Esercitazione del 8/0/01 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato barbato@math.unipd.it Esercizio 1. Sia X una v.a. aleatoria assolutamente continua con densità f X data da { 0 x < 0 f X x) = cxe x x 0 a) Determinare la costante c. b) Determinare la funzione di ripartizione F X. c) Determinare la funzione di rischio di F X. d) A quale distribuzione tra quelle viste a lezione) appartiene la distribuzione di X? Indicare i parametri della distribuzione. e) Calcolare E[X] e V ar[x]. Utilizzare il risultato del quesito d).) Esercizio. Sia X una v.a. aleatoria assolutamente continua con densità f X data da 0 x < 0 α x f X x) = 0 x < α 0 α x con α > 0. a) Determinare α. b) Determinare la funzione di ripartizione F X. c) Calcolare E[X]. d) Determinare la funzione di rischio di F X. e+) Sia Y una v.a. uniforme sull intervallo 0, 1), trovare una funzione g da 0, 1) in R non decrescente tale che posto Z = gy ) si abbia Z X. f) Calcolare E[gY )], utilizzando la formula per il calcolo di una funzione di variabile aleatoria assolutamente continua. Verificare che E[gY )] = E[X]) Esercizio 3. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X abbia una distribuzione bernoulliana di parametro p = 1 e che Y abbia invece una distribuzione esponenziale di parametro λ = 3. Sia infine 1
Z = X + Y e T = X Y. a) Calcolare il valore atteso di Z e di T. b) Calcolare la funzione di ripartizione di Z. c) Calcolare la funzione di ripartizione di T. d) Calcolare P Z > T ). Esercizio. Siano X 1, X e X 3 tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X 1 abbia una distribuzione binomiale Bn, p) di parametri p = 1 e n = che X abbia una distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = 1 e σ = 1 e che X 3 abbia invece una distribuzione di Poisson Pλ) di parametro λ = 1. Siano infine T = X 1 + X + X 3, Z = X 1 X X 3 e W = maxx 1, X, X 3 ). a) Calcolare il valore atteso e varianza di T. b) Calcolare il valore atteso e varianza di Z utilizzare la formula VARZ) = E[Z ] E[Z]) ). c) Calcolare P W < 1). d) Calcolare E[X 1 + X ) X + X 3 )]. Esercizio 5. Siano X 1, X e X 3 tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X 1 abbia una distribuzione bernoulliana di parametro p = 1 3 che X abbia una distribuzione binomiale Bn, p) di parametri p = 1 e n = 3 che X 3 abbia una distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = 1 e σ =. Siano infine T = X 1 + X + 3X 3, Z = maxx 1, X, X 3 ). a) Calcolare il valore atteso e la varianza di T. b) Calcolare P X 3 < X 1 ). c) Calcolare P Z > 1 ). d) Calcolare E[ 1 1+X ]. Esercizio 6. Sia x 1 =, x =, p = 1 e λ = 1. Siano X 1, X e X 3 tre variabili aleotorie indipendenti. Sia X 1 v.a. con distribuzione binomiale di parametri 3, p). Sia X v.a. con P X = x 1 ) = p e P X = x ) = 1 p. Sia X 3 v.a. con distribuzione esponenziale di parametro λ. Siano infine T = X 1 X X 3 e Z = X + X 3. a) Calcolare media e varianza di T. b) Calcolare E[e X 1+X ]. c) Calcolare P Z 1), P Z 3) e P Z 5). d) Calcolare F Z. Esercizio 7. Siano X 1, X e X 3 tre variabili aleatorie indipendenti. Sia X 1 v.a. con distribuzione bernoulliana di parametro p = 1. Sia X v.a. con distribuzione normale N µ, σ ) di parametri µ = 5 e σ = 3. Sia X 3 una variabile aleatoria discreta a valori in {, 7} con P X 3 = ) = 1 3
e P X 3 = 7) = 3. Siano infine T = X 1 X X 3 e Z = maxx 1, X, X 3 ). a) Calcolare media, varianza e momento del secondo ordine di X 3. b) Calcolare media e varianza di T. c) Calcolare P Z > 6). d) Calcolare E[X 1 X ) X 1 + X )]. Esercizio 8. Siano X 1, X e X 3 tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo inoltre che X 1 abbia una distribuzione bernoulliana di parametro p = 1 che X abbia una distribuzione esponenziale di parametro λ 1 = e che X 3 abbia una distribuzione di Poisson di parametro λ = 3. Siano infine T = X 1 X X 3, Z = X 1 + X + X 3 e W = min{x 1, X }. a) Calcolare il valore atteso e la varianza di T. b) Calcolare P Z < 1). c) Calcolare la funzione di ripartizione di W. d) Calcolare E[e X ]. Esercizio 9. Sia X 1, X e X 3 tre variabili aleotorie indipendenti. Sia X 1 v.a. con distribuzione uniforme su 0, ). Sia X v.a. normale di media µ = 3 e varianza σ =. Sia X 3 v.a. con distribuzione bernoulliana di parametro p = 1. Siano infine Z = X 1 + X + 7 X 3 e W = maxx 1, X 3 ). a) Calcolare media e varianza di Z. b) Calcolare E[X 1 ], E[X ]. E[X 3 3]. c) Calcolare E[X 3 X 3 + 1) X 3 + X )]. d) Calcolare P X 3 > X 1 ). e) Calcolare F W. Esercizio 10. Siano X e Y due variabili aleatorie indipendenti e sia Z := min{x, Y }. Supponiamo inoltre che X sia discreta con P X = 1) = 1, P X = ) = 1 e P X = 3) = 1 mentre Y sia una variabile aleatoria 3 6 continua con densità f Y : { cosy)+5 siny) y 0, f Y y) := π) 7 0 y / 0, π) a) Calcolare E[X]. b) Calcolare E[X ]. c) Calcolare V AR[X]. 3
d) Calcolare E[Y ]. e) Calcolare E[Y ]. f) Calcolare V AR[Y ]. g) Calcolare F X. Scrivere tutti i passaggi. h) Calcolare F Y. Scrivere tutti i passaggi. i) Calcolare P X < Y ). Scrivere tutti i passaggi. l) Calcolare F Z. Scrivere tutti i passaggi. Esercizio 11. Siano X, Y e Z tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo che X sia Poissoniana di parametro λ = 3, Y sia Binomiale di parametri n = e p = 1, mentre Z ha distribuzione normale di media µ = 0 e varianza σ = 1. a) Calcolare E[X + Y Z]. b) Calcolare E[XY Z]. c) Calcolare E[X + Y + Z ]. d) Calcolare E[X + Y ) ]. e) Calcolare P X + Y = 0). f) Calcolare P X Y = 0). g) Calcolare P Y Z = 0). h) Calcolare P Y Z > 0). i) Calcolare E[Y 6 ]. Scrivere tutti i passaggi. l) Calcolare P [X = Y ]. Scrivere tutti i passaggi. m) Calcolare P Z > Y ). Scrivere tutti i passaggi. Utilizzare φ0) = 0.5, φ1) = 0.813 e φ) = 0.9775) Esercizio 1. Siano X, Y e Z tre variabili aleatorie indipendenti. Supponiamo che X sia esponenziale di parametro λ =, Y sia uniforme sull intervallo 0, 10), mentre Z ha distribuzione discreta con P Z = 1) = 1, P Z = 0) = 1 e P Z = +1) = 1.
a) Calcolare E[X + Y + Z]. b) Calcolare E[XY Z]. c) Calcolare E[Z ]. d) Calcolare VAR[Z]. e) Calcolare E[X + Z) ]. f) Calcolare E[e Z ]. g) Calcolare E[e X+Z ]. h) Calcolare P Y < Z). i) Calcolare E[cosπZ)]. l) Calcolare P Y Z > ). Soluzioni Esercizio 1 a) c = 1 b) F X x) = { 0 x < 0 1 e x xe x x 0 c) ht) = t per ogni t 0 1+t d) X Gammaα =, λ = 1) e) E[X] =, V AR[X] =. Esercizio a) α = b) 0 x < 0 F X x) = x x 0 x < 1 x c) E[x] = 3 d) ht) = per ogni t 0, ) t e) gy) = y per ogni y 0, 1) Esercizio 3 a) E[Z] = E[X + Y ] = E[X] + E[Y ] = p + 1 = 1 + 1 = 5 λ 3 6 E[T ] = E[X Y ] = E[X] E[Y ] = p 1 = 1 1 = 1 λ 3 6 Dove la seconda uguaglianza segue dall indipendenza di X e Y. 5
b) F Z z) = P Z z) = P Z z, X = 0) + P Z z, X = 1) = P X + Y z, X = 0) + P X + Y z, X = 1) = P Y z, X = 0) + P 1 + Y z, X = 1) = P Y z, X = 0) + P Y z 1, X = 1) = P Y z) P X = 0) + P Y z 1) P X = 1) = F Y z) 0.5 + F Y z 1) 0.5 Sapendo che Y è esponenziale di parametro 3, si ha { 0 y 0 F Y y) = 1 e 3y y > 0 e dunque considerando i tre casi, z < 0, 0 z < 1 e z 1. 0 z < 0 F Z z) = 0.5 1 e 3z ) 0 z < 1 0.5 1 e 3z ) + 0.5 1 e 3z 1 ) z 1 c) F T t) = P T t) = P T t, X = 0) + P T t, X = 1) = P X Y z, X = 0) + P X Y t, X = 1) = P 0 t, X = 0) + P Y t, X = 1) = P 0 t) P X = 0) + P Y t) P X = 1) = P t 0) 0.5 + F Y t) 0.5 considerando i due casi, t < 0, e t 0 si ha: { 0 t < 0 F T t) = 0.5 + 0.5 1 e 3t ) t 0 d) P Z > T ) = P X + Y > X Y ) = P X + Y > X Y, X = 0) + P X + Y > X Y, X = 1) = P Y > 0, X = 0) + P 1 + Y > Y, X = 1) = P Y > 0) P X = 0) + P Y < 1) P X = 1) = 1 0.5 + 1 e 3 ) 0.5 = 1 0.5 e 3 6
Esercizio E[X 1 ] = np = 1 VARX 1 ) = np1 p) = 1 E[X 1] = np1 p) + n p = 3 E[X ] = µ = 1 VARX ) = σ = 1 E[X ] = σ + µ = E[X 3 ] = λ = 1 VARX 3 ) = λ = 1 E[X 3] = λ + λ = Dove E[X i ] può essere ottenuto anche come E[X i ] = E[X i ]) + VARX i ). a) E[T ] = E[X 1 + X + X 3 ] = E[X 1 ] + E[X ] + E[X 3 ] = 1 + 1 + 1 = 3 VART ) = VARX 1 + X + X 3 ) = VARX 1 ) + VARX ) + VARX 3 ) = = 1 + 1 + 1 = 5 =.5 b) c) P = P W < 1 E[Z] = E[X 1 X X 3 ] = E[X 1 ] E[X ] E[X 3 ] = 1 1 1 = 1 E[Z ] = E[X 1 X X 3] = E[X 1] E[X ] E[X 3] = 3 = 6 ) = P VARZ) = E[Z ] E[Z]) = 6 1 = 5 maxx 1, X, X 3 ) < 1 ) = P X 1 < 1, X < 1, X 3 < 1 ) = X 1 < 1 ) P X < 1 ) P X 3 < 1 ) = P X 1 = 0) P X < 1 ) P X 3 = 0) Utilizzando le definizioni di densità discreta per variabili binomiali e di Poisson si ha : P X 1 = 0) = 1 p) n = 1 P X 3 = 0) = e λ = e 1 Per calcolare P X < ) 1 bisogna ricondursi ad una normale standard: P X < 1 ) 1 X µ = P < µ ) X µ = P < 1 ) σ σ σ P X < 1 ) = 1 φ 1 ) = 0.3085 dunque P W < 1 ) = 1 0.3085 e 1 = 0.08 7
d) Prima di tutto osserviamo che le variabili X 1 + X ) e X + X 3 ) non sono indipendenti perché hanno entrambe X come addendo). Sviluppando il prodotto si ha: E[X 1 + X ) X + X 3 )] = E[X 1 X + X 1 X 3 + X + X X 3 ] = = E[X 1 X ] + E[X 1 X 3 ] + E[X ] + E[X X 3 ] = = E[X 1 ] E[X ] + E[X 1 ] E[X 3 ] + E[X ] + E[X ] E[X 3 ] = = 1 1 + 1 1 + + 1 1 = 5 Esercizio 5 E[X 1 ] = 1 3 VARX 1 ) = 1 3 3 = 9 E[X ] = 3 1 = 3 VARX ) = 3 1 1 = 3 E[X 3 ] = µ = 1 VARX 3 ) = σ = a) E[T ] = E[X 1 + X + 3X 3 ] = E[X 1 ] + E[X ] + 3E[X 3 ] = = 1 3 + 3 1 + 3 1 = 1 3 + 3 + 3 = 19 3 VART ) = VARX 1 +X +3X 3 ) = VARX 1 )+ VARX )+9 VARX 3 ) = = 353 + 3 + 36 = 9 9 b) P X 3 < X 1 ) = P X 3 < X 1 X 1 = 0)P X 1 = 0)+P X 3 < X 1 X 1 = 1)P X 1 = 1) = = P X 3 < 0 X 1 = 0)P X 1 = 0) + P X 3 < 1 X 1 = 1)P X 1 = 1) = = P X 3 < 0) 3 +P X 3 < 1) 1 3 = 3 P X3 1 < 1 ) + 1 3 P X3 1 < 1 1 ) = = 3 Φ 1 ) + 1 3 Φ 0) = )) 1 3 1 Φ + 1 3 Φ 0) 3 0.3085) + 1 3 1 = 0.3736 c) P Z > 1 ) = 1 P Z 1 ) = 8
1 P X 1 1 ) P X 1 ) P X 3 1 ) = 1 X3 1 1 P X 1 = 0) P X = 0) P 1 ) = = 1 ) 3 1 3 Φ 1 ) = 1 1 )) 1 1 1 Φ = 0.9666 d) [ ] 1 E = 1 + X 3 k=0 1 1 + k P X = k) = 1 1 8 + 1 3 8 + 1 3 3 8 + 1 1 8 = = 1 + 18 + 1 + 3 1 8 = 5 96 = 15 3 Esercizio 6 E[X 1 ] = np = 3 VARX 1 ) = np1 p) = 3 E[X 1] = 3 E[X ] = 3 VARX ) = 1 E[X ] = 10 E[X 3 ] = 1 λ = VARX 3) = 1 λ = E[X 3] = 8 Dove E[X ] = P X = ) + P X = ) = 3. E[X ] = P X = ) + P X = ) = 10 VARX ) = E[X ] E[X i ]) = 1 Mentre per X 1 e X si può utilizzare la formula E[X i ] = E[X i ]) +VARX i ). a) E[T ] = E[X 1 X X 3 ] = E[X 1 ] E[X ] E[X 3 ] = 3 3 = 9 E[T ] = E[X 1 X X 3] = E[X 1] E[X ] E[X 3] = 3 10 8 = 0 VART ) = E[T ] E[T ]) = 0 81 = 159 b) E[e X 1+X ] = E[e X1 e X ] = E[e X 1 ] E[e X ] Calcoliamo separatamente E[e X 1 ] E[e X ]. E[e X 1 ] = k e k P X 1 = k) = 9
= e 0 P X 1 = 0) + e 1 P X 1 = 1) + e P X 1 = ) + e 3 P X 1 = 3) = Dunque E[e X ] = k E[e X 1 ] = 1 + 3e + 3e + e 3 8 e k P X = k) = e P X = ) + e P X = ) = E[e X ] = e + e E[e X 1+X ] = 1 + 3e + 3e + e 3 e + e 8 c) Z = X +X 3. Prima di tutto osserviamo che X può assumere solo i valori e mentre X 3 è una v.a. a valori in 0, + ) con funaione di ripartizione: { 0 x 0 F X3 x) = 1 e λx x > 0 P Z 1) = P X + X 3 1) = = P X =, X + X 3 1) + P X =, X + X 3 1) = = P X =, + X 3 1) + P X =, + X 3 1) = = P X =, X 3 1) + P X =, X 3 3) = 0 Si procede in maniera analoga per P Z 3) P Z 3) = P X + X 3 3) = = P X =, X + X 3 3) + P X =, X + X 3 3) = = P X =, + X 3 3) + P X =, + X 3 3) = = P X =, X 3 1) + P X =, X 3 1) = = P X = ) P X 3 1) + P X = ) P X 3 1) = Calcoliamo infine P Z 5) = 1 1 e 1 1 ) + 1 0 = 1 e 1 P Z 5) = P X + X 3 5) = = P X =, X + X 3 5) + P X =, X + X 3 5) = = P X =, + X 3 5) + P X =, + X 3 5) = 10
= P X =, X 3 3) + P X =, X 3 1) = = P X = ) P X 3 3) + P X = ) P X 3 1) = = 1 1 3 e 1 ) + 1 1 1 e 1 ) = 1 e 3 + e 1 d) Procedendo in maniera analoga a quanto fatto per il punto c) si ottiene Esercizio 7 0 z < 1 e F Z z) = z z < z e +e 1 z z E[X 1 ] = p = 1 VARX 1 ) = p1 p) = 3 16 E[X 1] = p = 1 E[X ] = µ = 5 VARX ) = σ = 9 E[X ] = σ + µ = 3 E[X 3 ] = 6 VARX 3 ) = E[X 3] = 38 a) Dove E[X 3 ], E[X 3] e VarX 3 ) sono state ottenute tramite calcolo esplicito: E[X 3 ] = k k P X 3 = k) = 1 3 + 7 3 = 6 E[X 3] = k k P X 3 = k) = 16 1 3 + 9 3 = 38 VarX 3 ) = E[X 3] E[X 3 ] = 38 6 = b) Per l indipendenza delle variabili aleatorie si ha che la speranza del prodotto è uguale al prodotto delle speranze E[T ] = E[ X 1 X X 3 ] = E[X 1 ] E[X ] E[X 3 ] = = 1 5 6 = 15 VarT ) = E[T ] E[T ]) E[T ] = E[ X 1 X X 3 ) ] = E[ X 1 X X 3] = = E[X1] E[X] E[X3] = 1 3 38 = 19 11
VarT ) = 19 15 = 1067 c) P Z > 6) = P max{x 1, X, X 3 } > 6) = 1 P max{x 1, X, X 3 } 6) = = 1 P X 1 6, X 6, X 3 6) = 1 P X 1 6) P X 6) P X 3 6) = d) 1 1 F X 6) 1 3 = 1 φ 6 µ σ ) 3 = 1 φ 1 3 ) 3 0.79 E[X 1 X ) X 1 +X )] = E[X1 X)] = E[X1] E[X ] = 1 3 = 33.75 Esercizio 8 a) 3, 87 8 6 b) 3 e 3 e ) 0.036 c) F W w) = d) Esercizio 9 a) 17, 11 1 b), 13, 1 c) d) 1 8 e) F W w) = 0 w < 0 1 1 e w ) 0 w < 1 1 w 1 0 w < 0 w 0 w < 1 8 w 1 w < 1 w 1