi valori sperimentali nell integrale delle relazioni di dispersione è possibile calcolare fenomenologicamente la funzione di correlazione. Ad esempio: la funzione spettrale Im ( Π V,s (q 2 ) ) che rappresenta il contributo sγ µ s alla corrente vettoriale qγ µ q, è data dalla sezione d urto totale σ e + e stranezza. ( ) Im Π V,s (q 2 ) = 9q2 16π 2 α 2 σ e + e stranezza (q2 ) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 24/35

La rappresentazione spettarle 2 La funzione spettrale Im ( Π M (q 2 ) ) che rappresenta il contributo in un mesone, descritto da una risonanza stretta, ha la forma di una delta di Dirac nella massa al quadrato del mesone, MM 2. ( ) Im Π M (q 2 ) = 2FM 2 M4 M δ(q2 MM 2 ) F M è la costante di decadimento del mesone. Ad alta energia, q 2, la funzione spettrale è dominata dai contributi non risonanti del continuo. Nel regime perturbativo della QCD si usano le leggi di potenza. ( ) Im Π(q 2 ) q 2 ( ) Im Π cont (q 2 ) (q 2) n s c q 2 s a q 2 > s a In generale, quando possibile, al fine di evitare la dipendenza da comportamenti asintotici non pienamente sotto controllo, si usano relazioni di dispersione con molte sottrazioni, tali da sopprimere i contributi ad alti q 2. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 25/35

Prodotti operatoriali La trasformata di Fourier del prodotto temporalmente ordinato delle correnti può essere espressa come serie di operatori locali di QCD {O n}. ( ) i d 4 x e iqx T J µ (x)j ν (0) = C n(q 2 )O n n Gli operatori O n sono ordinati in base alla dimensione e contengono solo i campi fondamentali di QCD, quark e gluoni. O 0 = I, O 1 = m qqq, O 2 = G a µν Gµνa,... Le funzioni scalari C n(q 2 ), dette coefficienti di Wilson, hanno espressioni perturbative in α s note. C n(q 2 ) = C 0 n(q 2 ) + C 1 n(q 2 )α s(q 2 ) + La funzione di correlazione ha, quindi, un espressione in termini di una serie di valori di aspettazione nel vuoto degli operatori di QCD {O n}, ovvero dei condensati di quark e gluoni. Π(q 2 ) = n C n(q 2 ) O n 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 26/35

La connessione Si arriva ad un equazione che connette le due espressioni, fenomenologica a lungo raggio e in termini dei condensati a corto raggio, e quindi i due regimi della QCD. ( q 2 ) N N 1 Im (Π(s)) π s 0 (s q 2 iɛ)s N ds + ( a k q 2) k = C n(q 2 ) O n 0 k=0 n per i valori di q 2 in cui le due descrizioni a lungo e corto raggio sono valide. Al fine selezionare i contributi a lungo raggio e rimuovere la dipendenza dalla costanti {a k } si usa l identità per il momento n-esimo. M n(q 2 ) = 1 d n Π(q 2 ) n! d(q 2 ) n = 1 π Im (Π(s)) (s q 2 ds iɛ) n+1 s 0 L integrale delle relazioni di dispersione può essere espresso come trasformazione di Borel riscrivendone il kernel nei limiti q 2, n. n(q 2 ) n (s q 2 ) n+1 = n ( s q 2 1 s/q 2) n e s/τ τ = q2 n, q 2 τ n L indentità che si ottiene non contiene le costanti {a k } ed è valutata nel limite asintotico space-like q 2. ( q 2 ) 2(n+1) M n(q 2 1 ) n, q 2 π e s/τ Im (Π(s)) ds s 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 27/35

La procedura delle regole di somma Selezionare una corrente, definirne la funzione di correlazione e la relazione di dispersione. J = q(x)γq (x) Π(q 2 ) = i ( ) d 4 x e iqx 0 T J(x)J (0) 0 Π(q 2 ) = 1 π s 0 Im (Π(s)) s q 2 iɛ ds Definire la funzione spettrale attraverso un modello fenomenologico che si basi su quantità misurabili, in genere, sezioni d urto (K (q 2 ) è un fattore cinematico). ( ) Im Π(q 2 ) = K (q 2 )σ e + e H (q2 ) Ottenere l espressione della funzione di correlazione per mezzo di una serie di valori di aspettazione nel vuoto di operatori locali di QCD e i corrispondenti coefficienti di Wilson. Π(q 2 ) = n C n(q 2 ) O n 0 Confrontare le due descrizioni, facendo uso di trasformazioni differenziali, per estrarre i parametri fenomenologici della funzione spettrale e dello stato adronico in studio. ( q 2 ) 2(n+1) M n(q 2 1 ) n, q 2 π e s/τ Im (Π(s)) ds s 0 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 28/35

La massa del quark c La massa del quark c può essere ottenuta studiano la funzione di correlazione della corrente J µ ch (x) = c(x)γµ c(x). (q µ q ν g µν q 2 )Π ch (q 2 ) = i d x e iqx 0 T ( ) J µ ch (x)jν ch () 0 Il momento n-esimo della relazione di dispersione. M n,ch (q 2 ) = 1 d n Π ch (q 2 ) n! d(q 2 ) n = 1 Im (Π ch (s)) π s 0 (s q 2 ds ) n+1 La funzione spettrale è scritta in termini della sezione d urto di produzione cc in annichilazione e + e. Im ( ) Π ch (q 2 ) = 9q2 64π 2 α 2 σ e + e charm (q2 ) Il momento n-esimo espresso come serie operatoriale in termine dei coefficienti {C n}, noti ad ordini superiori in α s. Il valore della massa rinormalizzata. M OPE n,ch (q2 = 0) = ( m 1 c(m c)= 2 t C n M n,ch (0) Cn (4m 2 c) n ) 1 2n 1.28 GeV S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 29/35

Charmonium Il quarkonium è lo stato legato QQ di due quark pesanti c e b. Il quark t non forma stati legati tt. A causa della sua massa molto grande, il decadimento debole avviene prima che lo stato tt possa formarsi. Con la notazione spettroscopica, in termini dei numeri quantici n, L, S, J gli stati cc e bb più leggeri sono: Sono stati osservati 6 stati eccitati Υ(nS) e 4 ψ(ns). Le energie di eccitazione sono E c 0.8 GeV e E b 2.5 GeV. L S charmonium bottomonium 0 1 ψ(ns) Υ(nS) 0 0 η c(ns) η b (ns) 1 1 χ cj (np) χ bj (np) 1 0 h c(np) h b (np) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 30/35

Potenziali fenomenologici 1 I modelli a potenziale descrivono gli spettri di QCD in termini degli autovalori di equazioni di Schrödinger non relativistiche. Le masse dei quarkonia M nlsj seguono leggi lineari nell energia di legame E nlsj M nlsj = 2m Q + E nlsj m Q è la massa del quark pesante. I potenziali sono definiti sulla base di considerazioni teoriche e fenomenologiche. La distribuzione degli stati legati in funzione del numero quantico n, con il momento angolare L fissato, suggerisce che il potenziale sia radiale, con una componente Coulombiana ed una lineare. La forma più semplice che soddisfi queste richieste è V (r) = b r a r + V 0 La componente Coulombiana a/r descrive l interazione quark-antiquark a corto raggio, dovuta allo scambio di un singolo gluone. La componente lineare br rappresenta il potenziale confinante e può essere interpretata in termini del modello di stringa degli adroni. Il parametro b, detto tensione di stringa, vale b 0.18 GeV 2 e genera una forza di richiamo di circa 15 tonnellate. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 31/35

Potenziali fenomenologici 2 Potenziale di Richardson Potenziale di Cornell V Rich (r) = (0.18 GeV 2 ) r 0.52 r V Corn (r) = 64π2 27 F r ( 1 ) q 2 ln 1 + q 2 (0.4 GeV 2 ) Legge di potenza V Power (r) = (6.87 GeV) (r/r 0 ) 1/10 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 32/35

Decadimenti dei quarkonia, l annichilazione 1 Tutti i quarkonia sono instabili, decadono via annichilazione in coppie di leptoni, radiativamente, con emissione di un fotone, o adronicamente. I quarkonia con massa minore della soglia DD, open-charm, non potendo decadere fortemente, sono risonanze strette, Γ( 3 S 1 ) kev. I quarkonia con massa M > 2M D sono, invece, risonanze larghe, Γ( 3 S 1 ) MeV. Consideriamo un coppia QQ, di massa m, in uno stato 1 S 0, con coniugazione di carica C = ( 1) L+S = +1, che si annichila in una coppia di fotoni, con C γγ = C 2 γ = ( 1) 2 = +1. Q(p 1 ) Q(p 2 ) γ, g (q 1, ɛ 1 ) γ, g (q 2, ɛ 2 ) L ampiezza di Feynman è [ ] M = ie 2 v λ (p 1 ) /ɛ i 2 /p 1 /q 1 m /ɛ 1 + i /ɛ 1 /p 1 /q 2 m /ɛ 2 u λ (p 2 ) Sezione d urto totale nella gauge trasversa, ɛ 1 p 1 =ɛ 2 p 1 =0, in termini del flusso di Q, v 2. La quantità v 2 σ rappresenta il σ = 4πα2 tasso di transizione per leptone e per unità di volume. m 2 v 2 La densità di costituenti leptonici in uno stato legato con numero quantico n e funzione d onda Ψ n( x), è Ψ n(0) 2. Il tasso di decadimento è Γ( 1 S 0 γγ) = 4πα2 m 2 Ψn(0) 2 S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 33/35

Decadimenti dei quarkonia, l annichilazione 2 Con le correzioni di QCD al primo ordine in α s alla scala µ R = m c. Γ(ψ γγ) = 192πα2 Ψ n(0) 2 ( 27(2mc 2) 1 3.4 αs(mc ) ) ( Γ(ψ gg) = 32πα2 s (mc ) Ψn(0) 2 π 3(2mc 2) 1+4.4 αs(mc ) ) π Gli stati n 3 S 1, che hanno coniugazione di carica C = ( 1) L+S = 1, decadono in un numero dispari di fotoni. Il decadimento mediato dal singolo fotone produce uno stato finale con una coppia leptone-antileptone. Γ(ψ e + e )= 64πα2 Ψ n(0) 2 Le larghezze di decadimento dei quarkonia n 3 S 1 in tre bosoni di gauge: 3g, 2gγ, 3γ. Dai rapporti dei tassi di decadimento, che non dipendono da Ψ n(0) 2, si estrae il valore α s(m c). 9(2m 2 c) ( 1 16 3 ) α s(m c) π Γ(ψ 3g) = 160(π2 9)α 3 ( ) s (mc ) Ψn(0) 2 αs (mc ) 81(2m c 2 1 4.9 ) π Γ(ψ 3γ) = 4096(π2 9)α 3 Ψn(0) 2 ( ) αs (mc ) 2187(2m c 2 1 12.6 ) π Γ(ψ 2gγ) = 512(π2 9)αα 2 ( ) s (mc ) Ψn(0) 2 αs (mc ) 2187(2m c 2 1 1.7 ) π Le espressioni dei tassi di decadimento hanno limitazioni dovute alla mancanza di correzioni relativistiche e di ordine superiore in α s, nonché alla presenza di effetti non perturbativi, ad esempio nel canale 2gγ. S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 34/35

Decadimenti adronici Quarkonia eccitati 3 S 1 possono decadere negli stati fondamentali con emissione di mesoni pseudoscalari: ψ ψ + M, con M = π 0, η. Poiché questi decadimenti violano, rispettivamente, le simmetrie si sapore SU(2) e SU(3), hanno ampiezze proporzinali ai quadrati delle differenze di massa tra quark u e d, e tra u/d e s. La lagrangiana di interazione dipende linearmente dalla matrice delle masse [ ( L ψ ψm = g F πtr m U U )] ɛ µναβ µv ν αv β g è una costante, F π è la costante di decadimento del pione, m è la matrice delle masse, U è il campo esponenziale dei mesoni pseudoscalari e, V µ e V µ sono i campi dei quarkonia (mesoni vettori) ψ e ψ. Le ampiezze di Feynman, in termini dei 4-momenti k e k e dei vettori di polarizzazione ɛ e ɛ dei quarkonia ψ e ψ. Nel caso ψ(2s) J/Ψ π 0 e ψ(2s) J/Ψ η si ottiene il rapporto dei tassi di decadimento. Si estrae il rapporto tra le differenze di massa. M ψ ψπ 0 = 3g(mu m d ) ɛ µναβ k µɛ ν k α ɛ β M ψ ψη = 2g 3 (2m s m u m d ) ɛ µναβ k µɛ νk αɛ β Γ(ψ(2S) J/Ψ π 0 ) = 27 m u m d 2 p π 0 3 Γ(ψ(2S) J/Ψ η) 4 2m s m u m d p η m d m u m s (m u +m d )/2 = 0.0354(15) S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia La QCD, Dinamica del Modello Standard 35/35