Analisi statistica delle incertezze casuali Dott. Claudio Verona
Analisi statistica delle incertezza casuali Le misure ottenute con strumenti di misura, come detto, sono inevitabilmente affette da errori. Esistono però dei metodi, descritti dalla teoria degli errori, che servono a limitare al minimo l incidenza degli errori stessi sulle misure. Misure ripetute Sempre lo stesso valore, vuol dire che (incertezza misurando) M< S (incertezza strumentale) Valore del misurando diversi (ci troviamo in presenza di incertezze sperimentali), vuol dire che M> S. Cosa fare?
Errori casuali Quando si ripete la misura della stessa grandezza col medesimo strumento, nelle medesime condizioni e seguendo la stessa procedura, la presenza di varie cause di errore produce delle differenze tra il valore misurato ed il valore vero a volte in un verso (in eccesso) a volte nell altro (in difetto) in modo del tutto imprevedibile. In conseguenza di ciò, i risultati di misure ripetute (se lo strumento è abbastanza sensibile e usato correttamente) fluttueranno in maniera casuale in un certo intervallo, la cui ampiezza definisce la precisione delle misure stesse. Queste fluttuazioni vengono attribuite all errore casuale e sono spiegate con l impossibilità di riprodurre esattamente le stesse condizioni sperimentali (non riproducibilità intrinseca). Ciò è dovuto al fatto che le situazioni sperimentali, nonostante l operatore ponga la massima cura per riprodurle, variano in maniera imprevedibile e incontrollabile. Lo stesso operatore può contribuire all errore intervenendo in maniera sempre diversa nell uso dello strumento (non riproducibilità dello strumento+ osservatore).
Errori casuali e sistematici Errori casuali Un errore si dice casuale se viene commesso per semplice casualità (esso può essere trattato statisticamente). È un errore accidentale la lettura non in asse di uno strumento a scala, come ad esempio un termometro analogico. E un errore casuale interpolare la misura tra le incisioni di una scala graduata. È un errore accidentale il ritardo nello starter di un cronometro, azionato a mano, dovuto al tempo di reazione di chi esegue la misura. Errori sistematici Un errore si dice sistematico se è causato da uno strumento di misura difettoso(errata calibrazione dello strumento). Un cronometro tarato male, per esempio per difetto, avrà sempre la tendenza a stimare misure di tempo eccedenti rispetto alla realtà. Un righello deformato dal caldo non può offrire ovviamente una misura corretta. Perturbazioni esterne: Es: presenza di corpi estranei, come la polvere, interposti tra le ganasce di un calibro e l oggetto da misurare, il che porta a sovrastimare lo spessore. Generalmente gli errori sistematici possono essere individuati da una analisi attenta e da un corretto uso dello strumento e della procedura seguita nella misura ma non possono essere trattati statisticamente.
Precisione e accuratezza: errori casuali e sistematici.
Precisione e accuratezza: errori casuali e sistematici.
Errori casuali e la media Diversamente che nel caso dell errore sistematico, gli errori casuali determinano una certa distribuzione statistica simmetrica dei valori (vedremo poi la distribuzione normale o di Gauss) della grandezza intorno ad un valore particolare (la media aritmetica), e posseggono quindi certe regolarità statistiche, studiate nell ambito della teoria dell errore. Le incertezze di una grandezza possono essere stimati attraverso il concetto di deviazione standard.
Errori casuali e la media Dato uno strumento di misura con errore di sensibilità piccolo ( M> S Risoluzione) in modo da poter trascurare gli errori sistematici (errori strumentali) ed evidenziare solo gli errori casuali, vogliamo misurare una grandezza M. Effettuiamo misure ottenendo i valori x 1, x 2, x, nelle stesse condizioni sperimentali. Vogliamo però assegnare un valore alla grandezza M e ci chiediamo quindi quale sia il valore più attendibile x per M. on posso prendere un valore x i e scartare gli altri -1, per cui x dovrà dipendere da tutti i valori misurati. In maniera grafica posso rappresentare tutte le misure su un piano dove la coordinata è l indice della misura I (prima misura, seconda misura, terza ) e l ordinata è la misura stessa: (i, x i )
Errori casuali e la media x i k i
Errori casuali e la media Tracciamo una retta parallela all asse delle ascisse (y=k) e misuriamo la distanza di ogni misura x i dalla retta in valore assoluto. Prendiamo questa retta in maniera tale da avere all incirca lo stesso numero di valori sopra e sotto la retta e ipotizziamo che il valore di questa retta sia il valore cercato, cioè k=x. Posso definire x i x come scarto o residuo e ci dice quanto la misura i- esima x i differisce dal valore cercato x. Abbiamo che i punti con x i > x avranno distanza positiva dalla retta e quelli con x i < x distanza negative. La misura è precisa se le singole misure x i sono vicine al valore x. Se x i x 0 La misura è accurata se il valore x è vicino a quello ritenuto vero L ipotesi che k sia il valore cercato richiede che la somma delle distanze di tutti i punti sia minima.
Errori casuali e la media x i k = x (x i x ) 2 i
La media Voglio minimizare la distanza delle singole misure x i dal valore x : D x = (x i x ) 2 i=1 dd(x) dx = 0 2 x i x 1 = 0 i=1 i=1 x x i = 0 x = i=1 x i In tal modo otteniamo: x = i=1 x i Il valore più attendibile della grandezza M, ossia la sua migliore stima, è la media aritmetica delle singole misure
La Deviazione standard Dato che la media è la migliore stima della grandezza x, viene naturale calcolare gli scarti di x i da x per valutare quanto la misura i-esima differisce dalla media. Pertanto, per stimare l attendibilità media delle misure x i potremmo fare la media degli scarti x i x. Sfortunatamente essa per come è stata definita è sempre zero. Allora, il modo migliore per caratterizzare l attendibilità delle misure è elevare al quadrato tutti gli scarti (ossi calcolare le distanze in valore assoluto tra x i e x), in modo da avere un insieme di numeri positivi e poi mediare questi numeri. Infine se estraiamo la radice quadrata otteniamo una grandezza con le stesse unità di x. Definiamo Deviazione Standard di x i la seguente relazione: σ x = i=1 (x i x) 2 Definizione alternativa della deviazione standard quando è piccolo. Detta anche scarto quadratico medio. σ x = i=1(x i x) 2 1 on è definita per =1
Deviazione standard come incertezza in una singola misura La deviazione standard caratterizza l incertezza media delle misure x i Dimostreremo più avanti che se si misura la quantità x molte volte, usando sempre lo stesso metodo e le incertezze sono casuali, allora i risultati saranno distribuiti attorno al valor vero seguendo una curva a campana (distribuzione normale). In particolare, circa il 68% dei risultati cadrà all interno dell intervallo x ± σ x Di conseguenza, se si ripete una singola misura si ha una probabilità del 68% che il risultato si trovi entro σ x dal valore corretto. Chiaramente σ x ha lo stesso significato che abbiamo usato per il termine incertezza. Se si esegue una misura x, l incertezza associata con questa misura può essere assunta come δx = σ x
Esempio Scatola piena di molle ragionevolmente simili. Calcolare le costanti elastiche delle molle k. Scegliere lo stesso metodo di misura in modo da avere la stessa incertezza in ogni misura. Ad esempio: si possono prendere le varie molle, appendere una massa nota e misurando il tempo delle sue oscillazioni possiamo ricavare k = 4πm T 2. Un metodo è determinare k e l incertezza δk per ciascuna molla. Più veloce, si misura parecchie volta una sola molla in modo da stimare k con la media e la deviazione standard ci fornisce una stima delle incertezze nel nostro metodo di misura. Così che per ogni molla successiva basta fare una sola misura e associare ad essa come incertezza δk la deviazione standard misurata per la prima molla k: 86 85 84 89 85 89 87 85 82 85 Media k = Deviazione standardσ k = i=1 k i 85.7 m i=1(k i K) 2 2 /m 1 L incertezza in una qualunque delle misure di k è allora circa 2 /m. Se e misuriamo una seconda molla una sola volta e otteniamo 73 /m allora la sua incertezza δk=2 /m k = 73 ± 2 /m.qual è l incertezza da associare alla media k, δk?
Deviazione standard della media Se x 1, x 2, x 3,.. x sono i risultati di misure della stessa grandezza x, allora la miglior stima per la grandezza x è la loro media x La deviazione standard caratterizza l incertezza media delle singole misure x 1, x 2, x 3,.. x L incertezza da associare alla media è la deviazione standard della media e si calcola σ x = σ x Basandoci su valori misurati possiamo scrivere il valore di x come x best ± δx Dove x best = x δx = σ x.b. σ x 0 e x x vero
Esempio Data una serie di misure di corrente elettrica I affette da errore casuale attraverso l uso di un amperometro molto preciso, si ottengono i seguenti valori I: 23.91 23.88 24.03 23.92 23.96 A Ricavare la misura di I Deviazione standard σ I = La misura di I si scrive Media I = i=1 I i i=1(i i I) 2 1 23. 91 + 23. 88 + 24. 03 + 23. 92 + 23. 96 = 5 = 23. 94 A = (23. 91 23. 94)2 +(23. 88 23. 94) 2 +(24. 03 23. 94) 2 + 4 Deviazione standard della media σ I = σ I = 0. 0578.. 5 = 0. 02588 A 0. 0578 A I = 23. 94 ± 0. 03 A.B. Come si può notare i valori 24.03 e 23.88 non sono compatibili con la misura perché è al di fuori dalla fascia di valori che caratterizza la misura di I
Esempio: Area del rettangolo Misura di una piastra rettangolare di lati AxB Effettuiamo =10 misure con un calibro Valori misurati (mm) A 24. 25, 24.26, 24.22, 24.28, 24.24, 24.25, 24.22, 24.26, 24.23, 24.24 B 50.36, 50.35, 50.41, 50.37, 50.36, 50.32, 50.39, 50.38, 50.36, 50.38 Media (mm) Deviazione standard (mm) Deviazione standard della media (mm) A = 24.245 σ A = 0.019 σ A = 0.006 B = 50.368 σ B = 0.024 σ B = 0.008 A = 24.245 ± 0.006 mm o A = 24.245 mm ± 0.025% B = 50.368 ± 0.008 mm o B = 50.368 mm ± 0.016% AREA = (24.245 mm ± 0.025%) (50.368 mm ± 0.016%) = 1221.17 mm 2 ± 0.03% = (1221. 17 ± 0. 37)mm 2 δarea A = (0.025%) 2 +(0.016%) 2 = 0.0296 = 0.03% δarea = 0.0003 1221.17 = 0.3663