Corso introduttivo pluridisciplinare Polinomi anno acc. 2013/2014 Univ. degli Studi di Milano Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 1 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali index 1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali 2 Divisione di polinomi 3 Riducibilità, fattorizzazione 4 Radici o zeri di un polinomio 5 Criteri di irriducibilità 6 Osservazioni Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 2 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali All interno del tema "Calcolo letterale, polinomi,... " il capitolo su cui concentrare la propria attenzione deve sicuramente essere quello dei polinomi in una variabile a coefficienti in Q o in R (U.M.I. - Matematica 2003 - Abilità e conoscenze matematiche per la Scuola Secondaria di secondo grado). Breve revisione teorica delle nozioni base dell argomento (spesso i libri di testo sono carenti da questo punto di vista). Finalità: scegliere la modalità giusta per introdurre l argomento in funzione del tipo di scuola e classe, aver sempre presente che lo studio dell algebra deve avere una finalità formativa, evitare di trasmettere l impressione che l algebra si riduca a una serie di regole, o, peggio, trucchetti. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 3 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali Definizione Un polinomio in una indeterminata a coefficienti nel campo K è un espressione della forma p(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n (che si scrive anche come p(x) = a 0 x + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ) ove n è un intero non negativo, a 0, a 1,, a n K e x è un simbolo puramente formale (le espressioni x i servono solo da "segnaposti"). Quando non diversamente specificato supporremo K = Q. Due polinomi p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n e q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b m x m si dicono uguali se (supponendo m n) si ha a 0 = b 0, a 1 = b 1, a 2 = b 2,, a m = b m e a i = 0, i > m. Ad esempio quindi 0 + 1x + 3x 2 = 0 + 1x + 3x 2 + 0x 3. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 4 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali L insieme dei polinomi a coefficienti in K viene denotato con K[x]. K viene visto come sottoinsieme di K[x] tramite l identificazione di a K con il polinomio Nel polinomio p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n, il massimo dei k( n) tali che a k 0 viene detto grado di p(x) e denotato con deg(p(x)). Il polinomio 0 + 0x + 0x 2 + + 0x n viene detto polinomio nullo, denotato con 0, e per convenzione si dice abbia grado 1. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 5 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali Si definiscono la somma e il prodotto di due polinomi p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n e q(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + + b m x m, con m n, come segue p(x) + q(x) = (a 0 +b 0 )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x 2 + +(a m +b m )x m +a m+1 x m+1 + +a n x n. p(x)q(x) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + (a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 )x 2 + + i+j=h a ib j x h + a n b m x n+m. Con queste operazioni K[x] risulta essere un anello commutativo, privo di divisori dello zero. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 6 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali Altre definizioni possibili 1) Polinomi come sequenze dei coefficienti 2) Polinomi come funzioni polinomiali 1) Si possono definire i polinomi senza far ricorso alla x. Un polinomio è allora una successione infinita di elementi di K (a 0, a 1, a 2,, a n, 0, 0,, 0), in cui tutti gli elementi, da un certo posto in poi, sono nulli. Questa definizione è del tutto equivamente a quella precedente. Ha il vantaggio di rendere più chiaro il fatto che le x i hanno solo significato simbolico. È meno comoda dal punto di vista operativo e non mette in luce il legame tra polinomio e funzione polinomiale (v. sotto) 2) Un polinomio individua una funzione (funzione polinomiale) p : K K. In generale però il polinomio non può essere identificato con la funzione polinomiale associata. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 7 / 25
Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali Ad esempio, nel caso K = Z 2, classi di resti modulo 2, i polinomi p(x) = x + 1 e q(x) = x 3 + 1 sono diversi, eppure p e q, come funzioni Z 2 Z 2, sono la stessa funzione. Lo stesso esempio mostra anche che, se si fa riferimento solo alla nozione di polinomio come funzione polinomiale, non si può parlare di grado di un polinomio. Nel caso di campi infiniti però due polinomi sono distinti se e solo se lo sono le rispettive funzioni polinomiali. La nozione di funzione polinomiale si presta meglio ad introdurre il concetto di zero o radice di un polinomio. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 8 / 25
index Divisione di polinomi 1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali 2 Divisione di polinomi 3 Riducibilità, fattorizzazione 4 Radici o zeri di un polinomio 5 Criteri di irriducibilità 6 Osservazioni Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 9 / 25
Divisione di polinomi Nell anello K[x] si sviluppa una teoria per molti aspetti parallela a quella dell anello Z degli interi (la nozione di grado permette di svolgere argomenti per induzione, analoghi a quelli con cui si dimostrano i teoremi per gli interi: ad es. teoremi di fattorizzazione unica,... ). Algoritmo della divisione per polinomi - Siano a(x), b(x) K[x], con b(x) 0. Allora esistono e sono univocamente determinati due polinomi q(x), r(x) K[x] tali che sia: 1 a(x) = b(x)q(x) + r(x); 2 il grado di r(x) sia minore di quello di b(x). q(x) e r(x) si dicono quoziente e resto della divisione di a(x) per b(x). Se r(x) = 0, si dice che a(x) è divisibile per b(x)., o che b(x) divide a(x). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 10 / 25
Divisione di polinomi Sempre in analogia con il caso degli interi, si può introdurre la nozione di massimo comun divisore. Un massimo comun divisore tra a(x) e b(x) è un qualsiasi polinomio d(x) K[x] tale che 1 d(x) divide a(x) e b(x) 2 se c(x) K[x] divide sia a(x) che b(x), allora divide anche d(x). Il massimo comun divisore è determinato a meno di una costante moltiplicativa non nulla, e può essere trovato (come per gli interi) con l algoritmo euclideo delle divisioni successive. Un massimo comun divisore in Q[x] tra a(x) = 12x 12x 2 e b(x) = 6x 2 è tanto 6x quanto x, o quanto 2 5 x. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 11 / 25
index Riducibilità, fattorizzazione 1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali 2 Divisione di polinomi 3 Riducibilità, fattorizzazione 4 Radici o zeri di un polinomio 5 Criteri di irriducibilità 6 Osservazioni Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 12 / 25
Riducibilità, fattorizzazione Un polinomio a(x) di grado > 0 si dice riducibile (in K[x]) se esistono due polinomi f (x), g(x) K[x] di grado positivo tali che sia a(x) = f (x)g(x); irriducibile in caso contrario. Il polinomio 25 + 25x 2 è irriducibile in R[x]. La nozione di riducibilità / irriducibilità si introduce solo per polinomi di grado positivo. La nozione di riducibilità dipende strettamente dal campo K in cui si prendono i coefficienti. x 2 2 è irriducibile in Q[x], ma riducibile in R[x]. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 13 / 25
Riducibilità, fattorizzazione Come nel caso degli interi si ha un teorema di fattorizzazione essenzialmente unica. Teorema - Ogni polinomio a(x) K[x] di grado n > 0 può essere scritto come prodotto di s 1 polinomi irriducibili (non necessariamente distinti). Inoltre se a(x) = p 1 (x)p 2 (x) p s (x) = q 1 (x)q 2 (x) q t (x) con p i (x), q j (x) polinomi irriducubili, allora s = t e si possono ordinare i fattori in modo che sia p i (x) = h i q(x), con h i K, i. Il termine più appropriato da usare è fattorizzare, non scomporre. Una fattorizzazione di 12x + 12x 3 in Q[x] è (12x)(1 + x 2 ) o anche, equivalentemente x(12 + 12x 2 ), oppure ( 6 7 x)(14 + 14x2 ). Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 14 / 25
index Radici o zeri di un polinomio 1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali 2 Divisione di polinomi 3 Riducibilità, fattorizzazione 4 Radici o zeri di un polinomio 5 Criteri di irriducibilità 6 Osservazioni Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 15 / 25
Radici o zeri di un polinomio Una radice o zero di a(x) K[x] è un elemento k K tale che, per la funzione polinomiale a : K K si abbia a(k) = 0. Teorema (di Ruffini) - Sia a(x) K[x] e k K. k è una radice di a(x) se e solo se il polinomio x k divide a(x). La regola di Ruffini è poco significativa: quello che conta è il teorema di Ruffini! (evitare di sottolineare eccessivamente la regola di Ruffini: Matematica 2003, l U.M.I.) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 16 / 25
index Criteri di irriducibilità 1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali 2 Divisione di polinomi 3 Riducibilità, fattorizzazione 4 Radici o zeri di un polinomio 5 Criteri di irriducibilità 6 Osservazioni Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 17 / 25
Criteri di irriducibilità Teorema fondamentale dell Algebra - Ogni polinomio in C[x] di grado 1 ha almeno una radice in C. Conseguenza: Un polinomio di grado n in C[x] è prodotto di n fattori lineari. Gli unici polinomi irriducibili in C[x] sono quelli di primo grado. Osservazione: Un polinomio p R[x] è anche un polinomio di C[x]. Se α è una radice complessa di p R[x] allora anche il numero α complesso coniugato di α è radice di p. Conseguenza: Un polinomio p R[x] di grado dispari ha almeno una radice in R. I polinomi irriducibili in R[x] hanno grado 2. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 18 / 25
Criteri di irriducibilità L anello degli interi Z non è un campo. Alcune delle proprietà viste sopra NON valgono per polinomi di Z[x] (in particolare non sempre si può effettuare la divisione). Ad ogni polinomio di Q[x] è possibile associare un polinomio di Z[x], moltiplicando tutti i coefficienti per il m.c.m. dei denominatori dei suoi coefficienti (in realtà, il polinomio così definito non è unico). Se p(x) = a 0 x 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n è un polinomio a coefficienti interi (con a n 0) e a b Q è radice di p(x) (con a, b primi tra loro), allora a divide a 0 e b divide a n. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 19 / 25
Criteri di irriducibilità ESEMPI La fattorizzazione in irriducibili di p(x) = 10x 4 7x 2 + 1 in Q[x] è (2x 2 1)(5x 2 1) in R[x] è ( 2x 1)( 2x + 1)( 5x 1)( 5x + 1) in Z 3 [x] è (x 2 + 1) 2 in Z 7 [z] è 2(5x 2 1)(x 2)(x 5) Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 20 / 25
index Osservazioni 1 Polinomi in una variabile a coefficienti razionali o reali 2 Divisione di polinomi 3 Riducibilità, fattorizzazione 4 Radici o zeri di un polinomio 5 Criteri di irriducibilità 6 Osservazioni Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 21 / 25
Osservazioni Relativamente all approccio didattico: dichiarare esplicitamente gli insiemi numerici in cui vivono le costanti e la variabile (non sempre nei testi è così): nel caso di polinomi a coefficienti letterali spiegare la differenza tra le lettere usate come coefficienti e l indeterminata; suggerire strumenti che aiutino gli studenti ad avere un controllo sulla materia (verifiche di corenza, ad esempio, controllare man mano grado, termini direttori, termini noti, radici,... ); evitare esercizi ripetitivi; Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 22 / 25
Osservazioni pretendere la verbalizzazione (giustificare i passaggi, esplicitare i ragionamenti,... ); fare attenzione a non trasmettere l impressione che l algebra sia una collezione di trucchetti e artifici (come già detto per i polinomi di una variabile); evitare di presentare gli esercizi di manipolazione (ad esempio i metodi di fattorizzazione) attraverso ricette da applicare; privilegiare sempre gli aspetti teorici della disciplina. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 23 / 25
Osservazioni Polinomi: caso di più variabili Anche in questo caso, ricordare che l oggetto matematico significativo è il polinomio (non il monomio!) Anche in questo caso, sono possibili diverse definizioni (non sempre tra loro equivalenti). Ci si può limitare a trattare qualche esempio. Ottima palestra e fonte di esempi: polinomi di secondo grado in due variabili a coefficienti reali (coniche). Necessità di dichiarare esplicitamente quali lettere rappresentano le indeterminate. Chiarire la differenza tra grado complessivo e grado in una variabile. Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 24 / 25
Osservazioni Aver presente che il concetto di polinomio è fondamentale per tutto il percorso scolastico: strutture algebriche funzioni razionali equazioni algebriche coniche e polinomi di secondo grado in due variabili curve algebriche concetto di retta tangente molteplicità di intersezione polinomi di Taylor integrazione di funzioni razionali Cristina Turrini (Univ. degli Studi di Milano) Corso introduttivo pluridisciplinare 25 / 25